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relativistische Geschwindigkeitsaddition


CC-BY-NC-SA 3.0

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die relativistisch – Addition von Geschwindigkeiten – eigentlich – ist das was sie gleicher Leiter allerdings eine Subtraktion – von Geschwindigkeiten – wie üblich guck ich mir zwei Initialsysteme – an – X Y Z – und T das eine – das liegt irgendwie durch den Raum – dauernd Schrägstrich – Y Beistrich – Z Beistrich – mit der Zeit Beistrich dass andere – das auch irgendwie Durchlauf liegt – und nun hätte ich gerne ein Partikel – der auch noch durch den Raum fliegt – und zwar in diesem System ohne Strich – mit der konstanten Geschwindigkeit – weh – und wir sehen leichter mit einem anderen System eine konstante Geschwindigkeit – wie – Strich haben – die Frage ist – wenn ich die relative Bewegung dieser beiden Initialsysteme – kenne – die kann ich dann die Geschwindigkeiten – um Rechnen von W auf Beistrich – eine Geschwindigkeit – von W – in dem ungestrichenen – System heißt – dass die Differenz der Ortsvektoren – gleich – wem mal die Differenz der Zeit – ist in diesem System – in dem gestrichenen System habe ich dann mithilfe – der sprechenden Lorentz-Transformation – das Ziel mal die Zeitdifferenz – dort – und hier unten die Ortsdifferenz – Ortsvektor Differenz – gleich sein muss die Lorentz-Transformation – angewendet – auf – zehn mal die Zeitdifferenz – im ungestrichenen – System – und – die – Ortsdifferenz – im ungestrichenen System – hier arbeite ich mit Differenzen – Delta – das macht die ganze Sache einfacher – bei der Herleitung der Lorentz Transmission muss sicher noch was einbauen dass die beiden Ursprünge – zum Zeitpunkt T gleich null gleich die Strichwanderwegen – soll – das jetzt nicht mehr nötig weil ich immer Differenzen arbeite – so dieses Delta X ist ein konstantes Vielfaches von delta T das ist ein konstantes Vielfaches von delta T – sieht man dass die Bewegung die rauskommt – auch eine konstante Geschwindigkeit hat – das die Differenz der Ortsvektoren im gestrichene System gleich – ein unbekannter – Vektor Bindestrich – mal die Zeitdifferenz – im gestrichenen System ist – wie gesagt die Frage ist – wie kriege ich etwas über diesen Geschwindigkeitsvektor – im gestrichene System raus – wenn ich den ungestrichenen kenne – und wenn ich weiß wie ich zwischen diesen beiden Systemen transformieren – die Lorenz Automation Sacra so gebaut dass sie eine bestimmte Größe erhält nämlich folgende Größecequadrat – mal DT – Quadrat – Minus Delta X – dieser Vektorlänge – Quadrat – muss – dasselbe sein wie das was dabei herauskommt – Cequadrat – delta T Strichquadrat – minus – der Rektor der daraus kommt der Trix Strichlänge – ins Quadrat – das wär sogar die definierende – Eigenschaft der Lorentz-Transformation – und jetzt setz ich meine Geschwindigkeiten – ein – hier das Delta X ist W mal – DT – habe steht hier auf der linken Seite – Cequadrat – mal – DT – Quadrat und hier habe ich W Quadrat mal DT Quadrat – die Quadrat ganz aus Klammer auf – analog auf der rechten Seite – als mit Strichen – natürlich Cequadrat – denn sie – ist das eben ein Initialsystem – die Lichtgeschwindigkeitscequadrat – minus die Länge von ?? Bindestrich – Quadrat ?? Punkt zudem – habe Delta T Schrägstrich – Quadrat – und jetzt löst sich – nach Beistrich auf zumindest nach der Länge von ?? Bindestrich – das Quadrat – der Länge von Beistrich – ich nehme die linke Seite – teile beide Seiten durch Delta T Strichquadrat – hundert sechzig Quadrat minus – Bindestrich Quadrat – wie Strichfahrrad – ist also Cequadrat – minus – das was ich da gerade ausgerechnet ?? – und die hinten besser hübscher ein einziges Quadrat zu haben nicht das Quadrat durch das Quadrat – müssen wir aber schon einiges über die Lorentz-Transformation – diese Matrix groß Lander – mit den vier Abteilungen eine Zahl – eine – Zeilenvektor – ein Spaltenvektor – eine drei mal drei Matrix – in die für diese Umrechnung angucke von Delta T – und Städter X stellte X ist ja – W mal delta T – diese Lorentz-Transformation – und die Lorenz Matrix – rechnet um – auf – C mal delta T Strich und Delta X – Beistrich der Dax Strich interessiert und seine schon gar nicht mehr Gott kann vor – und in der Matrix steht hier – Komma der Lorenz Faktor und hier steht minus – Komma durch die Lichtgeschwindigkeit – mal – V transponiert – und V war – der Geschwindigkeitsvektor – des – gestrichenen – Ursprung – im ungestrichenen – Systemversion – steht – ist netterweise egal für das was ich brauche ?? ich will nämlich der der Tisch sich ausrechnen – nicht mit der der – X Strich ausrechnen – also hier sehe ich – C mal delta T Strich ist gleich – Gamma mal zehn mal Delta T – minus – Komma durch zehn – mal – Skalarprodukt – V mal W – delta T – Artikel ausklammern – Komma können wir ausklammern – Punkt also Komma mal sie – minus – eins durch C – Skalarprodukt – formal – Delta T – mich interessierte das Verhältnis – von delta T und älter Beistrich – also – das wäre – Athen durch Delta Trennstrich – Teil auf beiden Seiten durch delta T Strich – und Teile auf beiden Seiten durch Kammer Komma diese Klammer – dann habe ich hier rechts delta T durch delta T Strick links bleibt sie durch – Gamma malt sie – einst durch C V – mal – W Skalarprodukt – dieses – C ist unten hübscher – führte diesen Bruch – durch CO durch C und durch C und dann habe ich da eins – durch – Komma war – sie durch CS eins – minus eins Durchcequadrat – aus ihr steht Frau mal – Durchcequadrat – Fußnote – wenn jemand schon von Zeitdilatation – gehört hat das ich die Zeit – verändert am Übergang vom ein System zum andern – das hier ist nicht hundertprozentig – die Zeitdilatation – nicht nur das Komma – was ich hier mache sind ja Ereignisse – zu verschiedenen Zeiten – an verschiedenen Orten – das ist komplizierter als Zeitdilatation – Ende der Fußnote – wozu wollt das Verhältnis haben – uns hier einzusetzen – Länge des neuen Geschwindigkeitsvektor – sind Quadrate Seequadrat – minus – achtzig Quadratmeters die alte Länge ins Quadrat – mal das Verhältnis was wir gerade hatten – ins Quadrat – also die Länge des neuen Geschwindigkeitsvektor – aus – Geschwindigkeitssektors – im gestrichenen System ist zehn Grad minus – zig Quadrat – minus die Länge des – Geschwindigkeitswetters – im alten System Quadrat – mal – das Quadrat hiervon – also mal eins durch – gamma Quadrat mal eins minus – Skalarprodukt – Frau mal Durchcequadrat – ins Quadrat – daraus lernen wir schon einiges über diese Addition – oder Subtraktion von Geschwindigkeiten – aus dieser Gleichung – nämlich – was passiert – wenn die ursprüngliche Geschwindigkeit – gleich der Lichtgeschwindigkeit – ist – die Länge des Vektor W ist gleich C – entsteht hier zehn Quadratmeter – Seequadrat – der hintere Ter Feldweg – zig Fahrrad minus null – dann muss auch die neue Geschwindigkeit – die Lichtgeschwindigkeit – sei – mit anderen Worten wenn ich in irgend einem Inertialsystem – mit Lichtgeschwindigkeit – fliege – dann auch in allen anderen – und was passiert wenn ich Original – langsamer – bin – strikt kleiner nicht gleich der Lichtgeschwindigkeit – dann steht hier Cequadrat – minus etwas das strikt kleiner ist hier in der Klammer bleibt eine positive Zahl stehen – hier hinten Quadratsverrat – ist immer was positives – ich ziehe von Cequadrat – eine positive Zahl ab – wie Strichlänge – muss auch kleiner sein als zehn – wenn – ich also in irgend einem Inertialsystem – langsamer bin als – Lichtgeschwindigkeit – bin ich überall – als Inertialsystem – langsam als Lichtgeschwindigkeit – dieser Ausdruck hier sieht noch so aus als ob die Geschwindigkeit – des Objekts was der durch die Gegend fliegt – und diese Relativgeschwindigkeit – der beiden Initialsysteme – verschiedene Rollen haben hier steht – wie oben – aber kein V oben und hier dem Gamma ist ein V versteckt irgendwie scheinen die Rollen von Frau und wie verschieden zu sein Lustigerweise – sind die nicht verschieden – und ?? zu zeigen formt das noch bisschen weiter und – stehen – minus – O Strich – eins Minusformate – durch zig Quadrat – Quadrat – stehen eins minus – mal wie – Durchcequadratsquadrat – den Emig auf dem Aufstrich Draufcequadrat – minus die Länge von je – Quadrat – mal – was war Komma der Lorentzfaktor – der Lorenz Faktor war einst durch – Wurzel – eins minus – die Länge von Frau – ins Quadrat durch die Lichtgeschwindigkeit – ins Quadrat – das ist der hier den Quatsch schwierig – und setzt ihn in den Nenner den Quadrieren – dann ist die Wurzel weg – in den ersetzen kehre das heißt eins Minuslänge – von Frau hundert sechzig vertrat Kopp nach oben – eins minus die länge von Frauensquadrat – durch sie Quadrat – in den Zähler – und es kommt ein bisschen blödes Rechnen mit Brüchen – noch längerer Bruchstrich – einen Arbeiter stehen eins minus formal – wie – Durchcequadrat – der ist ja lustigerweise schon symmetrisch in V und W wenn ich die beiden vertausche kommt dasselbe Rauscequadrat – will ich auf diesen Hauptnenner bringen – also zehn vertrat mal – und beziehe das wirklich aus eins minus – zwei mal – Frau – B – durch C Quadrat jetzt in Internetquadrat – plus – Frau mal wie – Quadrat durch zehn hoch vier – damit habe ich Cequadrat auf den Bruchstrich gebracht – ich rechne dieses Produkt aus – minus zehn Grad mal eins – minus minus – W Quadrat mal eins also plus – die Länge des Quadrat – minus C Quadrat mal minus – V Quadrat durch C Quadrat C Quadrat Ziffer siebzig Weg minus minus wieder loswerden – plus die länge von Frau ins Quadrat – unterbleibt noch – minus – mal minus wie quadratsmeilenminus – V Quadrat durch C Quadrat – drei minus ?? – minus stehen – die länge von W ins Quadrat – mal die länge von Frau ins Quadrat durch – sie Quadratsnetz – können wir etwas aufräumen – sie Quadrat minus sie Quadrat – und der – Diäten sich weg – es geht weiter mit einem sehr langen Bruchstrich – mein Nenner wird derselbe und – ihr steht minus zwei V mal W C Quadrat gibt sich weg – hier steht Frau Quadrat – dasteht wie Quadrat wenn ich diese drei hier – zusammen fasse – habe ich – V – minus – W – die Länge ins Quadrat – das gibt V Quadrat – den – Flusswegquadrat – gehen – minus zwei mal formal wie minus zwei mal formal W durch C Quadrat mal zigfach ?? damit sind die Grünen Termine erledigt – und dann steht da jetzt noch – das Skalarprodukt – Quadrat Durchcequadrat – dann aber noch die Hintern – minus eins Durchcequadrat – mal die Längen – jeweils ins Quadrat – miteinander multipliziert – plus – das Skalarprodukt – ins Quadrat – durch insgesamt zig Quadrat – ich schreibe das mal nicht Kloster Skalarprodukt – sondern minus minus der Skalarprodukt – und den Ausdruck hinten den kann man auch noch etwas übersichtlicher schreiben – Komma dass allgemein an – ein Vektorlänge – ins Quadrat mal an anderer Vektorlänge – ins quadratsminus – Skalarprodukt – ins Quadrat – steht da hinten – ist das im allgemeinen – schon den ersten Roman hin – erste in Längenquadrat – der zweite Länge ins Quadrat – was ist das Skalarprodukt – der Skalarprodukt – ist die Länge des einen mal die Länge des anderen – Martin Kosinus – vom Winkel dazwischen – also nicht das IKT wirklich auch Quadratsquadrat – aber dennoch mal Kosinus Quadrat – habe ich insgesamt – mal eins für den ersten minus – das Quadrat von Kosinus – vom Winkel dazwischen – ganz – billig so – des komm Pythagoras eins minus Kosinus Quadrat ist das Quadrat vom Sinus – vom Winkel zwischen diesen beiden Vektoren – und damit habe ich was hier steht ist lustigerweise – die Länge vom Vektorprodukt – ins Quadrat – die Länge des Vektorprodukt – ist die Länge des einen mal die Länge des anderen – war der Betrag von Sinus – steht das Quadrat davon – hier steht also die Länge des Vektorprodukt – von W und V ins Quadrat – und dann sind wir am Zieldifferenzquadrat – minus – eins Durchcequadrat – und hier jetzt die Länge des – Vektorprodukt – ins Quadrat – durch immer noch denselben Nenner – jetzt habe ich ein Ausdruck der symmetrisch ist wenn ich hier V und W gegeneinander austausche – kommt dasselbe raus wenn ich hier V und W gegeneinander austausche – und das selbe raus enges Quadrat steht und wenn ich hier vor und wegen einander austauschen kommt auf dasselbe raus – V und W haben also dieselbe Bedeutung – wenn es um die Länge des Resultats – Geschwindigkeitsvektor – steht – mit mir durch dessen Richtung angucke – wir das ganze bisschen heikler – da könnt ihr noch fiese Rotation drinstehen – und Passivitätsschecks – wenn die Relativgeschwindigkeit – der beiden Systeme null ist steht hier einfach die Länge von wen Quadrat – hier steht null untersteht eins es kommt wieder die Länge von wenig Quadrat aus – und wenn die Geschwindigkeit – von diesem Objekt in dem ein System null ist – steht hier – die Relativgeschwindigkeit – der Warnsystem ins Quadrat – null – eins es kommt – die Relativgeschwindigkeit – dabei System ins Quadrat heraus wie sein muss – und besonders einfach ausrechnen ist es ganze Ding hier wenn V und W parallel sind die beiden parallel sind – wir dieses Vektorprodukt – null – und dann kriege ich einfach das was ich erwarten würde klassisch – das Quadrat der Länge der Differenzgeschwindigkeit – aber mit diesem Korrekturfaktor – einst durch – was da steht