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23A.3 numerische Integration, Trapezverfahren, Fehlerschätzung, Romberg, Richardson


CC-BY-NC-SA 3.0

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ichwolltenur mal vorführenwie sich die Genauigkeitvon numerischen IntegrationsverfahrenniederschlägtKomma einfachsten vorführen in dem man in ein Integral ausrechnet von dem man weiß was rauskommt ich nehme das integral von zwei bis dreivom Sinusdas kann ich ausrechnenkann und vergleichenwas denn die numerische Integrationso liefert im Verhältnis zum exakten Wertanden Rechner mit demunescoäh aus von zwei bis dreigibt also minus KosinusHorndrei plus den Kosinus von zwei genommenen exakten Wertund das möchte ich nuninsbesondere dem Trapezverfahren?? durch exerzieren dieses integralkann man Vergleich hat was numerische Lösungbringt im Verhältnis zu exaktenTrapezverfahrenwar folgendesstets füreinenichmöchtedie Fläche unter meiner Kurve nach wollten sie etwas häufiger seine Kurve soFläche und um eine Kurve mit Vorzeichenbestimmenvon A bis Bund der Trick istwenn ich das nicht in Funktionen so ausrechnen kannanalytischAlgebra ich ausrechnen kanndann probier ich's ebenmit ein paarMesswertenLeertaste die Funktion abund was mir daraus jetzt eine Schätzung für das integral zusammenund Trapezverfahrenwie der Name sagtjetzt der Trapez drunter diese Fläche hierwäre ein Trapez dann in die nächste Flächediese Fläche hierwieder ein Trapezunternehmensie diese Flächenoch ein paar Bit und so weiter die alle auf summiertdas kann ich mit einfachen Methoden hinkriegenLeertaste die Funktion absofort bestimme einzelne Werte der Funktionund schätze dann den Wert des integral aus einzelnen Werten dieser Funktion in dem ich da einfach geraden durch legeBeistrich dann rechneist die Summe von Flächen von Trapezamdass es eine Methode die ich anwenden kann wenn ich keine Stammfunktion hinschreibenwilloder eine Stagnation hinschreiben kannPunktundwenn ich diese Funktion nicht mal überall gegeben habe wenn ich nur Messwerte habebevor sie haben einfach nurFolge an Punktengemessenund keine Rechenvorschriftkomplett gegebennannte sowieso keine Chance Stammfunktionauf diese alte Art zu finden Sie müssen es numerisch machen muss irgendwie schätzen das nahe liegende ist dann einfach die den Jahr zu verbindenund die Fläche dannauf diese Weise zu schätzen das es Trapezverfahrenumund was man endlich das Formel istfür Disrode Trapezkriegdie Höhe auf der Mittemal die Breitewas ist die rote Flächefür dieses grünegenauso die Höhe auf der Mittemal die Breitehier für das blaue Gehör auf der Messe mal die Breitedas heißtich nehmeden ersten Funktionswertmal ein halbmal die Breiteden zweiten Funktionswertnämlich für dasrote Trapezmalenhalt mal die Breite aber kommt auch im grünen trapezformalenhat meine Breite insgesamt also einfach mal eins mal die Preise genau der hierder Konferenz Wein formal eins mal die beiden und so weiter nur der letzte hierkommt wieder nur in einem Trapez vorund da hat er einfach wieder mal ein halbmal die Breitedas geb ich jetzt einfach in OpenOfficeerster der exakte Wertdas war minus Kosinus vondrei Schluss den Kosinusvon zweiwenn ich anfange mit der Breite von null Komma einsich gehe vonzwei NO Komma einer Schritt in ?? Komma einer Schlitten durchKomma einer Schritt durchden Linusjeweils ausrechnensodas integraldesHälftemal die Reizemal den ersten?? Trapezregellosjetzt von den nächstenalso die Summevon den nächstenMal die volle Breiteund jetzt vom letzten wieder nur die Hälfte null Komma fünf mal den letzten Malbreitein paar mehrNachkommastellennehmen wir Haarjetzt gleichnull Kommanull fünf nur die Hälfte davon starte mit zwei hundert und zwei Kommanullfünf und dann wieder so weiter bis zur dreijeweilsden Sinus ausrechnendie Ritter auf Komma bei Nachkommastellenich ebengar nichtvielüber dasacht Baujahr achtso und das integralder letzte ist jetztder siebenzwanzigalso was ich hier bis siebenundzwanzigund die Summe geht bissechsundzwanzig?? sechsundzwanziger stimmt also bis zur dritten Stelle nach dem Kommanoch mal halbieren null Komma nulldreistartemit der zwei ?? mache dann mit zwei Kommanull zwei weiterfrei über den Sinus ausrechnenhiermitauch ?? darstellenund das machtletztlich gemerktder ist bei siebenundfünfzigsiebenundfünfzigder vorletzte ist bei sechsundfünfzigsookaydann stimmt das bis aufvier Stellen nach dem Komma jetzt kann man sich angucken wie denn dieserNäherungallmählich besser wirdmit kleiner werdenden Haarhatte das noch malwas ist der exakte Wert und wie wird die Nehrung allmählich besserwaralso für H gleichnull Komma zweiviergleich null Komma zweikriege ich den rausfür H gleichnull Komma null fünfden rausfür H gleichinMainzdenen ausden ohne die Nachkommastellenist das nicht wirklich lustigachtsoundexaktzwo Tage sinnvollerweiseden exaktenWert in diese Tabelle einexakten Wert dich nicht einfach mal bei H gleich Null dazu das es ja die Hoffnung wenn ich diese Streifen immer schmaler mache immer schmaler machedann kommt das exakte integral raustrage ich meinen exakten Wert einfach damit schöne Zeichnung ist ähm für H gleich null eininwarX Y natürlichdie verbindenmanchmal ganz dreist und verbinde die tatsächlichstimmensoso sieht das ausProjekte Schätzung geschrieben habe der Wert bei null ist der exakte Wertso sieht jetzt ausungewöhnliche Art vielleicht erst maleinensolchen Näherungsverfahrenzu betrachten ??ich gucke mir anwas wenn Ergebnisliefert dieses Näherungsverfahrenin der Fähigkeit von der Schrittweitebeziehungsweise Abhängigkeitvom Aufwandder hiermit schrittweise null Komma einsdas war der billigste habe ich nur elfWerte ausgerechnetsehen ?? wenn ich ziemlich weit weg vom exaktenund dann hierfür null Komma fünf habe ich einundzwanzigWerte ausgerechnetpraktisch der doppelte Aufwandschon besser ich liege schon was näher dran exaktenin null Komma null zwei noch mehr ausgerechnetnoch deutlich näher dranan diese Kurve die man ihr sagt einem was über die Qualitätdieses Näherungsverfahrensbesiegen wir das dieses Näherungsverfahreneinen Fehler hat derquadratischvon dieser Schrittweite abzuhängen scheint dass sie sie doch ganz schwer nach Parabel ausquadratischerFehler irgendwas mit H Quadrathier unten das ist die SchrittweiteHaarund dieser Fehler scheint mit ?? Quadratzu wachsennicht den jawenn im Jahr wärelediglich eine gerade dann würde der Fehler liegen ja wachsende Fehler hier scheint quadratisch zu wachsenoder andersrumwenn ich die Schrittweite halbiertedas hier ist eine der Fehler der Abstand zum exakten Wert wenn ich die Schrittweite halbierenhabe ich den Fehler anscheinend gefesselt und die noch mal halbieren den Fehler noch mal geführtenVerfahren schon besser als wenn es den ja ein Fehlermit H Quadratschicker wäre natürlich wenn sich H Quadrat wäre sondern auch drei Hau vier auf fünfwenn wir die Schrittweite halbieren der nicht nur ein Drittel des Fehlers haben Sonderzeichen ein achtel ein sechzehntel ein zwei dreißigsten habenaber dies hier scheintganz schwer nach H Quadrat auszusehen der Feder entwickelt sich via Quadratschätzungsweiseauch wiederähm die dichterische drankomme desto genauer wird es von H Quadratsparabelwerdendie beide ich bekommedesto weniger wird es sich dieses Bild fügen auch diese diese Ordnung des Fehlers gibt dann nur prinzipielles PilzenSchätzung für den Fehleranwas passiert eigentlich wenn sie dieses Hagen ganz klein werden lassenhier für H gleich null habe ich den exakten Wert eingetragenist es ja ein bisschen geflogen Komma was passiert in meiner Rechnung wenn der Wert für H immer kleiner wirddiese Kurve hier scheint zu suggerieren dass man einfach nur das Haar immer kleiner immer kleiner machen muss dann wird es schonimmer genau wenn es um den sie wieder mal die Rundungsfehler der fertig schon bei dennumerischen Ableitung vorgeführt wenn sie das Haar immer kleiner machen immer kleiner machenam sie dann irgendwann ein Problem damit dass diese Maschine hiernur plus minus fünfzehn Stellenähm signifikant darstellen kann irgendwann sind die Zahlen zu klein und die Rundungsfehler explodierenganz ganz geschickt angehtallem nicht drauf verlassen dass es immer besser wird irgendwannwird das hier im wahren Leben von dem Fehler wieder explodieren durch Rundungsfehleran das geht mich endlos so weiterwaren dem Verein wird der Rechenaufwand natürlich auch pervers groß jährlich elf Sachen auszurechnenwerde irgendwas bei zwanzig auszurechnen?? ich etwas und fünfzig auszurechnenich muss immer mehr ausrechnen Million Milliarden Aussichten zum Schluss geht es einfach nicht mehr möglich das ganz in endlicher Zeit in vernünftiger Zeit auszurechnenausdiversen Gründen kann man diese Kopie leider nicht bis zu Ende bis zu null verfolgen bis zum exakten Wert verfolgenwaren demHerrndass das ein quadratischerZusammenhangdas kann ich jetzt aus der Mathematik noch mal klarmachenGleichzeichen aberspannend finde ich diesen Gedanken nochmals zu verfolgen das ist ein quadratischerZusammenhangund dann istderHerr mit Schätzen auf den Gedanken gekommen vor Jahrzehntenokay wenn ich diese Kurve seheund den exakten Wert zu wissenangenommen den wüsste ich nicht weil ich Messwerte habe oder weil ich keine Stammfunktionhinschreiben kannangenommen den Funktionswerthier weiß ich nicht den exakten Wert aber ich habe diese Kurve hier aus dengeschätzten Werten kann ich ?? ganz dreistdie eine Ausgleichskurvedurch legenund finde dann den Wert für H gleich null wenn sich Richardson Extrapolationnoch ein großer Trick aus derNum Erik kann man hier anwenden und das integral noch besser zu machen bestimmeeingeatmetTrapezregelbestimme noch ein Wert mit Trapezregel noch ein werden Trapezregelich weiß diese Kurve hier muss eine Parabel sein dann leg doch einfach dreiste Parabel dadurch und kann in der Tür handelt null ausrechnen und das sollte in sehr guter Näherung exakte Wert seinan das ist das übliche Verfahren was über ?? eingebaut ist das ländliche Bromberg Integrationist nochdrei Nummern heftiger und man findet die Trapez das Trapezverfahrenin geschickter Weise mehrfach an und schätzt dann aus den Wertenden Wert für alle gleich nullähmwas zu Bedeutung dieser Parabel ich möchte mal vorführen wo diese Parabel dann hier kommt tatsächlichwähnte sich das Trapezverfahrenanguckenundversuchenden Fehlerabzuschätzenist dass das integral exaktA bis B von X D Xist gleichSumme der Trapezsummeder Trapezflächenplusein Fehlerdie Summe der Trapezflächenist meine Schätzung für das integralstimme diese Flächeden Funktionswertmal ein halb mal die Breite den Funktionsmerkmalenhat man die breit ist diese Fläche diese Fläche ist der Fusion wird man halt mal die Breite aus der Fusion hat eine Breite und diese Flächen zwar dass meine Schätzung für das integraldas exakte ?? gibt einen Fehlerund versucht diesen Fehlerabzuschätzen?? mir schon gesehen dieser Fehler scheint irgendwasmit H Quadrat zu sein scheintParabel förmlichan zu wachsengeschätztam??kann jetzt überlegen was denn diesen Fehler tatsächlich vor Komma kann ihn wirklich ausrechnendas es aber ziemlich eklig auszurechnenPunkt man kann sich auch einfachüberlegenwas für Zutatendrin stehenin diesem Fehlerwenn sich die Funktionanguckenamdie wievielte Ableitungmeiner Funktionsollte hier in diesem Fehler auftauchender Fehler ist in der Tat die Fläche zwischen beiden Graphenmöchte ich miralso quasi dieses roteStück mit Vorzeichengenommendas ist der Fehlerdieses rote Stück zwischen der Originalkurveund den Trapez mit Vorzeichen also hieraninverspositiv Tages positiv der Rest negativjetzt möchte ich aber diesen Fehler irgendwie Hände weder ins?? abschätzenwerden das bei denenAbleitungenschon wievielte Ableitung meiner Funktionzu dem Fehler der numerischen Schätzung der Ableitung Beiträgekann das ähnlich überlegenfür welche Sorte an Funktionenist dieser Fehler gleich nullso ungefragtWasserfunktionkönnen Sie einsetzenund die Trapezregelliefert die exakte Flächewenn Sie eine gerade einsetzendannnetterweiseist natürlich die Summe der Trapezflächenexakt das integral für eine gerade funktioniertdasund nun kann man sich überlegen okay für eine Gerade ist das exaktdann ist der Fehler nulldie wievielte Ableitungmeiner Funktionwievielte Ableitung meiner Funktion kann allenfallsin diesem Fehler auftauchendas weiß man aus anderen Gründers der Fehler irgendwas mit Ableitung zu tun haben muss wievielte Ableitung kann hier allenfalls auftauchenwenn ich für geradenkorrektes exaktes Ergebnis kriegenwas in diesem Fehler auftreten kann ist die zweite Ableitungfür eine geradeist die zweite Ableitung nullund dann ist der Fehler nullwenn icheine zweite Ableitung habe die ungleich null ist eines meiner Funktion gekrümmtund dann hatdie Trapezregelein Problem mit gekrümmten Funktionen hat ein Problem wenn die zweite Ableitung gleich null istdie Trapezregelkein Problem Beistrich gerade der zweite Ableitung ungleich null ist ?? Krümmung drin die Trapezregel hat ein Problemich rate dass sie hinten was mit der zweiten Ableitung meiner Funktion drin stehtin der zweiten Ableitung der Funktionstehtin dem Fehlerjetzt die Einheiten anguckensagen wirAusgänge habenmir sowas zum Beispiel miteinem Meter und Sekunde seit mit dem vierzig Meter mal Sekunde bisschen blödsinnig sammel hier vielleicht mal die Funktion hatten Einheiter fatz und X hat die Einheit Sekundeetwas vernünftiges physikalischenArbeit ausgerechnetin die Funktion die Einheit Watt hat und dieses X die einer Sekundewelche Einheit hat die zweite Ableitungder Funktionsmusterin der sein Wachs durch Sekunde QuadratWasser Komma das im wahren Leben bedeuten maganNF die Einheit Watt hatX die Einheitssekundeteilen ja quasi zweimaldurch die Sekunde hier odersie haben Meter pro Sekunde Quadrat gerne nebenWatt pro Sekunde Quadrat das wäre die zweite Ableitung eine der zweiten Ableitung ?? ich muss aber als Ergebnis im Integralwattsekundenhabenmein Fehlerenthält sowas wie what durch Sekunde Quadratdas Ergebnis muss was die Wattsekundenseinwas heißt womit muss ich dieseF zwei Strich noch multipliziereneinheitsmäßigwas muss hier noch als Faktor dabei stehen einheitsmäßigbrauche Sekunde hoch drei damit das hinkommt damit zum Schluss wieder Wattsekunden rauskommenmit irgendwas modifiziert werden was die Einheit Sekunde hoch drei hatwas kann das sein was die zur Verfügung??mit was das sie noch modifiziertwerden kann?? zur Verfügung haben wir noch diese StreifenbreiteH ist die bei mirund wir haben auch noch die Breite des gesamten IntervallsB minus A zur Verfügunglassen die beiden Zutatenähm sind wieder in viele Proportionalitätder Fehler sollte dazu irgendwas proportionalseinungefährder Fehler sollte proportional zu der Breite sein sowas wie Minus A das sollte hier noch als Opportunitätauftauchen und damit zumindest schon mal esvon der Einheit her wenn siedie doppelte Breite habensollte sich der Fehler verdoppelnweil sie noch mal so viele rote Stückchen habenals erwarte ich dass der Fehler irgendwie proportionalwird die Mail dann proportionalzur Breite des Rings wird das noch mal Faktor Sekunde wenn ich sage X hat die einer SekundeFirmen-und Faktor Sekunde Quadratdas einzige was ich jetzt noch habeist Haarda kommt dieses H Quadratdann stimmt's von den Einheitendas es die Hände wählendeBegründungwarum dieser Fehler mit H Quadrat laufen muss das wäre sowas für die Physikerich weiß der Fehler istOptimalraumproportional zur PREISEich weiß Fehler hat was mit der zweiten Ableitung zu tun denn wenn die Funktion gekrümmt isttritt ein Fehler auf wenn die Funktiongerade ist tritt kein Fehler auf und dann muss zwangsläufig das H Quadrat dann noch stehen allein wegen der Einheitenund das ist genau das Verhalten was man auch siehtdiese quadratische Abhängigkeit