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14A.1 Partialbruchzerlegung, Pole, Bestimmung der Konstanten, Integral einer rationalen Funktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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Partialbruchzerlegungam ?? bei denPolynomengab's ja sowas dass man ein Polynomauf?? teilen kann sobald man einen Nullstelle weißkann man schreiben X minus null Stellemal ein anderes Polynom und bin zur weiteren Nullstellen gibt von dem Polynom kann ich wieder abspaltenmusste und nochmals weiter bis hin zu Verfügungstehen bleibt und keine Nullstellen hatdas war wie manPolynom zerlegen kannbei den rationalen Funktionenalso ein Polynom durch ein anderesist das ganzebisschenkomplizierter wenn man das auseinandernehmenwill komplett auseinandernehmenwillsie haben ein PolynomschreiberPoly einst durch Poly zwei ein Polynom durch ein anderes dass eine rationale FunktionIxus dreiundneunzigpluszwei ?? vierzig X plus acht durch X zusieben plus X O fünf minuszwei X oder sowas ein Polynom durcheinander seine rationale Funktion das ist eine rationale Funktion dannder Bruch zweier Polynom Ratioverhältnisrationale Funktionirrationale Zahlen Punkt zwar ganzer Zahlen rationale Funktiondas zu zerlegen ist eine Aufgabe für sichund schönfindet man es nun versucht das hier zu zerlegenhaben wenn man feststellenkannwie schlimm die Polstellensind dass man die Polstellen einzeln raus lösen kann aus diesem Konglomeratfindet das insgesamt Plattenso einerationale Funktion und deine Polstelleund die haben sie noch Polstelledie Hansen Polstelleschön wäre Symbol stellen alle einzeln auszuholenund das schafft die Partialbruchzerlegungunter anderemdas ist die übliche Zerlegung dann fürrationale Funktionenwo manPolynom einfachzerlegt in dem man nur Stellen abspaltet Komma nationale Funktionan zum Beispiel in Partialbrüchezerlegendas Vorgehen ist folgendessie machen als erstesZimmer das Rezept aber ?? ist das Rezept auch schon praktischdie Methodedahinter steckt ähmdie machen eine PolynomdivisionDivision als erstesdie?? und wenn denn der Grad desZählers größer gleich dem Grad des Neonazis als wenn der sowas steht wie zu zweiundvierzigProzent zu sieben Plus drei durchIxus sieben Prozent zu hochdrei plus fünf hundert sowas steht der machende Polynomdivisionnun sozusagen den ganzzahligenAnteil raus zu zweiundvierzigIxus siebender geht ja was zu kürzenbestimmen denAnfangszeichenganzzahligen Anteil das es also das Ergebnis der Polynomdivisionwas herauskommtErgebnisder PolynomdivisionKloßden Rest der Polynomdivisionund den muss ich natürlich weiter teilenLeerschritt erübrigt sich wenn sich hier sowiesoim Zähler ein Polynom haben dessen Grad kleiner ist als der Grad des Nenner als wenn auf der linken Seite sowas steht wieX hoch drei durch X ??XX hoch drei durch Ixus vier pluszwoundvierzigmüssen gar nicht anfangen mit der Polynomdivisionzur Strategie zu viergeht nichtgibt's keinen ganzzahligen Anteil in seinen Polynomdivisiondenken X hoch drei durchzu vierplus zweiundvierziggucken sich die höchsten Potenzen an X hoch drei durch X U vierdas sieht nicht zu eins zu zwei ?? suchen oder lediglich Blatt sofort Ixus drei als Restweiter zu machenin dem Fallerledigt sich das sofortKomma wenn sie oben ähm ein Polynom haben Zell ein Polynom haben dessen Grad größer ist als der Männer oder gleichim Grad im Nenner istdannerst mal so einPolynom abspalten sie vorne ist ja ein Polynom es könnte dann abspalten plusRest durch PolynomVisa vorher warBeistrich dass auch normal beibei den Brüchen sei das er sowas aus was man zum Beispiel dreizehn fünftel dreizehn fünftel sind das Ergebnis der Divisionalso zweiC null fünf geht LosunternehmenRest drei fünfteldas ist nichts anderesals ob sie einenBruchzerlegen in eine ganze Zahl plus was übrig geblieben ist und das muss immer noch geteilt werden das silberne Polynomso und jetzt guckt man sich den hierhinten anmachte ?? weitere ?? vorn ist ein Polynomdas beherrschen inzwischen lassen Polynom soll allgemein Tools VerwarngeldLeertaste hinten ist der Spannendedas istsoersten gerne mal schulmäßig eine echt gebrochene rationale Funktionsowieso drei siebtel ein Echterbruchesund acht siebteldanach schreibt das man die Zahl eins rauszieht??ihr seht also garantiert der Grazvom Zählerkleiner alsder Grad des Nenner schreibe das mal auf Grad ZählerplatzGrazsellerplatzZähler ist jetzt garantiert kleinerals der Grad von Nenner auch nicht gleichdurch die Polynomdivisiondie oben in die oben steht so etwas wie X hoch drei zehn ?? und etwas zur vierzehn Klammer auf einem jeden Fall nicht oben ?? zur vierzehn Runden zur dreizehn?? was schiefgelaufenin?? gibt man als nächstes hinund zerlegtdieses Nennerpolynomdas ist X minusirgend einen NullstellePunkt wieso schreibt X nullX minusX einsmit einer gewissen vielfach halt X minus X zwei mit einer gewissen vielfach halt mal und so weitermal ein Polynomeines Polynom dreioder null Stellensowas hatten wir schon bei denPolynomen gesehendass sie das machen können sobald sie Nullstelle haben könnte die abspaltenals diese schon aus dem Jahr Faktor das hier vorneohne den Exponenten hast den Jahr Faktor?? die Nullstelle mehrfach vorkommtkönnen Sie das in der sonstigen Potenz abspaltenimSeminar hat mir schon bei mir noch mal wieder die Nullstellen aussehen?? doppelte Nullstelle haben muss so aussehen oder so aussehen wenn sie dreifache Nullstelle haben muss so aussehen oderso aussehen und so weiterin kleinen See die null stellen die Funktionen eine null Stellen so aus wie einegeradeeinfache Nullstelle wie eine Parabel wie eine kubische Parabelund so weiterähmdas wär schondran das mache ich mit denen die Nenner zerlege ich komplett in in Jahr Faktoren bis zum Schluss was übrig bleibt was keine Nullstellen hatRobindemnächst bei konvexen Zahlen bestellen okay sowas gibt's dann gar nicht mehralles bis auf ein Polynom das einfach ?? Konstante isthat einen Nullstelle komplexen Zahldamit das viel einfacher Wand EL Zahlenkönnt ihr sowas stehen wir X hochvon mir ausüberraschend Ixus einundvierzig plus dreizehnähmdas ein Polynom ist keine Nullstellen hatzur Zeit vierzig für dich negativ und mit ?? ?? dreizehn dazu addierenkann nicht nurwas kann passierendaskann ich mir hinten das Ding anguckenund versuchen zu kürzen wie weit können Sie jetzt vielleicht noch kürzenwenn die Nullstellendes Nenner Scannen prüfen Sie ob der Zähler auch irgendwelche von diesen Nullstellen hatin der Zelle irgendwelche von diesen Nullstellen hat ständig vor X zwei wäre auch für den Zähler einen Nullstelle ?? können Sie abschreiben des X minus X zwei malirgendein Krempel wenn der Zähler auch X zwei als Nullstelle hättewenn das der Fall wärezum Konjunktiv dann könnte ichmir einenFaktor rausnehmen was wäre denn das kürzenals der Gedanke ist folgender effizienter maßen guckt man sich die NullstellendesHerrnzellanhängersdes Nenner an untenund die Nullstellenguckt man sich an und guckt ob der Zählernicht zufällig auch an diesen Stellen Nullstellen hat wenn das der Fall ist ganze Götzender Zähler hier auchX zwei als Nullstelle hat?? können SieX Music zwei kürzen soweitähm das macht man als nächstesim Rezeptalso prüfeprüfe??nullStellen nullTeiledesNenner Ausrufezeichen unten ob die Nullstellen des Nennersie gehen alle von den Nullstellen des Nenner durchgegebenenfallsNullstellendes Zählers sind Gesetzeseinheitein genehm einen Nullstelle des Nennerwas immer das ist?? zu zwei achtundneunzigNullstelle des Nenner nehmen Sie und setzen Sie oben einAppenzelleraus dem Zähler nur rauskommt wenn dann nur rauskommt müssen sie sie können kürzen?? des Zählers gegebenenfallsnur Stellendes Nenner ebenfalls nur Stellen des Zählers sindund wenn jakürzenund das so leid wies gehtdann haben wir den Zustanddas Zähler und Nenner nicht mehr die gemeinsamenkeine gemeinsame Nullstelle mehr habentates dannZähler Nenner haben keine gemeinsame Nullstelle mehrmehrals ?? maldrauf kommenwenn sie wissen das X eins nicht ?? Komma sein Markt einen Nullstelle des Nenner sonst gucken sie der Zähler nicht auch an der Stelle null ist wenn ja?? kürzen sichso oft sie können Zähler Nenner durch X minus dieses besagte X einsSystem abgehaktmachen sie bei X zwei und so weiter und sofort zum Schluss alle gemeinsam null Stellen von Zähler Nenner wegZähler kann null Stellen haben aber nur noch andererseitsder Nennerdas ist der Idealfall dannbesonders lange ja der Normalfallbis auf diese Form kann man sein Leben bringen auf jeden Fallsie haben die OriginalfunktionOriginal rational Funktion ist das Ergebnis der Polynomdivisionein Polynomplusund hier steht ein vollständig ein vollständig gekürzte rationale FunktionszählerNenner haben garantiert dann keine gemeinsame Nullstelle mehrdie Nullstelle unten übrig bleiben an denen ein Vorzeichen durch nur geteilt wirddas sind dann die Polstellenoben steht garantiert nicht Null und unten der Nenner geht gegen null das heißtdiese der gesamte Ausdruck hat nur die Chancedas wird nicht nur irgendwas wird nur hat nur die Chance zu studieren in welche Richtung dann auch immer das Wetter zwangsläufig die Polstellennach dem kürzen vorher nichtkann ja sein dass er sowas steht wienormalganz blöde X minus zwei durch X minus zweikommt jetzt nicht sagen das zwei eine Polstelle istvon dieser Funktion die Funktion hier verhält sich wunderbar zu sehen ist überall gleich einsFunktion die überall gleich eins istan sieht nicht so aus als ob die jetzt in irgendeiner Stelle ins unendliche läuftalso erst kürzenund dann kann man sagen was die Polstellen sindso das wäre dann ein zwischenResultatvon dem anderen ausgehtfür die Partialbruchzerlegungnunich habe einen Bruch zweier Polynom ?? ohne gemeinsame Nullstelleundder Graddes Zählers ist kleiner als der Grad des Nennerso würde man das machen Staaten mit einer allgemeinen rational voneiner allgemein rationalen Funktionein Polynom abspalten soweit es geht hier mit dem der Polynomdivisionund die hier hinten kürzen haben Sie hier hintenrationale Funktionenderen Nullstelle Zähler Nennerdas ?? bei der der Zähler und der Nennernur verschiedene null Stellen haben können wenn überhauptbei dem der Zählergradkleines S des NennerRuf und ab da startet Partialbruchzerlegungdas ist die Situationdie man dahinten hatschmeißt dieses Polynomvorne mal weg oder legt es mal zur Seiteanden Herd zurück in der dieses Polynom hier legt man erst mal zur Seitekommt sie weiter hinten demSituationich habe ein Polynomirgendwie anders nennen muss Julia und Poly Bdaserfolgen der Artder Gradvon Polyaristkleiner als der Gradder Grad von polybiBundJulia und Poly B haben keine gemeinsame Nullstellebis maximal gekürzteStellen aufund ab da kann man denndiesen Bruchmit der Partialbruchzerlegungverratendie noch im bisschenweiterwir zerkleinern ihn in handhabbareTeilezerkleinerndas malam Beispiel lassen oder gleich in Aktion kommen folgendeszum Beispielsowas könnte übrig bleibenX plus drei durchX minus einsGradmalX minusfünf sowas konnte bei dieser Aktion übrig geblieben sein nach dem kürzenden untengibt ?? doppelte Nullstelle bei der einzelneeinfache Nullstelle bei der fünf?? zwei leseneinfache Nullstelle bei der fünf oben geht's einfach ?? Nullstelle bei der minus drei?? Stellen verschiebenoben ist der Grad eins und ist der Grad drei Sohn Ding könnte dabei rausgekommen sein?? diese Aktionundöffentlicherausführlich vorgeführt ?? vielleicht bisschen kompliziert deshalb wird sie nochmals um bisschen mehr rezeptmäßiger??anund stellt dann festwenn man hier Sonneschon mit dem anfangen wenn ich es eine einfache Nullstelle habenicht eine einfache Nullstelle habe dann kann ich diese ganze Funktion schreiben alseine Konstantedurchdiesen in Jahr Faktor für diese einfache Nullstelleeinfachen Rechentrickden letzten ?? auseinander vorgeführt?? man sich das klarmachen kann das sein das es übrig bleibtzu teilen ist und so weiterdas kann ich abspalten diese Nullstelle hiersolange Polstellebitte unten wieder Polstelle kann ich so abspaltenschwieriger wird's bei Sonnedoppelte Nullstelle imNenner besagen einer zweifachen Polstelleeuch zwei Termestellt sich heraus man das so durchexerziert?? ich brauche einmal den offensichtlichmit X minus eins Quadratoben steht irgend eine Konstanteund ich brauche einmal aber auch X minus eins eine einfache Polstelle mit einer Konstanteda stellt sich dann rausdass man all solche Kerl brauchtalso solange sieden Nenner komplett zerlegen können?? ist dann einfach mitFaustregelsie schreibenfür dieeinfachennull Stellen im Nennerso ein Ausdruck in unbekannte Konstante durchX minus Nullstellefür die doppelten Nullstelle Nenner schreiben sie sowas seheneinmal quadratischeinmal einfachhoch dreikommt hoch drei hoch zwei noch ein Zimmer die ganze Reihe runtersolldas vorgeführtschwieriger wird somit Untenterm hatdie keine Nullstellen haben wenn unten so was noch steht bla Blabla bla Blablamarkplus XQuadrat plus einsmankann passierenund dann muss ich hier noch was haben von wegenKomma keinen wurdedie mal X plus Ehoch X Quadrat plus eins das wirdalles ekligkonvexen Zahlen wird es einfacherkonvexen Zahlen können Sie dieses Ding hier wiederweiter zerlegen wie können Sie diesen konvexen Zahlen weiter zerlegenkonvexen Zahlen zwei Nullstellen I und minus I wenn sie wieQuadrierenund eins dazu zählen kommt nur raus wenn sie minus I Quadrieren minus I Quadrat das Minus geht im Quadrat wegaus die Quadrat mit minus eins wird auch nullkonvexen Zahlen ist das hierX ?? gucken die Nullstelle bei ihm mal X plus I wenn es sich das so lösen wie oben den ganzenExtrakram brauchen konvexen Zahlen nicht deshalb?? großen Bogen drumnur als Fußnotezu dener zur Partialbruchzerlegungwenn man jetzt strikt mit reellen Zahlen arbeiten will kriegt man solche Ausdrücke oder schlimmer noch sowas wie eben die Ebene Ixus Wein vierzig plus dreizehnhaarsträubendvernichtet mit reellen Zahlen arbeiten muss man vorsichtig sein wenn sie quadratischer Ausdruck ist immer nach unten abspalten kanner kommt sowas noch dazu als Partialdruck lassen sie überhauptnoch gesagt das partial ?? Detailbrüchedas sind die Partialbrüchein die meine Funktion zerlegen Rationalfunktiondie Witze nicht in einfache Teilefür jede Polstellekriege ich solche Teilefür die einfachen Polstelleneinenpartial Bruch für diezweifachen Polstelle zwei für die dreifachen drei für die neunzig fachen achtundneunzigmit sowas sie haben sicher keine Polstellenicht nur rauskommtwie nur rauskommt aus diesem Ausdruck ihr Wissen bisschen ekligeroben zwei Konstantendas als Fußnotegedacht komplette Zahlenmit konvexen Zahnes dieses Phänomen verschwundensodas kann man so direkt hinschreiben wenn man einmal das Verfahren verstanden hatoder weiß was man jetzt nicht an die?? und Camdafür wieder alle Wege nach Rom oder zumindesttausend Wege führen an der Stelle nach Romwas sehen Siewie ich ABC bestimmen könntealsodieschulbuchmäßigeLösung wäre ich bring das alles auf einen BruchX minus eins Quadratmal X minus fünfund ?? jedesweiter hier passendauf einen Bruch wie auch immer das können sie nicht machenähm und dann gucken sich an was Angleichung für ABC gelten muss damit hier oben wieder X plus drei steht für alle X solche oben erstehen X plus dreibeziehungsweise für alle X außerfünf und eins aber wenn es für alle aus fünf und ein Filter gilt auch für fünf und einsiO muss wieder Ixus drei rauskommen ich das auf ein O Strich bringen das es eine anders zu machenman kann aberdas bin ich ganz man sich auch überlegen wie stark der diese Funktionexplodiertan der Stellefünfwie stark sie explodiert eine Stelleeinswir malden hier für sich nehmenwenn ich eine Zahl dicht bei fünf Einsätzespielt dieser letzte Ausdruck hier verrücktirgendwas dichter fünf minus eins kein Problem nicht bei fünf minus eins Quadrat auch kein Problem wenn ich hier fünf Komma null null null null einsfür X Einsätzemit der letzte Term hierverrückt spielen und jetzt kann ich überlegen okay was passiert denn im Original wenn sie etwas dicht bei fünf Einsätzenfein ich teile hier mal wieder ?? durch etwasdas explodieren wir jetzt komme ich mir den Rest andas Ungeschick gemaltzuwas passiert mit dem Rest das ist soundsoviel mal eins durch X minus fünf was passiert mit dem Rest an der StelleX ?? fünfpassierenmir das Leben mal dazwischen legen diesen an das vorX plus drei durch X minus eins mal eins durch X minus fünfeinzig minus fünf das ist der Ausdruck der explodiert wenn X gegen fünf geht konnte ja auch vor die beiden anderen sind in Ordnungund jetzt will ich wissen wie stark die Explosion ist okay das muss also seine Zahl dicht bei fünf plus drei ungefähr achtdurch eine Zahl dicht bei fünf minus eins ungefähr vier ins Quadrat acht sechzehntelhier stehtpraktisch acht sechzehntel besagen ein halb davorvor dem einzig X minus fünf steht muss sowas wie ein halb stehenwenn ich dich bei der fünf bin und mir das angucken wie stark die Funktion jetzt ins unendliche entschwindet an der Stelle X gleich fünfTeppiche praktisch ein halb der vorstehendbesagen dieses Cmuss ein halb seines hat gar keine andere Chance muss gar nicht ihr Problemchen dieses Kleides ist sie ein halb sein musssich einfach angucken können was denn die übrigen Terme machen die beiden Termin hierKrebsen so in der Gegend rum ähm kommen nicht in die Burschen und der Term hier explodiert fröhlich wenn X gegen fünf gehtdieselbe Aufspaltung an dieselbe Aufwallung ursächlich auf beiden Knie hiermit einem Mal dieser letzte Term hier einzig X minus fünfwie hier irgendwas durch X minus fünf und davor steht schlicht ergreifend ein Halbaffenweiterhin das eklige Geschenkdannmeine Matratze gleich ein halb ?? jetzt die ganze Zeichnung hier noch mal brauchefür einen anderenden NischengabsonämlichsinnvollerweiseahaX minus eins ins Quadratdas explodiert schlimmer als es X minus eins ich muss mir erst den hier vorne angucken bevor ich mir was zu X minus eins angucken kanneinem der hier istsozusagen um eine Größenordnungschlimmer als der jetzt gucke ich in X ungefähr eins ist wie bei den hiermit welchem Tempo dieser explodierendensehen das es ja einzig X als quadratische vornegemachtund sind sodas man als erstesmalsehenhier hintendasselbe Argument wie ebenwenn X an der Stelle eins ist die mal Daumen eins Komma null eins oder null Komma neun neun hundert und neundann kommt hierausvier durchminus viergucken oben steht sehr genau vierX ungefährX geistig beeinträchtigt um vier und steht eins minus fünf bis minus vierminus fünf ist minus vier also minus einsim Endeffekt steht hier einzig X minus eins Quadratmalund der hier istpraktisch gleich minus einsdann heißt das dieses Aist gleich minus eins sein musswas muss ich da nichtzumindest für A und C gar nicht die Mühe machen hier mit irgendwelchenlinearen Gleichungssystemuntersuchen zu bastelnbegann sie direkt aus der Funktion ablesenAnalogrichtlinienim Seminar für dieNullstellenvonähm Polynom gezeigt habe wenn deine dreifache Nullstelle auftauchtkann ich mir überlegen okay alle Linearfaktorenbis auf den einen der hoch drei der steht mit dieser Nullstellealle die sind praktisch konstant nur die Serie wird null der macht dann die kubische Parabelund dieses und ähnlicher Effektwird nun nicht nur sondern es gibt gerade mein Faktor der explodiertdas Körnchen Salz istwenn sie null StellenimNenner mehrfach sind wenig mehrfache Polstellen habedie mit dem Quadratdas ich dann obendreinnochdiese Nullstellen der niedrigeren Ordnung mit dazu kriegebleibt bei der Explosion noch kleiner Rest sozusagen der sich nicht so abfangen lässtund der kommt im Zweifelsfall noch dazuinund an der Stelle ist es ?? doch am besten ?? Mannes auf einen Bruchstrich bringtbis jetzt auf Anhieb nicht ganz schnell wie ichwie ausrechnen kann man könnte jetzt natürliche die beiden britischen hinschreiben minus eins durch X minus hundert und ein halb und so weiter und dann voneinander abziehenam?? Komma das dann trotzdem noch mal für bischulmäßigam?? also wenn sie ausmultiplizierenden ersten erweitern sie mit X minus fünfden hier Foyer erweitern sie mit X minus eins damit ihr Quadrat raus vierzigEinzelbettenquadrataus und X minusfünfund den auf den Bruchstrich noch zu bringen und den jedes C erweitern sie mit X minus einsinsQuadratundwas man haben muss damit das funktioniert ist dasdieser Zählerimmer gleich dem Zähler ist die Nenner in der gleich alles Vergleich seindieser Zähler muss gleich dem Zähler seineigentlich erst mit Ausnahmeder Stellen eins und fünfaber die kleinen Lücken ganz bei den beiden nicht gebenals ich muss haben das X plus drei istAmalX minusfünf plusmalX minus eins mal X minus fünfgroß CmalX minus einsQuadratsbauarkenne ich schon Punkt sie kenne ich auch schondas ist minus einsdas ist ein halb?? über Dinge mit auf die Schnelleals fauler Mathematikerbekriegenkamenin seine schnelle Art wie ich die bestimmen kanndie gleichen hier habenähmtausend Wege wiederman kann es nach Potenzen von X sortierenBeistrich dann das auf derrechten Seite so viel X bereitstehen müssen wie auf der linken Seite auf der linken Seite offensichtlich null?? das auf der rechten Seite viele X stehen müssen wir der linken Seite eins auf der linken das auf der rechtengenauso viel zu Nullstehen müssen wie auf der linkendrei zu den auf der linken dass es eine Art?? an Drahtes einfach Werte einzusetzen??nehme ich fünf Einsätzehabe ich nichts Neues gelernt wenn ich fünf EinsätzeX minus fünf ist der WegIxus fünf der ist wegund dann steht dafünf plus drei das macht achtsind zehn malähviervier ins Quadrat sechzehnter hintenacht sind ein halb mal sechzehn ?? tolles Muster vorher auch schonähmden kennen wir schonfünf Einsätzen bringt's nicht eins einsetzenhier steht vierhier steht ?? in der steht dann vier hier stehtund dieeins müssen Sie minus vier steht also minus vier Adannder Pflicht raus wenn sie als Einsetzen der Pflicht raus und wir lernenminusminus vier A sindwasjeder kleine als der minus einsso minus vier malminus eins sind vier mussten wir auch schon auch nichts Neuesich brauche irgendwas anders als eins und fünfwas aber einfach zu berechnen ist ?? Wochen ermittelt zum Beispiel X gleich zwei nehmenim Schnitt eins raus in den kommt auch eins raus dass es für dievon Mathematiker hier Leerschritt gute Idee nehmen Sie X gleich zwei der Hanse ihr eins Quadrat der steht einswas steht dann ein steter fünf ist gleich soll sein damit das alles gilt A malzwei minus fünf bis minus drei Aminus drei Mal A plusdie zwei einsetzendas wird zwei minus eins ?? einsmalminus dreialso minus drei Bdrei P und hier hinten zwei Einsätzen zwei minus eins plus eins Quadrat bleibt eins Plus Cich kenne aber zieht es nämlich ein halbund ich kenne aber das es minus einsund ein steter das ist minus eine minus eins bis drei minus dreiplus ein halb??was wird das hiersehendie drei rüber bringen die ein halb rüber bringenwir dann die drei rüberbringen ?? den ?? noch zwei das ein halb rüberbringen ?? die anderthalbanderthalb ist gleich minus drei Bist also wasB muss also minusein halb sein??gesagt viele Wege zum Ziel an dieser Stelleman sollte in der Lage sein diese Zerlegung sofort hinzu schreiben das es ja Schema F Gottes einmaldurchdrungen haben ist das offene Schema Feinfacher Polstelleeinfacher Partialbruchdoppelte Polstellezwei Partialbrüchedreifache Polstelle drei Partialbrücheund was quadratische steht ohne Nullstellemit Nummer ekligerdie Frage ist dann diese ABC zu bestimmenich weiß das solche Konstanten geben muss ich kenne sie nur erst nichtam man kann Beck ?? Woods gehen und sich überlegen wie denn diese Funktion hier an den einzelnen Nullstelle explodierteine Art zweites Eben erklärtder anderer Art ist das sie versuchen das sie auf der rechten Seite zu versuchendas es tun nicht nur versuchen dann auch schaffen das auf der rechten Seite auf einen Bruchstrich zu bringender mit dem selben Nenner den der vorher hattendann muss jeder Zählergleich dem Zähler seinkriegen somit Gleichungdie muss gelten für alle Xhin für alle Xund daraus kann ich dannherleiten was den konstanten ABC sein müssenimmer sich A und C wie schon vorher überlegt hat kann man's hier machen sie setzenX gleich einsist der Weg Punkt der Wegwird einfachumzusetzen X gleichfünf ist der Weg dann ist der Wegder wird einfachder Trick ist dann die Nullstellen aus demNenner einzusetzen die Polstelleneinzusetzen in diese Gleichungdann bitte ganz einfachuntersuchen sie noch ?? extraaus ?? Extraexpertewenn das noch nicht gereicht hat wie für das B so hinunter Extraexperteum diese Ausdrücke möglichst billig zu machen hier Bericht zwei nehmen Beistrich weil zwei minus eins das eins ist der britische einfachdas es zu dieser Ende wählende Lösungkommensehr effizient aberimmer mit SonderportionenGeniestreichda drinnenwenn Sie auf Nummer sicher gehen wollenwenn sie ganz anders an dem sich diese Gleichungund sortieren nachPotenzenX Quadrat kommt auf der linken Seite gar nicht vor auf der rechten Seite haben sieehemaligesQuadratund sie haben zehnmal X Quadrat also wissen Sie das B plus Cnull werden muss?? sprechen für X und X hoch nullsortieren nach Potenzendann dafür sorgen dass jede Potenz für sichGleichheit hatdas wäre ganzschulmäßig angesehenen Leerzeichen System dafüramHeidelberger?? Komma echte Aufgabe diese ganz alleine machen dazuam?? soll noch was dazu sagen wie das jetzt angewendet werden kann die Partialbruchzerlegungamich sie inRegelungssystemensehe ich wohl meinenum ein System irgendwelche Resonanzen hat der Sender später sehendas wahrscheinlich der Haupt die Hauptanwendung für Partialbruchzerlegungim wahren Lebenan der Schule wird die gerne verkauft als Hilfsmittel zur Integrationaber wer wird diese Funktion jetzt im wahren Leben wirklich integrieren wollenam ?? war es trotzdem einmalwie kann ich jetzt diese Funktion hierintegrierenwenn ich das hier integrieren würdesie nicht mehr immer noch beim Teil meines ganzen Dings?? angefangen hier mit einerrationalenFunktionbei der ?? die Polynomdivisionausgeführt habehier steht ein Polynom das kann ich billig integrierenTeil der hinten in die Knie gehen?? Zimmer mal anguckenhat sich was das jetztIxus drei durch X minus einsfünf?? schonalso ich sucheStammfunktionzu XdreidurchX minus eins Quadratmal X minus fünfD Xdass er dieses Symbol heißen wenn ich keine Grenzen eines Integral schreibedas unbestimmteintegralnicht durch Grenzen bestimmt ist das unbestimmte integral soll heißeneine Stammfunktionich suche eine Funktionderen Ableitungder Ente Grand ist das was im Integral stehtund mit dieser Zerlegung hierkönnen Sie sowas angeben jetzt wissen Sie dass sie das was im Integral steht schreiben können alssoundsoviel durch X minus eins Quadrat plus und so für wenigstens einedurch X minus fünfwas die soundsovielD warminus ein halbamich weiß also das ist große Klammer aufgroße Klammer zudas istsowas von bizarrkurzer Gedächtnispreisminus einsalso minus eins durch X minus eins ins QuadratBwar minus ein halbminus ein halb mal eins durchX minus einsund dann gab's noch Cmit dem X minus fünf groß Cist ein halbbis ein halbeins durch X minusfünf bis dahin ist er nicht Böses passiert ich hab nurdiese Funktionumgeschrieben ?? Partial Punkt es wird einfach reicher PC nicht so einmonströsesDing mit einer Nullstelle bei minus drei und einer Polstelle doppelt bei eins unter anderen Polstelle einfach bei fünf sondern ich hab eine Funktion ist ?? mit einer doppelten Polstelle bei eins eine Funktion der seltenenPolstelle einfach bei eins und noch eine Menge einfacher Polstelle bei fünfdie hier die Partialbrüchediesen die alle viel netterals die hier das ist der Sinn der Zerlegungdavon geben sie jetzt malhöchstpersönlichdie Stammfunktionan jeweils die darf ich denn er summiereneinmaldie Zutatendieses unbestimmteintegral fragt was leite ich ab damit einsdurch X Quadrat rauskommt?? Vorschlägeprobieren in der Tat mal eins durch X was das wird was passiert wenn ich eins durch X ableite einzig X ist ja X hoch minus einsund nachRezept was kriegen Sie wenn Sie X hoch minus eins ableitendie minus eins kommt nach vorneminusund das zum eins verringern minus X hoch minus zwei sind sind schon dicht dabeibis Minuszeichenist noch blöddas heißtwas leite ich also ab damit einzig X war rauskommt genauminus einzig X?? plus eine Konstantebeschreibt eine ?? oder Donnergottzu ?? plus eine Konstantedas wäre eine Stammfunktionmit der Plus Konstante sogar die allgemeine Stammfunktion durch einzig X Quadratähmsicherheitshalbereinmal Probe rechnen wenn sie sich ganz genau wissen einer Probe rechnen hier steht X hoch minus eins den ableitenes minus kommt nach vorneder Exponent wird noch als kleinerman kann sich auch immer sich als halber noch mal angucken und in die Kurven so richtig sindnunminus eins durch X heißt der sie nehmen die übliche färbeins Negative sosowas würde das werdensehr grobsowassie nehmen die übliche Perleundspiegeln die an der x-Achsemit dem minusund was hier steht einzig X Quadratwie das Wort aus als X Verratmit denen kleine positive Zahl einsetzeneins durch das Berater vonein noch kleiner positive Zahldas Quadrat davon und dann der Gewalt bilden das wir gut explodierenwenn sie nicht negative Zahl sichtbar nur stellen Negativezeitigt bei null einsetzenminus null Komma null eins Quadrieren ganzes minus Weg in Kehrwertsie kriegen wieder was was sehr positivwird so sieht das aus das diese Funktion wird niemals negativ durch das QuadratBeistrich zum es im Prinzip angucken ob das denn vielleicht Sinn ergibt?? jetzt zum Testüberprüfenob die Ableitungeiner Funktion rechtsder Grünen Funktion und das will ich die rote Funktion ist nicht das anguckenin die grüne Funktion steigt und steigt und steigt immer schnellerdas könntedie Ableitung sein es ist nicht ausgeschlossenalso das sieht schon mal nicht völlig unplausibel aus wenn sich das hier anguckenihrsteigt die grüne Funktion extrem schnell und steigt immer langsamer in langsamer sie steigt aber immer ganze Zeit absteigendas was mit denen zusammendie Ableitungist positiv ?? Deposit extrem positiv und wird dannimmer dichter an nur liegendie Funktion hier wird ja immer weniger steigenals es nicht total unplausibel dass die beiden hier so zusammenhängendas minus einzig X als Ableitung einzig X Quadratso erste Zutatzweite Zutatist?? zweite Zutat sie sehen ich brauche sowas wie einzig X Quadrat nicht auch sowas wie einst durch Xwas leite ich ab damit einzig X rauskommt das hat ?? eben lustigerweiseschon bei diesen Experimentenwas leihen sie abden natürlichen Logarithmusund es gibt einen Trick nochwird auch in Grün schreiben ?? schon dabei sind??NN von Xplus eine Konstante damit wirklich allgemein Stammfunktion ?? es gibt noch ein Trickähmmalig leichter wieder auf wie das im Prinzip aus sieht der natürliche Logarithmuslebt er nur auf den positivenXsie nehmen die Ex Bezahlfunktiondie den in der SpezialfunktionSpiegel als gelungeneSpiegel einer fünfzig Grad Axt oder haben sie den natürlichen Rhythmusdieser Formbisher langsam wachsen hier extrem langsam wachsenaber kommtüberall an Komma solange wartetund hier stürzt erab nach minus unendlichüber eins wieder durch die null?? imVergleichunser einzig X gilt auch für negativedas ist aber ärgerlich in eins durch Xbegeht ja auch für negative Echseso für dich da Punkt ?? bisher nur den positiven Teile des für positive X ist ein bisschenärgerlich war unser einzig X auch für negative X lebtamSS Mann mit der Symmetriearbeitenhier habe ichmit den Rhythmus ableitenSteigung plus einsdas istdiese Stelle hier an der Stelle X gleich eins kommt als Steigung plus eins raushätte dich gernehier wasso fortgesetztauf der linken Seite für negative Xdas fürminuseinsdie Steigungminus eins rauskommtund der Trick ist das dann einfach zu spiegelndas Club symmetrisch zu machen nehme den ich nehme den Logarithmusdas was noch nicht ganz gelungenKomma normalKommaich nehme den Rhythmus und spiegele ihntotal schwierigPunkt darumzu haben war sie ein was ich machen will so das mache ich mit dem Rhythmusdas hier ist der Original LogarithmusLNund ich nehme auf der linken Seite für die negativen X ein Spiegelbilddazu dann haben sich hier bei der minus einseine Steigung vonminus eins bei der minus eins eine Steigung von minus eins und so weiterdie Steigung ist die ganze Zeit negativins Minus unendliche wird sie allmählich nullnegativ aber immer dicht an der null das Bass zudem ihr dieser Wert ist immerdichter an der null aber negativund wenn sieder sich der null nähernwir die Steigung extrem negativdas Bass zudemso Haus dann hin also was man üblicherweiseals Stammfunktion zu einzig X in Schreibrhythmusvon BetragX plus eine Konstante nicht einfachdas soals Hinweis für die FormelsammlungStammfunktionzu einzig X nur Rhythmusbetragdann können Sie auch mit negativen X arbeitenweil sodann sollten aber reichen dass sie jetzt dieses integrallösen können hier für die Stammfunktion hinschreiben könnendenletzten Tagen hier für euch mal vorAnschein der Nummer bisschen weiter denkenund zwar eine Stammfunktionzu ein halb mal eins durch X minus fünfsichX minusfünfTX das heißt der dieses unbestimmte integralgibt eine Stammfunktioneine Funktion deren Ableitung das hierergibtdies ein halb keine Töchter vorziehenob ich die?? bin ich als Ableitung ein halb davon habenwill kann ich auch das Original nehmen und einmal ein halb nehmen also das muss gleich sein ein halb mal eine Stammfunktionzu X minus fünfund nunüberlegen eins durch X minus fünfeinzig X minus fünf Komma dass es bei den am?? ist wie die übliche Bärbelaber die Polstelle ist nicht bei gleich null sein Bikes gleichfünfsie nehmen die üblichePerle und schieben die um fünf nach rechtsfünf hundert hiergibt's denmassivenmassiven Spruchdasso sehr das aus das hier wäre eins durch X minus fünfdas ist ?? Bärbeldie übliche Bärbelum fünf Einheitennachrechts verschobenBeistrich überraschendes mit dem minus aber sie sehen ja wenn sie X gleich fünf Einsätzengelangen Sie auf der Polstelle die fünf Einsätze steht ?? einst durch null ist ?? fünf muss die Polstelle seinokay ich hab also anscheinend um fünf Einheitennach rechts verschoben und nicht ?? weit nach links verschoben anders als man wegen des minus meinen kanneinzig X minus fünf um fünf Einheiten nach rechts verschobendie normale Hütte habe ich kenne eine Stammfunktionfür dieübliche Bärbeldafür würde ich die kennen das wäre der Logarithmusund der Trick istwenn es nur um Steigung gehtdann ist macht es noch nicht ob sie was hin und her schieben müssen sieben alles hin und her schieben und dann ist die Welt in wieder in Ordnungwenn dieStammfunktionenwenn eine Stammpunktion hierfür habenund das ist ?? Gottes vom Betrag dann kriegen sinnvollerweiseStammfunk zum davonindem sie einfachdie Stammfunktionenfünf Einheiten verschiebenbekommt also rausein halb Leib stehen ist ein halb malRhythmusbetragX minus fünfsieht das aussuche eine Funktionderen Ableitungdieses istdie um fünf Einheiten verschobenen normale Bärbeldas soll die Ableitung seinwenn die nicht und einer ?? verschoben werden wüsste ich dann werde LogarithmusStammfunktionmöchten Rhythmus auch noch um fünf Einheiten verschiedener wunderbarer kommt das raus dass der Gedankesie können auch nachrechnenKomma dass sicherheitshalber Probeauch nachrechnenwas passiert wenn ich ein halb mal natürlichen Rhythmusvon X minus fünfim Betrag ableitedas ein halbkonstanter Faktor kommt nach vorneund jetzt kommtdie KettenregelLogarithmusbetragist die äußere Funktionklarmachendie äußere Funktion F von X ist Logarithmusbetragund die innere FunktionistX minus fünflassen man meinen meine beiden Funktionin der Kettenregel jetztich bilde die Ableitung der äußeren Funktion ?? im schon gesehen mit den ableiten sind sie einsdurchKettenregel sagt Ableitung der äußeren Funktion und die innere Funktion einsetzen X minusfünfmal die Ableitung der inneren Funktionden ableiten ist einsso sieht das ausmit der Kettenregel Krise selber raus wie sie anschaulich auch gehörthabenwenn Siediese Funktionverschiebenentlang der x-Achsemüssen auch diese Funktion verschieben ?? entlang der x-Achseändert sich auch die Steigung entsprechenddie Originalfunktionverschoben wird??so funktioniertdas heißt die Lösung desviel billiger als man glauben mag Stammfunktion zu eins durch X minus fünf einfachRhythmus von Betrag X minus fünf dieses X minus fünfbleibt im Endeffekt stehenan ?? beginnenden Dental schon mal ?? bisherals Dampfer mit dem hinteren Teil hier ersteht ein halb RhythmusbetragX minusfünfwas muss für den stehenfür den steht also total analogminus ein halb Logarithmusim Betrag X minus einsder vorn ist heute noch in bisschen überraschender was mussdafür stehender Tat einst durch X minus eins eins durch X minus einsamwenn ich hier unten einzig X hättewürde ich oben minus eins X Quadrat rauskriegendas habe ihm schon gesehenich will aberdiese Funktion um eins verschiebendann muss ich auch diese Funktion um eins verschiebenoder sie überlegen sich das mit der Kettenregel was passiert wenn ich den ableiteerst in Kehrwert ableitenmal dann diese Verschiebung ableitenso sieht das aus ?? man kann mit Sternpartialbrüchenjede beliebige rationale Funktioninjede beliebige rationale Funktion integrierenwill sagen eine Stammpunktion hinschreibensollte besser sagendass es eine Anwendung für Partialbrüche die habe ich aber eherselten gesehen im wahren Lebendie typische Anwendung kommt dann später bei den Ablass Tranceformation wenn man sicherregungstechnischeSysteme Punkt ?? lassen sich hiervon nicht irritieren das Kammer mit Partialbruchzerlegungmachen aberes wird sich also das was man üblicherweise brauchtmanjetzt solch noch paar Sachensicherheitshalbersagen wenn ich die Stammfunktionso hingeschriebenhabeund ich möchte jetzt folgendes bildendas integralsagen wir vonnull bis zehnüber X plus dreiX minusX minus einsQuadratsmarkX minus fünfberechnen Sie jetzt dieses integral aus?? das wollte ich hören das üblichewäre sie nehmen jetzt die StammfunktionOptionin den Grenzen nur bis zehn ist dann so heißt also die Stammfunktionund die zehn Einsätzenminusdie Stammfunktionund die null einsetzenund fallen damit auf die Nasewarummachen wir das hier nichtbitte ganzdick an Marken Nein Nein Nein Neinbei Polstellen dazwischen sindsolange sie das machen und nicht über Polstellengehen eins und fünfzehn Polstelle als wenn sie integral haben von informiertzwei bis vieroder integral von sechs bis achtoder integral von minus drei bis minus fünfwas bei minus fünf bis minus drei so integral was nicht über Polstelle geht jaaber sobald über Polstellengeht meinVorsicht bittedieser sogenannteHauptsatz der Differenzial und Integralrechnunggilt nur wenn ich der zwischendurch keine Probleme habemeine Ableitung muss an allen Stellen funktionierenzwischen null und zehnohne Ausnahme sonst bricht das zusammeninirgend ein Video auch vorgeführtwenn sie sichtatsächlicherrationale Funktion anguckenirgendwann die rationale funktionsleichteNullstellein sich das Ding angucken und diese Fläche hier bestimmenstellt sie fest die Fläche ist unendlichPunktviel schlimmer nochwenn Sie diese Situation haben sondern Polstelle mit Vorzeichenwechseldas heißt das rechnen sie positivdas rechnen sie negative ??was ist jetzt die Differenzvon plus unendlich von minus nennt sichder Preis sagen null in einigen Fällen sagt man sogar ganz dreist null dazu aber typischerweisesagt man dass die Differenz von Bussen endlich minus unendlich nicht definiertesalsowas sie auch immer tun sobald die Polstellen haben und dann Flächen über Polstellen bestimmenwollenmit bestimmten Integralhautsowieso nicht hin entweder ist diese Flächen endlich groß oderohne ?? positiv oder unendlich negativoder die Fläche ist undefiniertweist schlussendlichminus unendlich ist andas Hausmädchen diese Schreibweise hier verleitet einen dazu das mal soeben hin zu schreiben stimmt aber nicht Vorsicht an der Stelle ?? können dieser Stelle nicht ganzähmunbefangen die Stammpunktion einsetzen und dann die Grenzen einsetzen das können sie nur wenn sie nicht über Polstelle integrieren jährlichdie Polstelleeins drin und die Polstelle fünf trennen das es das integralkaputtgehendas geht nichtan das eine Stammfunktion klappt wirklich nur wenn meineund dieses einsetzen ?? davon zu nennen Grenzen tatsächlich nur wenn meine Funktion ich integriere und die Stammfunktionensichordentlich verhalten über die ganze Strecke Integration kommt wird er noch mal ordentlichbedingen sichauch dazu Differenzial und Integralrechnungalso hier nicht mit dem Rezept arbeiten sondernwissen dass das schief gehen muss rationale Funktion über Polstelle integrierengeht immer schief kann gar nicht anders