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15A.1 Funktionsgraphen strecken, stauchen, verschieben; Verkettung von Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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heute – wollte ich was zu – zur Komposition – von Funktionen – im allgemeinen sieht das so aus eine Funktion – einer anderen Funktion – und so etwas macht – X wird abgebildet – auf – erst die Funktion G anwenden – dann die Funktion F anwenden dann heißt das – Komposition – zweier Funktionen – dieses hier ist die – zusammengesetzte – Funktion – schreibt man auch gerne als F Klingel G – haben – sollen sie damit weiter nicht gehen – ähm was ich heute müssen durchdiskutieren – will mit ihnen ist – welche Auswirkungen – das hat wenn ich weiß – was F tut wenn ich weiß was geht tut was macht dann diese – Kompositionsverkettung – von Aussagen Verkettung von Funktionen was macht denn diese verkettete Funktion – F nach G angewendet – und das studiert man am einfachsten erst mal – mit – F einer linearen Funktion oder geh einer linearen Funktion ?? ich nehme – eine Funktion – die von X ich nehme die mal irgendwas – und addiere was dazu – das wäre das SF eine lineare Funktion ist das F wäre dreimal – und vielen dazu zählen – außen eine lineare Funktion – und wenn ich – in eine lineare Funktion habe er von – und in einfacher ganz übliche geraden Gleichung drei X plus vier – so etwas – höher – ist der Effekt dann etwas anders hatte nicht ausmachen – ?? gleichen Detail angucken ?? Effekt innen ist etwas überraschend – was da passiert – ähm – das Komma beides einem Beispiel an – nämlich folgendes Ding – skizzieren – sie folgende – zitieren – Doppelpunkt – skizzieren Sie folgendes – X wird abgebildet – auf – zwei mal den Sinus – von – dreimal Klammer auf X plus vier – plus fünf – was passiert mit der Sinus Funktion – in Summe beide – Verkettung sogar im Sinus – steht ein lineare Funktion – und außen drum – nach – außendrum – zwei mal – fünf addiert steht auch noch eine Lehrfunktion – das heißt ich habe jetzt sogar anders als ihm angekündigt seine Dreifachverfettung – außen steht eine lineare Funktion zweimal – und fünf dazu zählen – dann komplett Sinus – und innen drin steht noch eine lineare Funktion – die Situation sogar noch eins vertrackte ?? – aber das können sie noch im – Rahmen wenn dieses eher von wenn dieses Gelinger Funktion sind Komma die das relativ einfach überlegen – sich auch in den alten Videos ausführlich vorgeführt – haben und das wollt ich heut einmal mit ihnen durch exerzieren was das bedeutet also wie kann ich die skizzieren – sich das ✂ mal an – Karte müssen wir die Nummer in Einzelschritten – durch was jetzt passiert – am einfachsten ist erst mal das äußere – wenn sie innen eine – irgendwie geartete Funktion haben und außen steht ein lineare Funktion in diesem Fall zweimal – das was in steht plus fünf – das leichter zu verstehen eine lineare Funktion aus – Komma damit mal an – das ich mir erst mal folgendes angucke – in kleinen Schritten – X wird abgebildet auf zwei mal den Sinus – von ?? – kam er schon mein Teil des Ganzen verstanden – wir haben den Sinus – mal das mal – geraden Strich – aus – wir haben den – üblichen – eins – Ki wäre ein kleines P bei drei Komma ?? irgendwas – zwei Pi – bei sechs Komma irgendwas – und – Frau – sagte das gibt schöne – also – mit – Tinte wird das richtig gut zu wissen was ich meine – sowas – das wäre der reine Sinus – und jetzt will ich – eine Funktion haben – zweimal den Sinus das ja noch – relativ überschaubar – die innere Funktion – ist der Sinus und außen ist die Funktion zweimal – modifizieren – mit dem was drin stand – was machen Sie mit dieser Kurve ✂ um auf zweimal – zu kommen – wenn ich den Sinusfonds – zwei sagen ?? irgendwas hier den Sinus von zwei – ?? ausrechnen will – ich danach – diese Strecke hier – ist der Sinus von zwei – ?? und meine neue Funktion – wird aber das Doppelte habe zweimal den Sinus von zwei deren Wert muss darlegen – ?? zwei ist – der Sinus – ist der Wert – aber zweimal der Sinus – ist – dieser Y werden nicht einmal ein Sohn dazu machen – schwarz ist ?? Sinus und das Rot ist zweimal der Sinus – in ähm den alten Y Wert mal zwei – an derselben Stelle X – der doppelte Wert zweimal den Sinus – des hier machen ?? der Nullstelle bleibt natürlich da liegen zweimal nur der Nullstelle beim siebenundneunzig – in – Q eins rauskommt – bei neunzig Grad Q eins rauskommt aus dem Sinus – muss das zweimal den Sinus zwei rauskommen – da oben – nun aber das gelinge so halbwegs kennt ?? schon wieder sein muss – ähm die Kurve ist also – um den Faktor zwei – von der – x-Achse – weg – gespreizt – wird – mit herum um das irgendwie hinzukriegen mit den – Krümmungen hier – also – so das wäre die rote Kurve zweimal der Sinus – als wenn sie zweimal – irgendwas nehmen heißt das jeden Y wird mal zwei – die Kurve die rauskommt – ist um den Faktor zwei von der – x-Achse – weg skandiert – jeder Y Wert jeder alte Y Wert mal zwei jeder alte Epson wird mal zweitens null war bleibt es natürlich null – wieder als hundert mal zwei das passiert wenn sie zweimal den Sinus von X hinnehmen Sinuskurve – in der Amplitude erhöht ?? sowohl – den elektrotechnischen – Sinuskurve mit Amplitude zwei zweimal – extern schreiben – hübscher aus – so zweimal der Sinus jetzt kommt der nächste Schritt ?? – ich mir das – nicht die äußere Funktion – angucke zweimal Sinus plus fünf den ?? und ?? noch mal ignorieren es müssen endlich – einmal der Sinusbus fünfmal bei den – ?? in welcher als nächstes haben X wird abgebildet auf – zweimal – den Sinus von X – fünf – was passiert der Hodenfunktion – jetzt ✂ schon zweimal den Sinus unwirtlich zweimal Sinus plus X haben was mache – das ganze verfeinert nach oben ich bin ja immer noch dabei – den Y Wert zu verraten zweimal Sinus von X ist jetzt mein neuer Y Wert ich nehme diesen Y Wert und addiere fünf drauf – an jeder Stelle – an der roten Kurve ausgehend werden die tatsächlich noch mal – oh je okay – Komma skizzieren – von der roten Kurve ausgehend – an jeder Stelle fünf nach oben das heißt ?? dazu – X – Y Wert – benötige wieder mal Pi und zwei Pi – die – rote Kurve – die rote Kurve geht bis plus zwei – und sie geht – sie startet bei minus zwei – der Sinus selbst ging von minus eins plus eins zweimal der Sinus geht von minus zwei bis plus zwei – das heißt das hier ist – das was gelingt sogar – das hier ist – zweimal – der Sinus – zweimal ?? muss – nun versuche ich den mal wieder hier in Rotwein skizzieren – die neue Funktion – sie nehmen was aus zweimal Sinus rauskommt – für ein bestimmtes X unter ihren fünf drauf – auf Bewertungen bis hin zu engen – also von jetzt fünf drauf eins zwei drei vier fünf darum Beistrich das schaffen – leichter als sie mit dem Blatt Papier – so – von dem Punkt ausgehend eins zwei drei vier – fünf – das muss man neue Psalmen wert sein – bei diesem X wert – ist der Sinus – auf bis zweimal der Sinus auf der Höhe – die schwarze Kurve schon zweimal der Sinus – und jetzt gehe ich fünf Einheiten auf ein zwei drei vier fünf darum muss das liegen – dieser hier – zweimal Sinus ist null – ich gehe fünf Einheiten rauf – äh – Umgebung sich dann muss über fünfzig nicht eins zwei drei vier fünf mussten wir irgendwo – in der Hündin der hier null wird wieder zu fünf und fünf ein ?? auf null zu fünfzehn Einheiten auf die ganze Kurve fünf Einheiten rauf rutschen lassen – wie – die zum skizzieren – wenn sie sauber – in den sauberes – Diagramm haben wollen machen Sie matlap auf oder machen Sie – Excel auf oder OpenOffice Kalk auf – haben – mir kommt's jetzt nicht auf die saubere Skizze an sondern darauf dass sie nie die haben was da passiert anschaulich in die Hand passierten sie Sonderformen sehen – das sie wissen und geht zweimal der Sinus – der Amplitude – Faktor zwei – sagen die die Lautstärke aufdrehen – um Faktor zwei und plus fünf das ganze fünf Einheiten hoch schieben – so sehr der aus – und nun kommt ✂ der innere Teil – eine soweit auf dem Laufenden sind – also wenn ich außen eine lineare Funktion habe – dann geht das auch relativ einfach der Faktor sorgt dafür dass meine Funktion von der x-Achse – weg gespreizt wird und dessen Faktor unter eins ist dann natürlich zu x-Achse hingeht – wenn der Faktor negativ – ist – spiegeln sie an der x-Achse sind einfach umgeklappt – wird also noch verschoben – das es relativ bin – nun möchte ich mich an Dinge kümmern – wieder hier mal zwei und die fünf – mal an den Sinus von einer linearen Funktion als eine Verkettung bei der – ihnen ein lineare Funktion steht – es in vielen Jahren zu inhaltlich etwas komisch geschriebenes hat seinen Grund im Vergleich Punkt so komisch geschrieben habe ich hab nicht drei Expo zwölf geschrieben – das ich ausmultiplizieren – das etwas krumm geschrieben drei mal – X plus vier – Vergleich war auch der ?? wieder in kleinen – Schritten – über – Sinus von dreimal X wäre als erstes – angesagt – also wie sieht das aus – wie sieht folgendes aus X wird abgebildet auf den Sinus von Dreimalfreaks ✂ da lasse sie gerade mal selber überlegen – wenn sie das haben – dann – verändern sehr die X Werte die in den Sinus eingesetzt – werden – welche – Y Werte müssen da weiterhin rauskommen – was weiterhin welche Y ✂ Werte müssen aus dieser Funktion rauskommen – von wo bis wo – das angucken außen steht die Sinusfunktion – aus ?? die Sinus Funktion die Sinus Funktion produziert Werte von minus eins bis eins – und ändert ja nichts peinlich nehme ich dieses was da rauskommt und änder das noch was da rauskommt kommt auch weiterhin Hauswerte von minus eins bis eins – das heißt – Y technisch – soll sich dann Nix Tun – kommen weiterhin Werte von minus eins bis eins raus – die Kurve muss sich in X Richtung verändern Studien in X werden als Antwort aber sicher so vorstellen – außen steht die Sinusfunktion – des ?? kommen weiterhin die Werte raus die die Sinus Funktion liefert – von minus eins bis eins und keine anderen – insbesondere auch nicht plötzlich nur von minus ein drittel bis ein Drittel – also weiterhin von minus eins bis eins für die ganz normale Sinus Funktion – drei – so ganz richtig von der Einheit hier als – Bormann Schablone dafür – was – wir auch immer – wissen dass es der Sinus sein soll – so – ähm – diese neue Funktion Sinus drei X – hat dieselbe Bildmenge – von minus eins bis – plus eins – nicht an dieser Stelle – wenn ich an dieser Stelle Sinus drei X ausrechnen – will an diesem X – möchte ich den Sinus drei aus X ausrechnen dann heißt das ja ich nehme dieses X mal drei – Mission geschickt Fraktion – hier ist Dreiecks – von mir aus – nehme dieses X mal drei und gucke jetzt den Sinus nach – diese ohne dass dieses rote Stückchen ist der Sinus – Dreiecks – an der Stelle möchte ich die Sinusfunktion – ?? Examen Sinus von Dreiecks haben was mache ich ich modifizierte X mit drei Teils drei X und ich gucke hier mein Sinus wird nach – dieser bis Y höchste Sinus von Dreiecks – das heißt das muss sich hier eintragen – diese Höhe muss da eingetragen werden – ?? immer weiter mal anders X – halten das man im Hinterkopf – also der ist – hierhin gewandert – ?? ist – da gewandert – wenn ich meinen Sinus von Dreiecks an dieser Stelle berechnen will das ist mein X kuck ich nach wo ist denn Dreiecks dann ist Dreiecks vielleicht hier – und hier ist der Sinus von Dreiecks diese Höhe – ist der Sinus von drei X von X gehe ich zu Dreiecks – das ist der Sinus – dieses rote Stückchen ist der Sinus von der Ex der muss jetzt aber hier liegen – möchte ich eine Stelle X eintragen und nicht an der Stelle an Tagen – sehen was diesem Hügel passiert – dieser Hügel wird – zusammen gestaucht um den Faktor drei – das passiert – wenn sie drei X in der Funktion haben – der Graf um den Faktor drei zur y-Achse hin gestaucht – ?? null bleibt natürlich der Ligen der Sinus von dreimal null – ist weiterhin der Sinus von null der bleibt liegen – ähm je weiter sie rausgehen umso – mehr rutschen die Punkte rüber – das ist dann Effekt – wenn sie – in der Funktion mit einer Konstante modifizieren – heißt das dass die Originalfunktion – gestaucht wird zur y-Achse hin von beiden Seiten natürlich auf der linken Seite passiert dasselbe – umgedreht – am ?? gucken – akzeptierst – dann ist das ja hoffentlich ?? sowie – ein drittel P das heißt auf diese Strecke habe schon einen kompletten Durchgang – so muss das Aussehen – ?? müssen groß ?? – wie du leider auch bisschen erhöht das nicht und sollen – so sieht das aus – wo die Originale Sinusfunktion – einmal ihre Periode durchläuft – Läufen Sinus von Dreiecks – dreimal durch die Periode durch eins zwei – drei – das kommt dann auch – ziemlich häufig bei der Elektrotechnik – vor den Frequenz steht – Sinuswelle – von – einer Frequenz – genau ?? der Kreisfrequenz – war die Zeit je höher die Frequenz ist desto mehr Schwingungen haben sie pro Zeit – extra noch nicht Zeit – sie könnten – sich diese drei hier auf ?? Frequenz vorstellen – Sinuswelle der dreifachen Frequenz – noch der andere hat sich das vorzustellen – wenn das X – das X alleine von null bis zwei ?? geht – je drei X – von null bis sechs Pi – das sind drei Umdrehungen – Klammer zu mitdenken – schon vorhin – wenn sie – X von null bis zwei Pi haben – dann geht Dreiecks – von null bis sechs Pi – das – von null bis zwei Pi ist eine Umdrehung – und von null bis sechs wiesen drei Umdrehungen – das heißt – auf dieser Strecke von null bis zwei Pi – macht die Sinus Funktion und plötzlich – wenn Sie so wollen drei Umdrehungen – drei komplette Perioden durch – so – kann man das einfach zusammenreimen – als ihnen ein Faktor – in den einfachster sorgt dafür dass sie – straucheln – zur – y-Achse – wenn der Faktor – größer ist als eins in der Faktor kleiner ist als eins ein drittel mal X dann spreizen sie natürlich – entsprechend – wenn der Faktor negativ ist – spiegeln sie an der y-Achse – links nach rechts – wenn ihr negativer – Faktor steht – so – das war der Faktor – und jetzt wollte ich aber noch – ein Meer haben – nun – einmal X plus vier in dieser komischen Schreibweise – Steigung quasi rausgezogen – habe ist es nicht ?? schreib nicht einmal X Plus zwölften und einmal X – nicht einmal X – Komma ich schreibe nicht einmal X plus – zwölf ?? Sonnenlicht Komma das so komisch ein – am – Landes vielleicht – hoffe ich etwas besser noch zu verstehen – das wird jetzt Band – was tue ich dieser Funktion an – wenn ich nun – nicht – X einsetze – sondern X plus vier Einsätze – gucken sich ihrer ?? – war – das nicht mehr so ganz also folgendes will ich es haben X wird abgebildet – auf – Sinus von dreimal – und Klammern X plus – vier – ich weiß wie Sinus Dreiecks aussieht – der Sinus Funktion aber mit der dreifachen Frequenz – und ?? interessiert mich Sinus dreimal X – plus vier – was tun sie der roten Kurve an – dieser roten Kurve an um diese zu kriegen – findest einmal X – ?? von Siemens dreimal X zu Sinus dreimal – X plus vier – weshalb ich das hier so geschrieben habe – in drin so ungewöhnlich dreimal – Klammern X plus vier das nicht aus wie normale – lineare Funktion – folgendes – hier steht ja – eher Sinus – von drei – mal – irgendwas – das ist mein Gedanke – die rote Kurve hier oben ist der Sinus von dreimal irgendwas – und ich überlege mir nur was passiert wenn ich jetzt X plus vier Einsätze für dieses irgendwas – was passiert mit einer Funktion – wenn sie nicht X einsetzen – sondern – X plus vier einsetzen – was passiert mit der roten Kurve – haben – wenn ich meine neue Funktion – das da oben wirklich rein – was – wenn ich meine neue Funktion – an dieser Stelle – ausrechnen will – Sinus dreimal X plus vier – heißt das ich gucke das nicht bei diesem X nach Sonne gucke das Nexus vier nach Rochlitz im Nexus vier liegt – das drei sind dies ungefähr drei – ein zweiter – irgendwo – optimal Daumen – ich gucke meine alte Funktion – an der Stelle X plus vier an – an der Stelle komme ich meine alte Funktion an – und diesen Wert klaut sich aber hier – dann habe ich die neue Funktion das ist der Gedanke – um die neue Funktion an einer bestimmten Stelle X zu kriegen – gehe ich zu X plus vier gucke bei der alten Funktion nach das Rot über die alte Funktion – und Platte dann diese Substanz – an der Stelle – X an der es haben will mit anderen Worten was passiert ist dass die Originalfunktion – um vier Einheiten nach links wandert das ist total überraschend – hier schreiben sie X plus vier – aber die Originalfunktion – die rote Kurve hier wandert vier Einheiten nach links – Komma der Zaubertrick – nur – was ist meine neue Funktion – Sinus dreimal – X plus vier an dieser Stelle – ich gucke mir X plus vier Anz zu dem X Fiid – in – Berlin bei der keine Ahnung – ähm – Stabilisierungsplus – vier – und gucke mir dann die – Lust dreimal – irgendwas Funktion an der Stelle anders weil die rote Kurve – und diesen Wert deutlich dahin – eine Stelle X plus vier an der Stelle X hat meine neue Funktion – denselben Wert wie meine alte Funktion eine Stelle X plus vier das heißt dieser Wert wandert darüber – wandert darüber und es geht über also immer um vier Einheiten – nach links absurderweise – das heißt wenn ich die rote Kurve habe – nämlich jetzt die rote Kurve und schiebt sie vier Einheiten nach links dann habe ich da die – neue Kurve – um – wieder weg – weshalb ich das so geschrieben – ?? kann jetzt wirklich mit der roten Kurve weitermachen das war die von Sinus dreimal irgendwas – und nehme die rote Kurve und schickte um vier Einheiten nach – links – wenn das gelingt – Pi – das Bild ist natürlich wieder – das Intervall von eins von minus eins bis eins – so wie – das Viereinheiten – weit überlegen – wie es ungefähr drei – mir bin ich etwa bei drei – zwei Pi – wo will ich hier beim nächsten null Durchgang die mal Daumen – ähm ✂ die rote Kurve ist er der Sinus mit dreifacher Frequenz das heißt dass er es ungefähr – nach – das ist etwas mehr als eins das etwas mehr als das etwas mehrseitige zusammen die – Halbwellen haben jeweils die Breite – knapp über eins das heißt sie noch einen dazu – schreibt die bin ich knapp über drei noch einen dazu das heißt hier an dieser Stelle mit knapp über vier – und Taschenrechner – Events knapp über vier und jetzt schiebe ich vier Einheiten – rüber – das heißt – der hier wird – knapp über vier etwas mehr als vier das heißt diese hier landet ungefähr hier – rüberschieben – was etwas mehr als vier dass Buttons etwas mehr Beistrich – aber als ich brauch eine Sinuswelle – dreifacher Frequenz – und sie fängt nicht ganz bei Null an sein Essenstückchen – nach rechts verschoben – das wird passieren – ?? – eine Sinuswelle – der dreifachen Frequenz – äh – und Süßensstückchen – mich immer drei Einheiten – sowas – diesen Stücken verschoben aus der null raus – Punkt – so so – so – war – ?? – insgesamt wird es – im englischen sagen gemäß – waren – es ?? natürlich alles noch zusammen machen ✂ ja zu der Frage – wenn ich das ausmultiplizieren – mit sicherlich und zwölf verschieben also kurzer Einschub bevor ich das ?? insgesamt als Zusammenhänge – haben – wie kann ich mir das ausmultiplizieren – vorstellen – Sinus – von – Sinus von dreimal interessiert – Sinus von – dreimal – X plus vier – wenn ich jetzt in drin die lineare Funktion so hinschreiben wie man im Jahr Funktion ebenso hin schreibt – was wir denn jetzt einig und zwölf verschoben – ?? muss man immer vorsichtig sein – ähm – jetzt habe ich eigentlich wieder seine Dreifachkomposition – ich habe außen den – Sinus Dreifachverkettung – außen den Sinus – und da drin steht plus zwölf – und darin steht drei X dessen drei Funktion die hintereinander angewendet werden erst – X mal drei nehmen dann zwölf addieren – und dann den – Sinus bilden drei Funktionen hintereinander – das könnte man jetzt wieder so auseinandernehmen – dass sie sagen okay ich starte mit der Kurve vom Sinus – was machen sie dann ✂ wenn ich die so schreibe heißt das Jahr – X modifizieren – dann zwölf addieren zweiter Schritt und dann den Sinus bilden in dieser Reihenfolge – das heißt was ich dem Grafen vom Sinus antue ist das ich den Grafen um zwölf Einheiten nach – links schiebe – endlich einen neuen Grafen der Sinus und zwölf nach links und den Grafen den ich dann habe staubig um Faktor dreizehn exakt in der Reihenfolge – im Graphen nehmen – und zwölf nach links schieben – und dann straucheln dass es eine Art das interpretiert – und es ihm eher andersrum – den Sinus nehmen den Sinus tauchen – brachten die Reihenfolge habe ich erst gestaucht und dann das Ergebnis verschieben – ähm – wie viel sie strebe wie viel sie verschieben hängt davon ab ob das Ding schon gestaucht ist oder nicht wenn sie – den verschieben – in anderes Resultat als wenn sie den Verschiedenes kommt drauf an ob sie erst schieben – oder erst straucheln – und das ist der Unterschied zwischen diesen beiden Schreibweisen – hier kann ich ablesen den Sinus nehme ich – dann kommt das nächste Funktion – dreimal – so hinschreiben – in der Sinus ist der – das was als letztes ausgewertet wird die dreimal – hier ist das was als zweites ausgewertet – wird und X plus vier ist das was als erstes ausgewertet – wird wenn ich mein X habe addiere ich vier drauf – erster Schritt – produziere mit drei zweite Schritte der nämlichen Sinus – dritter Schritt – mit in das Rückwärtslesen heißt das nehme die Kurve vom Sinus – beherrscht auch sie zur – y-Achse – hin um den Faktor drei auf ein Drittel des ?? dreimal so schnell wird – und was du dann wirklich Tastverschiebung – vier Einheiten nach links – das Resultat ist dasselbe als wenn sie den Sinus die Sinuskurve – nehmen – um zwölf Einheiten nach links schieben – es dann eher die breite Sinuskurve – die ganze Breite Sinuskurve schieben sie ganz weit nach links was sie dann haben Stauchung dem Faktor drei – passiert dasselbe – ähm – beide Wege führen nach Rom am – Markt ?? tatsächlich – mal kleines S ähm passieren muss – sich jetzt zeitmäßig nicht ganz schaffe – ich das alles auf einmal zu bringen aber sie sehen was passiert was sie dem X ANTUN – ist unabhängig von dem was sie dem – Y ?? ANTUN zwei plus fünf Sie müssen beides – miteinander verdursten – Punkt – sie nehmen die Original Sinuskurve – um Faktor zwei von der x-Achse weg um fünf nach oben – und obendrein – tauchen sie das ganze zur – x-Achse hin – und – verschieben es um vier Einheiten nach links – was sich in dem X ANTUN was ich hätte Y tun das es netterweise in der Reihenfolge egal können erst jetzt diese – Tanzformation – in Richtung Y machen und dann in Richtung X oder umgekehrt erst hier – die Eckwerte verarzten entlang der x-Achse arbeiten – und dann – hier entlang der – ack ssa arbeiten das Anstelle egal was nicht legal ist ist wenn sie Reihenfolge von straucheln und Verschieben – vertauschen – dann haben sie komische Effekte – und die – Decke Val Message ist – was sie dem X ANTUN funktioniert – absurderweise – falsch rum dreimal X führt dazu dass die Funktionskurve – gestaucht wird – und dieses Plus zwölf – E-Plus vier führt dazu dass das Ding nach links nach rechts nach links verschoben wird