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15A.1 Funktionsgraphen strecken, stauchen, verschieben; Verkettung von Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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heutewollte ich was zuzur Kompositionvon Funktionenim allgemeinen sieht das so aus eine Funktioneiner anderen Funktionund so etwas machtX wird abgebildetauferst die Funktion G anwendendann die Funktion F anwenden dann heißt dasKompositionzweier Funktionendieses hier ist diezusammengesetzteFunktionschreibt man auch gerne als F Klingel Ghabensollen sie damit weiter nicht gehenähm was ich heute müssen durchdiskutierenwill mit ihnen istwelche Auswirkungendas hat wenn ich weißwas F tut wenn ich weiß was geht tut was macht dann dieseKompositionsverkettungvon Aussagen Verkettung von Funktionen was macht denn diese verkettete FunktionF nach G angewendetund das studiert man am einfachsten erst malmitF einer linearen Funktion oder geh einer linearen Funktion ?? ich nehmeeine Funktiondie von X ich nehme die mal irgendwasund addiere was dazudas wäre das SF eine lineare Funktion ist das F wäre dreimalund vielen dazu zählenaußen eine lineare Funktionund wenn ichin eine lineare Funktion habe er vonund in einfacher ganz übliche geraden Gleichung drei X plus vierso etwashöherist der Effekt dann etwas anders hatte nicht ausmachen?? gleichen Detail angucken ?? Effekt innen ist etwas überraschendwas da passiertähmdas Komma beides einem Beispiel annämlich folgendes Dingskizzierensie folgendezitierenDoppelpunktskizzieren Sie folgendesX wird abgebildetaufzwei mal den Sinusvondreimal Klammer auf X plus vierplus fünfwas passiert mit der Sinus Funktionin Summe beideVerkettung sogar im Sinussteht ein lineare Funktionund außen drumnachaußendrumzwei malfünf addiert steht auch noch eine Lehrfunktiondas heißt ich habe jetzt sogar anders als ihm angekündigt seine Dreifachverfettungaußen steht eine lineare Funktion zweimalund fünf dazu zählendann komplett Sinusund innen drin steht noch eine lineare Funktiondie Situation sogar noch eins vertrackte ??aber das können sie noch imRahmen wenn dieses eher von wenn dieses Gelinger Funktion sind Komma die das relativ einfach überlegensich auch in den alten Videos ausführlich vorgeführthaben und das wollt ich heut einmal mit ihnen durch exerzieren was das bedeutet also wie kann ich die skizzierensich dasmal anKarte müssen wir die Nummer in Einzelschrittendurch was jetzt passiertam einfachsten ist erst mal das äußerewenn sie innen eineirgendwie geartete Funktion haben und außen steht ein lineare Funktion in diesem Fall zweimaldas was in steht plus fünfdas leichter zu verstehen eine lineare Funktion ausKomma damit mal andas ich mir erst mal folgendes anguckein kleinen SchrittenX wird abgebildet auf zwei mal den Sinusvon ??kam er schon mein Teil des Ganzen verstandenwir haben den Sinusmal das malgeraden Strichauswir haben denüblicheneinsKi wäre ein kleines P bei drei Komma ?? irgendwaszwei Pibei sechs Komma irgendwasundFrausagte das gibt schönealsomitTinte wird das richtig gut zu wissen was ich meinesowasdas wäre der reine Sinusund jetzt will icheine Funktion habenzweimal den Sinus das ja nochrelativ überschaubardie innere Funktionist der Sinus und außen ist die Funktion zweimalmodifizierenmit dem was drin standwas machen Sie mit dieser Kurveum auf zweimalzu kommenwenn ich den Sinusfondszwei sagen ?? irgendwas hier den Sinus von zwei?? ausrechnen willich danachdiese Strecke hierist der Sinus von zwei?? und meine neue Funktionwird aber das Doppelte habe zweimal den Sinus von zwei deren Wert muss darlegen?? zwei istder Sinusist der Wertaber zweimal der Sinusistdieser Y werden nicht einmal ein Sohn dazu machenschwarz ist ?? Sinus und das Rot ist zweimal der Sinusin ähm den alten Y Wert mal zweian derselben Stelle Xder doppelte Wert zweimal den Sinusdes hier machen ?? der Nullstelle bleibt natürlich da liegen zweimal nur der Nullstelle beim siebenundneunziginQ eins rauskommtbei neunzig Grad Q eins rauskommt aus dem Sinusmuss das zweimal den Sinus zwei rauskommenda obennun aber das gelinge so halbwegs kennt ?? schon wieder sein mussähm die Kurve ist alsoum den Faktor zweivon derx-Achseweggespreiztwirdmit herum um das irgendwie hinzukriegen mit denKrümmungen hieralsoso das wäre die rote Kurve zweimal der Sinusals wenn sie zweimalirgendwas nehmen heißt das jeden Y wird mal zweidie Kurve die rauskommtist um den Faktor zwei von derx-Achseweg skandiertjeder Y Wert jeder alte Y Wert mal zwei jeder alte Epson wird mal zweitens null war bleibt es natürlich nullwieder als hundert mal zwei das passiert wenn sie zweimal den Sinus von X hinnehmen Sinuskurvein der Amplitude erhöht ?? sowohlden elektrotechnischenSinuskurve mit Amplitude zwei zweimalextern schreibenhübscher ausso zweimal der Sinus jetzt kommt der nächste Schritt ??ich mir dasnicht die äußere Funktionangucke zweimal Sinus plus fünf den ?? und ?? noch mal ignorieren es müssen endlicheinmal der Sinusbus fünfmal bei den?? in welcher als nächstes haben X wird abgebildet aufzweimalden Sinus von Xfünfwas passiert der Hodenfunktionjetztschon zweimal den Sinus unwirtlich zweimal Sinus plus X haben was machedas ganze verfeinert nach oben ich bin ja immer noch dabeiden Y Wert zu verraten zweimal Sinus von X ist jetzt mein neuer Y Wert ich nehme diesen Y Wert und addiere fünf draufan jeder Stellean der roten Kurve ausgehend werden die tatsächlich noch maloh je okayKomma skizzierenvon der roten Kurve ausgehendan jeder Stelle fünf nach oben das heißt ?? dazuXY Wertbenötige wieder mal Pi und zwei Pidierote Kurvedie rote Kurve geht bis plus zweiund sie gehtsie startet bei minus zweider Sinus selbst ging von minus eins plus eins zweimal der Sinus geht von minus zwei bis plus zweidas heißt das hier istdas was gelingt sogardas hier istzweimalder Sinuszweimal ?? mussnun versuche ich den mal wieder hier in Rotwein skizzierendie neue Funktionsie nehmen was aus zweimal Sinus rauskommtfür ein bestimmtes X unter ihren fünf draufauf Bewertungen bis hin zu engenalso von jetzt fünf drauf eins zwei drei vier fünf darum Beistrich das schaffenleichter als sie mit dem Blatt Papiersovon dem Punkt ausgehend eins zwei drei vierfünfdas muss man neue Psalmen wert seinbei diesem X wertist der Sinusauf bis zweimal der Sinus auf der Höhedie schwarze Kurve schon zweimal der Sinusund jetzt gehe ich fünf Einheiten auf ein zwei drei vier fünf darum muss das liegendieser hierzweimal Sinus ist nullich gehe fünf Einheiten raufähUmgebung sich dann muss über fünfzig nicht eins zwei drei vier fünf mussten wir irgendwoin der Hündin der hier null wird wieder zu fünf und fünf ein ?? auf null zu fünfzehn Einheiten auf die ganze Kurve fünf Einheiten rauf rutschen lassenwiedie zum skizzierenwenn sie sauberin den sauberesDiagramm haben wollen machen Sie matlap auf oder machen SieExcel auf oder OpenOffice Kalk aufhabenmir kommt's jetzt nicht auf die saubere Skizze an sondern darauf dass sie nie die haben was da passiert anschaulich in die Hand passierten sie Sonderformen sehendas sie wissen und geht zweimal der Sinusder AmplitudeFaktor zweisagen die die Lautstärke aufdrehenum Faktor zwei und plus fünf das ganze fünf Einheiten hoch schiebenso sehr der ausund nun kommtder innere Teileine soweit auf dem Laufenden sindalso wenn ich außen eine lineare Funktion habedann geht das auch relativ einfach der Faktor sorgt dafür dass meine Funktion von der x-Achseweg gespreizt wird und dessen Faktor unter eins ist dann natürlich zu x-Achse hingehtwenn der Faktor negativistspiegeln sie an der x-Achse sind einfach umgeklapptwird also noch verschobendas es relativ binnun möchte ich mich an Dinge kümmernwieder hier mal zwei und die fünfmal an den Sinus von einer linearen Funktion als eine Verkettung bei derihnen ein lineare Funktion stehtes in vielen Jahren zu inhaltlich etwas komisch geschriebenes hat seinen Grund im Vergleich Punkt so komisch geschrieben habe ich hab nicht drei Expo zwölf geschriebendas ich ausmultiplizierendas etwas krumm geschrieben drei malX plus vierVergleich war auch der ?? wieder in kleinenSchrittenüberSinus von dreimal X wäre als erstesangesagtalso wie sieht das auswie sieht folgendes aus X wird abgebildet auf den Sinus von Dreimalfreaksda lasse sie gerade mal selber überlegenwenn sie das habendannverändern sehr die X Werte die in den Sinus eingesetztwerdenwelcheY Werte müssen da weiterhin rauskommenwas weiterhin welche YWerte müssen aus dieser Funktion rauskommenvon wo bis wodas angucken außen steht die Sinusfunktionaus ?? die Sinus Funktion die Sinus Funktion produziert Werte von minus eins bis einsund ändert ja nichts peinlich nehme ich dieses was da rauskommt und änder das noch was da rauskommt kommt auch weiterhin Hauswerte von minus eins bis einsdas heißtY technischsoll sich dann Nix Tunkommen weiterhin Werte von minus eins bis eins rausdie Kurve muss sich in X Richtung verändern Studien in X werden als Antwort aber sicher so vorstellenaußen steht die Sinusfunktiondes ?? kommen weiterhin die Werte raus die die Sinus Funktion liefertvon minus eins bis eins und keine andereninsbesondere auch nicht plötzlich nur von minus ein drittel bis ein Drittelalso weiterhin von minus eins bis eins für die ganz normale Sinus Funktiondreiso ganz richtig von der Einheit hier alsBormann Schablone dafürwaswir auch immerwissen dass es der Sinus sein sollsoähmdiese neue Funktion Sinus drei Xhat dieselbe Bildmengevon minus eins bisplus einsnicht an dieser Stellewenn ich an dieser Stelle Sinus drei X ausrechnenwill an diesem Xmöchte ich den Sinus drei aus X ausrechnen dann heißt das ja ich nehme dieses X mal dreiMission geschickt Fraktionhier ist Dreiecksvon mir ausnehme dieses X mal drei und gucke jetzt den Sinus nachdiese ohne dass dieses rote Stückchen ist der SinusDreiecksan der Stelle möchte ich die Sinusfunktion?? Examen Sinus von Dreiecks haben was mache ich ich modifizierte X mit drei Teils drei X und ich gucke hier mein Sinus wird nachdieser bis Y höchste Sinus von Dreiecksdas heißt das muss sich hier eintragendiese Höhe muss da eingetragen werden?? immer weiter mal anders Xhalten das man im Hinterkopfalso der isthierhin gewandert?? istda gewandertwenn ich meinen Sinus von Dreiecks an dieser Stelle berechnen will das ist mein X kuck ich nach wo ist denn Dreiecks dann ist Dreiecks vielleicht hierund hier ist der Sinus von Dreiecks diese Höheist der Sinus von drei X von X gehe ich zu Dreiecksdas ist der Sinusdieses rote Stückchen ist der Sinus von der Ex der muss jetzt aber hier liegenmöchte ich eine Stelle X eintragen und nicht an der Stelle an Tagensehen was diesem Hügel passiertdieser Hügel wirdzusammen gestaucht um den Faktor dreidas passiertwenn sie drei X in der Funktion habender Graf um den Faktor drei zur y-Achse hin gestaucht?? null bleibt natürlich der Ligen der Sinus von dreimal nullist weiterhin der Sinus von null der bleibt liegenähm je weiter sie rausgehen umsomehr rutschen die Punkte rüberdas ist dann Effektwenn siein der Funktion mit einer Konstante modifizierenheißt das dass die Originalfunktiongestaucht wird zur y-Achse hin von beiden Seiten natürlich auf der linken Seite passiert dasselbeumgedrehtam ?? guckenakzeptierstdann ist das ja hoffentlich ?? sowieein drittel P das heißt auf diese Strecke habe schon einen kompletten Durchgangso muss das Aussehen?? müssen groß ??wie du leider auch bisschen erhöht das nicht und sollenso sieht das auswo die Originale Sinusfunktioneinmal ihre Periode durchläuftLäufen Sinus von Dreiecksdreimal durch die Periode durch eins zweidreidas kommt dann auchziemlich häufig bei der Elektrotechnikvor den Frequenz stehtSinuswellevoneiner Frequenzgenau ?? der Kreisfrequenzwar die Zeit je höher die Frequenz ist desto mehr Schwingungen haben sie pro Zeitextra noch nicht Zeitsie könntensich diese drei hier auf ?? Frequenz vorstellenSinuswelle der dreifachen Frequenznoch der andere hat sich das vorzustellenwenn das Xdas X alleine von null bis zwei ?? gehtje drei Xvon null bis sechs Pidas sind drei UmdrehungenKlammer zu mitdenkenschon vorhinwenn sieX von null bis zwei Pi habendann geht Dreiecksvon null bis sechs Pidasvon null bis zwei Pi ist eine Umdrehungund von null bis sechs wiesen drei Umdrehungendas heißtauf dieser Strecke von null bis zwei Pimacht die Sinus Funktion und plötzlichwenn Sie so wollen drei Umdrehungendrei komplette Perioden durchsokann man das einfach zusammenreimenals ihnen ein Faktorin den einfachster sorgt dafür dass siestrauchelnzury-Achsewenn der Faktorgrößer ist als eins in der Faktor kleiner ist als eins ein drittel mal X dann spreizen sie natürlichentsprechendwenn der Faktor negativ istspiegeln sie an der y-Achselinks nach rechtswenn ihr negativerFaktor stehtsodas war der Faktorund jetzt wollte ich aber nochein Meer habennuneinmal X plus vier in dieser komischen SchreibweiseSteigung quasi rausgezogenhabe ist es nicht ?? schreib nicht einmal X Plus zwölften und einmal Xnicht einmal XKomma ich schreibe nicht einmal X pluszwölf ?? Sonnenlicht Komma das so komisch einamLandes vielleichthoffe ich etwas besser noch zu verstehendas wird jetzt Bandwas tue ich dieser Funktion anwenn ich nunnichtX einsetzesondern X plus vier Einsätzegucken sich ihrer ??wardas nicht mehr so ganz also folgendes will ich es haben X wird abgebildetaufSinus von dreimalund Klammern X plusvierich weiß wie Sinus Dreiecks aussiehtder Sinus Funktion aber mit der dreifachen Frequenzund ?? interessiert mich Sinus dreimal Xplus vierwas tun sie der roten Kurve andieser roten Kurve an um diese zu kriegenfindest einmal X?? von Siemens dreimal X zu Sinus dreimalX plus vierweshalb ich das hier so geschrieben habein drin so ungewöhnlich dreimalKlammern X plus vier das nicht aus wie normalelineare Funktionfolgendeshier steht jaeher Sinusvon dreimalirgendwasdas ist mein Gedankedie rote Kurve hier oben ist der Sinus von dreimal irgendwasund ich überlege mir nur was passiert wenn ich jetzt X plus vier Einsätze für dieses irgendwaswas passiert mit einer Funktionwenn sie nicht X einsetzensondernX plus vier einsetzenwas passiert mit der roten Kurvehabenwenn ich meine neue Funktiondas da oben wirklich reinwaswenn ich meine neue Funktionan dieser Stelleausrechnen willSinus dreimal X plus vierheißt das ich gucke das nicht bei diesem X nach Sonne gucke das Nexus vier nach Rochlitz im Nexus vier liegtdas drei sind dies ungefähr dreiein zweiterirgendwooptimal Daumenich gucke meine alte Funktionan der Stelle X plus vier anan der Stelle komme ich meine alte Funktion anund diesen Wert klaut sich aber hierdann habe ich die neue Funktion das ist der Gedankeum die neue Funktion an einer bestimmten Stelle X zu kriegengehe ich zu X plus vier gucke bei der alten Funktion nach das Rot über die alte Funktionund Platte dann diese Substanzan der StelleX an der es haben will mit anderen Worten was passiert ist dass die Originalfunktionum vier Einheiten nach links wandert das ist total überraschendhier schreiben sie X plus vieraber die Originalfunktiondie rote Kurve hier wandert vier Einheiten nach linksKomma der Zaubertricknurwas ist meine neue FunktionSinus dreimalX plus vier an dieser Stelleich gucke mir X plus vier Anz zu dem X FiidinBerlin bei der keine AhnungähmStabilisierungsplusvierund gucke mir dann dieLust dreimalirgendwas Funktion an der Stelle anders weil die rote Kurveund diesen Wert deutlich dahineine Stelle X plus vier an der Stelle X hat meine neue Funktiondenselben Wert wie meine alte Funktion eine Stelle X plus vier das heißt dieser Wert wandert darüberwandert darüber und es geht über also immer um vier Einheitennach links absurderweisedas heißt wenn ich die rote Kurve habenämlich jetzt die rote Kurve und schiebt sie vier Einheiten nach links dann habe ich da dieneue Kurveumwieder wegweshalb ich das so geschrieben?? kann jetzt wirklich mit der roten Kurve weitermachen das war die von Sinus dreimal irgendwasund nehme die rote Kurve und schickte um vier Einheiten nachlinkswenn das gelingtPidas Bild ist natürlich wiederdas Intervall von eins von minus eins bis einsso wiedas Viereinheitenweit überlegenwie es ungefähr dreimir bin ich etwa bei dreizwei Piwo will ich hier beim nächsten null Durchgang die mal Daumenähmdie rote Kurve ist er der Sinus mit dreifacher Frequenz das heißt dass er es ungefährnachdas ist etwas mehr als eins das etwas mehr als das etwas mehrseitige zusammen dieHalbwellen haben jeweils die Breiteknapp über eins das heißt sie noch einen dazuschreibt die bin ich knapp über drei noch einen dazu das heißt hier an dieser Stelle mit knapp über vierund TaschenrechnerEvents knapp über vier und jetzt schiebe ich vier Einheitenrüberdas heißtder hier wirdknapp über vier etwas mehr als vier das heißt diese hier landet ungefähr hierrüberschiebenwas etwas mehr als vier dass Buttons etwas mehr Beistrichaber als ich brauch eine Sinuswelledreifacher Frequenzund sie fängt nicht ganz bei Null an sein Essenstückchennach rechts verschobendas wird passieren??eine Sinuswelleder dreifachen Frequenzähund Süßensstückchenmich immer drei Einheitensowasdiesen Stücken verschoben aus der null rausPunktso sosowar??insgesamt wird esim englischen sagen gemäßwarenes ?? natürlich alles noch zusammen machenja zu der Fragewenn ich das ausmultiplizierenmit sicherlich und zwölf verschieben also kurzer Einschub bevor ich das ?? insgesamt als Zusammenhängehabenwie kann ich mir das ausmultiplizierenvorstellenSinusvonSinus von dreimal interessiertSinus vondreimalX plus vierwenn ich jetzt in drin die lineare Funktion so hinschreiben wie man im Jahr Funktion ebenso hin schreibtwas wir denn jetzt einig und zwölf verschoben?? muss man immer vorsichtig seinähmjetzt habe ich eigentlich wieder seine Dreifachkompositionich habe außen denSinus Dreifachverkettungaußen den Sinusund da drin steht plus zwölfund darin steht drei X dessen drei Funktion die hintereinander angewendet werden erstX mal drei nehmen dann zwölf addierenund dann denSinus bilden drei Funktionen hintereinanderdas könnte man jetzt wieder so auseinandernehmendass sie sagen okay ich starte mit der Kurve vom Sinuswas machen sie dannwenn ich die so schreibe heißt das JahrX modifizierendann zwölf addieren zweiter Schritt und dann den Sinus bilden in dieser Reihenfolgedas heißt was ich dem Grafen vom Sinus antue ist das ich den Grafen um zwölf Einheiten nachlinks schiebeendlich einen neuen Grafen der Sinus und zwölf nach links und den Grafen den ich dann habe staubig um Faktor dreizehn exakt in der Reihenfolgeim Graphen nehmenund zwölf nach links schiebenund dann straucheln dass es eine Art das interpretiertund es ihm eher andersrumden Sinus nehmen den Sinus tauchenbrachten die Reihenfolge habe ich erst gestaucht und dann das Ergebnis verschiebenähmwie viel sie strebe wie viel sie verschieben hängt davon ab ob das Ding schon gestaucht ist oder nicht wenn sieden verschiebenin anderes Resultat als wenn sie den Verschiedenes kommt drauf an ob sie erst schiebenoder erst strauchelnund das ist der Unterschied zwischen diesen beiden Schreibweisenhier kann ich ablesen den Sinus nehme ichdann kommt das nächste Funktiondreimalso hinschreibenin der Sinus ist derdas was als letztes ausgewertet wird die dreimalhier ist das was als zweites ausgewertetwird und X plus vier ist das was als erstes ausgewertetwird wenn ich mein X habe addiere ich vier drauferster Schrittproduziere mit drei zweite Schritte der nämlichen Sinusdritter Schrittmit in das Rückwärtslesen heißt das nehme die Kurve vom Sinusbeherrscht auch sie zury-Achsehin um den Faktor drei auf ein Drittel des ?? dreimal so schnell wirdund was du dann wirklich Tastverschiebungvier Einheiten nach linksdas Resultat ist dasselbe als wenn sie den Sinus die Sinuskurvenehmenum zwölf Einheiten nach links schiebenes dann eher die breite Sinuskurvedie ganze Breite Sinuskurve schieben sie ganz weit nach links was sie dann haben Stauchung dem Faktor dreipassiert dasselbeähmbeide Wege führen nach Rom amMarkt ?? tatsächlichmal kleines S ähm passieren musssich jetzt zeitmäßig nicht ganz schaffeich das alles auf einmal zu bringen aber sie sehen was passiert was sie dem X ANTUNist unabhängig von dem was sie demY ?? ANTUN zwei plus fünf Sie müssen beidesmiteinander verdurstenPunktsie nehmen die Original Sinuskurveum Faktor zwei von der x-Achse weg um fünf nach obenund obendreintauchen sie das ganze zurx-Achse hinundverschieben es um vier Einheiten nach linkswas sich in dem X ANTUN was ich hätte Y tun das es netterweise in der Reihenfolge egal können erst jetzt dieseTanzformationin Richtung Y machen und dann in Richtung X oder umgekehrt erst hierdie Eckwerte verarzten entlang der x-Achse arbeitenund dannhier entlang derack ssa arbeiten das Anstelle egal was nicht legal ist ist wenn sie Reihenfolge von straucheln und Verschiebenvertauschendann haben sie komische Effekteund dieDecke Val Message istwas sie dem X ANTUN funktioniertabsurderweisefalsch rum dreimal X führt dazu dass die Funktionskurvegestaucht wirdund dieses Plus zwölfE-Plus vier führt dazu dass das Ding nach links nach rechts nach links verschoben wird