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Modell des Universums mit FLRW-Metrik, Friedmann-Gleichungen

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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das erste ?? uns überlegt nachdem man die Einsteinschen Feldgleichungen hat ist wie man denn nun das Universum – möglichst einfach modellieren kann – wenn ich ein Universum mit nur zwei Raumdimensionen – hätte dann könnt ich mir zum Beispiel vorstellen – dass dieses Universum die Oberfläche eines Luftballons ist – ihr Leben dann Galaxien – auf der Oberfläche meines Luftballons – und der Luftballon – wird größer und kleiner jemand Punkt Luft rein oder lässt Luft ab sofort wird immer kleiner – gleich Twitter mal größer – aber diese Galaxien kleben fest – an ihren ursprünglichen Stellen – auf dem Luftballon – so etwas wäre ein Universum das räumlich geschlossen ist und im Raum eine positive Kommkat – ich mal das noch mal nach Art eines Minkowski Diagramms jetzt aber nur mit einer Raumdimension – keine drei Raumdimensionen – auch nicht zwei sondern eine einzige Raumdimension – dies könnte mein Raum sein – zum Beispiel jetzt hier als Kreis gemalt wenn er geschlossen ist eine X Koordinate lebt also links vom Raum – hier – habe ich den selben Kreis dieselbe Kreislinie sollte ich sagen – müsse kleiner ?? jährlich wieder bisschen größer – und es kommt noch die Zeit dazu – dieser Punkt hier – würde zudem Punkt da der würde zudem Punkt hier – und so weiter – so könnte die Zeit verlaufen – und auf dieser Seite entsprechend – den ?? reicht von da nach da wenn der Luftballon – das Universum schrumpft und wir gehen von da nach da wenn es wächst – so soll mein Koordinaten sein – in diesem Modell gibt es eine kosmologische – Zeit – und ich nehme an dass der Raum zu jedem Zeitpunkt – eigentlich gleich aussieht ?? ist Nummer größer und mal kleiner – das heißt mathematischer seits habe ich in diesen Raumrichtungen – immer dieselbe Mannigfaltigkeit – aber eskaliert – um irgendeinen Faktor größer oder kleiner gemacht – und den Skalenfaktor – nennt man in diesem Spiel gerne Ar – A von T – der hängt von der kosmologischen Zeit ab hier ist der klein – da ist der groß – Geister groß – und die Koordinaten in Raumrichtung – will ich typischerweise – so das entsprechende Punkte – in diesen verschieden großen Kopien meiner Raummannigfaltigkeit – dieselbe Koordinate haben die drei hier insbesondere soll dasselbe X haben sind dann mit bewegte – X Koordinaten – ?? Punkt hier fällt quasi mit dem Universum mit – diese Koordinaten – in Raumrichtung – messen also nicht direkt die üblichen Abstände – sondern werden mit skandiert – Komma wenn Kortenetz – nennt sich das im englischen – mit bewegte Koordinaten – ich zeige gleich noch das diese Bahn hier auch wirklich Geodäte sind wie sich das gehört – nun denkt man sich aus – wie die vier dimensionale Metrik denn aussieht für so ein Universum – der metrische Tensor dafür – wirklich meine Matrix sind etwas unkonventionell – notiert – die Zeilen an den Index müht die Spalten haben den Index müde – ich möchte meine Zeit wirklichen Sekunden messen deshalb schreibe ich Obencequadrat – rein – wenn ich meine Zeit in Sekunden Messe links und rechts steht die Zeiten Sekunden Malcequadrat – gibt eine Länge in Meter Quadrat das alles zusammenpasst – Zeit und Raum mischen sich nicht direkt hier stehen lauter Nullen – hier in den verbleibenden drei mal drei Einträgen – da soll jetzt im Endeffekt der metrische Tensor von meiner räumlichen Mannigfaltigkeit – stehen – muss in etwas verzieren – ich muss er die Skalierung einbauen alle Längen sollen Malar – gerechnet werden und auch noch ein Minuszeichen – weil ich ja ja die Raumzeit habe und mit plus minus minus minus Rechner – also minus – und auf jeden Fall auch den metrischen Tensor jetzt von der räumlichen Mannigfaltigkeitsshop – AG Tilde – Tilde wenn ich gleich für alles was mit dieser räumlichen Mannigfaltigkeit – zu tun hat von diesem metrischen Tensor interessieren mich die Einträge mit den Nummern eins zwei drei jeweils – nicht null bis drei hundert eins bis dreißig habe ich hier mal G Tilde J K – und meine damit geht Tilde eins eins G Tilde eins zwei und so weiter – und jetzt noch die Skalierung – der metrische Tensor bestimmte das Produkt Vektor mal Vektorvektor – mal Vektor das heißt die Skalierung geht hier im Quadrat ein – das ist mein Ansatz für den metrischen Tensor – gebrauchen gleich auf das Inverse dazu – also die oben Menü – den kann ich dann relativ schnell hinschreiben – wieder mal in dieser etwas ungewöhnlichen Notation aber das ist am einfachsten – hiervon die inverse Matrix – Zeit und Raum mischen nicht direkt das heißt – hier steht einfach ein sechzig vertrat – und ansonsten stehen in der Notenzeile – und der Notenspalte – null eins Durchcequadrat – null null null null null null – von dieser drei mal drei Matrix das inverse – Weite natürlich minus – A von T ist ein Skalar also – minus – eins durch A von T weiter ins Quadrat – wie hier auch und jetzt brauche ich den inversen metrischen Tensor – dieser 3D Mannigfaltigkeit – beschreibt die Tilde – oben JK – dafür – dass man metrische Tensor – genau gesagt magnetisches Tensorfeld – und jetzt will ich damit in Richtung der Einsteinschen Feldgleichungen – kommen was bedeuten die Einsteinschen Feldgleichungen für diesen metrischen Tensor – in den Feldgleichung steht insbesondere der Ricci-Tensor – ich muss vom metrischen Tensor zum Ricci-Tensor kommen – als Zwischenschritt braucht die Christoffel-Symbol – Inverse das Christoffel-Symbol – mit drei Indices die zwischen eins und drei liegen also drei räumliche Indices ich schreib wieder lateinische Buchstaben statt Richtung Platz machen wir dich gerne jetzt die Raum Indices eins zwei drei – nach Definition – ist das ein halb mal – das inverse von metrischen Tensor – mit diesem Index oben und jetzt – kontrahiert – eine Konsumtion aus drei Kopien – des metrischen Tensor – hier hätte ich gerne Alpha – dieser Index – L – nach K abgeleitet – hier hätte ich gerne – K – alpha – nach L abgeleitet – und dahinten hätte ich gerne KL – sowie vier vorne steht – in Richtung Alpha abgeleitet – das ?? Definition der Christoffel-Symbol – jetzt sehe ich aber das entwertet mit Tänzerinnen steht eins irgendwas zwei irgendwas drei irgendwas – dass der null ist wenn Alpha gleich Null ist – dann kann ich ?? vergleichen auch gleich weglassen – und zu mir hier nur über eins zwei drei – mal en statt Alpha um klarzumachen – ich möchte nicht Allvergleich null haben – und jetzt gucken wir scharf hin – die oben JN – JN – Indices zwischen eins und drei – besteht also dieses hier minus eins sich ein Quadrat – mit Tischen Tensor mit Tilde – bei denen hier – stehen Raum Ableitungen – von diesem Tal minus A Quadrat – die metrischen Tensor mit Tilde des Mesaquadrat – minus als Quadrat hebt sich weg hier steht dasselbe als wenn ich über alle Tilde drauf setze – das heißt als wenn ich auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – rechnen – hier kriege ich also die Christoffelsymbole – der räumlichen Mannigfaltigkeit – direkt wieder raus weil sich dieses minus A Quadrat und das minus eins durch ein Quadrat weggeben – damit habe ich jetzt alle Christoffel Symbole – bei den Zahlen von eins bis drei dran stehen – könnte aber auch noch mal ?? null kriegen zum Beispiel oben – die wieder von der Definition – aus G null – alpha wird das also werden – die – alpha – elf in Richtung Kap leiten – losgehe – E K alpha Einrichtung – ableiten – minus – G KL – in Richtung Alpha ableiten – ihr Städte Inverse Mitchell Tensor mit einer null vorne – das heißt wenn Alpha gleich ein zwei drei ist – häufig kein Beitrag – Alpha gleich null ist der spannende – ihr muss ich nur Alpha gleich Null betrachten – und bekomme dann ein halb – G null null ist als sechzig vertrat – G null L – Zeile null Spalte – L zwischen eins und drei das ist null – hier passiert dasselbe – Minus – es muss sich also nach der Zeit ableiten – wegen dieses sie Quadrat ist meine Exportkoordinate – tatsächlich die Zeit und nicht Lichtgeschwindigkeit – Mahlzeit – hier muss also nach der Zeit ableiten – was muss ich nach der Zeit ableiten ?? die KL – also minus das Quadrat von A muss sie nach der Zeit ableiten mal das Konstante – G KL mit Tilde – minus – und jetzt muss sich A Quadrat ableiten – das macht zwei Armar – Punkt – schreibt das von T nicht hin und das geht Tilde bleibt stehen dass es ja zeitunabhängig – will – diese zwei und diese zwei Kammern noch streichen – und wir sind mit dieser Sorte Christoffel-Symbol – fährt – null könnte oben stehen sie könnte aber auch unten stehen – was ist also das Christoffel-Symbol – oben J unten null L – netterweise muss ich da nicht doch L null angucken weil die Christoffel-Symbol – ja symmetrisch sind – das war ja die Torsionsfreiheit – das ist nach Definition – einer – vom inversen – metrischen Tensor – J – alpha – und nun vom normalen metrischen Tensor – alpha L – in Richtung Null ableiten – plus – null Alpha Einrichtung in Abgleiten – minus – null L in Richtung Alpha ableiten – G oben J alpha das hatten wir oben schon – da muss ich den Fall als Vergleich nur betrachten es reicht wenn ich hier die Raumindices – durch die schreibe überall für Alpha ein ähm rein – dann bleibt ein halb mal – die oben J ähm – das ist also minus eins sicher ?? Quadrat gibt Tilde oben J N – muss ich nach der Zeit ableiten – und zwar die unten NL – hiervon – die NL Komponente – minus A Quadrat – G Tilde NL – nach der Zeit ableiten – minus – G Tilde – NL – und das A Quadrat noch Dach derzeit ableiten das macht zweimal paarmal ab Punkt – das ist dieser gewesen – hier muss sich das Element null N haben – null N – steht nun auf jeden Fall – und hätten dasselbe – diese zwei kann ich dagegen diese zwei kürzen das Minus geht mit dem Minus weg – und eines der beiden Asia – geht mit diesem A weg – dann bleibt – eins Durchardi – Tilde oben J ähm A Punkt – G Tilde – unten NL – hier arbeite ich jetzt also mit dem metrischen Tensor meiner Raummannigfaltigkeit – und dessen inversen – eine Matrix mal ihr inverses – gibt Kronecker-Delta – hier steht also zum Schluss ab Punkt durch Haar – Punkt durch A und jetzt Kronecker-Delta – oben J unten L – oben J unten L – das waren die beiden Möglichkeiten – eine null ?? in den Indices unterzubringen – es könnten aber zwei Nullen dabei sein – was ist wenn oben eine Null steht und unten eine null steht – das brauche ich auch wieder nicht umgekehrt ausrechnen – wegen der Symmetrie – könnte auch L null unten stehen – nach Definition – ein halb mal von inversen metrischen Tensor das Element null – Alpha – und vom üblichen metrischen Tensor – alpha L in Richtung Null ableiten – plus – null alpha in Richtung L ableiten – minus – null L in Richtung Alpha ableiten – je null Alpha liefert aber nur dann ein Beitrag in all Vergleich nur lässt also darf ich überall das Alpha durch null ersetzt – wird sieht man hier – Zeitraum – das wird null werden – hier leite ich die Zeit Zeitkomponente – also Cequadrat – nach einer Raumrichtung ab eine Konstante – ableiten das wird auch null werden und hinten habe ich wieder – Zeit und Raum gemischt – auch das ist nur diese Sorte Christoffel-Symbol – wird also schlicht und ergreifend Null sein – es gibt eine zweite Art zwei Nullen unterzubringen – oben der Index dort unten die Indices null null – macht also – die Hälfte vom inversen – metrischen Tensor oben J – alpha – G – alpha nur in Richtung null ableiten – plus – null alpha – in Richtung – Null ableiten – minus – null null in Richtung Alpha ableiten – J ist ein Raumindex – ihr vorne kriege ich nur dann ein Beitrag wenn Alpha nicht nur lästige Sätze als überall alpha durch N – und summieren nur noch über die Raumrichtungen – jammern geraume Zeit gemischt wird null – Zeit und Raum gemischt wird null – die Zeit Zeitkomponente – ?? Cequadrat – in Raumrichtung abgeleitet wird auch nur diese Sorte Christoffel-Symbol – ist auch null – das waren alle Möglichkeiten zwei Nullen unterzubringen – es fehlt doch die Variante mit drei Nullen das natürliche zu Haupt nicht überraschen was dabei rauskommen wird – null Alpha vorne stehen – die Alpha null ?? in Richtung null plus das was da steht natürlich weiter auch null null Stand – null Alpha in Richtung null minus null null in Richtung Alpha – diese Situation – das hatten wir hier zum letzten Mal Gibson Beitrag von Alpha gleich null ist also setz ich über – null – also lass ich hier die Zeit Zeitkomponente – Seincequadrat – nach der Zeit ab – Cequadrat – ist eine Konstante – Basis die Ableitung null und damit – dieses Christoffel-Symbol – gleich null – jetzt kann man sich überzeugen dass wir wirklich – homogen – koordiniert sah – ich mal mein Universum mal wieder nur mit einer Raumdimension – möchte mir ein Punkt greifen – und sehen wie der durch die Zeit läuft – ausgehend von einer Raumkoordinate – X null dann hatte er mein Koordinatensystem – auch hier die Raumkoordinaten – X null und hier – und hier – ?? ich möchte zeigen dass dieses tatsächlich eine Geodäte schickst – offensichtlich – ein zeitartige – Geodäte schön also wirklich dann die mögliche Bahn eines Teilchens – es sind also möglich das Teilchen einfach mit dem Universum quasi mit gepumpt werden – die Gleichung für diesen Pfad wäre – zum Parameter wird es ist die Nullkomponente – meines Vaters – an der Zeit T null – und – eine Zeit es weiter – es müssten also die Differenz in der kosmologischen Zeit entlang dieser Kurve – und meine Raumkoordinaten – X oben K schreibe ich mal die sollen fest sein das soll als die Raumkoordinaten – meines statt Punkt sein – ich möchte zeigen dass dieses hier eine Geodäte stehst – ich will also wissen ist die zweite Ableitung – dieser Koordinaten – nach dem Parameter – dasselbe wie minus – Christoffel – oben derselbe Index unten – an der Stelle X von S gerechnet – mal den jeweiligen Geschwindigkeitsvektor – also nur einmal abgeleitet – X müde – nach DS – X – Menü – nach DS – was ist die erste Ableitung – wenn ich X null die Zeitkomponente – angucke ist die Ableitung – eins – Konstante plus es nach es ableiten – wenn ich Raumrichtungen – angucke – versuche ich einen konstanten Rest abzuleiten ?? kommt null raus hier steht also Delta – oben Mühl und null – es ist eins wenn wir gleich Null ist und null sonst – das entsprechend natürlich da Delta oben ?? und null – zweite Ableitung meiner Koordinaten – wenn ich Delta noch mal nach SA Pleite – bekomme ich natürlich null rausstellte – ist eine Konstante – versicherte zum Schluss ausrechnen ist Christoffel oben Lambda unten null null – weil dieses Delta nur das Mühen gleich Null raus filtert und dieses der Eltern oder das mir gleich Null rausfiltert – mich interessiert also gamma Obenlander unten null null – ist das gleich Null ja das wissen wir das haben wir eben ausgerechnet – das Kammer oben lambda unten null null gleich null ist als es tatsächlich die Kadettengleichung – erfüllt – dieses ist die Bahn eines physikalischen – Teilchens – ist also tatsächlich vernünftig – zu sagen dass die Koordinaten mit meinem Universum – quasi mit gepumpt werden – dass ich mir solche Kurven angucke hier entlang der kosmologischen – Zeit – könnte ich auch versuchen mir so eine Kurve anzugucken – entlang der Raumrichtung – bei konstanter kosmologische – Zeit – und gucken ob ich auf diese Weise auch einige theoretische Kriege – wie sieht also eine Geodäte Show aus – die in Excel startet – mit dem Anfangsgeschwindigkeitsvektor – V – und der soll in Richtung der räumlichen Mannigfaltigkeit – zeigen – dafür zwischen den Anfang einer Tellentwicklung – die Koordinate mit der Nummer lambda beim Parameterwert – es ist – der Anfangswert dieser Koordinate – floss – es mal die entsprechende Komponente des Geschwindigkeitsvektorsminus – es Quadrat halbe – Christoffel – oben Lander – an der Anfangsposition – X null schreibe ich es nicht hin und Menü und kommt zweimal – der Anfangsgeschwindigkeitsvektor – plus Terme höherer Ordnung ?? ich möchte untersuchen ob wirklich die Zeitkoordinate – immer auf dem Anfangswert bleibt – mich interessiert also X oben null von est was ist mit der Zeitkoordinate – das ist die Zeitkoordinate – am Anfang – groß – der Anfangsgeschwindigkeitsvektor – soll nicht in Zeitrichtung gehen das heißt hier steht null – minus es Quadrat halbe – wenn der Anfangsgeschwindigkeitsvektor – nicht in Zeitrichtung geht heißt das ich muss hier nicht von null bis drei jeweils – summieren es reicht wenn ich von eins bis drei summieren also – Christoffel – oben null – unten JK – nur die Raumrichtungen – V J V K plus Terme höherer Ordnung – die Christoffel-Symbol – dieser Art haben wir eben aber ausgerechnet – oben die Zeitrichtung – unten Raumrichtungen – das gibt Armar – Punkt Durchcequadrat – mal den metrischen Tensor – der Raummannigfaltigkeit – ich bekomme also raus – die Zeitkoordinate – zum Parameter wird es – ist der Anfangswert derzeit Koordinate – minus es Quadrat halbe – Armada – Punkt Durchcequadrat – und ihr steht jetzt VOB J – G – Tilde J K – V oben K – plus Terme – höherer Ordnung – das hier ist ein Skalarprodukt – in der räumlichen Mannigfaltigkeit – das wird größer als null sein – wenn V nicht der Nullvektor ist was ?? bisschen unsinnig wäre – das heißt im allgemeinen wird meine Zeitkoordinaten – nicht konstant sein – konstanter Anteil minus etwas quadratisches – und Terme höherer Ordnung – ?? kann sich die Situation so überlegen – wie denn die Gier der Tische weglaufen würde – das ist positiv – A Punkt – ist wie ich gemalt habe auch positiv – heißt sowieso positiv – ich ziehe etwas ab – das heißt in dieser Situation würde die Geodäte nach unten wegdriften – im allgemeinen sind diese Linien konstanter kosmologische Zeit keine Geodäte schon anders als die Linien mit konstanter Raumkoordinate – schreibt die ganzen Christoffel-Symbol – noch mal hin – als – nur die Raumrichtungen – da krieg ich dasselbe raus – wie bei der räumlichen Mannigfaltigkeit – nicht oben einen Null habe – und unten Raumrichtungen – komme ich aber mal ab Punkt – der Skalenfaktor – Durchcequadrat – bei den metrischen Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – nicht unten eine Null habe – bekomme ich ab Punkt durch A – bald älter – wenn ich zwei Nullen habe egal wo – dann kommt immer null raus – dass sie nämlich als Mehrkosten – und rechne jetzt den Ricci-Tensor – aus – den brauche ich Ihnen ein Sternchen Feldgleichungen – ich ?? das man den Krümmungstensor – hin er oben Alpha und Betalander – Mühl – das ist Christoffel – ableiten – minus das Produkt zweier Christoffel Symbole – minus – gegen Lander austauschen – Server muss bei dem Plan stehen – und bei einem von den beiden dann stehen – wir wird nach Lande abgeleitet – und will Beta bleiben übrig – ihr muss ich kontrahieren – ein Menü für den vorderen – Ortlander – Wetter für den hinteren – jetzt will gegeneinander austauschen – minus – oben Alpha und jetzt Irland da Beta Komma mühlplus – Christoffel-Symbol – oder oben – Alpha – Komma bleibt so das Menü wird zum Lander Komma bleibt stehen das Land dafür zu müde das Wetter bleibt stehen – ich will aber ich den Krümmungstensor – sondern den Ricci-Tensor – eher better Mühl – das heißt ich kontrahieren – hier über das Alpha das Lander mach ich zum Alpha überall hier steht Alpha – alpha – Alpha – alpha – Fang waren mit Air null null – die Zeit Zeitkomponente – vom Ricci-Tensor – Wetter ist gleich null ist gleich null – Wetter ist gleich null my ist gleich null entsteht hier in Christoffel-Symbol – mit zwei Indices null – das ist null müssen schon der Pflicht rausminus – ?? ist gleich null – dann darf ich auch noch Alpha gleich null sein – ?? Telefon null also – minus – Christoffel oben ähm nicht Alpha sondern nur die Raumrichtungen – null – Gamma – Christoffel – Komma – N habe ich geschrieben statt Alpha – und Beta soll Null sein – das wird aus dem – Wetter ist gleich null my ist gleich null – wenn dann Alpha noch gleich Null wäre hätte ich hier zwei Nullen stehen brauche ich nicht – Komma also nur minus – Christoffel – N N null in Richtung null – Wetter ist gleich null – ist gleich null hier steht ein Christoffel-Symbol – mit zwei null der letzte Term fällt weg – wenn Gamma gleich Null wäre stünde hier ein Christoffel-Symbol – mit zwei Nullen – das würde schon wieder wegfallen ich muss für Gamma also nur die Raumrichtungen – betrachten ?? ich habe mal Ka statt Komma – und jetzt gucken uns an was das bedeutet minus ein Christoffel-Symbol – mit einer null unten – ab Punkt durcharmer Kronecker-Delta – war Punkt durch Parma Kronecker-Delta – oben N unten K – dieselbe Situation der A Punkt durch A – Kronecker-Delta – oben K unten N – minus – es euch die Zeitableitung – von diesem Ding – also nach der Zeit ableiten – H Punkt durch A – mal Kronecker-Delta – oben ähm – unten in – die zweite Delta sorgte für das ich in diesem ersten Delta das K durch N ersetzen kann – jetzt addiere ich hier Delta eins eins plus Delta zwei zwei plus delta drei drei S eins plus eins plus eins ist drei – E steht einfach drei – steht da hinten einfache drei – macht zusammen – minus – drei – mal – war Punkt Quadrat durch Arquadrat – minus drei mal diese drei – mal – als Quotientenregel – den Nenner Quadrieren – den Zähler ableiten – mal den Nenner minus – den Zähler stehen lassen mal den Nenner ableiten – A Punkt – Punkt – ?? habe ich minus drei mal ab Punkt quadratisch ?? Quadrat – und hier habe ich minus mal minus plus drei – A Punkt Mala Punkt durch ein Quadrat dass – das Feldweg – danach kann ich nur dieses A gegen eines der Aas unten kürzen – und ich hab zusammen minus drei mal A zwei Punkt durch Ar – jetzt gucken wir unsern null K an – erst Indexzeit – zweite Index Raum – wegen Symmetrie ist es auch gleich RK null – der erste Christoph von oben alpha – unten – K null – Komma alpha – minus das Produkt zweier Christoffel Symbole – oben Alpha Komma – unten steht – Car – Gamma – Alpha null – minus die Ableitung eines Christoffel-Symbol – des oben Alpha unten Alpha – Beta ist null – ist K – plus das Produkt zwei Christoffel-Symbol – oben Alpha Komma – unten Alpha Komma – und hier steht K null – im ersten steht schon eine null dabei – deshalb häufig den Fall zu betrachten des Alpha gleich Null ist habe ich zwei Nullen und des Christoffel-Symbol – wäre nur – dieser Situation – also schreibe ich ?? für Alpha ein N – interessiere nur die Raumrichtungen – der hinten steht schon eine Null – selbe Argumentation – dieses Alpha braucht auch nur die Raumrichtungen zu durchlaufen schreibe ändere – dieselbe Argumentation gilt für das Gamma – das gamma da oben null ist habe ich zwei null drei ?? und kein Beitrag also letztes Kammer muss nur die Raumrichtungen – durchlaufen ich schreibe statt des gamma ein J – und noch mal diese Argumentation – in Allvergleich null findet gleich drei Nullen also braucht Alpha nur die Raumrichtungen zu durchlaufen – hier genauso – wenn ein Vergleich null ist in der zwei Nullen dran also nur die Raumrichtungen – und für das Gamma geht das auch – das Kammergleichnis – stehen dahin zwei Nullen auch für das Gamma nur die Raumrichtungen – das macht jetzt – Christoffel-Symbol – mit einer null unten – hängt von der Zeit ab aber nicht vom Raum – ich Leid in eine Raumrichtung ab das wird null werden – minus – ein Christoffel-Symbol – mit lauter Raumrichtung – und dass wir das Christoffel-Symbol – der räumlichen Mannigfaltigkeit – oben N unten KJ – Tier müsse man nachgucken – ?? null unten mit also A Punkt durch Amal Honecker – war Punkt durch Amal Connect geräuchert – ähm – minus – ein Christoffel-Symbol – mit einer null unten diese Situation – was ich raus bekomme hängt nicht – von der Ortskoordinate – ab ich leite aber nach einer Ortskoordinate – ab – es wird null werden – plus – drei räumliche Indices – wirklich auf das Christoffel-Symbol der räumlichen Mannigfaltigkeit – oben enden unten in J – und hier in Christoffel-Symbol – mit einer null unten sind wir hier wieder – ab Punkt durch Arcornecker – oben J unten K – Cisco Neckar Symbol sorgt dafür dass ihr vorn statt des J ein N schreiben kann – dieses Konecker Symbol sorgt dafür dass ich statt des J davon ein K schreiben kann – steht hier minus – Christoffel der räumlichen Mannigfaltigkeit – oben ähm unten KN Mala Punkt Durchardi – steht plus – das Selbe – des Christoffel-Symbol – ist asymmetrisch – das und das siebzig Weg – das heißt diese Komponenten des Ricci-Tensor sind allesamt null – mir fehlen jetzt noch die Komponenten des Ricci-Tensor Smith zwei räumlichen in DC ist Valiant zu rechnen damit man das gleich beim scrollen aussehen kann – Ricci-Tensor unten JK das möchte ich wissen ?? better ist gleich J ist gleich K das gibt mir – Christoffel – abgeleitet – minus Produkt zweier Christoffel – minus Christoffel abgeleitet – plus Produkt zwei Christoffel – oben Alpha und nach Alpha ableiten – ist gleich – K – Wetter ist Weichert – oben Alpha oben Komma – Mühl ist gleich Carwetter – ist gleich J – oben alpha unten alpha – ist gleich K und beta ist gleich J – oben alpha oben Komma – unten Alpha Komma – W ist gleich K und better ist Weichert – das übertrage ich hier noch mal – so sieht das aus – jetzt will ich das hier so ausbuchstabieren – das ich anwenden kann was ich über die Christoffel-Symbol – weiß – Alpha keine Freunde sich nun sein oder räumlich sein ich kriege zwei Beiträge – also einmal – Christoffel – oben null – KJ – in Richtung null ableiten ?? plus – räumlich – oben ähm – KJ in Richtung en ableiten – dann habe ich den ersten in zwei Anteile gesplittet – die ich meine Tabelle lösen kann – minus – hier einmal den Anteil mit Alpha gleich Null – also Christoph lobend null K Komma Christoffel – Komma Alpha – J – und den räumlichen Anteil – in – versteht ein N hinschreiben – Komma – oben Komma noch unter das J – da steht jetzt das Gamma drin – ?? wenn das gamma gleich null ist – werden weite Teile null weil ich dann zwei Nullen drin habe ?? das Gamma kann ich also ohne Fehler durch ein in ersetzen – hier ist das anderer Geschichte Winter das Komma gleich Null ist habe ich nicht zwei Indices null dran was muss ich wieder auf trennen schreibe einmal Gamma gleich Null dran – und nehme dann noch den Fall – dass Gamma räumlich ist dazu – L schreibe ich damals statt Komma – sowas hatten wir werden den ersten zersplittert in zwei werden den zweiten zersplitterten drei jetzt kommt der hier – in Alpha gleich null es stehen zwei Nullen dran – ich kann Alpha durch N ersetzen – und nur die räumlichen Richtungen zu gehen – plus – ihr dasselbe was das Alpha angeht – also plus – Christoffel oben ähm unten in – jetzt kann das Gamma einmal Null sein – oder das Komma kann räumlich sein – L schreibe ich mal dafür – dann oben auch das L K J – und des Kung in der Tabelle nach – was das werden wir Gamma oben null – unten räumlich – in Zeitrichtung – ableiten – der wird das werden – die in solchen Zeitrichtung ableiten – Armala Punkt das einzige was von der Zeit abhängt also habe ich hier den metrischen Tensor von der räumlichen Mannigfaltigkeit – jetzt mit K und J – C Quadrat und ich muss aber mal ab Punkt ableiten nach der Zeit das ist der – plus – das hier ist rein räumlich – da bekomme ich Christoffel-Symbol – von der räumlichen Mannigfaltigkeit – raus mit denselben Indices – minus – hier steht jetzt eine Null oben – der – Armada – Punkt Durchcequadrat – G Tilde – K N – dieses da steht eine Null unten das ist der – A Punkt durch Ardelta – oben wenn unten J – damit haben wir diesen hier der nächste sieht's ähnlich aus – einer anderen Reihenfolge hingeschrieben – minus – beim ersten steht und unten – war Punkt durch A – delta N K – eine neue Obenarmada – Punkt Durchcequadrat – mal den metrischen Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – und zwar mit MJ als Indices – hier stehen jetzt nur räumliche Richtungen – dann krieg ich auf der Raummannigfaltigkeit – dasselbe raus Klammer zu einfach die Tilde übersetzen – auch hier stehen nur räumliche Richtungen – einfach die Tilde darüber – ?? trägt auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – rechnen – steht eine null unten – sollten wir zuletzt – Martha Punkt durch Amaldelta – Punkt durch Arbeit delta oben N – unten in eine null oben – macht arm Allah Punkt Durchcequadrat – stehen metrischen Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – KJ – und hier stehen wieder nur räumliche Richtung und ich kann einfach die Tilde darüber setzen zu sagen – das rechnet einfach auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – zwar wären paar Kronecker-Delta – hast du denn – die werden willenlos dieses Delta sorgt dafür dass sich hier statt es in ein J schreiben kann – dieses Delta sorgt dafür dass ich hier statt es in ein KH – schreiben kann – dieses hier ist ein Vergleich drei – Filter eins eins plus Delta zwei zwei plus der Datei drei – steht drei – und jetzt kann man zusammenfassen – mickrige Christoffel-Symbol – mit Tilde darüber – rechnen also auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – in zwei der – minus die beiden hier – im Produkt – minus den – Fluss stehen – und die übrigen Therme die haben alle den metrischen Tensor trennen – und da vierte aber noch mit dem metrischen Tensor – plus – der metrische Tensor KJ – und die haben alle auch ein Cequadrat – drinnen – mal sehen was passiert – Aman A Punkt ableiten Produktregel – gibt A Punkt Mala Punkt den ersten ableiten – plus den ersten stehen lassen und den zweiten ableiten Komma da zwei Punkt das war der – minus – war kürzlich gegen A hier steht A Punkt Mala Punkt – minus – A kürzlich gegen Ar es bleibt aber Punkt mal Punkt – Linus A Punkt Mahler Punkt für den also – und hier kommt noch Faktor drei A kürzlich gegen A – es bleibt A Punkt Mala Punkt Plus dreimal – ab Punkt mal war Punkt – hab mal ab Punkt minus sich hebt sich weg – von den dreien sich noch ein ab das heißt hier steht ein Schnitt zwei – das macht insgesamt – hiermit den Christoffelsymbolen – auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – schickte Ricci-Tensor – auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – hatte Schreiber Komma er – Tilde – zwar mit den Indices JK – und hier ist übrig geblieben – war mal A zwei Punkt plus zweimal – war Punkt – Quadrat – hinten – Durchcequadrat – mal AG – die metrischen Tensor auf der räumlichen Mannigfaltigkeit – schon mal JK – sieht hübsch aus – das es Jan symmetrischer Tensor und hermetische Tänze – damit haben jetzt alle Einträge in den Ricci-Tensor – das Mann Stück Arbeit – diesen Ricci-Tensor – will ich jetzt in die Einsteinschen Feldgleichungen – einsetzen – Ricci-Tensor – minus – ein halb Krümmungsskalar – malmetrischen – Tensor hier vorne der Einstein-Tensor – dann will ich noch die kosmologische Konstante sofort einbauen – zum sein sei gleich was – ist also acht die Gravitationskonstante – durch CO vier mal Energie-Impuls-Tensor – in den meisten Werken sieht man das plus – ich rechne aber mit einem metrischen Tensor der nicht minus plus plus plus ist das machen die meisten Flächen mit einem metrischen Tensor der plus minus minus minus ist und deshalb muss da bei mir hier ein Minus stehen – damit die Bedeutung von der kosmologischen Konstante dieselbe ist wie in den üblichen Texten – ich will wissen was passiert wenn ich meinen Ricci-Tensor hier Einsätze – dazu müsste jetzt ?? den Krümmungsskalar – bestimmen – das wird alles etwas unübersichtlich – es gibt einen Trick und den groß Keller hier loszuwerden – ich ziehe von beiden Seiten – die halbe Spur all den metrischen – Tensor ab – dann passiert folgendes – ?? die rechte Seite weiß der leichter zu verstehen ist acht die Gravitationskonstante – durch zehn hoch vier – Themen Menü und ich ziehe ab – die halbe Spur also T – oben alpha – unten alpha – mal den metrischen Tensor G Menü – versteht rechts – das sprechende mache ich links – Ricci-Tensor – und jetzt die halbe Spur abziehen die Spur von Ricci-Tensor ist der Krümmungsskalar – mal den metrischen Tensor das wollte ich abziehen – und der zweite Text – minus ein halb – Krümmungsskalar – metrische Tensor – davon möchte ich jetzt wieder die Hälfte Spur abziehen also plus ein viertel – minus ein halb mal minus ein halb – plus ein viertel Krümmungsskalar – die Spur von metrischen Tensor ich bilde GEO – Müll genügt das nicht anders als Kronecker-Delta – und summieren dann ist also seitens ?? Sadist vier – also mal vier – mal den metrischen Tensor – ?? durch den damit habe ich den jetzt kommt der hier – minus kosmologische Konstante – die – Mühe – und das möchte ich davon die Hälfte abziehen also plus ein halb kosmologische – Konstante – die Spur von metrischen Tensor ist vier hundert ?? gesehen – mal den metrischen Tensor – das kann ich ein bisschen aufräumen – minus ein halb – Krümmungsskalar – mal metrische Tensor – minus ein halb plus – eins – vier durch vier – die heben sich allesamt weg das war das Ziel dieser Aktion – der Krümmungsskalar – es ausgeflogen – ?? habe ich noch vier durch zwei macht oben zwei – damit habe ich hier minus – kosmologische Konstante magnetischer Tensor – plus zweimal – kosmologische Konstante mal ethischer Tensor – es wird also – Schluss kosmologische Konstante magnetischer – Tänze und der Pflicht raus – aus den Einsteinschen Feldgleichungen – ist damit folgendes – geworden – der – Ricci-Tensor – ist – das Pflicht alles raus – was da steht acht Pi – Gravitationskonstante – durch Lichtgeschwindigkeit – hoch vier – Energie-Impuls-Tensor – minus ein Halbspur – des Energie-Impuls-Tensor – sind die Menü – und die kosmologische Konstante muss ich die Seite dann noch ab zehn mal den metrischen Tensor – ist es viel eleganter – die ein Chargen vergleichen in dieser Form zu lösen – muss ich nämlich gar nicht den Krümmungsskalar – bestimmen – bevor Sitz aber daran geht – ihr den Ricci-Tensor den WM Ausgang dann wirklich einzusetzen – bin ich noch weitere Annahmen einbauen über dieses Modell Universum – erstens – will ich annehmen dass diese räumliche Mannigfaltigkeit – dieser grob und homogen ist – sie soll also in allen Richtungen gleich aussehen wenn ich an irgend ein Punkt Sitze – und sie soll an allen Punkten gleich aussehen – dann muss deren Ricci-Tensor – er Tilde JK – irgend eine Zahl – mal deren metrischen Tensor sein – Tanz ist irgend eine Richtung bevorzugt – und diese Zahl Komma dann auch sofort hinschreiben das muss sein ein drittel mal den Krümmungsskalar – der räumlichen Mannigfaltigkeit – warum das diese Zahl sein muss Komma ?? gucken denn – wenn ich das so wähle – und nun den Krümmungsskalar – ausrechnen – habe ich das der Krümmungsskalar – der räumlichen Mannigfaltigkeit – ist – den inversen metrischen Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – kontrahiert über beide Indices – mit dem Ricci-Tensor – der räumlichen Mannigfaltigkeit – macht also – den inversen metrischen Tensor und jetzt setz ich mal testweise einmal – ein Drittel den Krümmungsskalar – mal den metrischen Tensor – JK – der Inverse metrische Tensor mal die metrischen Tensor ist aber Kronecker-Delta – steht also Kronecker-Delta – J – J – mal ein Drittel – den Krümmungsskalar – Kronecker-Delta – JJ über drei Dimensionen ist drei – durch drei es kommt wirklich der Krümmungsskalar raus – hier kann keine andere Zahl der vorstehend – nicht das sie noch voraussetze – dass meine räumliche Mannigfaltigkeit – auf diese Art schön ist oder einfach ist – dann heißt diese Konstruktion – bis hierhin die F L eher wie Metrikmetrik – weil wir dieses gehe konstruiert haben – dieses gehe es dann die FLRW-Metrik – friedmannmetrische – Promotion – und Walker – das war die eine Annahme ich möchte das diese räumliche Mannigfaltigkeit – ist grob und homogen ist – und noch eine Annahme – ich möchte dass das Universum – diese räumliche Mannigfaltigkeit – auch Misanthrop und homogen füllt – das ist eine Bedingung für den Energie-Impuls-Tensor – der darf nichts quer laufen – oder ortsabhängig sein – das heißt – der Energie-Impuls-Tensor – der muss so aussehen – das mal wieder in dieser – ungewöhnlichen Art – in einem Initialsystem – mit den üblichen Einheiten sah der Energie-Impuls-Tensor – für ein ideales Gas so aus C Quadrat – pro – und PPP – dann weiter auf der Hauptdiagonale – null null null null null null – null null Orte lauter Nullen – jetzt ?? mich hier mal etwas schräge Metrik – insbesondere sicher einen Faktor C quadratische – oben – in die Metrik reingebastelt – in dieser Situation stetig Mitcequadrat – groß sondern sie hoch vier – Pro – die drei Nullen und die drei Nullen bleiben – weil sich Raum und Zeit ja nicht so direkt mischen – schön Inertialsystem – mit den richtigen Einheiten steht hier PPP – auf der Diagonalen – hatte die drei mal drei Einheitsmatrix – mal P – in meinen Koordinaten kann er sich mehr ganz hinkommen – metrische Tensor hat hier ja was anderes stehen analog muss es also bei mir stehendes ist P – mal arc vertrat – mal den metrischen Tensor – der räumlichen Mannigfaltigkeit – so jetzt kann es zurückgehen – zu den Einsteinschen Feldgleichungen – ich kenne den Ricci-Tensor – ich kenne den Energie-Impuls-Tensor – hier brauche ich allerdings noch die Spur vom Energie-Impuls-Tensor – Trick siebzehn die Spur ist ja ein Skalar die Spur kann ich auch in einem ordentlichen Koordinatensystem – ausrechnen – ich nehme nämlich den Energie-Impuls-Tensor – in schönen Koordinaten wird er eben schon Stand – PC Quadrat roh – PPP – auf der Diagonalen unsers lauter Nullen – das wäre der Energie-Impuls-Tensor – in ein verzerrtes die mit den üblichen Einheiten – mit Indices oben oder unten – egal – und die Spur zu bilden und sich ein Index nach unten bringen – versorgten üblichen System dafür dass ich ein Minuszeichen – kriege dann muss ich addieren auf der Diagonalen addieren mit anderen Worten die Spur ist sie Quattro – minus drei P – das ist Cequadrat – Pro minus drei P – und jetzt können wir – loslegen ?? das erste was ihm angucke ist was passiert wenn müde und nur die beiden null sind – die Zeit Zeitkomponente – des Ricci-Tensor – ist die Amme im schon ausgerechnet er null null – ist minus drei Ar zwei Punkt durch A das muss also werden acht Pi mal Gravitationskonstante – durch zehn hoch vier – im Energie-Impuls-Tensor – ?? eben links oben C hoch vier – groß stehen – minus ein halb die Spur Warcequadratsho – minus drei P – und links oben – im metrischen Tensor steht Cequadrat – und den ?? auch noch minus – kosmologische Konstante – links oben ?? metrischen Tensor steht sie Quadrat – ihr kann man ein bisschen zusammenfassen – C hoch vier Euro minus – ein halb C hoch vier roden habe ich also nur noch ein halb – sie hoch vier Pro – und ?? ?? auf beiden Seiten durch minus drei liefert mir – die zweite Ableitung des kahlen Faktors durch den Skalenfaktor – ist – Minus von minus – acht Pi G – durch C hoch vier – die drei brauche ich auch noch hier steht – ein halb C hoch vier Pro – minus ein halb mal minus drei ?? plus drei halbe – Fee – Malcequadrat – und am Ende noch Minuslandercequadrat – durch minus drei also Pluslandercequadrat – durch drei – diese acht und die zwei ?? die zwei – ?? nicht kürzen je tausend und vier das ist weg die zumeist Weg dieses Psycho vier und das CO vier kann ich kürzen – ihr ABC Quadrat ich muss also noch Durchcequadrat – teilen – und damit haben wir die zweite – Friedmann Gleichung – die erste kommt noch das ist ?? es war die zweite Friedmann Gleichung die zweite Ableitung – des Skalenfaktors – geteilt durch den Skalenfaktor – ist minus – vier die Gravitationskonstante – durch drei – mal – pro – die Dichte – plus drei mal – den Druck Durchcequadrat – und hinten noch Lust die kosmologische – Konstante – neunzig vertrat durch drei – das ist die – zweite – Friedmann Gleichung – manchmal ?? sie einfach nur Beschleunigungsgleichung – und nicht zweite Friedmann Gleichung – interessant ist das hier die Dichte unter Druck vorkommen – und die kosmologische Konstante – aber sonst nichts über die räumliche Mannigfaltigkeit – die Krümmung der räumlichen Mannigfaltigkeit – kommt nicht vor – damit wissen wir jetzt genau dann bitte einfach links umstimmen so muss diese Gleichung die zweite Friedmann-Gleichungen – gelten – was ist mit den Einträgen – an der Seite und oben was ist mit Mühe gleich null – und mir gleich eins zwei – drei – unter natürlich genauso – müde gleich eins zwei – drei und my gleich Null – werden aus Rechtes der Ricci-Tensor – in dem Fall nur K gleich null ist auf der Seite steht null – versteht aber auch bei unserem Energie-Impuls-Tensor – null bei den metrischen Tensor null – und als normale metrische Tensor ?? das heißt das ist geschenkt – dass es in jedem Fall nur gleich Null – die Gleichungen – sind auf jeden Fall erfüllt – es bleibt der Fall – in dem beide Indices räumlich sind – ?? ist gleich eins zwei drei und null ist gleich eins zwei drei – auf der linken Seite steht – von dem Ricci-Tensor – die JK Komponente – die habe eben ausgerechnet – das ist die Komponente JK vom Ricci-Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – plus – Armada – zwei Punkt plus zweimal ab Punkt Quadrat Durchcequadrat – mal die JK Komponente – vom metrischen Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – das steht links – schreibt die rechte Seite noch mal hin mit Indices JK statt Menü – auf der rechten Seite soll also stehen acht Pi mal die Gravitationskonstante – durch Lichtgeschwindigkeit – hoch vier – mal – jetzt die JK Komponente – von Energie-Impuls-Tensor – minus ein halb mal dessen Spuren das schwarze Quadrat mal die Dichte minus – drei P – mal den metrischen Tensor G ohne die Tilde – das ist also Minuspark – vertrat mal die mit der Tilde JK – und – diese Klammer zu – und dann steht da noch minus – kosmologische Konstante mal – G ohne ?? Tilde also mal minus A Quadrat – G mit der Tilde – JK – den Energie-Impuls-Tensor – schon aus buchstabiert – stand P mal – A Quadrat – G Tilde JK – und den Ricci-Tensor der räumlichen Mannigfaltigkeit – hat mir auch schon aus buchstabiert der Stand – deren Krümmungsskalar – Drittel – mal geht Tilde JK – geht sieht man das von diesen ganzen vielen Gleichungen – an dich nur eine einzige übrig bleibt ?? steht im Askalarm – AG Tilde JK – Skalar Merge Tilde JK – Skalar Make Tilde JK – Skalar Marketing Ratskeller – Merge Tilde JK – das heißt ich kann einfach die Ski Tilde – JK überall raus streichen – habe nichts – gewonnen und nichts verloren – alle diese Gleichungen werden damit jetzt zu einer einzigen Skala Angleichung – nämlich – Krümmungsskalar – der räumlichen Mannigfaltigkeit – plus – Armada – zwei Punkt plus zwei ?? Punkt Quadrat Durchcequadrat – ist gleich – acht die Gravitationskonstante – durch zehn hoch vier – Ampere hier – Druck mal A Quadrat – minusminus – ?? quadratshalber – ich schreibe mal plus A quadratshalber – Malcequadrat – Rom minus zwei P – und – Glossar – Quadrat – mal die kosmologische – Konstante – rechts hat alles den Faktor A Quadrat ich teile links und rechts durch – ?? Quadrat – ein Quadrat – und da ein ?? Quadrat – und sehe dass ich hier jetzt H zwei Punkt durch war – die zweite Friedmann Gleichung wieder einsetzen kann – also hier für den Talar zwei Punkt durch A – wird sich diese Gleichung ein – die Serie wird also – minus vier P Gravitationskonstante – Drittel – Mal pro Plus drei – mal den Druck Durchcequadrat – plus kosmologische Konstante C Quadratsdrittel – aus der zweiten – Friedmann Gleichung – das wird jetzt etwas länglich – vereinfacht sich aber gleich ganz doll – groß Komma durch drei Manaquadrat – plus – dadurch aber kürzlich – wieder eins Durchcequadrat – mal diesen ganzen Ausdruck also nicht Soest sondern – minus – vier pg – durch – drei – C Quadrat – Pro plus drei P Durchcequadrat – das war dieser Teil – euch den noch – Durchcequadrat – also plus kosmologische Konstante durch drei – dieser Teil zwei Mana Punkt quadratischer – Quadrat sich verwahrt also plus zwei Durchcequadrat – A Punkt durch ein Klammern ins Quadrat – damit habe ich die linke Seite gleich – acht P Gravitationskonstante – durch zehn hoch vier – von PC ich noch drei halbe P ab das sind also zum Schluss minus ein halb P – und dann habe ich doch Cequadrat habe mal die Dichte – und hier noch einmal die kosmologische Konstante – witzigerweise – fällt der Druck jetzt raus – ja nicht links minus vier Drittel mal drei drei kürzlich minus vier mal – P mal – endlich Konstanten – auf der rechten Seite habe ich achtmal – minus ein halb Mark P – gibt also auch minus vier mal P maligen Fehlkonstanten – das – und das gibt sich weg – den Rest versuche jetzt mal zusammen zu sortieren – Komma damit an zwei durch Cequadratsmala – Punkt durch ?? Quadrat – Komma wie viel roh übrig sind – vier pg – und hier nutze Quadrat – das wäre vier Pi Gravitationskonstante – Durchcequadrat – hier – mal ein Rohwetter – selber noch durch drei geteilt – das bin ich rüber – also – Schluss Rohdrittel – die Krümmung bring ich rüber auf die rechte Seite – Krümmungsskalar – durch drei A Quadrat – und die kosmologische Konstante mich auch über ich muss also ein Drittel davon abziehen habe ich ihr nur noch zwei Drittel von der kosmologischen – Konstante – das C Quadrat – wird man noch los ?? muss also C Quadrat hin da mussten sie Quadrat hin – in der Klammer drin habe ich vier Drittel wo – sie ?? die zwei loswerde – mit aus dieser vier eine zwei – aus dieser drei wird eine sechs und diese zwei wird zur eins – jetzt aber was dann aber – das macht – die Zeitableitung – des geilen Faktors durch den Skalenfaktor – ins Quadrat – ist also – zweimal vier Drittel will sagen acht – Drittel – Klimagravitationskonstante – die Dichte – das war der erste teilminus – Krümmungsskalar – der räumlichen Mannigfaltigkeit – mal C Quadrat durch sechs A Quadrat – plus – kosmologische Konstante Massequadrat – durch drei – damit sind wir fast am Ziel – es gibt noch ein Trick diese Zahl hier den Krümmungsskalar – der räumlichen Mannigfaltigkeit – durch sechs – diese Zahl hier kann ich gleich einer Zeit Car nehmen und diese Zahl K – ist nur eins – oder null oder minus eins natürlich konstant eins oder Konstanten und ?? konstant minus eins – was ich dann nur noch drei Fälle unterscheiden muss – das Gericht man den in dem man einfach den Skalenfaktor – passend wählt – ich gerne meine räumliche Mannigfaltigkeit – so groß wählen dass deren Krümmungsskalar – durch sechs gleich eins oder null oder minus eins ist räumlichen Mannigfaltigkeit – was draufskalieren – oder runterskalieren – sodass hier tatsächlich eins oder null oder minus eins rauskommt – das heißt ich muss einfach den Skalenfaktor – für mein Universum dann entsprechend anpassen – dieses hier mit der Konstanten K vertreten – das ist das was man üblicherweise – als die erste Friedmann Gleichung bezeichnet – und ?? der zweiten Friedmann Gleichung die Krümmung nicht aufgetaucht – ist – taucht in der ersten Friedmann Gleichung die Krümmung auf aber netterweise nicht der Druck sondern nur die Dichte – und natürlich die kosmologische Konstante – dann der mir zwei gewöhnliche Differenzialgleichungen – die erste und die zweite Friedmann Gleichung genau dann wenn die beiden erfüllt sind – erfüllt unser einfaches – Universum – die Einsteinschen – Feldgleichungen – der nächste Schritt wird dann sein die Lösungen dieser Friedmann Gleichung zu studieren was passiert denn mit unserem Universum bei irgendeiner Dichte – irgendein Druck – oder irgendein Wert der kosmologischen Konstante