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25.01.2 Kugelvolumen, Kugelfläche


CC-BY-NC-SA 3.0

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nochzu den Flächen und Volumina es ging los mit derKreisscheibedie kommt nachher auch wieder vorBeistrich die mal R Quadratdann kamendie Körperdieeine ebene Deckflächehaben eine ebene Grundflächebei sehen gleich aus sind nur parallel verschobenein ebenes Flächenstück hier unten beliebig geformtaber ebendasselbe oben nochmals senkrecht dazu verschobenoderschräg verschobenmacht keinen unterschiedHauptsache dieselbe Höhediese Höhe diese Höhe hierGrundfläche Arag und welche eigentlich auch die Deckfläche A der ?? an und das Volumen war in beiden FällenGrundfläche mal Höheund dann hatte ich noch was zu denKörpern erzählt die auf einen Punkt spitz zu laufen die Pyramidendie Grundflächeein Vieleck istoder die Kegeleine Grundfläche Grundfläche irgendetwasist und die haben nur ein Drittel davonbeliebig geformte Grundflächeeben muss sie seinder Körper zieht sich auf einen Punktzusammenmit geraden Linien in der Form dann ist das Volumen auchdie Höhe daneben schreibendie Höhe senkrecht zur Grundlinie gemäßböse Gerichte Grundflächegemessenda die Grundfläche dann war das Volumen ein drittel maldes Amalhardgeschriebenwie ein Drittel mal Armadaein Drittel von demwas der Körper hättebei dem die Deckflächedie Grundfläche parallel verschoben werdendas war das im letzten Malheute gerade noch diePSKugelvolumen und die Kugeloberflächekann auch im vor Kursaberhoffe es setzt sich dannmehrmalsnoch einmalmachender Trick bei der Kugel istspäter gewann ein Trick mit Zwischenkoordinatenaber der billigste Trick bei der Kugel die man machen kann ist man sucht sich einen Körper der dasselbe Volumen hatabereinen Körper des Volumens leichter berechnen kannfolgenden Körperman nimmt einen Zylindereinen geraden Kreiszylindersoll ich sagen geradesenkrecht zur Grundfläche hierexplodiertundist ein Kreis im geraden Kreiszylindergenehmigt und da bohre ichanaus der Deckflächeund aus der GrundflächeKegel rausgroßen Bohrer vor mit dem sie herein bohrendass es rausgenommenin Kelchein bisschen Wasser reinschüttenoder was auch immerandiese Figur hat lustigerweisedasselbe Volumenwie die Kugelmit dem gleichen Radiuskann man sich relativ einfach überlegen?? als Behauptung ist das die beiden das ähm Volumen haben dass das Volumen hier vonleichtem Volumendavon istdas kann ich so zeigenKommaich gucke mir Einschnitt auf einer bestimmten Höhe anwenn ich zeigen kann dass diese Fläche hier der Schnitt auf einer bestimmten HöhedieselbeFläche ist dies hierder Schnitt auf derselben Höhe ist dann habe ich gewonnenin die das bei diesem Körper machenauf einer bestimmten Höhe schneidenklingt ein Kreisringaus der gesamtenKreisscheibe ist hier oben ein Kegel rausgebohrtworden entsprechend untenwenn ich das hinkriegen zu zeigen dass das für alle Höhen dieselbe Fläche ist es in der Kreisring dieselbe Fläche wie diese Kreisscheibedamit nicht fertigwenn sich das wieder vor mitBierdeckel lauter ?? jetzt verschieden geformte Bierdeckel wie groß ist das Gesamtvolumen der Bierdeckel sie nehmen dieHöhe dieses Bierdeckelsein Millimeter zwei Millimeter mal seine Flächedie Höhe des nächsten Mal Beistrich und so weiterauf summierten Hans ?? eine gute Näherung für das Volumen des hier machen diese Fläche mal die Höhe ein Millimeter die nächste Fläche mal die Höhe und so weiter alles auf sie mir sobald die Querschnittsflächenimmer gleich sindkommt dieselbe Summe rausalles reicht das auf jeder Höhe die Querschnittsflächen gleich sinddann habe dasselbe Volumenanwenn ich hier ich sage ich gehe auf die Höhe Haardas wäre dann die Hörhaar aus dem Mittelpunkt der gesamte Radius hier wäre erund nun kommtPythagorasas ist wieder nass gewordendiese Verbindung hierist wieder Herrdas ist der Radius das ist der Radiusjetzt kann ich mit Pythagoras sagenwie langdieser Radius der Kreisscheibehier oben istPunkt erst mal genau hin und sieht ?? das ist eine rechtwinklige Strike hierdie ein Kathete ist H die andere Kathete kenne ich nicht über die News ist eralso muss ich haben das Quadrat dieser Seite plus Tag Quadrat ist gleich R Quadrat sie lösen auf diese Seite hat die LängeWurzelR Quadrat minus H Quadrat einfach mitPythagorasdamit kriege ich dieFlächeFläche auf dieser Höheist die Fläche dieser KreisscheibePi mal den Radius dieser Kreisscheibe ins QuadratPi mal Wurzel R Quadrat minus H Quadratdas ins Quadratsind die Wurzel als extrem gelohnt ?? Feldweg das ist also Pi malR QuadratminusH Quadrat das ist die Querschnittsflächeauf der Höhe Haar in der Kugelmannsieht dasselbe bei demVersagenangebotenZylinder anin der Höhe Haar auf der Höhe Haar Komma auf der Höhe Haarfür Haarwie kriege ichdie Fläche der KreisscheiberausNeinkreisringist natürlich wirklich die Fläche von diesem KreisringKrausalso hier will ich die gesamte Fläche minusdie Rausgebäudeflächedie gesamte Fläche ist eine Kreisscheibemit RadiusRdas wäre die gesamte Fläche Pi mal R Quadratdie Kreisscheibe wenn ich sie fülle davon ziehe ich abdie Kreisscheibedie rausgebohrtistwelchen Radius hat die Kreisscheibe die Hausgeburtisthier habe ich den Radiusda habe ich den Radius einmal auf dem sie gleiche Höhe hatdas heißt hier habe ich ein Winkel von fünfundvierzigGradund das heißt wenn ichdie Höhe hoch gehemuss ich auch die Höhe zur Seite gehen dass hierein rotesbis unter das hier muss auch wiederdie Höhe gewesen seider Radiusder inneren Kreisscheibeistdie Höhe um den ich und ich rausgegangen bin aus dem MittelpunktPi mal H Quadrat ist die Fläche der inneren Kreisscheibe damitsie sehen aber in der Tat das istdasselbe was wir vorher hattenwirdie Malaquadratendes Primera Quadrat vielmehr Quadrat minus Pi mal H Quadrat die beiden sind dieselben Flächenalso auf jeder Höhejeder Höhe gibt's dieselbe Querschnittsflächedamit haben die Kugelund dieser beiderseits AngeboteZylinder dasselbe Volumendas kann man dannsimpel hinschreibenwarnicht der Nummer zehnalso ich weiß jetzt dass das Volumender Kugeleine Kugel mit Radius Rmit Radius RHighschool erkennensoll ?? Schatten werfen so das Volumen einer Kugel mit Radius Rist dasselbe wie das Volumen von einemZylinderder von beiden Seiten angebohrt istPunkter hat den Radius herund er hat die Höhe zweieraber das Volumenkann ich nur locker ausrechnenes überhaupt ?? Sanduhr nicht sie könnten ihr Limit noch bisschen durchbohren dann lassen Sie oben Land einlaufenden Amsel SanduhrKlammer zu könnte man es auchsich veranschaulichen was für ??Wasserkörper das istso das Volumen von diesem Körperistdas Volumenvom Zylinderdem gesamten Zylinder minuszweimal das Volumen von einem der beiden Kegel?? seinnach den hatten wir eben das Volumen von einem Zylindernur Grundfläche mal Höhe GrundflächeWahlkreisscheibemit Radius R also Pi mal R Quadrat ist das ist die Fläche der Grundfläche ist die Grundfläche so mal die Höhe die Höhe war zwei erdas ist eherdas Volumen voneinem der beiden Kegel wieder rausgebohrtworden sind Kegelzulaufend ein Punkt als immer ein Drittelein Drittel vom Volumendes entsprechenden Objekts wenn ichoben noch mal dieselbe Fläche hätteals ein Drittel vom Volumen einesZylindersein Drittel vom Volumen dieses Zylindershat den RadiusR und hat auch die Höhe derBedienung bis zur halben Gesamthöhegesamte zwei Ergebnisse halbenRadius erhöhe erdas heißtein Drittel malGrundfläche von diesem Zylinder wäre Pi mal R Quadrat mal seine Höhe wäre erso weit Komma dass?? und dann steht da das sind hier vorne zwei Pi mal R hoch dreiund dahin sind das zweiZollPi mal R hoch dreiund dann haben wir insgesamt??und dann haben insgesamtzwei ?? sindzwei Sentenzen zählen sechs Drittelschreiben statt zwei nämlich zusammenfassen kann sechs ?? zwei sechs Drittel minus zwei Drittel sindÜberraschung vier Drittel Pi R hoch drei das was sie aus derFormelsammlung kennendas Kugelvolumenkeine schlechte Idee sowas auswendig zu habenimmer das Kugelvolumen hat gibt's die Oberfläche geschrieben schenktähnlich wie beim Kreis der des ?? schon vorgeführt wenn sie diebeim Kreisden Radiusetwas ändernund sich angucken um wasdie Fläche wächstdann ist das Wachstum der Flächeder Umfangder Umfangmal die Änderung des Radius wickelte das einfach ab das ist der Umfang mal die Änderung des Radius was dein Fläche dazu kommtwie ändert sich die Kreisflächewenn den Rades etwas änderedas gibt mir den Umfang denselben Tag kann man beimbei der Kugel anwendenwie ändert sich das Volumen der Kugel wenn ich den Radius etwas ändere das muss man was über dieOberfläche sagenmal ich das mal sinnvoll auf?? sind drei Dinge zu den bisschen ekligerich gucke mir das Volumen der Kugel eine Kugelich gucke mir das Volumen der Kugel an bei einem festen Radiusund dann gebe ich noch ein bisschen draufich kann so viel ich jetzt angemalt habeaberzu Gott besser erkennen als eine KugelOriginalversionund etwas größerwar??sehr viel größer gewordeneine etwas vergrößerte Kugelbestimme das immer so vorarmenkönnen diese Kugel sichdiese Kugel vor wie irgend einenDank der im Garten steht und gestrichen werden will wie viel Farbe brauchen sie um diesen Tank zu streichenOberflächeMarsch mal die Farbdickewie viel Fläche ist auf dem Tank drauf mal wie dick soll die Farbe sein sowie Farbe brauchen sie in Litauenwas hierzu kommtdiese Differenzistdie Oberflächeeines jetzt mal Haarin Abhängigkeit vom Radius die Oberfläche meiner Kugel malwie dick das ganze sie schreibe sowie die Physiker DRin die kleineVergrößerung des Radius sowie Farbe müssten sie Auftragen des wäre das Volumen an Farbebrauchenum eine Kugelan zu malen die die Oberflächeartund zwar in der Stärke DER an zumal das wärewas ein Volumen dazu kommtdas ist die Änderung des Volumensjetzt bin ich ganzbei den Physikern weiter so schreibe die Änderung des Volumens ist das hiernunals was hab ich gelerntwie ändert sich das Kugelvolumenabhängig vom Radius wenn ich das Kugelvolumennach dem Radius ableiteist das waswas passiertmit meinem Volumenwenn ich den Radius etwas änderesie lackieren diese Kugelwas passiert mit dem Volumen eine kleine Innung des Rates kommt irgendwie nur Komma ein Millimeter zum Radius dazu die Kugellackieren was kommt zum Volumen dazudas was sie an Farbe aufgetragenhaben wie viel haben Sie an Farbe aufgetragendie Oberflächemal die Schichtdicke der Farben sowie Farbe an sie aufgetragendas ist also die Änderung des Volumensund hier möchte ich wissenwie ändert sich das Volumen abhängig vomRadius im Verhältnissogar eher dazu schreiben das Volumen abhängig vom Radiusmit dem Radiuswas heißt das eigentlich ist doch mal ?? die sowasden Radiusein bisschen größer machen minus den Radius an der Originalstelledurch die weiter mit dem Radius größer gemacht dasdie Ableitungund dann sehen Sie okay was ist denn das das neue Volumen minus das alte Volumenist in sehr guter Näherung die Oberfläche mal die Änderung des Radius hier stehtdie Oberflächemal die Änderung des Radius in sehr guter Nehrung das kürzlichdas bleibtdie Fläche stehendiese Ableitung ist einfach die Oberfläche Ende des Kurvolumennach dem Radius ableiten kriegen sie die Oberflächeund damit habe ich jetzt die Oberfläche geschenkt in das Kugelvolumen kann ich schon Kugelomis für Drittel Pi R hoch dreialso weiß ichOberflächeeiner Kugel mit Radius R istvier Drittel Pi R hoch drei abgeleitetalso vier Drittel Pi er auchzweimal dreiR hoch drei abgeleitet nach er macht drei R Quadratund ich bin bei der üblichen Formel nahmich miran sie auf den Seitendrei kürzlichund da bin ich bei der üblichen Formel Pi vier PR Quadrat die Oberfläche einer Kugeldas kann ich mir ?? noch relativeinfachvorstellenwenn sie eine Kugel ?? ups wenn Sie eine Kugel habenguckensie sich an?? gucken sich die Kreisscheibeentlang des Äquatorsan so diese Kreisscheibe ist Äquator der Kugelda bilden sie eine Kreisscheibewelche Fläche hat diedie Kreis scheinbar den selben Radius wie die Kugel eher jedem Radius erdas heißtdiese Fläche hierdie Fläche derKreisscheibedurch den Äquatorist Pi mal R Quadratund die Kugel die gesamte Flächeist viermal so großKomma das ins Verhältnis setzen wenn sie das Wissen einhinnehmen einerwürde sagen die größte Kreisscheibedie Sinne Kugel bilden können so die größte Kreiskreisscheibediese Kugel bilden könnendavon die Fläche mal vier ist die gesamte Oberflächefinde ich persönlich nicht ganz unanschaulichanschauliches natürliches auch drei Komma neun oder vier Komma sieben sein können uns netterweise endlich das vierfache diese Fläche hier mal vier ist diegesamte Oberfläche?? gesehen