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23A.2 Pi mit Integral und Arcustangens berechnen; Leibniz-Reihe


CC-BY-NC-SA 3.0

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ja – schon angedroht – das man Stammfunktion – angeben kann – dass es ihr ein glücklicher Zufall – es gibt zwar immer Stammfunktionen – ?? Komma sie im allgemeinen nicht mit üblichen Funktionen hinschreiben – kann sie auf Malen man kann sie numerisch schätzen – aber man kann sie nicht mit den üblichen Funktionen Sinus großes X Mannshafens und insoweit in der Funktion hinschreiben – im allgemeinen – einen jetzt nur ein Fall wo das gerade noch so klappt's und das Ergebnis – ein sehr – überraschendes – ist – nämlich – wenn ich folgende Funktionen integrieren – zwar von null bis eins Leser die Funktion einst durch eins Plus X Quadrat – von – dem Ding – ändert sich vielleicht noch einer – an die Stammfunktion ✂ Punkt – das war – der Erguss dann ins – Tal der Arcus Tangens von X ist eine Stammfunktion – dazu denn wir haben schon überlegt – die Ableitung vom August an Gentz ist eins durch eins Plus X Quadrat – können sich notfalls auch normal die Kurven angucken einst durch eins Plus X Quadrat – wenn X über alle Grenzen wächst wird das null werden – in positiver Richtung wie negative Richtung diese Zahl wird niemals negativ werden wenn X gleich null ist ist es der größte Wert überhaupt – weil dann deren Nenner hier am dichtesten bei eins ist das jetzt eine Glockenfunktion – werden einzig als posix Quadrat – sowas – nicht die Gaußglocke aber eine Doppelfunktion – und der Argus Tangens – passt doch ganz nett dazu – als Stammfunktion – mit den Akkus Tangens ableiten – die Atlantis fast nur hier oben – positiv aber fast null das passiert so wie es die Ableitung positiver steigt ganz kleines bisschen – fast nur die Ableitung was dazu ist die Ableitung einstmals dazu – nicht ganz unplausibel dass das so sein muss und lernte so nachgerechnet dass das so sein – das die Ableitung von Markus dann gleich – eins durch – eins Plus X Quadrat ist – nun – jetzt setzen Sie mal null und eins ein was ist der Akku seines von null ?? billig was ist der Akku seines von eins ✂ ?? – Fische hier – also hier steht dann wenn ich ausrechnen das ist der Argus Tangens – von eins minus der Argus Tangens von null die Stammfunktion – ominöse Stammfunktion und Gesangs von null Hamburger sogar noch gesehen im Bild ist null – ist nicht wirklich – tragisch – für welchen – plausiblen Winkel wird der Tangens null – null – und hier für welchen sinnvollen Winkel mit der Tangente eins ich brauch ein Dreieck – in dem das Verhältnis – gegen Kathete durch einen Vertreter ?? – die Gegend Kathete ist zu lang für die an Kathete Das heißt Tangens eins das Verhältnis ist eins – ?? gegenwärtige lang für die ein Kathete sehen – das muss gleich schändlich sein – wenn vierzig Grad und vierzig Grad das hier müssen fünfundvierzig Grad sein der Argus Tangens von ein – müssen sinnvollerweise von vierzig Grad sein – natürlich hier Bogenmaß arbeiten nicht fünfundvierzig Grad – Pi sind – hundert achtzig Grad die halbe sind neunzig Grad die vierte – das ist doch lustig dieses integral hier gibt die vierte – ich integriere – so eine Funktion die doch ganz harmlos aussieht da steht nichts Schlimmes mit Kreisen – und mit Winkeln und ähnlichen Geschichten – und ich kriege plötzlich die Viertel raus aus einer harmlosen Funktion – das spannende ist das ich dieses integral noch komplett anders berechnen kann weil diese Funktion so harmlos ist das machen jetzt mal damit fing eine Formel für die – es keine – effiziente Formel für Pi aber eine sehr überraschende Formel für die – nämlich – hat sich versucht jetzt das integral auf andere Weise zu lösen – erbitte Sammer direkt mit der Stammfunktion – wird probier es anders – und zwar erinnert man sich an folgendes – einst durch – eins – minus – zwei Z eins durch eins minus Z – dafür gab's – eine Formel ✂ das hier war die geometrische Reihe wenn ich die auf summieren – eins plus – plus Z Quadrat groß Z hoch drei – und so weiter bis ins unendliche – Aufsummen – hat auch nicht immer funktioniert das geht nur wenn der Betrag von Z kleiner ist als eins – bei der geometrischen Reihe – der Trick war hier mal endlich viele zu nehmen – sowas zustande gekommen eins Prozent plus und so weiter plus Z hoch – Komma hundert – und dann mit dem eins minus Z zu multiplizieren – dann ergab sich eine Teleskopsumme – einzusetzen sind ?? hundert und mit dem minus Z – hat sich die Hälfte wieder weggehoben – an – den Trick kann man nun verwenden – und zu sagen was einst durch eins Plus X Quadrat ist – wenn mein X nicht zu sehr aus dem Ruder läuft sie hier läuft das X ja von null bis eins – von null bis eins Das heißt X Quadrat – läuft – auch von null bis eins – steht zwar kleiner einsamer Skat das letzte Stückchen hier wenn X gleich ein ?? funktionieren – zumindest für die Physiker und Ingenieure – sind da sehr zuversichtlich dass das schon funktionieren – was passiert mit dieser Formel wenn sie die anwenden auf eins durch eins Plus X Quadrat – und dann versuchen das integral zu bilden ✂ also man macht eine Substitution – ja X Quadrat – minus Z – oder – Z ist gleich – minus X Quadrat – das Ersetzen – nun in der Formel oben – in der Familie – die hier Z gleichmäßig Quadrat einsetzen steht der einst durch eins Plus X Quadrat – wissen sich hier dann analog bilden das also eins – minus X Quadrat – assistant Z Quadrat ✂ erteilt – Plus X such vier – und dann hierdurch Mieder minus – minus – X Pro – sechs – plusminus – und so weiter immer abwechselnd – plus Minus plus Minus Plus so – damit habe ich eine andere Art wie ich jetzt plötzlich – eine Stammfunktion hierzu finden kann – in eins durch Einfluss X Quadrat das es nicht richtig prickeln darf eine Stammfunktion zu finden lustiger Weise – kennen wir einer Pizzeria Zufall das war eine Ken – waren – aber jetzt am eine ganz andere Art Widerstand und zur finden können – über die rechte Seite – um sich mal an was hierzu jetzt die Stammfunktion – ist und Brechen des integral – hiermit aus mit einer Stammfunktion zu der rechten Seite aus – die Gral von – ?? wann wird das integral von null bis eins über eins durch – eins Plus X Quadrat – das integral hiervon von null bis eins – ist dann ja auch das integral – hiervon von null bis eins und für den hier sollten Stammfunktion angeben können – okay ✂ soweit sind – sie das gibt – eine ganz simple Möglichkeit das zu integrieren – jetzt von null bis eins eins durch eins Plus X Quadrat TX – am – Shop Komma den – kam mir so hin das ist also Klammer auf eins minus X Quadrat plus X vier minus Ixus sechs plusminus – und so weiter – X – das könnte man mit dem Summenzeichen – schreiben – oder sie zu hässlich aus – schreibe ich lieber so dann weiß ich was ich da mache – nun – nebenbei hier Klammer auf – dass sie Täter aus wenn sie da keine Klammern schreiben Sie das so aus als ob ihr der letzte mit X modifiziert wird – und der Rest hiervon in der Gegend hängt er mich viel schicker – beim integral – Dali Klammer zu haben integral – eine Summe steht – ja und jetzt geht das hier nach Schema F aus einer was dazu sagen – was die – Mathematik davon hält – Unterschied zur Physik und zu Ingenieurkunst – an – in der Physik und – im Ingenieurwesen – ist man da jetzt ziemlich gnadenlos – und – sagt okay ihr vorne Stammfunktion – das es ja wohl X und jede Stammfunktion – ist ja wohl X hoch – drei Dritteln eine Stammfunktion – ist X hoch – fünf jene Stammfunktion – ist Ixus sieben – siebtel – plusminus – und so weiter klar wie das weitergehen muss anscheinend immer ungerade Potenzen durch – jeweilige Potenz mit plus Minus plus Minus plus minus – ein – dazu machen – in den Grenzen von null bis eins – und dann finde ich also wenn ich die eins Einsätze – eins minus – ein drittel – plus ein Fünftel – minus – ein siebtel – plusminus und so weiter – die Kehrwerte – der ungeraden Zahlen immer abwechselnd mit plus und minus – minus null einsetzen – Bayer null null null null null dass sich der Weg – im ?? Organ – also finde ich – auf diese Weise das – Wasser die eine Art das integral ausrechnen mit der – überraschenden Stamm Punkt und Akkus Tangens – ich finde das die Viertel sein muss – nun – eins minus ein drittel plus ein Fünftel minus ein siebtel sind passiert überhaupt nichts Schlimmes – das sind die Kehrwerte – der ungeraden Zahlen – mit Plus und Minus und das plötzlich die Kopie Viertel – aus ganz schrägen Grunde – ähm – Fußnote – die schonende Behandlung bedeutet gerade die Mathematiker – kriegen bei diesen Sachen die das kalte grausen ?? man das so rechnet – am – erstens gilt dieses hier nur wenn X – Quadrat – strikt kleiner ist als einzig die aber bis eins dran das ist nicht ganz – sauber – zweitens ist das sie keine endliche Summe versteht mich – irgendwas mit tausend Termen und eines Feierabend ?? stehen unendlich viele Summen deshalb mit Grenzwerten zu tun ?? muss vorsichtig sein – ähm wenn ich ein integral einer Summe mit tausend zu machen bilde dann kann ich das integral jeweils einzeln bilden ?? wenn ich ein integral von unendlich vielen Summen hier haben eine Reihe – dann muss ich eigentlich vorsichtig sein – in der Mathematik zumindest – nun – also nicht wundern wenn sie NV Wikipedia gucken oder so und dann eine seitenlange Herleitung dafür finden wenn man das sauber machen will was es wirklich wasserdicht ist muss man sehr viel vorsichtiger sein als ich das jetzt hier vorgeführt haben – da sind die – Leute aus der Physik und aus wenig Ingenieurwesen – eher gnadenlos was das angeht auch in der Mathematik passt deutlich mehr auf – am – das heißt – wir finden also – Pi ist das – vierfache – von eins minus ein drittel plus – ein Fünftel minus ein siebtel – plusminus und so weiter – das ist allerdings keine geschickte Idee um Pi auszurechnen – wenn sich hier – bis zum – was normal – hundertsten zum angeben – der ?? muss das an wenn sie hier bis zum hundertsten zum angehen – in welcher Größenordnung – ist der hundertste so mahnt ✂ der hundertste so mahnt was ihr – plus minus ein hundertster Stelle dazu kommt ein zwei drei vier ist in der Größenordnung – von ein zwei hundertste – es geht immer doppelt so schnell – eins zwei drei vier hier ein hundertster Stelle mit irgendwas in der Größenordnung von ein zwei Hundertstel stehen – wenn sie hundert auf summiert haben hiervon heißt es hundert von diesen Geräten auf summieren ?? geht das noch immer um plus minus ein zwei hundertste – das heißt sie haben – mit Glück zwei Stellen hinter dem Komma nachdem sie hundert auf summiert haben das macht nicht viel Spaß an – diese Reihe ist keine gute Idee um Pi tatsächlich auszurechnen – es dauert ewig lang bis diese Reihe sich auf ein Viertel von Pi – zusammenzieht – dass es keine gute Idee so ausrechnen als misshandelte plus ein Fünftel der siebtel – an sie ganze Matratze verweisen Tabellenkalkulationen – eingeben – und dann gucken was passiert wenn sie hundert auf summieren das schwankt eben immer noch – auf der dritten Stelle nach dem Komma