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22.01 Lineare Näherung und ihr Fehler


CC-BY-NC-SA 3.0

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nochmal mehr zur Tangenten geradediese kann das ja nur so vor das ich meine Gruppewurde dann den gerade horizontal istam Schumann Kandidatenfür lokales Maximum lokales Minimummuss man immer eins einen oder?? Agenten gerade erst in die eine Richtung gibt's und dann in die andere Richtung gibtBeistrich dass ich zwischendurcheinenWendepunkthabe und all sowaskann es auch tatsächlichbenutzenumWerte zu schätzen das will ich jetzt wo führen die lineare Näherungerst noch mal zur Erinnerungwie das Mantra mit der Ableitungdie Ableitung einer Funktion an einer Stelle X nullfahrich schaue mirdiese SekantensteigunganF an der gestörten Stelle minus elf an der Originalstelledurchweit liegen die beiden auseinanderdas übliche DiagrammistX null drei sechs null Plus Haarist meine Funktionund ich gucke mirdieses Dreieck kanndie Differenz aus Funktionswert an der gestörten Stelle Minusfunktionwird an der Originalstelleist diese Seite hierder steht im Zählerder Zählergeteilt durch Hartweizenhaarauseinander gibt mir die starken in diesem Dreieckund die Hoffnung ist wenn ichdavon den GrenzwertbildernH gegen nullkommt etwas sinnvolles rauswenn was rauskommtwill sagt mir dieser Grenzwert existiertdas Ganze die Ableitungeiner Funktion eine Stelle X nur die Tagentensteigungund erstellealternativ fertig vorgeführt wie man dasklein O schreiben kanndas es etwaseleganter?? kann ich schreiben eine Funktionan der gestörtenStelleist gleichmeine Funktion an der Originalstellelosmit Gegnern wie das weitergehtPunkt ich starte mit diesem Funktionswerthier an der Orgel PunktMeditationwird an der Originalstellediesedazuwas mir denn so die Tangenten gerade ansagt wenn dass sie die Tangenten gerade istdie Richt dieses rote Stückchen dazu mit Funktionswert von X Lotus Haar zu schätzenes wurde Stückchenist die Steigung der Tangenten gerade mal wie weit die beiden ihr auseinanderliegenH malBeistrich von X nulldas beides zusammengenommenhierist die Gleichung für die Tangenten geradedasist natürlich nicht exaktschon bei demLandau hier schreibe ich dann eben noch dazu das ist der Trickklein O von Hes gibt eine Differenzim Zweifelsfallaber diese Differenz ist von der Artdas dir diesen ?? das die diesen Grenzwert zu null macht also dieses klein U von Herfülltdas der Grenzwertklein Uklein U von H durch Hgleich null istes fallensogar von dessen Schreiben verwischen eine anonyme Funktionvon der ich nur angebe wie sich dann im Grenzfallverhält was passiert mit dieser anonymen Funktion wenn ich sie durch Haarteile den Grenzwertbilderdienen ?? klein Odas sieht etwas eleganter aus als wenn man durch H teiltso das mich immer die gleichen der Tangenten geradedas ist die lineare Näherung auchdie Ernährung an einer Funktion an eine Funktion ich habe eineStützstellewenn Sie so wollen X null ?? an der ich meinen Funktionswert habe und meine Ableitung habewenn Sie diese ganzeformuliert zusammen nehmenhaben sie eine gerade die sich sehr schön an die Kurve dran schmiegt meine Originalfunktiondie kann ich benutzenFunktionswertezu schätzen zu näherwenn sie hier sindim Süden wird hier auf der geraden wenn sie hier sind nimm sie wird auf der zwar als Ersatz für den Funktionswertdas heißt lineare Näherungdas kommt nachherin ganz vielen Dimensionen vorMillionen?? zwischen hundert tausenden Dimensionen wenn man irgendwelche Bauwerke analysiert und elektrischeNetze analysiertund in Wasser nicht den Realitäten drin hatdannist einer der typischen erste Schritte erstmals an den Jahresbezuganzugeben und sich anzugucken was denndiese etwas einfache Funktion machtdie lineare Näherungwas ich ihn als Beispiel vorführen will ist wie man Wurzeln schätzen kannund zwar möchte schätzen die Wurzelaus hundert und dreidie Wurzel aus hundert und dreiist ungefährwaskönnen Sie sagen mir geht es mit einfachen Taschenrechneran andererseitsdiebilligen Chipsmit dem dritten Semestereinmal gerade was mit einemziemlich einfachen Makrocontrollerdie ganz billigen Chips die in jedem Kühlschrank und in jedem Auto am besten zwölfmal jeden Auto oder zwanzig ?? im Auto sitzendie können nicht die Wurzel aus hundert und drei die können mit ganzen Zahlen rechnen sonst nicht?? müssen sich überlegen immer den über tausend und drei den hinkriegen könntedas offensichtlich keine ganze Zahl das gehtnur mit irgendwelchen NäherungsverfahrendanndaKomma dass ich dann sogar Profit aus sind man weiß wie das mit derTangenten gerade geht mit der linearen Näherungals Bild mal hin gemalt was mir vorschwebtdie Wurzelfunktionziehenweil diesodieWurzelfunktionenprinzipiell skizziert das hier soll die Wurzelfunktionseinstimmt natürlich vom Maßstab ?? jetzt überhaupt nicht aber das ist mir auch relativ Schmerz nur als Ideeich möchte wissen wie groß die Wurzel eine Stelle hundert und drei istwas weiß ich denn schon mal so in der NäheFalling weiß ich erst maldas in der Nähe die hundert istalso?? Skriptein der Nähe ist die hundertDame den Wert zehnjetzt frage ich mich einfach okay was kommt in der ?? noch dazuein sehr kleines Steigungsdreieckhierwas kommt es auf diesem Weg von hundert hundert drei dazu sind im Master bisher ganz im Eimer?? des Maßstabs gerecht zeichnetenKommaan das wird sich jetzt mit der Tangenten geradealles noch in die Nummer drei reinanmeine Funktionist die Wurzelsofort mit der Wurzeldie Wurzelaus hundert weiß ich das ist zehndas wäre Punktdieser wird hiermein Stütz wird die Wurzel aus hundert ist sie gucke an der StellesollStruck eine Stelle zehnLeerschritt eine Stelle hundert und zehn aus keine Stellung hundertWurzel aus hunderten Kriege zehn ausden kenne ichund dann gehe ich um drei zur Seitehundert und drei dieses heißt also gleich dreirechnen obendrein hierfür noch die Ableitungan der Stelle zehn aus muss müssen wie steil die Wurzel ist an dieser Stellekeine große Kunst mehr dieWurzel abzuleitenX hoch ein halb macht einen halbwegs hoch nachein halb X hoch minus ein halb?? zu minus ein halb also eins durch zwei WurzelXdas heißt meine Ableitungan dieser Stelle zehn ist eine Stelle hundert Ableitung der Stelle hundertist eins durch zweimal die Wurzel aus hundertalso ein Zwanzigstelgestaltende Wurzelfunktionhier ist ein Zwanzigstelan der Stelleausgerechnet mithilfe dersowas weiß ich nurich weiß ich bin auf der Höhe zehndiese Strecke ist zehnhochich weiß diese Steigung hier der Tangenten gerade ist ein Zwanzigstelund ich weiß das ich auftretendengeradein X Richtung drei zur Seiteje drei Schritte mit der Steigung ein Zwanzigstelund damit habe ich einen Ehrung für die Wurzelalso weiß ich die Wurzel aus hundert und dreiist in den Jahren Näherungein Originalwerthierzehneine Stelle hundertplusjetzt gehe ich drei zur Seitemit der Steigung ein Zwanzigstelalso plus drei zwanzigstedrei Zwanzigstelwäreähmfünfzehn Hundertstelalles in zehn plus fünfzehn hundertstemeine Nehrung wäre alsozehn Komma eins fünfdas wäre die lineare Ernährungfür die Wurzel hundert dreiwenn ich als Stützstelle für die hundert nehmenaber nur mit dieser Form hierbitte nicht diese Formel auswendig lernen verstehen sie was da passiert??an der Stelle X null gehe ich zur Funktion hin eher von X nullund dann gehe ich mit der Tangentensteigungauf der Tangenten geradeUnterstückchenhat zur SeiteBerichte nach obenschreite ist H maldie Ableitung H mal die Steigung der Tangenten geradelieber verstehe ich auswendig lernen genau das passiert hiermein Fusion ?? bis zehndavon zu sehen ich gehe drei Schritte nach rechtsauf einer geraden mit der Steigung ein Zwanzigstelso füge ich dann auf der geraden nach oben insgesamt in Ehrung zehn Komma eins fünffür dieWurzelfunktionvonhundert und dreidas ist aber nur die halbe Miete streng genommen in der Praxis tatsächlich das jetzt ausrechnen und sagen ?? habe bestimmen streng genommen müsste ich mir überlegen was denn der Fehler istdas werden Sie schon in der Physik gelernt habenden Sinn einer Meßwetter steht dreizehn Komma vier fünf Meter?? schön aber was ist die Ungenauigkeitmit der ich rechnen muss ?? haben so eine Schranke für den Fehler Hansen erwartete Ungenauigkeitmuss zumindest irgend eine Idee haben wie gut dieser Messwerte sonst nicht viel damit anfangenkann der wahre Wert auchdrei neunzig Komma sieben seinobwohl ich dreizehn Komma vier fünf als Messwert angebe auchAngaben zu den Fehlern Angaben zu den Abweichungendas geht mir auchdas muss man sich an der Stelle auch überlegen streng genommenwie gut ist denn dieser Wert kann ich dieser fünf Vertrauenkann ich der eins vertrauenund es nach ?? doch zehn Komma dreidaskann man relativ einfachabschätzenwie groß der Fehlerwerden wirdund zwarwenn meine Funktionsich schön an schmiegt eine Tangenten gerade kein Lückentextwenn meine Funktion sich schön einen schmiegtan die Tangenten gerade dann stimmt auchden Jahren Näherung recht Punktich habe ein Problem wenn sich meine Funktion weg und von der Tangenten gerade hier stimmtdie Funktion und die Ableitung auch ins meine Funktion bekommt von der Tangenten geradehabe ich ein Problemund dieses wegräumen hängt mit der zweiten Ableitung zusammenin die erste Ableitungimmer Konstanteistdann habe ich ja sogar eine Gradgerade haben sie meine Konstante Ableitungich habe dann eine Krümmung weg von der geraden in die zweite Ableitungungleich null istjetzt noch folgendes voraus das ich weiß das die zweite Ableitungimmer gleichdie zweite Ableitungimmer gleich im ist dasin eine Konstante im?? ist esnachherso eine Funktion??Tangenten gerade stimmt'saber dieFunktion krümmt sich weg von der Tangenten geradedannhabe ich folgendesdann habe ich das dieerste Ableitunggleichder Ableitungan dieser Stützstelleist pluswie könnte die erste Ableitung ausrichten wenn sie das habendann muss also die ersteAbleitungeine Funktion ein Jahr Funktion mit dieser Steigung sein wenn die richtig baue hiermit meinen Anfangswertähm malX minus X null so müsste dann meine erste Ableitung aussehen werde ich diese Steigung im halbwegsrichtigen Anfangswert haben wenn XX null istX klein X null wieder hinten weg und es steht Beistrich von X null ?? habe ich eine Nerven zum Anfangswertalso wenn meinezweite Ableitung eine Konstante wäre müsste man Erstableitungso aussehenund dann müsste meine Originalfunktionwie Aussehenhier habe ich KonstanteFBeistrich von X null komplett aus dazumal Xleite ich abund kriege den sie essen nur schwierigerX minus X null rauszukriegen beim ableiten helfen Beistrichirgendwas ableiten X X null rauszukriegenX minus X nur den klammen Quadratender Vorstädte im halbherzigenFenster ausähm beim ableitenbleibt als Faktor stehenX minus X null Quadrat halbeKettenregel ableitenX minus X inder irgendwas ins Quadratableiten macht zweimalwas drin steht ?? aus Ableitung zwei durch zwei gibt sich wegBeistrich dass der und in Ableitung X mit sechs hunderteinsdass die Band tatsächlich denhier der niedrigeren Business Anfangswertstimmte übliche Trick X minus X null schreibe ich dahinund beschreibt den Anfangswertmeiner Funktionenstimmt esX klein X null setzenStädte eher von X null plusirgendwas mal null plus irgendwas mal nun wirklich von X nullKonstantesowenn also die zweite Ableitung eine Konstantewärewäre das hier meine Originalfunktiongewesenundmeine Abweichungwäre dannvon der Tangenten gerade sie sind die Tangenten gerade meine Abweichung von der Tangenten gerade wäre dann das hier das hier wäre die Abweichung von der Tangenten geradeAbweichungwäre alsodass sie den Textabweichung vonder Tangenten geradean der StelleX gleich X null plus H interessiert mich jadie Abweichungandieser Stelle hier an der gestörten Stelle von der Tangenten gerade wie weit man Funktion weg gekrümmtwäre dann was ihnen steht die vorne steht wieder die Tangenten geradewird plus Ableitung mal gehört zu Seite gegenständlicheStörung über zwei Funktionbekommt von der Tangenten geradewarennämlichim halbe malen des Sehens den einfach HaarGuillaume hat zur Seite am Heinemannhaquadratwenn ichwüsstedas Feuer der die Voraussetzung wenn ich wüsste dass meine zweite Ableitung eine Konstantewärekönnte ich das so rechnenwenn meinezweite Ableitung eine Konstante ist typischerweise wird die zweite Ableitung keine Konstante sein wie das ganze eine Nummer schwieriger aberdieses ist der extreme Fall wenn die zweite Ableitung eine Konstante ist es der extreme Fall denn danngeht die Kurve die ganze Zeit wirklich weg von der Tangenten gerade eine Richtung ?? Ableitungdie zweite Ableitungdiesmal positiv mal negativ denke die Kurve mal hin und mal wieder zurückund wenn die Ableitungdie zweite Ableitung nicht immer Amis sondern auch mal weniger ist die Kurve mal nicht ganz so schnell mal weniger?? weg von derTangenten geradedas hier ist sozusagen der schlimmste Fallan sich kann das sogar noch mal anders schreibenanim allgemeinenFall hat mangemeinhabe ich das diese Abweichungwarkleiner gleich die Abweichung ?? Shops soemsig das die Abweichung genau gleich im Rademacher Quadrat es allgemein habe ich das die Abweichungkleiner gleichjetzt wissen müssen schwierigRahmen desMaximumderzweiten Ableitung im Betraghalbe Mal Haquadratistalso wenn sie wissen dass die zweite Ableitungganz sicher kleiner gleich einen Salem istwissen Sie dass die Abweichung schlimmstenfallsdiesesSchranke für die zweite Ableitung im Betrag halbeMal über dich zu Seite ins Quadratso kriegt man danneine Schätzungsoll so gesanglichen Einschätzung eine exakte Eingrenzung für den Fehler ich weiß der Fehler kann nicht größer werden als das eine Kurve kann sich nicht weiter als daswegräumenund im Beispiel sieht's dann so ausder Wurzelmal wieder zurück zur WurzelWurzelfunktionsieht's dann so ausnunmeine Originalfunktionwar dieWurzelmeine Ableitungwar einst durch zweimal die Wurzeldie zweite Ableitung wird etwasunangenehmdas hier ist ein halb X hoch minus ein halb Rohbau ein halbdass hierbei ein halb mal X auf minus ein halbnoch mal ableiten ein halb mal zumindest ein halb bis minus ein halb kommt nach vorneX hoch minus ein halbMainz vermindern Exponenten um eins vermindert ist ?? zumindest drei halbemacht alsoum minusein viertelhat man ein halbX such minus drei ?? wie kann ich das vorzuschreibender Tat einst durch Wurzel aus X hoch drei schreibt glaub ich lieber eins duedie Wurzel aus Xin Klammern hoch drei das ist ein hilfreicherso das wäre die zweite Ableitungder wird zehn werdendie Wurzel aus hundertder Werteins durch zweimal Wurzel aus hundert wird eineszwanzigstewerdensojetzt ist die Frage was wird das hier schlimmstenfalls??ich muss mir angucken wie weit sich meineKurveauf dem Weg vonhundert bis hundert und drei bekommt wie dieWurzelfusionkonnte von unten kommt sich also welcherStelle hundert und sich so nach unten weg die Wurzelfunktiondie Frage ist jetzt wie weit krümmt sich die Wurzelfunktionweg auf dem Weg von hundertbis hundert und dreiwie schlimm wird die zweite Ableitungauf dem Weg von hundertbis hundert und drei was ist der schlimmsteWertin die zweite Ableitung haben kann auf dem Weg von hundert bis hundert und dreiich möchte diesen Ausdruck hier irgendwie zähmender sagt mir wie schnell sich meine Kurve kommt von der Tangenten geradedes auf jeden Fall negativX liegt zwischen hundert und hundert und dreidas es positiv minus ein viertel Maus positiv das auf jeden Fall kleiner als null auf jeden Fall negativdie Frage ist wie negativkeiner werden was ist der Negativswertenbekriegenund den negativen Wert kriegen wir fürein hundert?? bei ein hundert und dreiwird die Wurzel größer als bei ein hundert Billiarden Kehrwert der Kehrwert wird ein kleiner Verkehr welche von den ganzen Wurzelkram?? hundert Reis kleiner alswenn ich hundert Einsätzedie minus noch kandidierenbei hundert Schrägstrich hundert gibt sie negativenWertdieser Werte ist garantiertnegativ und fix ein hundert gibt der gibt den negativenWertdas heißt ich weiß folgendesich weiß das die zweite Ableitungwar zu andersrumich weiß das die zweiteAbleitunggarantiert kleiner ist als nullund garantiert kleiner gleich ihren Wert für ein hundert ist ein viertel eins durchdie Wurzel aus hundert hochdreidas ist der negativste Wertschlimmer kann's nicht werdenHandelskammern ausrechnen die Wurzel aus hundert ist zehn hoch dreizehn Tausendstel hier steht also minus eins durch vier tausendzwo das ist der schlimmste Wert wird angenommen an der StelleX gleichhundertdamit kann ich es abschätzen wie schlimmsich meineWurzel von der Tangenten gerade weg undwenn sie die ganze Zeitdiese zweite Ableitung hättedann würde sie sich so weit weg kommendas wäre der schlimmste Fall aber netterweisemuss freundlich hat sie nicht die ganze Zeit diesezweite Ableitung des heiß wird sie nicht ganz so schlimm wegräumen aber wenn wir dafür einsetzenhaben Hirnschrankedafür also der Fehler ist schlimmstenfallsdas was ich kriegewenn ich die zweite Ableitung die ganze Zeit gleich minusein Viertausendstelfehlerextra irgendwoeinder Fehlerist schlimmstenfallsdas was ich kriege wenn die zweite Ableitung die ganze Zeit minus und wetzt tausend Gewehre auf der Strecke zwischen hundert und hundert und dreiund dann wäre er minuseinacht Tausendstelmalweil ich zu sein seitig ins Quadrat also drei ins Quadrateinenausführlichenminusein Viertausendsteldas wäre dann diese Zahl im Mal ein halbmal Heinz Quadratalsoheißt dreißig geleitete Seite zu Seite von hundert hundert dreiins Quadrat macht neunund unten stehendacht tausend minus neun acht Tausendstel ist der Fehler schlimmstenfallswenn ichGlück hätte ist einfach null aber schlimmstenfallsist er minusneun acht Tausendstelheißt ich kanninsgesamthinschreibenwas denninsgesamtkann ich hinschreiben was denn so rauskommt das für den nächsten Textes überachtdie Nummer neun kann ich jetzt also insgesamt schreibendie Wurzel aus hundert und dreiliegt in folgendemIntervallKomma dass sie Komma eins fünf ergibt zehn Komma eins fünf aus der linken Währungzehn Komma eins fünfim schlimmsten Fall kommt sich die Wurzelfunktionum das hier nach unten Weg an der Stelle hundert und drei ihr mich bei Stellung hunderter Passfrage mich wie weit sie wegräumen kann schlimmstenfallsdas alsominus neun durch acht tausendist das was schlimmstenfalls passiertich habe schon gelernt sie kann sich ?? bekommen ?? zweite Ableitung ist negativ sie können sich nicht nach oben weg das heißtich kann als obere Grenze das sie hinschreiben zehn Komma eins fünf das wäre genau der Wert hier auf der Tangenten geradeirgendwo dazwischenmuss die WurzelfunktionanPunkt damit habe ich maximale Fehler habe ich maximalein maximal Fehler bestimmt eine Schranke für die Abweichung bestimmtnoch mal ausrechnenwas der zufällig rauskommt der hier vornesie sehenamneun achtTausendstelMadameTausendstelBeistrich um den Fehler gehthier möchte ich ja nichtwarendie auch den Originalwerthaben ?? möchte ich eine der meiste Fehler ist es ?? kann ich jetzt noch mal grob ganz ob mir das angucken neun durch achtmacht ungefähr ein Zehntel ungefähr ein tausend das ist ungefähr ein tausend Stückdas heißtäh schlimmstenfallswird es sein wie einsnull Komma eins fünfjetzt ein Tausendstel Abziehen ein tausend abziehen wäre null Komma null null einssaust auf der nächsten Stelle eins abziehen das wäre schlimmstenfallswas herauskommenkannalso hier schlimmstenfallseinsnull Komma einsvierneun irgendwasdas wäre das schlimmste was passieren kann ?? etwas mehr genau angepriesenen neun acht Tausendsteles ist etwas mehr als ein Tausendstel deshalb hier alsoachtirgendwasich weiß also jetzt ohne Taschenrechner ohne allesdas die Wurzel hundert dreizwischeneins null eins vier acht und eins null eins fünfliegen muss zwangsläufigamSommer sieht er sich immer genauer habenhierUnsinn produzierealso zehnKommaeins fünf mit dem Taschenrechnergleich die Bus hundert drei ausrechnen könnenneundurchacht tausendzehn Komma eins vier acht acht sieben fünfwäre das es bei ?? noch mal genauer acht acht sieben fünfaberbis auf drei Stellen hat man das dann ja so und jetzt zum Vergleich die Wurzel aus hundert und drei hundert und dreiinvers die Wurzelvier acht acht neunsieben vier acht acht neun der hier wir jetzt Originaleins vier acht achtacht acht neun und so weiterwas ehrlich ehemaligeMuster zu acht als abgesagt es muss auf jeden Fall liegen zwischenzehn Komma eins vier acht und zehn Komma eins fünf sind zehn Komma eins vier achtist doch gar nicht mal so schlechtdas wäre die lineare Näherung in Aktionan ganz hoch offiziellKomma dass es ein Profi großes N die Abweichung schlimmstenfallsschlimmstenfallsist die zweite Ableitungeine Konstanteso schlimm wie sie wird auf dem gesamten Gebiet hier ?? ich hier so schlimm wie sie maximal wird auf dem ganzen geht hier zwischen hundert und hundert und dreidas gibt eine Schranke für den Fehler