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Kovarianz, Kontravarianz, Tensoren

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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Gleichungen – die man dann in der speziellen Relativitätstheorie – hin schreibt – und erst recht in der allgemeinen Relativitätstheorie – die sehen auf den ersten Blick ungewöhnlich – aus für das ungeübte Auge das ist zum Beispiel die Gleichung für die Bewegung – eines geladenen Teilchens in eine Welt – ich möchten Anfang zu erklären – was das denn hier mit den griechischen Buchstaben auf sich hat ?? teilweise oben und unten erscheinen – ?? es geht um Pro und Kontravarianz – und es geht um Sensoren – diese – Variablen – mit Indices hier sind Komponenten – von Zensoren – und auch das X und das P und sogar nackte Zahlen – sind daher auch einfach Zensoren Spezialfälle – von Zensoren – ich vielleicht erklären wo diese Gleichung tatsächlich herkommt – sonders man nur klarmachen – wie sie den zu lesen ist was für Größen darin stehen – von der Physik ergeht es offensichtlich um Impuls – um Ladung – Feldstärke – elektrische – und magnetische – Feldstärke – und um den Ort – in Abhängigkeit von der Eigenzeit – Tauwasser – dieses ganze Grave mit Indices oben und unten zu bedeuten dann soll's gehen – was man am Anfang bei der Vektorgeometrie – nicht merkt ist das es zwei Sorten an Vektoren gibt – einmal die üblichen die wir kennen – das sind – in der einfachen Vektorgeometrie – diese Spaltenvektoren – sowas hier vier fünf sechs als Spalte X Y Z – aber es gibt genauso auch Zeilenvektoren – sagen wir eins zwei drei – ich schreiben Semikolon dazwischen klarzumachen dass es sich hundert und zwanzig ist – und Zeilenvektoren – und Spaltenvektoren – spielen zusammen – ich kann das was hier steht – Lesen als Multiplikation – einer Matrix mit einer Zeile und drei Spalten – mit einem – Vektor – oder wie man will noch einer Matrix – nämlich mit einer Spalte und drei Zeilen – und ?? diese Modifikation ausführe kriege ich eine reine Zahl raus – einmal vier – plus zwei mal fünf – plus drei hundert sechs – ?? sagen – zweiunddreißig – die Zeilenvektoren – können also auf die Spaltenvektoren – wirken – sozusagen – und produzieren – dabei Zahlen – das ist eine wichtige Beobachtung – das macht man abstrakter – und kommt dabei auf den Begriff – kovariant – der Zeilenvektor wird sowas werden wir in kovariant der Vektor und kontravariant – der Spaltenvektor wird was werden wir ein kontravariant – Vektor – die übliche Sorte das sind die Spaltenvektoren – die Kontravarianten – aber die haben eben noch Partner – die Kuhvarianten – und ich ?? noch anmerken was hier passiert ist kein Skalarprodukt – ich habe nicht geschrieben – eins zwei drei – Skalarprodukt – vier fünf sechs – das ist eine andere Geschichte – ihr steht – ein Zeilenvektor – will sagen eine Matrix – mit einer Zeile – und soundsoviel Spalten – mal ein Spaltenvektor – hier werden zwei verschiedene Sachen miteinander multipliziert – am Skalarprodukt – hab ich zwei Vektoren desselben Typs – da komme später Klammer zu – das ist dann der Begriff der Metrik – also diese beiden nicht durcheinander werfen – aktuell kommt dasselbe dabei raus – aber das wird nicht so bleiben – das – ganze absacken betrachtet – ein reeller Vektorraum – Dresden typischerweise V – D guck ich mir an irgend einen reellen Vektorraum – darin zwei Vektoren – ich schreib mal keine Fall über die Sektoren Beistrich mathematisch wird das sie gleich mit fallen höchst komisch aus – eine Mathematik schreibt man die Vektoren ohne kleine Pfeile über den Buchstaben – ein reeller Vektorraum das heißt ich kann jeden Vektor – mit einer reellen Zahl eine beliebigen reellen Zahlen multiplizieren – zum Beispiel kann ich den Vektor A verdoppeln – das sie zwei Jahr – und – ich kann zwei beliebige Vektoren addieren – A und B – hier wird die Summe liegen Abschluss B – diese beiden Operation das Multiplizieren mit reellen Zahlen und die Addition – von Vektoren – die sind eingebaut – in diesem Begriff reeller Vektorraum – das muss gehen in jedem Fall und es müssen die üblichen Rechengesetze gelten – dass die Reihenfolge der Addition egal ist das ich Produkte ausklammern kann zwei mal A plus PS zwei – ab zwei – und so weiter – das macht den Begriff Vektorraum aus – das soll meine normalen Vektoren sein – die haben die Rolle die bisher die Spaltenvektoren – hatten – und zu diesen normalen Vektoren gibt es Partner – diese Partner heißen Covektoren – und die bilden den dazu dualen – Vektorraum – das ist also die Menge der sogenannten Korrekturen – Korrekturen – sind nichts anderes als Linearform – noch ein neues Wort – was in Linearformen – Linearform – sind lineare Abbildungen vom ursprünglichen Vektorraum nach den Wellenzahlen – drei Begriffe für dasselbe Korrekturen – in der Form linearer Abbildungen – vom ursprünglichen Vektorraum – nach dem ?? einzahlen – und alle zugegebenermaßen – ziemlich abstrakt – ich zeige mal wie man sich diese Korrekturen – vorstellen – kann grafisch vorstellen kann – lineare Abbildungen – vom ursprünglichen Vektorraum nach den reellen Zahlen – das sind sowas wie – schiefe Ebenen – Mama den Ursprung ein – wie kann ich schiefe Ebenen darstellen – mit Höhenlinien durch das – hier soll meine Funktion die ganze Zeit nur sein entlang dieser Linie – entlang dieser Linie soll sie eins seien – entlang dieser Linie soll sie zwei sein entlang dieser Linie soll sie drei sein – wird sie wohl offensichtlich entlang dieser Linie sinnvollerweise – minus eins sein sollen und so weiter – anderthalb ist sie hier die sie da – die Höhenlinien – einer schiefen Ebene – steigt also hier an – nach – rechts oben – und sie fällt hier ab nach links unten – das nenn ich einen Korrektor – diese Funktionen – nicht ein korrekter – ?? PC – diese Korrekturen sollen auch wieder ein Vektorraumbild – das heißt ich muss sie mit reellen Zahlen modifizieren können und ich muss sie addieren können das gucken uns an – was ist das doppelte – von diesem Covektor – namens C – ich nehme natürlich einfach überall die doppelte Höhe – Punkt hier der Korrektor C gleich eins ist sage ich – an denselben Stellen ist zwei C natürlich jetzt – zwei – wo mein Original null war – bleibt das doppelte Null kein Unterschied – in der Mitte hier – um ein Original ein halb war – wird zwei C nun eins werden mir wird es minus eins werden auf der halben Strecke zu minus eins beim Original – und so weiter – das ist eine sehr plausible Art ein Vielfaches – von einem solchen Konvektor zu bilden ich multipliziere die Höhe – damit ich die Addition vorführen kann brauche ich noch in zweiten Korrektor – Komma hier soll der null sein – ihr soll er einst sein – sollen zwei sein – dann wieder hier irgendwo minus eins sein – und nun überlege ich mir was die Summe ist von C und D – und ich summieren natürlich schlicht und ergreifend die Höhen – hier sind beide zusammen gleich – eins – D ist null – CS eins dann ist hier die Summe aus beiden eins – hier unten ist sie aber auch eins – C ist null – D ist ein See sie auch eins und immer noch bisschen Nachdenken stellt man fest – entlang dieser Graden – ist die Summe eins – hier ist sie gleich zwei – hier ist die gleich eins das heißt hier ist die Summe drei – und hier ist sie gleich eins hier ist die gleich zwei hier ist die Summe auch drei – zwei Minuten Nachdenken – entlang dieser kompletten Graden wird die Summe drei sein – inzwischen mit offensichtlich zwei sein – hier müssen wir durchgehen – parallel und haben null minus eins auf der anderen Seite – ?? man kann auf ziemlich dumme Weise – diese Korrekturen – mit Zahlen multiplizieren – und zueinander – addieren und natürlich gelten dabei die üblichen Rechengesetze – das es kein Wunder – warum sind das jetzt Linearformen – linearer Abbildungen – vom Vektorraum nach den reellen Zahlen – das soll ja heißen dass diese Korrekturen – die normalen Vektoren – linear – nach den reellen Zahlen abbilden – ich zeichne mit einem Beispiel – das soll mein Korrektor namens – C sein – hier ist der null der einst als der zweite ?? ist der drei ?? ist minus eins – hier ist natürlich Pi – und hier ist der Wurzel zwei – nicht Zeichner Komma zwei normale Vektoren ein aus dem üblichen Vektorraum – in den ich mal A – denen ich B – und nun soll ich ja sagen wie dieser Covektor – C – einen normalen – Vektor – zu einer reellen Zahl macht – ?? offensichtlich – machte diesen Vektor A zur Zeit zwei alles andere wäre blödsinnig – und in Vektor B macht er zur Zahl – anderthalb – der Wirt zwei – und der B wird anderthalb – ?? auf diese Weise wirkt so ein Konvektor – auf einen normalen Vektor und es kommt eine Zahl raus – wir haben angefangen mit Zeilenvektor – mal Spaltenvektor – ist gleich eine Zahl – der steckt eigentlich dahinter dieser Kuhvektor – ist sowas wie ein Zeilenvektor – dieses Anwenden hier ist eigentlich sowas wie – das Produkt Zeilenvektor – mal Spaltenvektor – natürlich ist das Lineal – im Jahr Form heißt es deshalb im Jahr soll heißen – wenn ich das Vielfache – eines Rektors Einsätze – den Weg daher zum Beispiel halbierte – sich auch nur die Hälfte raus – dieses Vielfache kann ich – ausklammern – das es ein Teil der Linearität – und der zweite Teil der Linearität – ist wenn ich eine Summe einsetze – dass ich dann die Summe Rauskrieger – der Anwendungen – für alle reellen Zahlen anderer und für alle Vektoren habe – alle Vektoren haben die Eigenschaft dass man ein paar Vektoren braucht – um alle anderen daraus zu bilden – und meistens als Lektoren aus dem man alle anderen bildet – minimal macht das kein Vektor davon übrig ist heißt das dann eine Basis – dieses hier diese beiden Vektoren – wären zum Beispiel eine Basis – um alle – Vektoren in der Ebene zu bauen – diese Vektor hier ein Wein aber – den kann ich zum Beispiel bilden – in dem ich eins Komma drei mal E eins nehme – und – fragen wir – eins Komma zwei mal – zwei – analog geht das mit allen Vektoren in der Ebene – jeden egal welchen ich nehme kann ich mit diesen beiden Ausdrücken – und um alle Vektoren der Ebene zu bilden kann ich nicht nur E eins nehmen oder nur in zwei nehme ich brauche – beide – das heißt – die Menge hier aus diesen beiden ist eine Basis – gegeben eine Basis eines Vektorraums – kann man sich nun überlegen wie man eine Basis für den Dualraum – bekommt – ich habe also eine Basis – für mein V – Schreiben ausdrücklich – eine unterstrichen Basis es gibt unendlich viele Basen – alle werden zwei Elemente haben für diesen Vektorraum – nach ?? in der Relativitätstheorie – haben ?? durch Basen mit vier Elementen – es geht um vier Dimensionen hier geht's um zwei Dimensionen – zu dieser gegebenen Basis – kann ich nun eine Basis bauen mit der ich alle Konvektoren – bilden kann – die hat jetzt zwei Elemente in diesem Fall und diese beiden Elemente nenn ich nicht der überraschenderweise – die hoch eins – hoch stellen sieht man gleich ist ?? raffinierter – formaler Trick – und das zweite Element nämlich E hoch zwei – dass ich meine außer dir nicht das Quadrat sondern – das zweite Element aus dieser Basis – das mit dem hochstellen ist nur ein formaler Trick wie gesagt – gleich sieht man Worms raffiniert ist – dieses wird eine Basis von Frau Stern werden dem dualen Raum und zwar die zu der ersten Basis duale Basis – jedes dieser beiden Elemente – sollte jetzt – eine lineare Abbildung sein es soll einen Original wegzunehmen – aus V und eine reelle Zahl draus machen – und der Gedanke ist ganz banal welche reelle Zahl soll ausgemacht werden – die Zahlen – die hier als Komponente – vor dem jeweiligen Basisvektor steht – also wenn ich die oben eins Anwender auf Adern soll die eins Komma drei rauskommen – wenn ich ihn um zwei Anwender aufarbeiten – soll die eins Komma zwei rauskommen – ?? ich mal immer zuerst die oben eins ein auf dieser geraden enden alle Vektoren – die einmalige – eins drin haben einmal E eins plus soundsoviel Malé zwei – Das heißt entlang dieser geraden ist eh oben eins gleich – eins – hier steht dann einmal E eins plus irgendwas in zwei – hier – ist das null – ich habe nur mal E eins plus soundsoviel Male zwei – Hiebe des minus einzahlen – und hier – wird es zwei sein – zweimal E eins plus soundsoviel mal in zwei – analog für E.ON zwei – mal auch mal die oben zwei ein – entlang von dieser geraden – ist kein Anteil von E zwei drin diese Vektoren hier entlang dieser Graden sind soundsoviel Mark eins und null mal zwei hier ist der Covektor – EU zwei gleich Null – entlang dieser Graden – ist einmal je zwei drin einmal in zwei plus soundsoviel mal – E eins – hier Obenrahmen und Stückchen – von einer geraden wo die oben zwei gleich zwei ist – unten – ist die oben zwar gleich minus eins – so spielen die beiden Basen – an den Hand – zu einer gegebenen – Basis des Originalvektorraums – kann ich eine – duale Basis des Dualraums – hinschreiben – die einfach immer nur diese Komponenten rausfliegt – was heißt das rechnerisch – die oben eins angewendet – auf den Original – Basisvektor – Nummer eins – was ist die E eins Komponente – verrät mir das ja hier – von dem B eins Basisvektor – schön natürlich eins – was T zwei Komponente von dem E eins Basisvektor – natürlich null es keine zwei drinnen – was ist die E zwei Komponente – von E zwei – natürlich – eins der ?? es genau einmal in zwei drin und so weiter – allgemein – Komma dass mit mehr Dimensionen macht wird dann so aussehen – ich nehme den Vektornummer – kam – aus der dualen Basiswände – den anderen auf den Vektornummer – L – aus der Originalbasis – auswendig – rauskriegen – eins oder null – eins wenn ich Ka gleich schnell habe eins eins zwei zwei – und null sonst wenn die nicht übereinstimmen – ?? diesen kurzen Namen – Delta KL Dustin sich das Kronecker-Delta – dieses Symbol das kleine griechische delta oben K unten L ist so definiert das es null ist für dieses kaum dass er verschieden sind und dass es eins ist – wenn's dieselben sind – Beistrich müssen nicht zwangsläufig Kartell dran stehen können auch J und I oder Alpha und Beta dran stehen – dasselbe Phänomen – jetzt aber unendlich viele Basen – ich kann diese Basis nehmen oder kann eine ganz andere nehmen – zum Beispiel diese Basis hier mit E eins Strich und E zwei strich aus diesen beiden Vektoren kann ich auch alle Vektoren der Ebene bilden – und in der Physik muss egal sein welche Basis ich nehme – die Basis ist was handgemachtes – was ich benutze um Koordinaten einzuzeichnen – was passiert darf nicht vom ein Koordinatensystem – abhängen – das interessiert man sich dafür was passiert wenn man auf eine neue Basis transformiert – die Physik aus dieselbe Bleiben – diesen ersten neuen Basisvektor – den muss ich mit den alten ausdrücken können – ich schreib das jetzt mal allgemeiner hin in N Dimensionen – und sein Sohn Sophie Malle erst ursprüngliche Basisvektor – Plus soundsoviel mal der zweite ursprüngliche Basisvektor – plus plus plus – plus unsere Firma der letzte Sommernummer N ursprüngliche Basisvektor – welches wissen wir welche Komponente – welche Zahl hier vor dem ersten Basisvektor – steht – kann ich ja wieder meinen du einen Basisvektor – dazu nehmen der sagt mir das – eh oben eins angewendet auf den – ?? gibt mir – was hier vorne drin steht – und die hier zu wissen nämlich eh oben zwei – angewendet auf den und so weiter – er steht also zum Schluss etwas wie folgendes – diese Zahl hier – korrekt angewendet auf Vektor gibt eine Zahl – die Komponente – den Anteil – ?? also eh oben eins angewendet – auf den ersten – Basisvektor – der neuen Basis mal diesen Vektor E eins – Zahl mal Vektor – plus diese Zahl – der zweite Vektor der ursprünglichen – dualen Basis – angewendet – auf den ersten Vektor der neuen Basis – bezahlen – mal den zweiten – ursprünglichen Basisvektor – plus – und so weiter – plus – und hier steht dann als letztes – die Nummer ähm angewendet auf E eins Strich mal die – ähm – da schreibt man professioneller Weise mit einem Summenzeichen – und formulierte sowieso allgemeiner – wenn ich hier nicht den ersten neun Basisvektor – zerlegen will sondern den mit der Nummer L – dann krieg ich eine Summe – über ähm Dinge ?? – ich nummerierte durch mit Kaka – gleich eins bis N – K gleich eins zwei – K gleich N – ich nehme den Sohn ?? Gegenvektor aus der dualen Basis – die Obencar – wende ihn an – auf den Weg ?? hier steht immer das E eins strich – jetzt ist es EL Strich – Beistrich – und multipliziere – mit dem soundsoviel Gegenvektor – der ursprünglichen Basis EK – das ist das Informationsverhalten – wie werden die alten Basisvektoren – zu den neuen Basisvektoren – ich habe ihr so eine Summe und diese Faktoren – das nennt sich kovariant – ist ein Summationsverhalten – es variiert – mit – der Basis co – ich gucke mir an was die Basis macht – also – deshalb ist das die Definition von kovariant Automationsverhalten – so transformiert sich die Basis – die Größen die sich auf dieselbe Art transformieren – von einer Basis zur anderen – die heißen dann eben kovariant – bei sie mit der Basis gehen die Basis geht so – die normalen Vektoren gehen allerdings – gegen die Basis – kontravariant – das gucken wir uns an – gegeben einen normalen Vektor aus dem Vektorraum V – den Zell lege ich in Basisvektoren – soundsoviel mal E eins plus soundsoviel – mal zwei plus plus plus plus und so weiter – soundsoviel – mal – E N – jeweils die Vektoren – der normalen Basis – also kurz gesagt – die Summe von K gleich eins bis ähm – soundsoviel – mal BK – der Karte Vektor der normalen Basis – unterschreibt – man damit's formal gleich hübsch ist A oben K für die Komponenten – besteht aber oben eins Augen zwar – auch um den soll nicht heißen A hoch K sondern die Komponente – Nummer K – in einer anderen Basis – sieht derselbe Vektor – so aus – die Basisvektoren – sind – E J Strich – von der Basis ich zu mir ?? über J – ?? weitere Akademien – können das es gleich raffinierter Weg dieses jedoch kleiner – und er hat im Zweifelsfall andere Komponenten – schreibe mal paar Strich – oben J – derselbe Vektor aber ist nicht mehr fünfmal E eins plus sieben zwei sondern weil sich die Bad Vektoren – geändert haben brauche ich andere Komponenten – und jetzt lass ich mal den Elternvektor – der neuen – dualen Basis drauflos – die Strich – oben L – Kältevektor – der neuen – dualen Basis – angewendet – auf mein Vektorahr – was ist der Job von diesem dualen Basisvektor – der ?? liegt mir heraus – wie viermal – E Strichpunkt – NL – in Art Rennen ist – wie viel mal ist Beistrich – unten RNA trennen – Beistrich – oben L da kommt also ebenfalls aus Arstrich – oben – alternativ kann ich mir auch angucken wie Aden zusammengesetzt – ist – steht also ?? Beistrich oben L angewendet – auf diese Summe – nun habe ich einen Covektor – angewendet – auf eine Summe von Zahlen – mal Vektoren – das sollte den ja sein die Summe kann ich davor ziehen diese Zahlen kann ich da vorziehen – macht also die Summe kann gleich eins bis N – A oben K – E Strich – oben L – angewendet auf EK – Komma dass es vergleichen – mit der Translation – von eben – kovariant Automationsverhalten – steht da – ein Vektor aus der alten dualen Basis – angewendet – auf einen neuen Basisvektor – hier aber es genau umgekehrt – ein Vektor aus der neuen – dualen Basis – angewendet auf einen alten Basisvektor – das hier – ist kontravariant – des – Translationsverhalten – man sagt – dass diese – Komponenten – A oben K kontravariant – transformieren – und – was etwas verwirrend ist man nennt A einen kontravariant – Gegenvektor – eigentlich ist er nicht wirklich A kontravariant – sondern seine Komponenten – transformieren – kontravariant – Komma so gelernt dass die eigentlichen Vektoren die aus dem Originalvektorraum – kontravariant – sind – ihre Komponenten – ändern sich gegen die Basis – es gibt auch Vektoren – deren Komponenten sich mit der Basis ändern – nämlich die Korrekturen – die aus dem dualen Vektorraum – ich so ein Korrektor – einmal mit der Originalvase – schreibe – soundsoviel – mal die Vektoren – der dualen Basis E oben K – und diese Komponenten jene ?? natürlich jetzt sinnvollerweise – B unten K – und ich schreibe denselben Weg zur auch in einer anderen Basis – die – Strich – oben J – und dann analog die Komponenten – B Beistrich – unten J – kann ich jetzt versuchen ein Zusammenhang zwischen diesen BK und den B Strich J zu finden – ich werde mal diesen Chorvektor – an – auf – das älteste Element der neuen Basis neue Basis Beistrich – dann die Nummer L – ich nehme dass diese Form von B – entsteht hier also die Summe – gleich eins bis einen B Schrägstrich – unten J – äh Beistrich – oben J angewendet – auf die Strich unten L – nämlich ein Element der – dualen Basis angewendet auf ein Element der Originalbasis – das war unser Kronecker-Delta – wenn ?? gleich L ist kommt ja eins raus wenn J ungleich erlässt kommt null raus – ein Element der dualen Basis – liegt gerade immer das eine Element was dazugehört aus der normalen Basis heraus – das heißt von dieser Summe hierbleibt – nur ein einziger – so manch übrig nämlich der wohl J gleich L ist – steht hier BL – Strich – mal eins – Jahr zu BL – Beistrich – ich hatte diese – Zerlegung angewendet ich kann aber auch diese Zerlegung anwenden – dann steht hier das ist die Summe – über K gleich eins bis N – wie unten K – und jetzt – oben K – angewendet auf E Strich unten hell – und es gucken was an was da steht – B strichel – kann ich also so ausrechnen – Bindestrich L kriege ich – in dem ich – die BK – mit diesen Zahlen multiplizieren – und dann auf summieren – der Vektor der alten dualen Basis – Außendirektor – der neuen Basis – ihnen – gucken zurück – das ist kovariant – ist ein Summationsverhalten – der Komponenten eines Korrektors – eines Rektors aus dem dualen Vektorraum – transformieren also kovariant – deshalb nennt man dann diese Vektoren auch kovariant – Vektoren – obwohl sie eigentlich ihre Komponenten – sind die kovariant – und jetzt können wir zu den Dingern mit ganz vielen Indices kommen unten wie oben das sind die wahren Zensoren – diese Zahlen hier aber oben J und KLM – sind die Komponenten – eines Tensor – und zwar ist der kontravariant – von der Stufe zwei – und er ist kovariant – von der Stufe – drei – insgesamt hatte die Stufe fünf – im englischen heißt Stufe ?? denk was das ganze etwas verwirrend macht weiß aus dem Begriff Rank für eine Matrix gibt – der aber komplett was anderes bedeutet – so eine Sammlung von Zahlen – der Lotto Komponenten – mit Indices dran so eine Sammlung von Zahlen heißt dann Komponenten eines Sensors – wenn sie richtig transformiert – kovariant in jedem dieser Indices und kontravariant – in jedem dieser Indices – das heißt diese Komponenten müssen in einer anderen Basis dann so aussehen – Haarstrich – wenn ich die mal – oben PQ unten ST für die ganz vielen Indices – nehmen die Originalkomponenten – I J K L M – die sollen jetzt kontravariant – in I J sein – also muss hier so stehen wir äh – Strich – von EE – für das Sisi – muss dann hier unten hin – das E Strichmuster – ein P haben – das macht die kontravariant – Transformation – in diesem Index I was vorher – Normalenvektor – hatten und die natürlich noch eine Summe – I Gleichheit bis Ende – ?? in diesem Index J soll dasselbe passieren also G Schrägstrich – J – Bindestrich – Vektorwortes – Kuhn – und ich zu mir rüber alle J auch noch von eins bis N – kovariant in KLM heißt da brauche ich jetzt noch einen Faktor – ?? und hundert weitere Sonderprodukte ?? Ahmadi Marie – und Jorge zweiter ?? Produkt äh und jetzt das Strich innen drinnen – kovariant halt – Komma nachguckt wie kovariant – Translation – gingen hier gehört das K in dieser Index – darüber wird summiert – und das was rauskommt das er gehört dahin – genauso für S und T – beziehungsweise ?? und ähm ihr kommt also das L hin von Ehe strich es – und ich studiere auch noch über L – kommt das ähm hin von äh Strich – T – und ich zu mir rüber ähm – wenn ich eine Sammlung an Zahlenkomponenten – habe die sich so transformiert – von einer Basis zur nächsten egal auf welche Basis ich gehe – dann ist das ein Tensor – dann beschreiben – diese Zahlen ein Tensor – sowie vorher – die Zahlen ein Vektor beschrieben haben schwamm sie dann ein Tensor – in diesem Fall kontravariant – zweiter Stufe und kovariant dritter Stufe – Direktoren ein Spezialfall – kontravariant erster Stufe Komma Mutterstufe – und umgekehrt – und auch die nackten Zahlen die Skala – der Spezialfallstufe – null Stufe null habe – steht hier gar nichts – und die Zahl ist dasselbe neun System wie sie im alten System war – das ist eine Verallgemeinerung – von Skalar und Vektoren – und obendrein – habe mal ordentlich drüber nachgedacht das es zwei Arten von Vektoren gibt – wie kann man nun aus gegebenen Sensoren – neue Tensor und bauen – oder zum Beispiel aus Vektorensensoren – bauen – ist auf jeden Fall erst mal addieren – wenn ich ein Tensor habe – oben KL unten ähm und einen anderen Tensor habe – um L – und dann unten ähm und oben K zum Beispiel – Bild gewürfelt kann ich die addieren – und kriege wieder ein Tensor die Summe wird dasselbe Transmissionsverhalten – haben – natürlich nicht ?? mir zum Beispiel ein – Index fehlt das würde nicht funktionieren – ich muss gleichartige – Zensoren haben – dann kriege ich damit einen neuen Tensor zum Beispiel – A K – L – oben und unten ähm – das ist eine Verallgemeinerung – der Vektoraddition – ich kann den Sohn multiplizieren – wenn ich einen – Tensor habe – ähm oben K unten – und modifizieren – jede von diesen Komponenten – mit – der Komponente – F – L oben eines anderen Tänzers offensichtlich ein kontrollierter – Vektor hier – kriege ich – ein Ding – das sich transformiert – wie ein Tensor – unten K oben L oben ?? – ich kann auch einzelne Vektoren nehmen zum Beispiel – ein kontravariant – Vektor H – mal – einen Covariantenvektor – ähm mal ein kontravariant – Vektor J – und kriege – einen Tensor von der Sorte – um Car – oben L unten ähm extra ?? und immer vertauscht um klarzumachen dass die Reihenfolge der Indices – noch ein Thema für sich ist – das hier wäre was man als Tensorprodukt – von Vektoren – bezeichnet – dieses Produkt von Sensoren – ist eine Verallgemeinerung – davon – und es ist eine Verallgemeinerung – des üblichen Produkts bezahlen – wenn ich eine einfache Zahl habe – mal – eine etwas kompliziertere Tensor er es – unten Komma oben – und noch ein Tensor – P unten – dann kommt hier – auch wieder ein Tensor aus – der Zeit der vier in die CS und die können Zweifelsfall auch andersrum stehen – muss aufpassen – wie sie gerade gemeint sind – der Tensor der rauskommt – hat auch wieder die Indices ESP unten – Q oben – aber zweifelsohne muss man aufpassen welche Reihenfolge widerstehen – die können zum Beispiel so steht – und dann gibt's noch die Kontraktion – das ist die Verallgemeinerung – von dem womit wir gestartet sind Zeilenvektor – mal Spaltenvektor – gibt eine Zahl – geben ein Tensor mit zwei Indices unten – geben ein Vektor – mit einem Index oben – kann ich einen Index runden und einen Index oben gleichsetzen – und darüber summieren – und kriege – in diesem Fall nur noch ein Vektor raus das K ist raus ich kriege noch ein Vektor ein Covariantenvektor – diesem Fall – oder etwas komplizierter – ich nehme einen Tensor mit zwei Indices unten – zwei Indices oben und ein Tensor mit einem Index oben – zwei Indices unten – nehme vielleicht diesen Index hier und den Index – für die Kontraktion – und auch diesen Index und den am selben Tensor – eine Kontraktion zu mir über diese beiden also über PE – und über Kuhn – und die anderen das ich über – ?? hier K – M – und L dann kommt ein Tensor raus von der Form S – K L – unten oben ähm oder je nach Definition was man gerade baut vielleicht auch das im an der ersten Stelle auf jeden Fall oben – oder ganz schlicht ich nehme einen kovariant – Tensor mit – Komponenten – B und K einen – kontravariant – Tensor mit Komponenten – oben kam zu mir rüber das K – und habe einen Zahl raus ein Skalar oder ein Tensor oder Stufe – da kommt das ganze eigentlich her – Fußnote – streng genommen ist also das was hier dem – P passiert eine Kontraktion – ein und derselbe denn so wird um zwei Stufen runtergesetzt – was ist eigentlich die Kontraktion ?? ich hab hier schon stillschweigend – das Tensorprodukt mit eingebaut – werde das Tensorprodukt – und kontrahieren – das Tensorprodukt – das es Formalkram – mache weiß man einfach weitermachen kann mit den Zensoren – man kann sie miteinander modifizieren – wenn die Indices alle verschieden bleiben unabhängig bleiben voneinander – oder man kann zwei Indices gleichsetzen – einen oben einen unten egal wo und über diesen Index dann summieren – und weil das so häufig vorkommt das summieren über gleiche Indices oben und unten – gibt die Einsteinsche Summenkonvention – das man sagt wir schreiben diese Summen gar nicht hin das nervt ja nur – wenn ein Index unten steht und derselbe Index steht oben dann heißt das gefälligst darüber wird summiert – und im Ergebnis stieg der Index daraus – noch eine Konvention – für die Indices griechische Buchstaben sind Alpha Beta Gammalander – Menü – auch gerne – dann heißt das stillschweigend dass die von null bis drei laufen null für die Zeitkomponente – eins für die X zwei für die Psalmen und drei für die Zeitkomponente – ein Beispiel – der Drehimpulstensor – erst mal der klassische Drehimpuls – der Hass gerne groß L – und ist Ortsvektor eher Kreuzimpulsvektor – P – also in Komponenten geschrieben X Y Z – Kreuzeckskomponente – vom Impuls Y und Z Komponente vom Impuls – macht also – Y hat PZ – minus Z mal Y – und in der Y Komponente Z mal P X – minus X mal BZ – und in der Z Komponente – X Mappe Y – Lines Y Akte X – dieses muss in vier Dimensionen auch irgendwie gehen – der Ärger ist das meine vier Dimensionen kann Vektorprodukt – mehr hat – das verbrauchen ist sowas – antisymmetrisch – es – wenn ich die Komponenten – austausche – im Original – dann muss hier das negative rauskommen Y Z – Z Y – mit einer Minuszeichen dazwischen – man probiert folgendes ich nehme X – oben Mühe – PO Mühl – minus das umgekehrte – X Rom Mühlfee – oben Mühl – hier steht – das Tensorprodukt – zweier kontravariant Direktoren ihr steht auch – das Tensorprodukt zweier kontravariant Direktoren die beiden darf voneinander abziehen – gibt schon wieder ein Tensor – dienten solche nennt man el oben im Menü – der Drehimpulstensor – ein Tensor – zweiter Stufe – kontravariant – sowie Sinn geschrieben habe und er es obendrein antisymmetrisch – wenn ich diese Indices vertauschen Million – ändere ich das Vorzeichen ist es also gleich Minuselmühlmilmühl – läuft von null bis drei ?? läuft von null bis drei ich hab vier mal vier sechzehn zahlen sechzehn Komponenten – sind das hier – könnte man als Matrix in mal mit vier mal vier Einträgen – schreib das mal so auf das in diese Richtung der Index Mühen läuft null eins zwei drei – und das in diese Richtung der Index Menü läuft – null eins zwei drei – ?? in die beiden gleich sind – gleich null null gleich Null zum Beispiel – X oben null PO null minus – X oben OP oben null kommt null raus – Beistrich auch nur raus da – da kommt nur aus – lauter Nullen auf der Diagonalen – das muss automatisch zu sein schönen symmetrischen Tensor – wenn mir gleich eins ist – und mir gleich zwei Test – habe ich hier X oben eins dass die X Komponente – nicht ?? müssen nicht selbst und nicht Zeit – die Exkomponente – und hier habe ich – die zweite Y Komponente – und hier umgekehrt – hier steht also – XP – Y – minus Y – P X – will sagen die Z Komponente – vom Drehimpuls – genauso kann man sich klarmachen dass hier die X Komponente vom Drehimpuls stehen wird und hier wird minus – die Y Komponente – von Reports stehen – unter der Diagonalen – steht dasselbe ?? oberhalb nur mit einem Minuszeichen – nicht die beiden Indices vertausche – konnte das negative Haus ein antisemitischer – Tensor – und hier oben in der Zeile Nummer null vier links in der Spalte Nummer null ?? gibt's noch was neues – auffälliges kann ich eingehen – mir ging's nur drum hier – ?? vorzuführen wie man nun aus einfachen Vektoren ein Tensor bauen kann – jetzt gerne zurück zur Gleichung vom Anfang – was hat das zu bedeuten – zu aller erst – wenn hier ein Index better unten an Index better oben – hier gilt die Summationskonvention – und zwar von null bis drei – griechische PCs laufen von null bis drei – ihr steht – links oben Wetter – der ganz normale Vierer Ortsvektor – genauer gesagt die Komponenten – des vier Ortsvektor – die sind automatisch dann auch kontravariant – das ist ja Normalenvektor – hier haben wir den Feldstärketensor – und der ist so – wir hier steht – kovariant – zweite Stufe – das Q die Ladung ist ein ganz schlichter Skalar – eine reine Zahl – und hier steht vorne als Ergebnis die Ableitung vom Viererimpuls – allerdings wieder hier als kovariant der Vektor dass es noch Thema für sich – das kommt demnächst wie mache ich aus dem Contravarianten – einen Covariantenvektor – so eine Form einer Gleichung hier – die nennt man manifest – kovariant – Manifest für – handgreiflich – gemacht – ihr kann ich mit Händen greifen – dass meine Größen sich kovariant transformieren – oder – kontravariant – an der Stelle ist ein bisschen – gruselig im Ausdruck – aber sicher gibt's auch andere Erntegrößen drin aber trotzdem nennt man diese Gleichung dann manifest kovariant – physikalischen Gesetze muss ich in so einer manifest Covarianten – vom Schreiben können sonst habe ich irgendwas falsch gemacht – das wäre so als ob ich zum Beispiel sage irgend ein Vektor ist gleich zweiundvierzig – das kann nicht funktionieren – ?? – es müssen also die Einheiten stimmen von denen ist der gar nicht die Rede ?? und es muss das Summationsverhalten – stimmen – und selbst dann ist noch nicht gesichert – ob die Gleichung auch sinnvoll ist aber mindestens das Translationsverhalten – und die Einheiten müssen schon bestimmen – was nicht erlaubt wäre wäre wenn hier ein Quadrat stünde – F – und alpha Wetter ins Quadrat – das würde sich nicht richtig transformieren oder Wände des Kinos stünde von elf Alpha Beta – das würde auch nicht richtig transformieren – oder wenn ich zwei paar Schuhe addieren ?? wenn er sowas stünde wie F unten Alpha Beta Plus X better – X better Transfer mit auf seine Weise elf alphabet auf seine Weise zusammen – wird das Murks – oder wenn diese Index Beta dreimal vorkäme – oder wenn das Alpha hier oben stünde und auf der linken Seite unten stimmte und so weiter und so weiter – All das wäre nicht manifest kovariant – man solche Ausdrücke drin hat in seinen Gesetzmäßigkeiten – weiß man irgendwas ist schief gelaufen