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kovariante Ableitungen vertauschen


CC-BY-NC-SA 3.0

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es gibt noch einen ganz anderen Zugang zum Krümmungstensor – nämlich über das Vertauschen – von Ableitungen – ich weiß das partielle Ableitung – und vertauschen – wenn ich ein Vektorfeld V Alpha nehme – und ich leite das erst nach – X Mühe gab – und danach malte ich das nach X Lander ab kommt wenn dieses Vektorfeld glatt genug ist das selber heraus als wenn ich erst – nach – Jacksonlande – ableite – und dann nach kriegsmüde ableite – partielle Ableitung – vertauschen – die Frage ist – was es mit kovariante Ableitung – bevor dahin kommen noch eine Kurzschreibweise – zur Wiederholung was sie auf der linken Seite steht ist ja V alpha – abgeleitet – nach Mühe – Komma Mühle und dann noch Nachlander – so rum – und auf der rechten Seite steht V alpha abgeleiteter – Lander – und danach Müll – und Disco muss dasselbe für kovariante Ableitung – und an den ?? einfach statt des Commerce ein Semikolon steht – aber die kovariante Ableitung – werden im allgemeinen eben nicht mehr vertauschen – mich interessiert also V – Alpha – kovariant – abgeleitet nach X bemühen – und dann nach X Lambda – minus – umgekehrt – erst nach X Lande abgeleitet danach Rick Smith abgeleitet was wird das werden – das kann man versuchen auf zu malen – bin in einer Karte – in dieser Karte guck ich mir ein Rechteck an – ich gehe ein Stückchen in Richtung I Mühe K mal die Mühe – ?? ich geh ein Stückchen in Richtung – Illander – H Malilander – und ergänze das zu einem Rechteck – Faust ein Vektorfeld – das guck ich mir erst mal hier an dem unteren Punkt an – so soll der Vektor V an diesem Punkt aussehen – jetzt transportiere ich den mal in die eine und in die andere Richtung paralleleinmal – so herum – Komma vielleicht hier an und jetzt drauf – Komma vielleicht hier an und andersherum – Komma hierauf – dann vielleicht da und einmal – rum dann sind wir vielleicht – da – diese Differenz hier – die kennen wir schon vom Krümmungstensor – dieser rote Vektor hier wird – bis auf der höherer Ordnung werden – H mal K – mal den Krümmungstensor – Komma den oberen Indexe nicht hin habe ich auch den Index nicht angeschrieben – Wetterlander – Mühl – V – Wetter – eigentlich wollte ich ja mal auf das Vertauschen der Covarianten Ableitungen hinaus – ich baue kovariante Ableitung – in ein – dieses Vektorfeld – lebte nicht ?? Punkt da unten es liegt auch hier oben – und es liegt auch hier – in jedem Punkt habe ich einen Wert für das Vektorfeld – und auch hier – mit den unterschied an – das echte Vektorfeld – minus die parallel transportierte – Version – hier zum Beispiel – der blaue – minus den violetten Vektor – diese Differenz – die hat was mit der kovariante Ableitung – zu tun – das ist H mal – die kovariante Ableitung – meines Vektorfels – in die Richtungslander – und hier oben noch der Index von dem Vektorfeld – so war die kovariante Ableitung – gebaut – das Vektorfeld – minus – den parallel transportierten – Vektor in eine bestimmte Richtung – entsprechend habe ich hier unten – kam mal mein – Vektorfeld – kovariant abgeleitet in die Richtung Mühe – hier noch der Index um Vektorfeld – das Vektorfeld an dieser Stelle minus – die parallel transportierte – Kopie hier von dem Vektor an die ursprünglich hinstellt – und jetzt transportiere ich weiter – das Vektorfeld – hier an dieser Stelle transportiere ich weiter – bis dahin – damit stand für die ich im Endeffekt auch diesen – bronzenen Vektor weiter – und das Vektorfeld an dieser Stelle transportiere ich weiter – und habe dann hier eine parallel transportierte – Kopie – von dem – es kann aber auch hier oben – an diesem Punkt – dieses Vektorfeld ausrechnen – und das wird – dieser Vektor werden – das ist Kamal Frau kovariant – abgeleitet in die Richtung Mühen – mit dem Indexes Vektorfeld sind noch dabei – ihr bildlicher die Differenz von dem Vektor – an dieser Stelle minus – die parallel transportierte – Version von dem Vektor hier – dient sicher darüber – bis dahin – das muss diese Ableitung sein – entsprechend kriege ich dieses Stückchen hier – das ist Haar mal – mein Vektorfeld – kovariant abgeleitet in die Richtungslander – an dieser Stelle ausgerechnet hier oben ausgerechnet – hier rechne ich ja – das Vektorfeld an der Stelle der oben – minus – die parallel transportierte Version von Vektorfelder – unten den transportiere ich rauf – und ziehen ab – gibt den Orten Vektor – und hier kann ich jetzt eine Vektorgleichung ablesen – der rote Vektorarmarkamal – jetzt habe ich auch wirklich mal in der zehn er oben Alpha unten Betterlander – Mühe – mal V Wetter – ist also – dieser Vektor hier oben – minus den da unten – Komma dass es jetzt schon wieder kovariante Ableitung – dieser da oben minus die nach unten – ich habe ein Vektorfeld – an dieser Stelle da oben – minus die parallel verschobene Version von dieser Stelle da unten – der minus den – ist Kamal – V – Alpha ?? nun mein Index – kovariant abgeleitet in die Richtung Mühe – das ist das Vektorfeld als solches aber jetzt der oben minus den ich leite noch mal kovariant ab in die Richtungslander – und glich noch das Haar dazu – dass wir diese Differenz sein – und es kommt noch dazu der linke – minus der rechte Orange Vektor – wenn ich den roten Vektor bilden will – der linke minus den rechten einfacher ist der rechte Mindest den linken des Emscher wie deine kovariante Ableitung – dann sich aber abziehen – ?? ich habe also – H mal V – Alpha – kovariant in Richtung Lander abgeleitet – das ist das Vektorfeld hier – an dieser Stelle minus – Paralleltransport – von da – also ?? ich noch ein Faktor K – und die kovariante Ableitung – in Richtung Menü – plus Terme höherer Ordnung – wenn man jetzt einfach sich anguckt was in dieser Ordnung Kamalka – passiert – das kann ich raus streichen und stelle fest wenn ich die Covarianten – Ableitungen vertauschte ersten ?? miteinander – er stammte dann müde wenn ich die vertausche – sich ein Differenz – es ist nicht dasselbe und die Differenz – hat mit dem Krümmungstensor zu tun – man kann sich auch merken die erste Richtung in die ich hier ableite – erst das Menü danach Lander – dass es auch hier die erste Richtung für den Krümmungstensor – ich gehe erst in Richtung – Müll und dann in Richtung Lander – ganz nebenbei sieht man auch noch mal aus dieser Gleichung sehr schön dass der Krümmungstensor wirklich ein Tensor ist – das ist definitiv ein Tensor dass es ein Tensor die Differenz ist ein Tensor – links muss auch ein Tensor stehen – das war jetzt was passiert wenn ich die Covarianten – Ableitungen für kontravariant Vektorfelder vertausche – kann ich das auch noch für kovariant Vektorfelder angucken – ?? siebzehn ist ich gucke mir so einen Ausdruck an – ein Vektorfeld – Z – unten alpha kovariant – ein Vektorfeld V oben Alpha – kontravariant – und das kontrahiert – und das leite ich kovariant auf einmal in Richtung Mühe einmal in Richtung flammender – Enden steht ein Skalar – das heißt nicht dass sie mit vertauschten Rollen Machelander – gegen my vertauschen – dann kommt null dabei raus – geht's nämlich einfach diese Ausdrücke auseinander und weiß – was mit dem Covarianten – Vektorfeld passieren wird – ich bilde erst mal die kovariante Ableitung – in Richtung Mühe von – Produktregel – also Z unten alpha – kovariant in Richtung ?? abgeleitet V oben alpha – plus – Z unten alpha V oben alpha kovariant – in Richtung my abgeleitet – und dann zum Schluss kovariant in Richtung Land abgeleitet – das jetzt noch mal auseinandergenommen – zweimal die Produktregel – Z unten alpha in Richtung Mühe und dann in Richtung Lander kovariant abgeleitet V alpha – den ersten abgeleitet jetzt den zweiten ableiten also Z unten alpha in Richtung Mühe ableiten – und V oben alpha in Richtung Lande ableiten – ist erste Teil gewesen – zweiter Teil – leitete ihn – in Richtung Lambda ab – plus Z unten alpha kovariant – in Richtung – Lander – V oben alpha kovariant in Richtung Mühe – den abgeleiteten jetzt noch hinten ableiten also plus Z unten alpha V oben Alpha – erst in Richtung ?? und dann in Richtung Lander – kovariant abgeleitet – ich das jetzt abziehe mit den vertauschten Rollenpflicht einiges raus – Leerschritt my vorne Lamm dahinten – da steht dann da vorne Mühe hinten wenn ich das mit vertauschten Rollen abziehe fliegt er raus und der aus – die beiden bleiben – minus mit vertauschten Rollen – es gibt also null ist gleich – Z unten alpha abgeleitet in Richtung Mühe und dann in Richtung Lander – minus mit vertauschten Rollen von dem Herrn da hinten also – Lander – beides mal V oben Alpha – Plus – kann ich Z unten alpha ausklammern – V – erst in Richtung Süden in Richtung Lambda – minus – mit umgekehrten Rollen V erst in Richtung – Lander – und dann in Richtung Mühe ableiten – dass sie hinten ist was passiert wenn ich die Chorvarianten Ableitungen – für ein kontravariant des Vektorfeld vertauschte das kennen wir schon – gerade bestimmt das ist also eher oben Alpha – Betalander – Mühl V Wetter – und damit das mit dem davon verrühren kann mache ich die Indices noch schöner der SV al Vater ist vom Wetter das gefällt mir nicht ich mach aus dem Wetter ein Alpha – habe ich noch in all vertauschen sich Anbieter machen so – ist das hübscher – wird sich nämlich V alpha ist die hintendran multipliziert – da ist vor Alpha dran multipliziert – das heißt was hier steht – muss damit das ganze null wird sein – Z unten Wetter – aeroben – Beta – unten Alphalander – Mühe mit einem Minuszeichen – das Minuszeichen ?? bisschen nervig wenn ich Lanthan wie vertausche – dann ändert sicher das Vorzeichen – also das ist auch – Z unten Bettermann erhoben – better – Alphamühllander – ohne das Minuszeichen – damit habe ich ?? Vertauschungsregel – für – doppelte – kovariante Ableitung – und von Covarianten – Vektorfeldern – die erste Richtung hatte ich ableite – ist also die zweite Richtung in die ich parallel transportieren – das kann man kovariant nicht Einrichtung der Koordinaten – ableiten – sondern auch allgemein in Richtung von Vektorfeldern – dann kommt noch ein weiterer der ?? dazu – sagen ?? statt von einem Punkt X – hier ein Stückchen in Richtung eines Vektorfeldssvektorfeld – soll heißen weh – und ich gehe das K fache von diesem Vektorfeld – an der Stelle X und ich haben anderes Vektorfeld – U – und ich gehe hier ein Stückchen – in die Richtung von dem Vektorfeld – an der Stelle X ausgerechnet H mal U von X – bisher hatten wir immer den Fall dass ich das dann schließt – zu einem Parallelogramm – zumindest in der Karte zu einem Parallelogramm – schließt – sie aber allgemeine Vektorfelder nehmen wir das nicht mehr funktionieren – männliche oben jetzt weiter arbeite – an dieser Stelle das Vektorfeld W ausrechne – gehe ich hier also – kam mal weh aber nun von X plus H mal – U von X – dass es im Zweifelsfall nicht derselbe Vektor wieder da unten – wenn ich hier jetzt – in Richtung des Vektorfeld U gehe – ist das im Zweifelsfall nicht derselbe Vektor wie hier sondern hier habe ich Haar mal – von – X – plus K mal wie von X – die oben entsteht also eine Lücke typischerweise – kann abschätzen wie groß diese Lücke wird – wie weicht dieser Vektor von dem Vektor ab – das ist der pinkfarbene Vektor hier das Gericht mit der partiellen Ableitung – ich bitte die partielle Ableitung – von – in die Richtung W – damit kriege ich diesen pinkfarbenen Vektor raus – das Vektorfeld – U nehmen – und die partielle Ableitung – in Richtung Fee – bilden – so sieht das aus und das mithilfe der Komponenten – ausbuchstabieren – dann habe ich noch ?? Faktor H vor dem U stehen – und stricke einen Faktor K von – der Ableitung – das ist die Differenz – zwischen – diesem echten Vektor und der Kante des Parallelogramm – entsprechend geht es hier oben – ?? muss ich weh ableiten in Richtung U – wie Abgleiten – in die Richtung Buch – und ich kriege wieder meine Faktoren H und K dazu – den Faktor K arbeite mit W steht – den Faktor Haar – von der Ableitung weil ich habe mal – weiter gegangen bin – ich kann es also sagen wir groß diese Lücke ist – die Differenz dieser beiden Ausdrücke muss das sein – Punkt diese Differenz ist von der Ordnung H mal K genau wie das Wasser im Krümmungstensor hatten also eine Ordnung dich berücksichtigen muss und ich unter den höheren Ordnungen verstecken kann – wenn ich nun einen Vektor – V – einmal als so parallel transportieren – und stand nach oben hin – und einmal so parallel transportieren – dann hierhin zeigte ?? aus dem Bild raus – egal – kann ich nicht diese beiden Vektoren darum direkt vergleichen ich muss noch weiter transportieren – den hier zum Beispiel so transportieren – und dann diesen vergleichenden – Grün und dem blauen vergleichen – das was ich kriege nicht nur einfach den üblichen Ausdruck mit dem Krümmungstensor – ich kriege auch noch einen Ausdruck für diesen Transport hier diesen grünen Transport – wenn ich also folgendes mache ich nimm mein Vektorfeld – leite es in Richtung W ab – so wäre das in Komponenten geschrieben – und das Ergebnis leidlich in Richtung – U ab so sehr das aus – minus umgekehrt – ich nehme mein Vektorfeld – und leitet es erst in Richtung – Moab – und dann in Richtung will – dann muss ich also kriegen das was wir kennen mit dem Krümmungstensor – erhoben Alpha unten Wetterlandermühlwetter – verziert mit unserem V – das Lander geht mit dem Feld das als zweites dran ist also ?? und das my geht mit dem Feld das als erstes dran ist – aber ich muss diese Begier noch beachten ich muss mein Vektorfeld – einen Schritt weiter transportieren – ?? parallel transportieren – als mit der kovariante Ableitung – ich kriege los – und jetzt etwas mit der kovariante Ableitung – in die Richtung des orangenen Falls – also – oben Komma wie abgeleitet in Richtung Kammer – Komma wie abgeleitet in Richtung Kammer – dieser Index IST der übrig bleibt der muss mit dem Wetter gehen minus – umgekehrt – Fee ohne Ableitung – U mit Ableitung – ich laufe entgegen dem – pinkfarbenen Fall – also kovariante Ableitung – Richtung von Vektorfeldern vertausche – glich nicht den Krümmungstensor – ich kriege auch noch einen Ausdruck der sagt wie gut die Vektorfelder – vertauschen – ob hier – eine Lücke bleibt in welche Richtung einlege bleibt – das ganze schreibt man gerne Koordinaten – frei – mein Vektorfeld V – leite ich kovariant – ab in Richtung wie – man dann so – und das Ergebnis – leidlich kovariant ab in Richtung Uhren – minus – mit vertauschten Rollen – nehme V Leite kovariant ab in Richtung U und leitet das kovariant ab in Richtung W – was ich dann rauskriege – ist der Krümmungstensor – den Sparplan gerne so – erst in Richtung Weg dann in Richtung ruh – angewendet – auf das Vektorfeld V – plus – und dies hier – wie gut – das Vektorfeld U und W vertauschen – miteinander – wie gut oder schlecht ich dieses Parallelogramm – oder nicht Parallelogramm schließt – das nennt sich die Lee Klammer auf das ist die Liebe Klammer auf von – U und W – angewendet – auf das Vektorfeld V – die die Klammer sagt was passiert wenn ich erst ?? vom Vektorfeld W gehe dann in Richtung vom Vektorfeld U minus umgekehrt – diese beiden Vektorfelder sozusagen – vertauschen – die Richtung der ersten kovariante Ableitung – die ich mache ist also auch die erste Richtung hier im Krümmungstensor – und ist auch die erste Richtung in der Liebe Klammer auf – erst Richtung Fee dann in Richtung um minus umgekehrt