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22A.1 Ableitung von Messreihen schätzen, numerisches Differenzieren, Fehlerschätzung


CC-BY-NC-SA 3.0

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daswas man so schulmäßigmacht mit Ableitungender Folgen des ich habe eine Funktion gegeben in irgendeinerformmäßigenForm eine Rechenvorschriftwirklich zum ausrechneneine Rechenvorschriftund gibt Einsatzregelnwie ich aus dieser Rechenvorschrifteine Rechenvorschriftfür dieAbleitunggeneriereähm schon muss die Ableitung hier null sein da muss sie nun sein da muss sie Null sein hier ist sie negativdass die Ableitung positiv und so weiterdiese Art vorzugehenich hab noch Formel für die Funktion und berechnet darausmit der Formel symbolischAlgebra isteine analytische und auch gerne spreche darauseine Ableitung?? ähm das kann man machen wenn man eine Formel hat wenn ich ein Modell habe in dem ich arbeitedann kann ich das machenaber wenn ich tatsächlich Messwerte habe reale Messwertedann sie das ganze bisschen wichtiger aus typischer Weise habe ich dann somit ZeitreiheregelmäßigaufgenommeneMesswertetypischerweiseaus was ich habe ich habe keine Kurveund insbesondere keine Formel für eine Kurve sondern wurde lange Liste an Messwertenmag man auch gerne so auf diese Weisemit Verbindungslinienzur x-Achse oder wenn sie wollen hierzu die Achse Zeitachse aber ich das mal wieüblich als man hier die x-Achse unter die y-Achse das es was ich typischerweise habe der Warenwelt keine Formel dich ableiten kann sondern Folge an Messwertenundklassischer Seite sind die in gleichmäßigen Abständen aufgenommen die Messwerte inzwischen gibt auchdiverse Ideen wie man mit Messwerten umgehen kann die man nicht gleichmäßigaufnimmt wo man bei mir liegen nun bei weniger liebenund vereinigen wie man diewieder Gesang über die Dichte dieser Messwerte so steuert wie man sie brauchtaber das esnoch Raketentechnikdarüber nicht hin also das was sie typischerweise aus Versehengleichmäßig aufgenommene Messwerte keine Funktion keine Formen die man ableiten kannPunkt trotzdem möchte man an vielen Stellen eine Ableitung haben ich weiß nicht welche Formel dahinter stecktdas Leerzeichen bisschen unwahrscheinlichkönnte es aber seinähm das sie bisschen wahrscheinlicher ausmuss es aber nicht sein ich weiß ich welche Formel dahinterstecktwelche Funktion dahinterstecktund insofernhabe ich das Problem jetzt einfach nur aus diesem Messpunkte ich habeeine Ableitung zusammen zu dichtenundstellt sich heraus dass die dumme Idee ?? nicht die gute istich würde an dieser Stelle hier nicht immer X nullan dieser Stelle hätte ich ?? die Ableitungam wenn man das macht was man üblicherweise macht würde mein Stückchen weiter gehenund seine Bekannte bildensiedas sieht jetzt schon wirklich nicht nach einer tangentengeradeausan dieser Stelle X null was ich viel lieber hätte als Tangentenradan der Stelle X null wäreso etwasdrauf geht und da wieder runter geht dass es viel plausibleran und erstellt der Zelle herauseine viel bessere Lösung statt dieses naivenistman nimmtdiese geradedie Gerade durch den Punkt davor und dahinter und guckt sich deren Steigung an und sagt okaydas müsste auch hier die Steigung sein ?? bei dem angucken nimmt dieser gerade durch den Erfurter Hintern sagen das ist auch eine gut gute Schätzung für die Steigung daalso nicht nur den nächsten Punkt angesehensondern auf den Punkt davor anguckenund verließ die Steilufer Punkt der fuhr zum Punkt dahinter und sagen okay das ist eine gute Stützschätzungfür die Steigung?? Punkt innen drinwarenPunktwill sagen ich näherem meine Steigungan der Stelle X nur durch folgendeJugendlichen gerundet durch folgenden Ausdruckich sage nehme die Steigungein bisschen späterdas wäre meinesüblich bezeichnetplus Haar Leerschritt dem Abstand H und hier wäre X null minus Hnehme das ein Stückchen späterX null plus Haarminus Main wird ein Stückchen vorherhart und teile das durchzweimal die schrittweisedas ist die übliche Ernährung für die Ableitungnicht zum nächsten Punkt gehenund dann Richard Hein sonderngucken was ist der nächste ?? davor und durch zwei hat ein Lustigerweise ist dieses hierdeutlich genauerals das was man naiv machen würde sich die Steigung zum nächsten Punkt anguckenandas können uns nun mal am Beispiel gerade anguckenmeine Idee kriegenzum Beispielam einfachsten ist was auszuprobieren in dem man Funktion einsetzt von der mandie Ableitung hatman Messwerte hat hat man diese Funktion nicht und dann auch die Ableitung nicht aber ich kanns ja mal ausprobieren mit einer Funktion dich vorgebenist ?? okay wir gucken uns mal folgende Funktion an die Wurzelfunktionan der Stelle X nullgleich dreiWunsch mit derSchrittweitenull Kommaeinsam?? daseinmaljetzt tatsächlichausgerechnetdie Wurzelfunktionunter diesen Bedingungenwenn ichnaiv rechnen ?? mitOpenOffice gerade mal vorwenn ich naiv rechne mache ich folgendesdann sagebildet die Wurzelvonso jetzt will ich hier habendernächsteWertminus der Originalwertdas wäre dienaive Schätzung gehe um eins zur Seiteminus den Originalwertso steht seine Definitionder Ableitungsehenmuss ich schon Klamottenund das ganze durch null Komma eins drei das würde man von der Definition der Ableitung erwartenhier null Komma eins zur Seite ziehen Original Wettabteiledurch die Weite zur Seite gegangen mit der Differenzenquotientdas ist die naive SchätzungamWasserwas hier jetzt steht ist folgendesgehe einen Schritt nach rechtsminus G ein Schritt nach links und dadurch zweimal die Schrittweitezu ?? irgendwelche Wurzelso gehe ein Schritt nach rechts wäre also drei Komma einsminus G ein Schritt nach linkswäre zwei Komma neun zwei Komma neunund ich teile durch zweimal die Schrittweite also durchnull Komma zwei?? Punkt das ?? der große Unterschied zu seinen ?? bei mir Stellen nach dem Komma habenanscheinend schonUnterschiede und jetzt können wir natürlich alle wissen welche Funktion abgeleitet worden ist das ganze normal exakt machenähmexakt wäre dann ja schulmäßigdie Ableitung zu bilden Beistrich von X X noch ein halb ganz inzwischen X noch ein halb gibt ein halb X hoch minus ein halbalso einst durch zweimaldie Wurzel aus Xdas es was ich erwarten würde exaktsicher vergleichen was meine Schätzungveranstalteteinst durch zweimal die Wurzel Xeins durchäh zwei durchWurzelsolcher klarer machen eins durch Klammer auf Klammer zuin Details kann irritierthaben zweimaldie Wurzelvon drei?? muss gleich Leerzeichen der vorschreiben Formel hatsoso sieht das aus?? sehen SieunseresimpelsteSchätzungnämlich so wie der Gewinnszahl Prozent hingeschrieben istPunkt ein zweiter minus Original?? auf die dritten Stelle schon deutlich was anders stehendiese bessere Schätzung stimmt aber fast sogar nochauf der vierten Stelle dies wirklich umKlassen besser die bessere Schätzungohne weiteren Rechenaufwanddas es immer was die Leute aus der Num Erik total begeistertähm es ist derselbe Rechenaufwandwenn sie naiv rechnen rechnen siedie Funktionan der Stelle rechts daneben minus die Funktion an der Originalstelledurch die breite?? müssen die Funktion zweimal auswertenwir müssen die Fusion auch nur zweimal auswerten sind der selbe Rechenaufwand dauert genauso langist aber deutlich genauermal zur Demonstrationund jetzt möchte ich sie immer bitten nachzurechnenKomma dass das hier sogar exakt istwenn ich quadratische Parabelneinsätzenachrechnendie Schätzung ist so exakt für quadratischeParabelnkeine Schätzung sondern sogar exaktfüreine Funktion der Arteine Konstantemal X Quadrat plus eine Konstante Matrix plus eine Konstantesogar noch allgemeine ein quadratische Parabeln wenn sie A gleich null setzen wie gleich Null setzen und natürlich keine Kunst kann keine Parabel sondern und seine Funktionen sie an gleich Null setzen Jahre Funktiongeht dann automatisch auch für den Jahr Funktionen für konstante Funktion setzt sie dass man die Schätzung einund überzeugen sich dass das exakt wird für diese Art Funktionja das es in der Tat blöde Rechenaufgabeanalso was sagt die Schätzung die Schätzung sagt meine Ableitungan der Stelle X null ist gleichgroßer Bruchstrichdurch zwei Haarist diese Funktionwenn ich um Haar nach rechts gehen also armer X plus Hnull fünf X null plus H Quadrat plus die malgroß H plus Cdas ist diese Funktion eine Stelle X null plus Haarsolle vorne stehenExodus Haar und möchte den Wert linksabziehenminusdas einsammelnalles mit X null minus H A maldieeng X null minus H QuadratplusB mal X null minus HplusCden Wert an der Stelle X null minus H abziehenKomma sofort in barloswerdenhier sind da wird sie addiert hier wird sie abgezogenden kann ich schon mal rausstreichenhier wird B mal X nulladaptierthier wird B mal X null abgezogengroß B mal X null minusB mal X null kleines X null kann auch schonrausschmeißen?? bleibtich hab mal eins durch zwei Hader vorne vornicht dieser monströse Bruch bleibtden ?? ausmultiplizierenist arm mal X null Quadrat plus zwei X null H plus H quadratserstejetzt kommt hier B malHaarC ist schon weg minusarm mal X null Minushaaraus buchstabiert X nur minus H Quadratals Excel Quadrat minus zwei X null Hplus H Quadratund dann bleibt sie noch minusminus H mal B minusminus H mal BalsolosB mal Haarminus mal minus groß B mal habe darausnoch im Bau weitere wegfallenseheneinmal H Quadratminuseinmal H Quadrat das H Quadrat fliegt rauseinmal X null Quadrat minus A mal X null Quadratdes X nullQuadrat schlicht rausbleibt wirklich nicht mehr vieleins durch zweimal Haar malso zwei mal X null mal H mal Aoder großes A von stehen abermalszweimal X nun mal Haarder Konto noch mal minus minuszweimal Haar als insgesamtvier malX null mal haarlosB mal Haar das ist der und der kommt noch mal zweimal beamen HaarTeilen durch Haarkürzen genauer gesagthier die zwei werde ich auch los die zwei macht hier die vier zur zwei und hier die zweizu einsund dann steht da das istzweimaleinmal X null zweimaleinmal XzweimalA mal X nullplusBzweimal armer X null plus Bman sich jetzt die Originalfunktionangucktdavon die Ableitungdavon die Ableitung ist zweimaleinmal X plus Bund wenn sie X null einsetzenAbleitung an der Stelle X nullist zweimal einmal X null groß Bgesehen aha in der Tatdas istkaum angemessen gelogen ?? soll ich schreiben ist ungefährdas Wetter vom Einschätzungund dir stell ichfest oder sich gar keine Schätzung das ist sogar exakt die Ableitungüberraschenderweisealso bin ich eher quadratischePolynom habe quadratische Parabeln ?? ?? zweiten Grades habekann ich auf diese Weise sogar exakt dieAbleitung bestimmen ich braucheeinen Punkt links von meinem Original Punkt irgendeine quadratische Parabelnbrauchen sie ein Punkt links von ihrem Original Punkt und im selben Abstandein Punkt rechts davonund um dieAbleitung zu bestimmenan dieser Stelle in der Mittebestimmen Sie einfachdie Steigung zwischen diesen beiden Punkten links und rechtsdes für parabelquadratischeParabeln was nachgerechnet haben exaktfür den Jahr Funktionen sowieso und für konstante Funktion erst rechtamwas man also im Endeffekt tutKomma sich dann diese Mehrung vorstellenwenn ichmeine Punkte habe meine Meßreihe habe heißt das was ich im Endeffekt mache anschauenwas ich anschaulich macheist eigentlichum die Ableitung hier zu bestimmen lege ich eine Parabel eine quadratische Parabeldurch die ?? gelingteine quadratische Parabel durch die Punkte Drumherumquadratstellt sich eine quadratische Parabel vor die wirklich durch den Punkt links davon durch den Punkt Rechts davon und den Punkt der mich interessiertund bestimmedie Steigung eine quadratische Parabeldas es eigentlich was ich da mache mit meiner Ernährung durch drei Punkte quadratische Parabeln legenund die Gestaltung der quadratischen Parabel nehmen und wenn ich denn jetzt die Steigung für den ?? Punkt wissen willwie ich die quadratische Parabel durch diese drei Punkte hiermit dassowasQuadratsparabeldurchdreht die drei Punkteunddie nehme die Steigungan diese quadratische Parabeln unternehme ich quadratische Parabeln durchAnführungsstriche zuals diese drei Punkteund nehme die Steigung hier an die quadratische Parabelndas ist was ich im Endeffekt anschaulich tue ich rechne niemals diese quadratische Parabel ausdas er Wahnsinnich bestimme nicht diese ABC der quadratischen Parabelviel einfacherich kann einfach diese Regel hier benutzenkann einfach diese Regel benutzen immer gerade gesehen bestimmt für quadratische Parabelnhätte sich Musik vertrat Parabel gar nicht ausrechnenam ich kriege direkt die Ableitung aus den Funktionswertenohnehier dieses ABCdieses ABC bestimmt zu habenanwenn man so weit istdas man gesehen hat dass diese Formelfür quadratische Parabel exakt ist dann kann man sogarzumindest ingenieurmäßigundphysikermäßigdiedie Schätzung für den Fehler auch hinschreiben als ich habe nun das dieAbleitungungefähr ist der Wertein Stückchen ob der Wert ein Stückchenrechtsminus der Wert ein StückchenLebensdurch zweimaldieses Stückchen also die Gesamtbreiteplus einen Fehlerkann ich mir schon grob vorstellenwas dieser Fehler denn eigentlich sein musswarder Fehler muss für quadratischeParabelnwegfallender Fehler kann nichtsmit dem Wertder?? Funktion selbst zu tun haben und mit dem Wert der Ableitung zu tun haben und mit dem Wert der zweiten Ableitung zu tun anderes was mit dem Werte dritten Ableitung zu tun haben die dritte Ableitung hier von dir ist nulldas ist die erste Ableitung hiervon die null ist alle anderen davon sind nicht nursolange eine null ist aber das wäre ganz schön quadratische Parabeldie erste Ableitung die null ist von den hier ist die dritte Ableitungnoch mal ableiten haben sie zwei Haar und dann noch mal ableiten die dritte Ableitung den haben sie nurdeshalb ist der ganz schwere Verdachtzumindestaus Physiker Sicht der ganz schwere Verdacht dieser Fehler hat also anscheinend was mit der dritten Ableitung zu tuninklusiveder Ableitung der Funktionsvorkommenin die Ableitung bis dahin sind nullwenn man da angekommen ist das der Fehler was mit der dritten Ableitung zu tun hatten Komma sogar sagen wieder mit Hzusammenhängtnunendlich vorstellen dass diese Funktion Leichtmeter hatwiederpro Sekunde weit in das normale Ableitung ausgerechnetfür die Geschwindigkeitwenn es hier Meter pro Sekunde werden F selbst hat die Einheit MeterX und HX null haben die Einheitssekundewelche Einheit hat danndie dritte Ableitungbasieren die Physik denkenMeter einmal ableiten Meter pro Sekunde die Geschwindigkeitzweite Ableitung schwere Beschleunigung Meter pro Sekunde Quadratdritte Ableitungsruckwäre Meter pro Sekunde hoch dreidas wäre die Einheit der dritten Ableitung Meter pro Sekunde hoch drei wenn die Funktionin Metern gemessen wird und wenn diex-Achse hierSekunden hat also in der Tatzeit wäre und keineLänge wärewenn ?? mein Fehlerhier diedritte Ableitung meiner Funktionenso vorkommt ohne Quadrateund ähnliche Geschichten wenn die so vorkommtund zum Schluss soll eszu Meter pro Sekunde werden können Sie jetzt vorstellen womit ich das noch modifizierenmuss damit zum Schluss Meter pro Sekunde rauskommenbrauch als ich irgendwo Sekunde Quadratum nachher auf Meter pro Sekunde zukommen lassen Meter pro Sekunde hoch drei irgendwo müssen Sekunde Quadrat herkommen kommen jedoch Meter pro Sekundeund das nahe liegende für Sekunde Quadrat ist dann H Quadratin diesem Fehler steckt die dritte Ableitung drinnenund das Quadrat von Hdas natürlich jetzt keine strenge Herleitung das es sophysikermäßigwie ich mir das überlege und die meisten Physikerinnen und Physiker sowas überlegen ?? guckt sich die Einheitenan und hatten ?? Idee was passieren mussundtrifft dannmit hoher Sicherheit diese Schlussfolgerungder Fehler muss was mit der dritten Ableitung und mit dem Quadratvon dieser Schrittweite zu tun haben das heißtwenn ich die Schrittweite halbierenwird der Fehler typischerweisegefährdetwenn ich die Schrittweite drittelemit der Fehler typischerweise?? neuntedie die Schrittweite zehnte wird der Fehler typischerweise?? hundertsteanders bilden das Wort HundertstelKommaähmdas kann man damit über den Fehlerlernersetzt keine strenge Herleitung dafür im nächsten Semester Komma das etwas schickermithilfe derTäler Polynom Ehrlichkeit andeutendannwenn man die saubere Herleitung dafür haben will dann muss man sowas haben die Funktionan der Stelle Xnull plus HaaristFusion an der Originalstelleplus ihre Ableitungan dieser Stelle mal Haarbis deines ist die Tangenten geradewas ist der Wertdie stark ändert sich der Wert wenn ich aus der Originalstelle rausgebe seines Agenten ladenund es ist auch nicht ganz unlogisch dass das in die fortgesetzt werden können mussdie zweite Ableitungmal H Quadrat Halbedie dritte Ableitungmal Haar hoch drei Sechstelund so weiterdas übernächste Semesteran Tellerreihewenn ich das einsetzekann ich das vernünftig begründen aber soweit sind wir noch nicht Komma nächstes Semester machen aber schon rein zu Hände wedeln ist da dieser Fehleräh hat was mit der dritten Ableitung mit H Quadrat zu tun das heißt man lernt waswie man seine Messwerte verbessern muss um diesen Fehler zu verkleinernwenn sie die Steigunghiermit ihrer Schätzung der Steigungverbessern wollensodass der Fehlerauf ein Hundertstel fällt dann müssen siedannihre Schrittweiteauf ein Zehntel runter drückenwir zehnmal mehr messendie Messwerte zehnmal dichterund haben den Faktor hundertin der Genauigkeitin Fehler auf ein hundertste gedrücktim Mittel auch das ist natürlich wieder nun Schätzungwas man dann ja hataberdie Schätzung stimmt umso genauerdie kleine Schrittweiteanletzte Sache hier zu der Schätzung derSteigungwenn Siediese Schrittweiteimmer kleiner immer kleiner immer kleiner machen null Komma null null null irgendwaswas wir zum Schluss passieren wenn sie das tatsächlich am Computer ausrechnen und Taschenrechner ausrechnensoweit überraschen dich fürs mal vor was passiertdann aber Dinge hier dann wenn ich mir Nummer diese Form hier nehmeund nehme jetztviel kleinere Schrittwahrheitenwarennehme malso viele Nullen davorauf das geschickt mit?? zu vielen neuen wich Nullen haben Sie anders schreibenhier schreibe ich dreiplus null Komma nulleinsund hier schreibe ichdrei minusund so weiter ich sollte meine Variable einrichtendas weichere egaldurch zweimaldensehen okaydas wird doch schondeutlich besser die ein winziges Stückchen nach rechts ein winziges Stückchen nach links das mit dem exakten Wert vergleichensieht ja nicht so schlecht ausKomma weitervier null nach vorne vor ein zwei drei viervier neun hier rein ein zwei drei viervier neun darein ein zwei drei vierjetzt nicht so viel besser gewordenenimmer noch ?? null zwei null nach vorne reinzwei Nullen darein zwei Nullen dareinPunkt sagwas passiert hier ??es wird gerundet was sie jetzt an Ärger kriegen sind die Rundungsfehlerähmdie typischen Rechner haben irgendwas größenordnungsmäßigvon fünfzehn gültigen Dezimalstellen?? sechzehn gültigen DezimalstellenZimmer der Informant in der Informatik auch noch mal das Doppelformatvierundsechzig Bit hat irgend sowas bei fünfzehn sechzehngültigen Dezimalstellenund wenn ich hier sowas habe wie drei und dann kommen ganz viele Nullen und Hancock meiner einsgibt's irgendwann kein Unterschied mehr zwischen drei plus diese Zahl und drei minus diese Zahl durch Rundungsfehlerund ?? Richter null raus null durch irgendwas für ihn ist die Wurzelmit dem Plusgleich der Wurzel mit dem Minusdas es einfach nur noch RundungsfehlerWasser hinten dazu komme die null Komma null null null und so weiter deshalb kommt null raus also Vorsicht Mandates nicht zu weit treibenan wenn Siediese Schrittweite zu klein machen explodierte Fehlerdurch Rundungsfehlerdas hier stimmt nur solange wie diese Rechnung hier auch halbwegs exakt im Rechner vorgenommen wirdje stärker der Rundungsfehler wirdumso schlechter wird das wieder also man darf dieses Haar nicht gnadenlos klein machenkönnte sein das ein Problem des Rechners das Problemist dann aber wie finde ich einen Rechner der Meer Nachkommastellenhat sie haben tatsächliche ein Freihausähmder hier kann ja mehr Nachkommastellenmachen das mit dem dann können Sie noch ein paar Stellen mehr nehmenaber in weiß aber dem Feierabendkönnte zu Wolfram Alphagenerechnet im Prinzip mit beliebig vielen Stellen nach dem Kommaähm solange die Wolfram noch im bisschen rammeinbaut in die Serverdas natürlich dann zunehmend unpraktischsollte Fa ich nicht sagen das es unmöglich ist diese Genauigkeit zu steigern es wird zunehmend unpraktisch?? Genauigkeit zu steigern indem man dieses Haar immer kleinerfür die zweite Ableitungwenn sie zum Beispiel Längen gemessen haben abhängig von der Zeit und wollen die Beschleunigunghabenwir das Ganze noch finstererkann mir schon vorin denVideos wenn ich die zweite Ableitung schätzen will dann ist daswas ich typischerweisemachefolgendesdiese Formel ist nicht die einzige Formel dort gibt Formen diesen deutlich kompensiert dann auchnun sich nur meist nicht wenn ich die zweite Ableitung schätzen willguck ich mir auch wieder nur drei Funktionswerteandieser einfachenSchätzung für die Ableitungund rechne dann folgendesich nehme den Wert ganzrechts X null plus Haarminus zweimal den Miert in der Mitteplus den Wert ganz linksPunkt null minus Haarteiledurch H Quadratsind schon von den Einheiten der großes H Quadratwenn ich Meterfür die Funktion habe und Sekunden für das X habe muss hier sowas stehen die Meter pro Sekunde QuadratsmeterMeter Meter durch Sekunde Quadrate und muss offensichtlich H quadratsstehenderdarf ich Haar stehenanes könnte natürlich auch und dreizehn H Quadrat stehen das kann ich mit den Einheiten nicht begründendas hier zu begründenäh gibt's wieder zwei Wege einmaldas perfekte Übungzwischen Weihnachten und Neujahr setzen Sie meine allgemeinekubische Funktion ein und stellte fest ?? kubisch Funktion ist das exakt die zweite Ableitungals ichbei derersten Ableitung bei der Schätzung nach ihr bei der Ersetzung der ersten Ableitunggibt es für quadratischePolynom exaktund das hier machenwürde sogar komische Polynom einsetzeneinmal X hoch drei plus und so weiter und es stimmt exakt simple Aufgaben zum nachrechnen und sich nicht wirklichdas wäre eine Art immer das zu begründen was begründen kann dass ich sage okaywas hier eigentlich passiert ist das ich mir drei Punkte meiner Messwerte nehmeim gleichen Abstand Haarund eine kubische Parabelder durch legedavon gibt's aber ziemlich viele das ist nicht die einzige kubische Parabelähmdavon gibt ziemlich viele kubische Parabeln lustigerweiseegal welche kubische Parabel sie nehmen die zweite Ableitung wird immer dieselbe sein bei dieser komischen Parabelfindet man auf diese Weisedas ist eine Art jemals begründen kann die andere atemlos begründen kann ist das man hier für die Funktionenwieder sowas mit einerKellerei hin schreibt und zu mühsam Täler Polynom schreibt Punkt welche Thermen sich begebenkönnen um es nächstes Semester