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20B.3 senkrechter Wurf; Differentialgleichung

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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ein Aufgaben dazu bieten – Ableitungen – wirklich angewendet werden einfach nur zu wissen das aus dem Sinus der großen Suiten ?? großes X Quadrat X wird das sicher – eher banal – spannend wird es nach mit Differentialgleichung – gekommen offiziellen zweiten Semester aber die zeige ich Ihnen jetzt schon mal dessen Idee haben umseitig – geht bei den ganzen Ableitungen – erster was aus der Physik – Aufgabe – ballistische Bewegung wie so schön heißt eine Bewegung – am – dass man – Propeller hat und auch keinen Heißluftballon – hat – am – kostenfrei – geworfene Stein – zum Beispiel – dass wir eine ballistische Bewegung Komma zumal an ein Stein werfen zu zwei Meter über dem Untergrund – soll die Bewegungstaaten – zum Zeitpunkt ?? gleich Null – sinnvollerweise – ?? null Sekunden wenn sie wollen – dann ?? es soll geradlinig – nach oben geworfen werden senkrecht nach oben geworfen werden Anfangsgeschwindigkeit – von zwanzig Meter pro Sekunde – und die Frage ist nach welcher Zeit – liegt hoch das Ding kommt wieder zurück – nach welcher Zeit prallte unten wieder auf – ?? Wang – das natürlich in – nun schon Mechanik – geht's nicht ?? Elektronen die hochgeschossen werden und der geht's auch nicht um übliche Partikel nahe der Lichtgeschwindigkeit – als macht man das mit klassischer Mechanik am einfachsten – und – die üblichen Annahmen – noch Widerstand – egal – Erdbeschleunigung – konstant neun Komma acht eins Meter pro Sekunde Quadrat – aber jetzt bitte nicht in die Formelsammlung gucken das es gerade was ich nicht will ich möchte das sie selbst mal mit Ableitungen – hinschreiben – wie das zusammenhängt – einen – Messe die Höhe nicht mal ganz dreist X die Höhe – ?? Abhängigkeit von der Zeit – müsse die Geschwindigkeit – in Abhängigkeit von der Zeit – wie hängen X – und – Geschwindigkeit – voneinander ab ?? hängen – die mit der Erdbeschleunigung zusammen – Komma dort mal zusammen ✂ ich mal noch eine ganz andere Wirkung auf – wenn das hier meinen – X Koordinate – ist und das ist meine Zeit – und irgendwie hängt X Koordinate von der Zeit ab – am – ?? – wo habe ich eine hohe Geschwindigkeit – an welchen Stellen – durch eine hohe Geschwindigkeit ?? Komma Wageneinheiten – immer eine Sekunde zwei Sekunden – wie viel Sekunden – haben sie eine hohe Geschwindigkeit – genau da wohl ✂ drauf hinaus die Geschwindigkeit – ist die Steigung dieser Kurve – zu hängt das zusammen als zum Beispiel bei einer Sekunde habe ich die große Geschwindigkeit – bei einer Sekunde bin ich hier – etwas später – bin ich ziemlich viel weitergucken – sich das hier an – A zwei Komma noch was Sekunde bin ich hier dieselbe Zeit später wie vorne bin ich nun ganz kleines bisschen weiter gelangen gegangen hier eine Kurve flacher ist – schon allein von der Anschauung her die Steigung dieser Kurve – die Ableitung – dieser Kurve nach der Zeit – X Punkt – also die Ableitung – das heißt dass er die Ableitung von X nach der Zeit – ist – die Geschwindigkeit – wenn sie – keine konstante Geschwindigkeit haben – heißt das – sie legen jede Sekunde – Geschwindigkeit – mal eine Sekunde zurück – ?? weniger ?? drei Meter pro Sekunde habe will das heißen ich lege drei Meter hier – pro Sekunde zurück – immer – drei Meter pro Sekunde – das denke am besten zu erkennen die Ableitung – die Steigung wäre drei Meter durch eine Sekunde – die Ableitung – von der Position – nach der Zeit gibt die momentan Geschwindigkeit – das wäre das erste hier – die Ableitung – schreibe ich das mal so stolz war die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit – ist momentan Geschwindigkeit – das ist das erste was man hat ✂ wie stets mit der Ableitung der Geschwindigkeit – was wissen Sie über die Ableitung der Geschwindigkeit – das war's die Beschleunigung – wie schnell ändert sich die – Geschwindigkeit – an und das schöne ist bei dieser ballistischen Bewegung – das ich einfach sage okay diese Beschleunigung ist minus die Erdbeschleunigung – ist minus neun Komma acht eins – Meter pro Sekunde Quadrat – egal was ihr passiert – solange dieser – Stein – dieser Wahl – kein Düsenantrieb hat keinen Heißluftballon – auf dem Rücken hat ein Fallschirm hat – am ?? – ist das alles was passiert – die Ableitung der Geschwindigkeit – wird sein minus neun Komma eins Meter pro Sekunde Quadrat – einfach die Beschleunigung die durch die Erdanziehung – Punkt – es geht entweder wenn ich in Normalnull Bild nicht so weit hoch kann dickes Loch gebohrt – ähm und es geht dadurch auch nicht exakt je nachdem wo ich stehe auf der Erdoberfläche ist es natürlich genau dieser Zahlenwert wahrscheinlich ändert sich das dann auch noch saisonal – aber das ist das billigste Modell erstmalige Geschwindigkeit – hat eine konstante – negative – Steigung – das meint jetzt mal auf eine – Funktion – namens V – von der Zeit ausführlich so – die eine konstante negative Steigerungsrate – von – ungefähr minus zehn Meter pro Sekunde Quadrat – wie kann so eine Funktion im Prinzip nur aussehen – hier die Geschwindigkeit – der – Zeit – was es jetzt nur noch möglich – nachdem was über Ableitung des – ?? ✂ so – ein sie das sehen die Ableitung meiner Funktion – ist eine Konstante – überall – egal wo ich gucke die Tangenten gerade – dieselbe Steigung – wenn ich an dieser Stelle – bedanke gerade Guckesteigung – minus neun Komma eins Meter pro Sekunde Quadrat – wenn ich woanders gucke wo auch immer Steigung minus neun Komma acht eins sind das kann er sogar nicht funktionieren ?? die einzige Chance – dass sie überall dieselbe Steigung der Tangenten gerade haben ist das es gerade ist insgesamt die Funktion insgesamt muss eine gerade sein – nur dann handeln Konstante Steigung – wenn es keine Gerade ist – aber keine konstante Steigung sinnvollerweise – also muss es – das was man damit sofort – ähm – ?? die Steigung dieser Graden ist Überraschung das was da steht – Gewehr die Steigung an – also wenn ich hier eine Sekunde – warte – habe ich hier ein Geschwindigkeitsverlust – von wie viel ✂ das nach der ?? hat die Steigung also dieses hier sind jetzt neun Komma acht eins Meter pro Sekunde ?? so viel ändert sich die Geschwindigkeit – nach unten – besser wenn sie negative – Werte – nicht eine Sekundewart – ändert sich die Geschwindigkeit – um knapp zehn Meter pro Sekunde – nach unten sie verringert sich um knapp zehn Meter pro Sekunde für jede Sekunde – wenn ich mit zwanzig Meter pro Sekunde starte das ist die Rolle hier von dem Achsenabschnitt zwanzig Meter pro Sekunde – die Geschwindigkeit – zur – Zeit null – ?? pro Sekunde – das war die Rolle – hier von dem Achsenabschnitt – nicht eine Sekunde warte bin ich bei zehn Meter pro Sekunde die Moldau nach der zweiten Sekunde bin ich praktisch da unten auf der Achse und so weiter – das ist die Bedeutung dieser Zahlen ich habe zwanzig Meter pro Sekunde Gebein Anfangswert – und – die Erdbeschleunigung – gibt mir die Steigung – das heißt – kann es also sagen was die Geschwindigkeit – ist die Geschwindigkeit – abhängig von der Zeit ist – was ganz zur Begleichung hinschreiben ✂ also brauchen eine gerade mit Achsen Abschnitt zwanzig Meter pro Sekunde – pro Sekunde sowie immer X groß B das wäre das B sozusagen – einmalig – ähm Steigung neun Komma acht eins minus neun Komma eins Meter pro Sekunde Quadrat – sich nicht X – ich sage abhängig von der Zeit also mal C und hier vorne steht minus neun Komma acht eins – Meter pro Sekunde Quadrat – so sähe das aus – es kann nur diese Funktion geben – darunter sogar keine Formelsammlung und das festzustellen – das wissen Sie einfach durch Ableitungen – wenn – eine Funktion eine konstante Ableitung hat – ohne sie Lücken hat sowas genau noch vorkommen – ganz Schlimmes aber die hat er keine Lücken ihr eine Funktion – rasante Ableitung hat keine Lücke zwischendrin – dann muss das eine gerade sein – sofort sagen okay – was ist die Steigung – was da steht dass sie Konstante Ableitung das muss die Steigung sein und ihr war ja auch der Anfangswert gegeben die Geschwindigkeit – zu Beginn soll zwanzig Meter pro Sekunde sein – MS kann die Frage auf was ist denn jetzt eigentlich – jemanden Fallschirm aus dem Flugzeug springt der Staat natürlich hier – der startete mit der Anfang zwischen – null und die wird dann negativ – ich fliege am Fallschirm – nach – unten – seine negative Geschwindigkeit – ich starte – beim Absprung aus dem Flieger – mit Geschwindigkeit – null – und die wird dann negativer und negativer die Geschwindigkeit – aus ab da ging es los – da nicht irritieren lassen von dem Vorzeichen der Geschwindigkeit – also – mir ist die Geschwindigkeit positiv – ich fliege rauf aber immer langsamer – es geht erst schnell los – aber dann verliere ich an Geschwindigkeit – ist die Geschwindigkeit null das ist der Scheitelpunkt – höher geht's nicht mehr erobern müssen Punkt habe ich die Geschwindigkeit null und dann wird die Geschwindigkeit erst etwas negativ – und dann immer mehr negativfalle – wieder runter – so sieht diese Bewegung aus – armen – damit aber den ersten Teil allein – durch Kenntnis was Ableitungen tun – ja noch nicht von allen jetzt gesehen was denn der Ort sein sollte dann die Höhe soll sagen – was die Höhe deines nach Fähigkeit von der Zeit besuche ich ja eine Funktion deren Ableitung – die Geschwindigkeit – ist und die auf der richtigen Höhe startet – das Gesicht dann noch überlegen – und für alle die das schon haben die eigentliche Frage war ja nach welcher Zeit – kommt dieser Stein oder Ball oder was auch immer auf dem Boden an – bisher nach welcher Zeit – das ich nach welcher Zeit – hat das Ding auf dem Boden auf was war die eigentliche Frage – was können Sie dann beantworten wenn sie – X die Höhe nach Fähigkeit von der Zeit aus buchstabiert haben ✂ Komma dass es bei den zwanzig Meter pro Sekunde – anzufangen – ?? ich weiß das die Ableitung – schreiben ich weiß das die Ableitung – der Höhe nach der Zeit – gleich der Geschwindigkeit – ist – was habe ich abgeleitet – um die zwanzig Meter pro Sekunde rauszukriegen – zwanzig Meter – pro Sekunde – mal T plus irgend eine Konstante – in die das ableiten des die allgemeine – Mann das Meer versteigern kann – dass die allgemein zu Funktion wie das kann – man diese Funktion ableiten nach der Zeit – fliegt die vordere Steakhouse – zwanzig Meter pro Sekunde und die Konstante fliegt sowieso weg – das es – das umfasst alles was möglich ist – und dass sie vorne zu kriegen – ?? was City Quadrat Halbe – minus neun Komma acht eins Meter pro Sekunde Quadrat die Quadrat – halbe – wenn sie die quadratshalber – ableiten – und die zwei nach vorne zwei T durch zwei kürzlich aber noch die – das ist der Grund warum die zweite auftaucht – bei dieser Bewegung – die Quadrat halbe – nicht zweimal ableitet – sondern nur noch diese neun Komma acht eins stehen nackt – die zwei der unten steht dieser Palette Quadrat steht – und die Quadrat steht deshalb eine zweite Ableitungskonstante – ist – dann – auch hier könnte man sagen plus irgendeine Konstante – denn ich weiß ja nur die Ableitung – packe ich mit dahinten zu – der Disk offensichtlich was sie Konstante sein muss wenn sie nun einsetzen – solle zwei Meter rauskommen plus zwei Meter – so sieht das aus – un Formelsammlung ✂ die Frage war nun wie lange – dauert es bis zum – Aufprall – das heißt also – null ist gleich – oder null Meter – nachdem – man das sieht sagen null mal ein Lichtjahr es gleich null mal ein Meter – egal ?? null ähm null Meter ist gleich – minus neun Komma acht eins Hektar pro Sekunde Quadrat – mal – wieder nicht das jetzt mal – groß T – die Zeit – halbe – plus zwanzig – Meter durch Sekunde mal groß T plus zwei Meter – vor sich mit der PQ Formel habe ich gerade gesehen ?? PQ-forme geht natürlich nur wenn der Teequadrat – ohne irgendwas steht – der Knochenfaktor vor dem Teequadrat stehen Punkt – das heißt – ich sorge dafür das dieser – Faktor hier – verschwindet – nun – will sagen ich nehme diese gesamte Gleichung auf beiden Seiten Martin Kehrwert – von diesem Faktor ihr – das wird heftig – daran habe ich feinheitstechnisch – alles mal Quadratssekunde – durch Meter steht dann als noch – Quadratssekunde – ?? wieder hin oder was ?? null ist gleich – null Quadratssekunden – sind – nur Quadratsjahre – sind null – egal den bin ich dann los die Quadrat – spannt – den hier mit dem Kehrwert von denen also – zwanzig – durch neun Komma acht eins des minus darf ich nicht vergessen die zwei gab's auch noch – und dann steht einer sechzig Meter pro Sekunde mal Sekunde Quadrat durch Meter es bleibt einmal Sekunde stehen mal die – Zeit – den hier auch noch mit dem Kehrwert von dem Multiplizieren – minus – zwei – durch diese neun Komma acht – eins – mal diese zwei – Meter – mal Sekunde Quadrat durch Meter hinten stehen nur – Sekunde Quadrat ✂ und jetzt die PQ Formel – jetzt lustigerweise zwei Lösungen liefert – ?? diskutieren was das – für zwei Lösungen sind – so – P ist also – manchmal an das ist jetzt P – und das hier – ist Q – PQ Formel – minus die Hälfte von P – ist also zwanzig durch – den Schwarz dazu – zwanzig durch neun Komma acht eins – Sekunden – minus die Hälfte hiervon plusminus – jetzt den Quadrieren – zwanzig Sekunden durch neun Komma acht eins – den Quartieren und Kuh abziehen das heißt – plus – vier Quadratssekunden – durch neun Komma – acht eins – bis dahin aus – Komma den Taschenrechner eingeben – so langweilig dass man bei geschickter – ähm – hier das davon – zwanzig durch neun Komma acht eins ist die mal Daumen ✂ also – zwei – erfahrene ungefähr zwei Sekunden – ein bisschen vorsichtig sein soll mit dem Minus – am – wenn man überall rundet und dann zwei sehr benachbarte Zahlen voneinander abzieht kann sein – das man – riesige relative Fehler kriecht am – hier steht hier dasselbe noch mal also hier steht – WIEDERHABEN ungefähr – vier Sekunde Quadrat demzufolge ?? und hier hinten habe er vier durch zehn also hier steht ungefähr – null Komma vier Sekunden ins Quadrat – diese Situation hier – die Kammern müssen – noch Aufschluss mit linearer Annäherungssitze – bei vier Sekunden ins Quadrat – bisschen daneben und davon die Wurzel – gerade noch mal das – habe ich eben gesehen ?? schöne Wiederholung – für Ableitungen – ich möchte das sie schätzen die Wurzel aus vier Sekunde Quadrat plus ein bisschen – sitze hier bei – vier – Sekunden – ins Quadrat – Wurzelfunktion – ich weiß die Wurzel aus vier Sekunden ins Quadrat ?? tolles zwei Sekunden – habe er – ich will ja nicht die Wurzel für Sekunde Quadrat ich will die Wurzel aus vier Komma vier – Sekunden ins Quadrat – um das interessiert mich – ?? wenn sie mal die Tangenten gerade der Wurzel – um das zu schätzen – wenn ich an der Stelle vier Quadratssekunden – um – null Komma vier Quadratssekunden – weitergehen – wie viel geht der Funktionswert der Wurzel darauf ✂ die Wurzelfunktion – die Wurzelfunktion – ableiten – X hoch ein halb ableiten kriegen wir – ein halb X hoch minus ein halb will sagen eins durch zweimal die Wurzel das wäre die Ableitung der Wurzelfunktion – Ableitung der Wurzelfunktion – sagt Ihnen – wie steil – die Tangenten gerade ist an der Stelle X das hier ist die Steigung der Tangenten gerade an der Stelle X – mich interessiert jetzt die steigende Tangenten gerade an der Stelle – vier Quadratssekunden – das ist ein bisschen nervig das sich die ganze Zeit Quadratssekunde – mitgezogen habe sei's drum – mich interessiert die Steigung von dieser Funktion an der Stelle vier Quadratssekunden – ist das Einsetzen – einst durch zwei mal – Wurzel vier Quadratssekunden – nur zu vier Quadratssekunden sind zwei Sekunden einst durch vier Sekunden – das wird die Steigung sein dieses Ding hier diese gerade hat die Steigung einst durch vier Sekunden – damit kann ich jetzt – schöne Näherungsrechnung – aufmachen – wenn ich – von vier bis vier Komma vier Quadratssekunden – gehe um null Komma vier zur Seite – lediglich um null Komma vier zur Seite sagt in die Steigung – endlich um ?? Komma eine Sekunde – nach oben dies hier ist nur Komma eine Sekunde – das Ernährung aber schon recht gut Punkt – null Komma vier Quadratssekunden – zur Seite Steigung einst durch die Sekunden – Seite mit Effekt sie nehmen das Defizit zur Seite gehen mal die Steigung – das nach oben genug Komma ein Sekunden – das Beispiel – an – sie fahren zehn Meter – bei einer Steigung von – ein viertel – dann haben sie – eine Höhe von zwei Meter fünfzig zurückgelegt – sie gehen null Komma vier Quadratssekunden – nach rechts bei einer Steigung von eins durch vier Sekunden die beiden miteinander multiplizieren – Punkt meine Bewunderung – das ist die Rolle der Ableitung in der Mathematik – an wesentliche Geschichte ich sehe dass das an einigen Stellen noch hakt – das amerikanische – nicht dazu tun wenn der Tacho dabei Meter pro Sekunde geeicht wäre es leichter – in der Sache Meter pro Sekunde leicht wäre unterstünde – Komma – weil sich bis in zehn Meter pro Sekunde – auf dem Tacho – würde das heißen – nach der nächsten Sekunde – ich zehn Mitarbeiter – dieses einst durch vier pro Sekunde heißt – nach null Komma vier Quadrat Sekunden bin ich nur Komma eine Sekunde – höher – derselbe Gedanke steckt – ?? mit der linearen Ehrung hier – weiß ich also diese Wurzel wird sein – ungefähr zwei Komma – eine Sekunde – das heißt meine Zeit da oben ist ungefähr – zwei Sekunden plus minus – zwei Komma – eine Sekunde – ich ?? also zwei Möglichkeiten – ?? vier Komma eine Sekunde raus – oder – minus null Komma eine Sekunde – etwas überraschend – fiel Komma eine Sekunde offen sichtlich was ich suche – ähm Imame – wird aus dem Taschenrechner kommt mir auf das vier Komma eins ?? umfasst vier Komma zwei – Ziffer vorsichtig mit dieser Rundung – haben – etwas mehr als vier Sekunden auf jeden Fall – es gibt sie lustigerweise die andere Lösung minus null Komma eine Sekunde – was ist die Rolle – hier was ist die Rolle hier – was ist diese Rolle von T gleich minus null Komma ein Sekunde in diesem Problem ✂ ob sie zum Zeitpunkt richtig ob sie zum Zeitpunkt null Sekunden hier starten – oder ob sie etwas früher da unten starten mit höherer Geschwindigkeit – macht für den Rest der Bahn keinen Unterschied wir haben nur die Form hier für den Rest der Bahn – ab dem Abwurf – Komma das konsequent rückwärts verfolgt – könnte man auch sagen wir haben den Ball da unten abgefeuert – vom Erdboden – etwas früher als null Sekunde mit etwas höherer Geschwindigkeit so – das er bei genau null Sekunden – ?? in Höhe von zwei Metern und Geschwindigkeit von zwanzig Meter pro Sekunde hat – das ist die Rolle – von dieser zweiten Lösung – die man da findet – die Bewegung wird sozusagen ins – in die Vergangenheit – fortgesetzt – starte nicht da – ?? ich starte – weiter unten ✂ das war die erste Differentialgleichung – ihres Lebens – oder sogar schon ein System von Differenzialgleichungen – die Ableitung – von X nach der Zeit ist die Geschwindigkeit – die Ableitung der Geschwindigkeit – nach der Zeit ist – minus die Erdbeschleunigung – zwei Differenzialgleichungen – Gleichungen in den – Ableitungen stehen das ist nachher wie Ableitungen – wirklich vorkommen ?? – man löst Differenzialgleichungen – und – diese Geschichte hier das ist die wahre Bedeutung der Ableitung linearen Ehrung der ?? das Interesse Wochen unter Sachen mehr