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17.01 Gaußsche Zahlenebene, komplexe Zahlen


CC-BY-NC-SA 3.0

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kurzeWiederholungkomplexer Zahlenals Einstiegarm und nach dem Einstieg erzähle ich was den Multiplikationkompletter Zahlen wirklich ist und was dieDivision wirklich istund da geht's dann auch weiterSieger schon mal gerechnetwarenwas istmathematisch das Besondere an den komplexen Zahlendass diese Gleichung plötzlich eine Lösung hatdas Quadrat einer Zahl minus eins istdafür finde ich eine Lösungund nenne das die imaginäre Einheitbei den Mathematikernund Physikern die bei den ElektrotechnikernJwie auch immereine Zahl deren QuadratKlammer auf eine Zahl deren Quadratminus eins sein sollich mir aus ergänze das Zahlen mit den Zahlenbereichdarumähmsofort eine zweite Zeit deren Quadrat minus eins ist das vergisst man gerne minus Iist endlich auch so eine Zahl mit der Eigenschaft des vertrauten des Einzelfalles aus rechtlichen minus ins Quadrat und ihr Quadrat minusminusminus einsminus minus minus einsdas wäre es ?? ist also auch minus eins nicht wundern dass es zwei Zahl mit der Eigenschaft angeben musseinsund die konvexen Zahlenausschnittedie Menge der komplexen Zahlensind dann allewollen Paareaus ideellen Zahlen aber etwas anders geschrieben zum Beispiel zwei plus drei mal dieWurzel sieben minussechsundsiebzigI nachWurzel aus sieben sechsten siebzig ?? Platz machenwirklich auchalle Zahleneinfach so vierunddreißigIhnen das wären null plusvierunddreißigI die Zahl nullist null Plus null Magieoder welche Geschichten die plus Minuseinbruchfünfzig dreizehntelI und so weiter und sofort alles was ich auf diese Art bilden kann sind die komplexen Zahlen zusammengesetztenKomplexzusammengesetztenZahleneine reelle Zahl plus eine weitere Zahl maldieses komische Ding Punkt siesoll die Menge der kompletten Zahlen seinnundaher plötzlichjede quadratischeGleichung eine Lösungweiterhin mit der PQ Formelquadratische Gleichung X Quadrat minus zwei Xplus fünf ist gleich nullPQ Formelminus zweiVorzeichen ändern durch zwei teilen eins plus minus das hier vorne verlieren Wurzel einst diesem Blatt eins minus fünfist also eins plus minus die Wurzel aus der stammesmarkantenHattingen Wurzel aus minus vierich suche eine Zahl deren Quadratgleich minus vier istaber eigentlich darf ich das mal streng genommen nicht die Wurzel schreiben späterbaut man die Wurzel so um das das doch verarbeitetschulmäßigeRassen wie streng verboten Wurzel aus minus viernehmen Sie das alsRechenaufgabegesucht ist eine Zahl deren Quadrat gleich minus vier istwelche Zahl das Quadrat minus vierhier zwei I denn wenn sie Quadrierenwird aus vier mal minus eins minus vieralso dass die Wurzel erstmals als Rechenaufgabenehmen suche mir einen zahlenden Quadrat minus viertes zwei und Anna Marias Lösung ist einsplus minus zwei I als auch diese quadratische Gleichung plötzlich zwei Lösungenauch wenn ich in Ungarn verraten habe wie man sich das denn jetzt bitte vorzustellenhat das diese komischen Zahlen diese Gleichung ist das ?? scheintjenseitsder reellen Zahlen liegen diese Kugelplattenhat ja keine Nullstellezweiten zweites fünfirgendwie nicht die Nullstellewurde in der Mitte Bildschirm sie wollen woandersda Kommadassmansolche gleichen für komplette Zahlen stehenden gerne mit Sitz ?? Z Quadrat minus zwei Z plus fünfundvierzigist gleich aber das ist unsereKonventionan das man gerne Zeit schreibt und zu sagen wir bitten komplette Zahlennoch zweiSpezialfunktionendie Funktion namens Realteilin die täglich eine komplexe Zahl reinund sie gibt mir rauswasnach der Realteil istdie reelle Zahl wieder addiert wirddie Funktion namens Imaginärteilda kippe ich eine komplette Zahl rein und sie kippten heraus das es Vorsichtwichtigsie gibt mehr raus welche Zahl vor dem I stehtder Kopf nicht viel hierausdass die Kinder der kommt nicht für ihre Außeneinheiteneines kommt hiernur die Zahl vier nicht vielsowohl Realteil die Imaginärteilsexuelle Zahlenda kein welche Zahl steht vor dem ?? das ist ?? Imaginärteilund die beiden real Imaginärteilkann man einfach als Achsen auffassenin einemzweidimensionalenKoordinatensystemeinseins sag okay die x-Achse ist der Realteilmeinerkomplexen Zahl Z die Y-Achse ist der Imaginärteilmeiner komplexen Zahl Zwarendie Zahl zwei plus I nicht ein hierdasGuthabenhier läge die Zahl zweiplusdieder Realteil des zweiwir gucken der Realteil S zweiund Imaginärteilist der zwei Pluseinmalwieder Imaginärteilist eins deshalb reicht es hierbei eins ein zweites einmal dieServer zwei plus einmal wiees ist Imaginärteileinsauf der Höhe eins eingetragenunddie Zahl I selbst wo finde ich dieZeit nie selbst könnt ihr schreiben I ist gleich null Plus einmaldieDas heißt der den Realteil nullund Imaginärteileins die nicht also hier?? minus ehelich sinnvollerweise da gehen eins nach untenwohnt?? noch überlegtminus eins minus zwei I minus eins minus zwei I heißt?? minus eins minus zwei IRealteilminus eins also hier bei minus eins und dann zwei nach untenda irgendwoganz gelungenda irgendwo wird minus eins mit zwei Liedernjeder Punkt in der Ebeneentspricht einer komplexen Zahlund jede Kompetenz anspricht ein Punktdas ist die üblicheAnschauung für die komplexen Zahlenfür diese Zahlen stellt man sicher gerne vor der Person Zahlenstrahl hat die rituelle Achseentspricht dem eins plus null Magie zwei plus null Magiegibt es null Magie minus Wurzel zwei plus null Magiediese Achse entspricht dem Zahlenstrahldirektdiese helle Achseum mit den konvexen Zahlen kriegen sie Zahlen neben dem Zahlenstrahlso zu sagen das ist die übliche Vorstellungkomplette ebenzweidimensionaleZahlen sie wollendas die Gaußsche Zahlen gebendie man sich konvexe Zahlen üblicherweise vorstelltPunkteine Funktion nochdazu sind realiter Imaginärteil in der ?? zwei Funktionennoch eine wichtige Funktiondes die komplexe Konjugationdas hört sich richtigprofessionellan Wechselkonfigurationeine Skizze der gallischen Zahlenebeneeins auf der reellen Achse eins auf der imaginären Achsewar irgend eine Zahl ein gemaltnehme hier wiedermit der Z einsdas soll sein zwei Plus nie weiter als zwei Imaginärteileinsweiter zwei zwei x-Achsemax eins Imaginärteileinsähmkomplexe Konjugationsoll heißendas Vorzeichen von IP änderndas Vorzeichen von ImaginärteilCenter aus dem zwei Plus wie wir zweiminusInicht ein also hierdas macht die komplexe Konjugation des Spiegelsan der ideellen Achse und dachten auch nicht mehr die x-Achse und die Y-Achse sonders ist die kriminelle Achse und das ist die imaginäre Achsedes Konvention heißt an derreellen Achse zu spielenwird nach ?? Klammer zu das eine sinnvolle Operation ist warum nämlich die Spiegelung einer imaginären Achse die an der reellen Achse spannenderI durch minus I ersetzendie übliche Schreibweise ist das man ein quer darüber machtsich jetztrichtig gut aus so Z eins quer des Come-backs korrigierte dieser Zahlnennt sich das dann Z eins quer heißtdasselbe aber mit invertiertenImaginärteiloder welche unten eine Zahl habe ich minus eins minus zwei I minus eins minus zwei Ihier vielleichtzwei soll sein minus eins minus zwei Idavon nämlich das Komplex korrigiertehabe ich minus eins plus zwei das den Imaginärteil umdrehen minus eins plus zwei Iangetan ihroben irgendwo und das wäre Z einsRZ zwei querminus eins pluszweisowohlVorstellung derkomplexen Konjugationgrausam aneinen der beeindruckend ist einfach die Spiegelung an der Rennenachsesie kehren das Vorzeichen des Imaginärteil zustellt sich heraus dass das neueraffinierteGeschichte es um Stimmsachen zu stellen