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Ricci-Tensor und Volumenänderung


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt kommt eine konkrete Anwendung für die Deviation Gleichung – ich gucke mir benachbarte Geodäte Shawn die alle mit dem selben Geschwindigkeitsvektor – starten – wir sagende soll parallel transportiert werden hier vorne – und ich gucke mir an was aus einem kleinen Volumen wird mit dem ich vorn starte wie entwickelt sich das Volumen – die Volumenänderung – entlang von Geodäte schon und wenn man es beschreibt sich dieses Volumen entwickelt – stößt man auf den Ricci-Tensor – der hat dann in der allgemeinen Relativitätstheorie – eine herausragende Bedeutung – der Deviation Gleichung hatte ich – eine Abweichung hier und habe die verfolgt – weshalb ich hier in Abweichungen – so viele wie ich Dimensionen habe – eins von null ist eine von diesen Vektoren A zwei von null und so weiter – so viele wie ich Dimensionen habe das ich wirklich ein Ende mit Inhaltsvolumen – auf Spanne Blümchen – auf Spanne genauer gesagt – und hier habe ich dann also als Kantenvektoren – von meinem Volumen – A eins von es – hat zwei von S und so weiter – und jeder von diesen Kantenvektoren – entwickelt sich mit der Diversionsgleichung – die Burschen hatten – ich möchte aber das zu Beginn all dieser genetischen – in – quasi derselben Richtung Staaten – ich möchte das die kovariante Ableitung – von jedem dieser Abweichungsvektoren – irgend eine Nummer da unten – das diese kovariante Ableitung – am Anfang – null ist – jetzt möchte ich dieses kleine Blümchen ja ausrechnen – das soll sein das Volumen zum Parameterwert – des – und das Gegenüber – als – fürchterlicher Ausdruck den gab's schon mal – die Determinante – von folgendem – ich Bilder Skalarprodukt – jedes – Kantenrektors – mit jedem anderen – also den Kantenvektorrohr – zum Parameter wird es – mal den Kantenvektorsieg – war zum Parameter wird es das gibt eine matrixhohe – nummeriert die Zeilen durch – Sigma nummeriert die Spalten durch davon möchte ich die Determinante bilden schreibt das man etwas informell so von dieser Matrix an Determinante bilden – wir sie noch nicht ganz fertig – es kommt ein Minuszeichen – den Wind allgemeine Relativitätstheorie – sind geometrische Pluszeichen – in der allgemeinen Relativitätstheorie – ein Minuszeichen – sicher Klammer zu in ?? noch mal warum ist das das Volumen – dieses Skalarprodukt – Hierkörnchen – Komponenten – so schreiben ich nehme von dem Abweichungsvektor – A Pro – zur Zeit ist – die Komponente oben Alpha – ich nehme von dem – Abweichungsvektor – Komma Siegmar – zum Parameter wird es – die Komponente – oben Wetter – und für das Skalarprodukt – Punkt nach dem metrischen Tensor die Alpha – Wetter also will ich das ja ausrechnen – wenn ich jetzt in einem schönen Koordinatensystem – werden in dem die Alpha – gleich Kronecker-Delta – ist geometrische Situation – oder der Minkowskitensor – ist die Situation in der allgemeinen Relativitätstheorie – dann ist – die Determinante hiervon einfach nur die Kantenvektoren – in eine Determinante genommen das Volumen – was ich hierrechne ist – mit dem Land eines Produktes Produkte Determinanten – das Volumen – mal das Volumen – malte Determinante von metrischen Tensor – und redete mit vermittelten Sensors plus eins in der Geometrie – und minus eins bei Minkowski – das hebt sich gerade mit diesem Plus Minus weg – in einem schönen Gott in ein System welche also die Wurzel – aus dem Volumen – ins Quadrat macht das Volumen – bestimmt es aber in jedem Koordinatensystem – weil das was hier steht – ein Skalar ist wichtig in jedem Koordinatensystem – dasselbe Skalarprodukt – raus damit dieselbe Determinante raus – jetzt will ich sagen wie sich dieses Volumen entwickelt – und dazu untersuche ich erst mal diese Skalarprodukt – dir – den Abweichungssektornummer – Roh – zum Parameterwert – es multipliziert – mit dem Abweichungsvektor – Nummer Siegmar – zum Parameter wird es diese Skalarprodukt nähere ich durch ein Tellerpolynom – ich sage das ist der Wert von diesem Skalarprodukt – habe sich komplett hin wenn es gleich null ist – groß jetzt kommt der Term für die Tangentengerade – ich nehme die Ableitung – von diesem Skalarprodukt – nach es an der Stelle es gleich Null und modifizieren mit es besteht die Tangentengerade – angelegt Anstelle es gleich null und so geht das weiter ich nehme die zweite Ableitung von dem Skalarprodukt – nach es erstellen null mal es Quadrat – halbe – Plus und sie hinten stehen Therme mindestens dritter Ordnung – groß O von S hoch drei – und jetzt rechne ich die Ableitungen hier aus fand mit der an die erste Ableitung – ich möchte diese Skalarprodukt – ableiten nach es – diese Ableitung nach S kann ich als kovariante Ableitung – in der Skalarprodukt reinziehen – und an die Produktregel anwenden den ersten ableiten – kovariant – nach Hess – den zweiten stehen lassen – plus andersrum den ersten stehen lassen – aber den zweiten ableiten – damit es denn so ist damit der kovariante Ableitung – verträglich – also wenn ich diesen Skalar – ganz normal ableite – darf ich im Skalarprodukt – kovariant ableiten – wenn ich hier nur die normalen Ableitung klein D schreiben würde – dich noch in weiteren Term in dem ich die metrischen Tensorpleiten – müsst ihr steht ja eigentlich – die Komponenten von dem mal die Komponenten des metrischen Sensors mal die Komponenten von dem müsste ich auch noch den metrischen Tensor als solchen ableiten – der kovariante Ableitung – für das elegante – mich interessiert was das ersten Ableitung rauskommt wenn ich es gleich Null einsetze – ?? ich es gleich Null Ansätze steht da null – ich will ja Parallelstaat – haben und da steht null waren – es gleich null – das heißt ?? ist gleich null Pflicht der Terpflichten begreifen raus – ich brauch auch noch die zweite Ableitung – also was ich hier rausgekriegt habe in Blau noch einmal ableiten – die zweite Ableitung des Galler Produkts – nach ist – der hier ist ja nur ein es gleich nur gleich Null ich muss ihn jetzt weiter mitnehmen – und die zweite Ableitung zu berechnen also – ich will auf den ersten Term die Produktregel – an links ableiten rechts stehen lassen – plus umgekehrt – links normal ableiten ist die zweite Ableitung – nach es – von dem Abweichungsvektor – numero – zweiten Werder ist – plus jetzt den linken stehen lassen den Rechten ableiten – links steht die einfache Ableitung – S – und rechts steht nun auch eine Ableitung – denen sich ableiten – plus – sprechen Kirch hinten vor links ableiten rechts stehen lassen das es dieser nochmaligen und einfachen Faktor zwei davor – und den Stehen lassen den ableiten also – links steht Arpro – von S – und rechts steht die zweite Ableitung – von – Sigmar – von es – kovariant nach es – diese beiden hier werden wieder null – an ist gleich null das heißt der mittlere ihr Pflicht raus – und hier für die doppelte Ableitung – wenn dich die Diversionsgleichung – an das ist minus – Krümmungstensor – an Index oben – Wetterlander – Mühe – das Wetter steht mit unserem Startvektor – an der stelle es gleich Null – das Land ersteht mit unserem – Abweichungsvektor – numero – an der Stelle es gleich null und davon die Lambdakomponente – und das Menü steht wieder mit unserem Startvektorformel – entsprechendes passiert da hinten – da habe ich minus in Krümmungstensor – mit irgendeinem Index oben Wetterlander – Mühl – statt Vektor – und jetzt als Sieg war – an der Stelle null – und davon die Lander Komponente mal Formel – damit kann ich jetzt diese Tell Ernährung ausbuchstabieren – also das Skalarprodukt – der Abweichung mit numero und Sigma – beim Parameter wird es – ist was rauskommt wenn ich es gleich null Einsätze – also Harro von null – mal A sigma – von null – das war der konstante Term – ich Ki kein linearen Term – denn die Ableitung ist gleich null an der Stelle es gleich null – ich kriege einen quadratischen – Term – minus sich die das Minus ?? schon mal raus es Quadrat halbe – von Täler – und entsteht hier – der Krümmungstensor – Chapman in Alpha Beta Lambda Müll – Alphawetterlander – Mühlfrau – Beta hier schreibe ich nur Malarholander – ohne die null – vom Wetter war – hoho – der Frau Mühe – das Ganze zu modifizieren ?? Skalarprodukt mit ah sik Komma also von als Siegmar – die Alphakomponente – hier hinten – passiert es entsprechende nur sind Sigma und roh vertauscht – also ich kriege plus er Alpha Betalander – Mühl V Wetter – ?? Siegmarlander – Frau Mühlkaro – Alpha – Plustherme – von dritter – oder höherer Ordnung – stehen die Komponenten von den Aas alles hübsch einzeln drin – dass sie vorne kann ich ja so schreiben – das schreibe ich jetzt auch mithilfe der Komponenten – von diesem Vektor – nehme ich kontravariant die Komponente alpha und von diesem kovariant die Komponente alpha und addiere – gibt viele Skalarprodukt – jetzt kann ich mit den vektorenartigen – stehen zusammenfassen – habe hier – und hier – und hier immer zwei Komponenten von diesem aber damit fang ich mal an irgendeine Komponente von dem Haar – über den Vektor numero – davon Landerkomponente – oben – und nehme den Weg der Nummer Sieg war – davon die Alphakomponente – unten mal – jetzt will ich den ?? erzeugen – Alpha oben – Alpha unten – der steten Lander – der steten Alpha hier schreibe ich Kronecker-Delta – hin Untenlander – oben Alpha – der Picknick genau – das Land daraus – Ausgleich Alpha ist und dann steht da wieder dasselbe – Minus – des Quadrat Halbe für den hier – ist es mal gucken was alles brauchen – er mit vier NEC ist – ein V was mit dem ersten Index geht gut – ein V was mit dem letzten Index geht auch gut – ?? Pro – brauche ich nun – das weiche Harro von null ich hab sie hingeschrieben ?? A Pro braucht mit dem Indexlander oben – wunderbar – das haut hin ich schreib hier als einfachen Lamm dahin – und als Siegmar braucht mit dem Index Alpha unten – haben wir auch – ich schreib einfach das alpha in Vista steht – und der Platz den ich ?? leer gelassen habe es einfach für dieses Harro von null Lander – das geht mit dem Indexlander – der zweite Term hier alles Sachen eine Klammer auf ein – Jahr für Indices – vom Wetter V Mühe wird weiter so funktionieren – Wetter – und Mühen – der mittlere Index hier muss mit dem Sigma stehen – dieser Index muss mit dem Sigma stehen – Davidson Alpha und das Asus jetzt Alpha oben hinschreiben – und der vordere Index – ist das Alpha steht mit dem roh – verbraucht er sein Land da aber unten – diese Klammer zu – und dann auch noch diese Klammer zu – hier darf ich aus Symmetriegründen – draus machen Herr Petzold das nach vorne Alpha Mühe und das bringt nach hinten lambda – Wetter – das Mühl geht mit dem V das Wetter geht mit dem V – kann ich auch hier ein Wetter hinschreiben – geht es euch auch mit dem VT ein ?? hinschreiben dann geht es auch mit dem V – habe der jetzt eher oben Alpha unten miteinander müde er oben Alpha – unten Wetter Lamm der Müll – zweimal stehen – das heißt hier unten steht dasselbe wie da ich kann den Weg streichen und hier einfach das ein Halbweg streichen – plus der ?? höherer Ordnung Punkt – ich wollte einst das Volumen ausrechnen dazu bräuchte Determinante – von diesem Ausdruck hier interpretiert als Matrix mit Zeilenindex – roh und Spaltenindex – Sigma – die Determinante – von diesem Ding drohen sie Komma ihr steht ein Produkt dreier Matrizen – erste Matrix – zweite Matrix – dritte Matrix – die Determinante eines Produkts – ist aber das Produkt der Determinanten – es ist die Determinante – jetzt mit den Indices – pro und Lambda – von A Euro – null – Obenlander – mal die Determinante – von – Komma null – unten Alpha – hiermit den Isis Sigma und Alpha – Determinante gebildet – mal die Determinante von dem wir hinten – also Delta und Lamm da oben Alpha minus es Quadrat eher oben Alpha unten Betterlander – Mühl Frau – Petr Frau Mühl – hier mit den Indices Alpha und Lambda – Determinante – gebildet – plus – Therme – dritter Ordnung und für – diese beiden kann ich jetzt rückwärts wieder zusammenfassen – das ist die Determinante – von – Arhof – von null – oben Alpha – als Sieger von null unten Alpha sich über das Alpha summiert – und die Determinante billig bezüglich roh und Sieg war diese Matrix ist mit der Matrix multipliziert – dann ist die Determinante – das Produkt aus der Determinante der ersten Matrixmate – Determinante der zweiten Matrix – was hier natürlich jetzt steht es schlicht und ergreifend das Skalarprodukt – an der Stelle null Arhof – von null mal – an Sigma von null – damit ist der erste der mir schön geworden – ich hab da die Determinante – zum Parameterwert – Null stehen – den ?? muss ich auch noch schön machen ein Determinante – von der Einheitsmatrix – plus ein Störung – Kronecker-Delta – ist im Endeffekt die Einheitsmatrix – bewältigte Determinante von einer Einheitsmatrix – mit einer Störung – also keine neben Rechnung die Determinante – von der Einheitsmatrix – minus es Quadrat es ist eine Zahl dicht bei null weil irgend eine Matrix – bei uns plädierte das mit dem Krümmungstensor der – das jetzt ansatzweise – hinschreiben würde ich habe die Einheitsmatrix – eins – eins – und so weiter – auf der Diagonalen – dann ziehe ich hier oben links – ab es Quadrat mal im eins eins – eins Quadrat M eins eins – ihr steht – eine null von der Einheitsmatrix – aber minus es Quadrat ähm zwei eins – und so weiter – Hier steht eine null von der Einheitsmatrix aber minus es Quadrat mal im eins zwei – und so weiter – hier die eins von der Einheitsmatrix – und es kommt noch weg es Quadrat – ähm zwei zwei von dieser Matrix – diese Determinante möchte ich ausrechnen – nicht diese Determinante jetzt vollständig entwickle – ist es wesentliche was ich bekomme – das Produkt entlang der Hauptdiagonalen – zu eins minus es Quadrat mal im eins eins mal eins kleines S Quadrat mal im zwei zwei – und so weiter – und so weiter – was ich auch noch kriege ist zum Beispiel – sowas wie – diesen – mal diesen ?? aus der dritten Spalte und so weiter – aber steht schon ganz viele Faktoren es da drin – wenn ich ?? nicht auf der Hauptdiagonalen – bin ich ja immer mindestens – zwei von diesen Ausdrücken mit es Quadrat trennen als was sie noch dazu kommt es mindestens – von der Ordnung es hoch vier – dass ihr vorne – das Produkt entlang der Hauptdiagonalen – Komma noch zusammenfassen – ein mal eins mal eins Preis und so weiter ist eins klar – ist kann ich aus dem ersten – Term – des minus es Quadrat – im eins eins nehmen und aus dem zweiten die eins aus dem dritten die eins und so weiter habe ich die oder ich nehme aus dem ersten Faktor die eins – und aus dem zweiten das minus es Quadrat in zwei zwei – dann habe ich den es Quadrat im zwei zwei ?? aus dem dritten die eins aus dem vierten die eins und so weiter – das macht man durch mit allem – was ich dann noch machen kann ist das sich aus mehreren dieser Faktoren – diesen es Quadrat irgendwas der nehme aber dann habe ich wieder was von dort ging es auch vier oder höher das schmeiß ich alles in den Ausdruck hier Ordnung ist hoch vier – wenn ich also die Einheitsmatrix – ein bisschen stören ist die Determinante – eins – minus die Spur – nennt sich dass die Summe der Diagonale meinte minus die Spur der Störung – und das setzt sich jetzt ein – diese Determinante – ist – eins – minus – es Quadrat – und jetzt die Spur davon – die Summe der Diagonalelemente – eher Alpha – Beta – Alpha – Mühl V better V Mühl – GEZ durch eins eins zwei zwei drei drei – und so weiter auf summiert oben Alpha unten Alpha hier steht die Spur – eigentlichen Zimmer und das Volumen zu berechnen immer noch mal zurück – das Volumen bekomme ich als Wurzelplus – oder Minus in Athen ob geometrisch oder Relativitätstheorie – Determinante – von dieser Matrix aus Skalarprodukt – da – setz ich jetzt wieder an – unser Volumen beim Parameter wird es ist also die Wurzel – aus plus minus – die Determinante – was war die Determinante – es fängt an mit der Determinante vom Skalarprodukt – zur Zeit – null – Mal plus minus – das Volumen – zur Zeit null ins Quadrat – mal – den Herrn wird der nächste Term war ein zynisches Quadrat – die Spur des Krümmungstensor – ist noch kontrolliert mit V V – V unten alpha und hier brauche ich noch Frau – und Frau – und da gab's auch noch Ordnung von S hoch drei als Fehlerterm – plus minus mal plus minus siebzig weg – weil es minus haben steht auch wieder plus – und wenn ich annehme dass es Volumen beim Parameterwert – null nicht null ist – das insgesamt rausholen – der hinten bleibt offen ersucht drei stehen – dass wir dann also – das Volumen zum Zeitpunkt – null – mal die Wurzel aus eins minus es Quadrat und jetzt erhoben alphaalpha – in der Mitte unten Wetter Mühe Frau Wetter Frau müde – und wir kriegen noch Terme höherer Ordnung dazu – hier steht jetzt die Wurzel aus eins – mit einer Störung drin – die Wurzel aus eins – Plus – epsilon sozusagen – ich mir das mit der Tangentengerade – kriege ich hier das ist eins absonderlich null Einsätze – plus jetzt leidlich nach epsilon ab das gibt eins durch zweimal die Wurzel eins plus null sozusagen – nach Epson ableiten – mal epsilon hier steht die Tangentengerade – plus – Terme höherer Ordnung – als die Wurzel aus Einfluss epsilon ist eins – plus ein halb – epsilon – plus Terme höherer Ordnung – das wenn ich auf diese Wurzel an – und kriege wir haben das Volumen – am Anfang – mal – eins – und jetzt die Störung – halbieren – also minus S Quadrat Halbe – erhoben Alpha alpha unten in der Mitte better Mühl V – Wetter Frau mühlplus – Terme höherer Ordnung – dieser Tensor hier – der Krümmungstensor – kontrahiert über den vordersten – und den vorletzten Index ein Spur gebildet – das ist der Ricci-Tensor – die nennt man dann sinnvollerweise – eher unten Betamühl – der Ricci-Tensor – regelt also wie sich Volumina entwickeln – wenn man in eine bestimmte Richtung geht offensichtlich kommt diese Richtung dann quadratisch vor mit dem Ricci-Tensor – und diese Abweichung ist auch quadratisch – in dem Parameter – im Endeffekt ist dieser Ricci-Tensor – ein Mittelwert – der Krümmung – in Richtung – V – und weil der Ricci-Tensor so eine Art Mittelwert ist vom Krümmungstensor – hatte nicht mal Informationen – wie der Krümmungstensor – ?? hatte wenn der Krümmungstensor – null ist – dann ist klar – der Ricci-Tensor muss Null sein ?? in der Ricci-Tensor null ist – quasi der Mittelwert dann ist noch lange nicht klar – dass der Krümmungstensor gleich null ist – das sieben später insbesondere dann bei den Gravitationswellen – eine Mannigfaltigkeit – auf der über all der Ricci-Tensor null ist die heißt relativ flach ist nicht wirklich flach – und eine letzte Bemerkung zum Ricci-Tensor des symmetrisch – wenn ich better und mi vertausche – kommt dasselbe raus – sieht man so – eher von Bettermühl ist nach Definition – erhoben Alpha unten in der Mitte Alphawetter – davor wieder hinter – das Alpha runter – mit dem metrischen Tensor als Alphalander – und jetzt Lander unten – Wetter Alphamühl – kann ich die Indices von Krümmungstensor vorn und hinten vertauschen – und das was passiert – hier steht also G alpha lambda – er Alphamühlsander – Wetter – Alphaanderwetter – mit dem metrischen Tensor hebe ich das Alpha jetzt wieder – an haben wir erhoben – Lambda – das Alpha gehoben – Mühllanderwetter – und das ist laut Definition der Ricci-Tensor mit Indices Müllwetter – der ist also symmetrisch