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07.3 Bestimmung von Eigenwerten


CC-BY-NC-SA 3.0

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okay die schulmäßige – Art Eigenwerte zu bestimmen – gehe aus – von der – Gleichung – die mir sagt dass der Vektor V ein Eigenwert – ?? ein Eigenvektor – zum Eigenwertlander – der Matrix Arzt so von der Leistung aus – wenn das geht mit einem Vektor der nicht der Nullvektor ist – ist dieser Weg zu einer Eigenvektor – der Matrix und dieses Lander – der dazugehörige Eigenwert – an – wir hatten bisher einfach nur geraten – oder uns geometrisch überlegt was denn nun – Eigenvektoren – sein könnten Eigenwerte sein könnten – von der Anschauung her was mache ich wenn ich nicht einmal drei Matrix habe – enzymatische – drei vier fünf null sieben minus acht – minus eins Wurzel zwei Pi – das Gewicht geometrisch nicht mehr hinter sich Beistrich was auf mal überlegen und das ist jetzt – das Musen Eigenvektor sein ?? an – wie kann ich wirklich Eigenwerte – Eigenvektoren – berechnen – was jetzt zeige ?? schon gesagt ist die schulmäßige – Art das klappt für zwei mal zwei Matrizen das dafür dreimal drei Matrizen – und wenn's darüber hinaus geht's – und sich allmählich müssen ducken – eher für tausend mal tausend – ist das gar keine gute Idee was ich jetzt zeige aber es klappt erst mal – für die kleinen Matrizen – das man so was kommt – zum Beispiel – hier in diesem Fall Nummer zurück in diesem Fall Trägheitstensor – damit könnte Mathe dennoch arbeiten – dreimal drei – Krieger gebacken weil wieder Determinanten vorkommen und Determinanten – mit großer Dimension – explodieren im Rechenaufwand – und der Ungenauigkeit – geht mit den staatlich – das Wirrwarr der zwanzig steht – dann – das forme ich mal ganz dumm um – die Nummer siebenundzwanzig – ich bringe das – langsam auf V auf die linke Seite – so schreibe ich das die Matrix A – Minuslander – mal die Einheitsmatrix – mal den Vektor V ist gleich null – natürlich mit den gleichen Forderungen mit – Frau – null – auf sie können das noch wieder erkennen – hier steht sicherheitshalber ?? ausmultiplizieren – A mal V – und was kommt danach – nicht weiter ausmultiplizieren ✂ die eins macht in der Tat nicht als wenn sich aus modifiziert A mal V A mal V – Minuslander – mal Einheitsmatrix – mal V – aber Lander mal Einheitsmatrix – mal V eines Matrix mal V ist ja einfach – V die Einheitsmatrix – mit etwas modifiziert ändert nichts untersteht einmal formelles andermal Vergleich null – das somit war gestattet sind – das haute sich ?? hin – ihn – das lustige hieran ist das hier nun eine Matrix steht – diese Gleichung hier sagt mir au wenn V ein Eigenvektor – ist – wird V von dieser Matrix zu null gemacht V ist kein – Nullvektor – bisher – das ?? so ausführlich ausgeschlossen – vielmehr weiß ich nur das ich ein Vektor habe der nicht der Nullvektor ist – dazu nur gemacht wird von dieser bot ein paar Matrix – durch das Norman einmal hinschreiben – wenn ✂ A zum Beispiel – sowas ist eins zwei drei vier – ist A Minuslander – mal die Einheitsmatrix – welche Matrix – A minus langsamer die Einheitsmatrix – ich muss rechnen eins zwei drei vier Minuslander – mal die Einheitsmatrix – macht Lander null – null Lander – assistant einmal die Einheitsmatrix – eines war etwa eins null null eins andermal das – wir Lander statt als die beiden voneinander abziehen – ?? ich eins Minuslander – Trennstrich gemachte – bestehen sollte so dann habe ich da – eins – Minuslander – links oben – zwei – minus null – zwei rechts oben drei minus null – links unten vier Minuslander – rechts – unten das ist damit gemeint wenn ich schreibe A Minuslander – mal eins – A mindestens einmal die Einheitsmatrix – das ist wirklich eine Matrix – wenn Lander – der richtige Eigenwert ist und V der richtige Eigenvektor ist dann weiß ich nun diese Matrix – mal diesen Vektor gibt – null – die Matrix muss einen bestimmten Vektor zu null machen – für – den Lückentext das wahrscheinlich gar nicht eingeplant – aber ?? Seite müsse klar was gemeint ist ?? ich baue diese etwas komische Matrix A Minuslander – mal die Einheitsmatrix – und jetzt kommen – und schreckt – die lineare Gleichungssysteme – gelernt haben über Lineal gleichen Systeme die genauso viele Gleichungen – wie unbekannte haben – diese Matrix hier – A Minuslander – mal die Einheitsmatrix – macht den Vektor – V ✂ zum Nullvektor – mit was hat das bei linearen Gleichungssystems – ich gucke mir den Kern der rot eingerahmt Matrix an – sollte sagen eigentlich den Kern der linearen Abbildung die dazu gehört das jetzt so pingelig – der Kern – dieser Matrix – Rosette dann aus in summer zwei sowieso aus – den guck ich mir – und nun weiß ich – dass der V – Vektor V da drinnen ist der ist Element – des also – der ist Element – von dem Kern der Kern enthalten enthält alle Vektoren – die von dieser Matrix zu nur gemacht werden – ?? Atoll V wird von dieser Matrix zum ?? gemacht – ist also im Kern obendrein – weiß ich dass dieser Weg durch hier – nicht der Nullvektor ist – das es nur eine ganz – schräge Art dieselbe Aussage hinzu schreiben – diese Matrix mal dieser Vektor ist nur der Weg ist nicht der Nullvektor – das heißt nichts anderes als diese Vektor V ist Element – des von den Richtern – direkter Fauselement – des Kerns – ist nicht null – nicht der Nullvektor – was bedeutet dass – der Kern – und der Defekt – das ist die Dimension des Kerns die haben mit der Eindeutigkeit – zu tun – unten – stehendes – Bild – war das Bild – und der Rank die Dimension des Bildes – haben mit der Existenz von Lösungen zu tun – an das ?? ?? das erste was über die – Eindeutigkeit – der Lustbarkeit – von einer gleich ?? dieser mal ein Live System mit dieser Matrix – insbesondere wenn ich etwas über den Defekt – defekt – ist – die Dimension – davon – was weiß ich also über den Defekt – schreibt es mal auf Deutsch hier defekt – von A Minuslander – mal – eins das es jetzt auch bisschen geschlampt eigentlich müßig oben und dazugeschrieben – haben es gibt ein V ungleich null ✂ aber – als zu aufwendig – wenn der – Kern einen Vektor hat – denn nicht der Nullvektor ist was wissen Sie über den Defekt – die die Begründung des relativ – billig im Kern gibt's mindestens ein Vektor – BV genannt mindestens ein Vektor der nicht der Nullvektor ist – das heißt der Kern enthält mindestens diese gerade – dann kann der nicht mehr die Dimension null haben bei mindestens die gerade darin enthalten ist das einfache von V des minus zwo zu drei fache von V – zwanzig vierzig fache von V – die gerade ist im Kern drinnen – das kann nicht gelingen wenn der Kern die Dimension null hat dann dürfte es nur der Ursprung sein als bei dem mindestens die Dimension eins – also ist der Defekt – mindestens eins – der Defekt ist größer gleich eins – und jetzt komme zu der verlorenen Dimension was ✂ heißt das hier eine Dimension verloren zu haben für den – Rang – meiner Matrix – also wenn der Defekt null wäre – Dinge keine Dimension verloren – und der Rang wäre voll hier käme – die Abmessungen – gegen die Abmessung von Ahaus – das muss eine quadratische Matrix sein – der Eigenwerte – der Rank wäre gleich ähm – in der Defekt null ist ich verliere aber mindestens eine Dimension im Kern der Defekt ist größer gleich eins das heißt der Rang kann nur noch allenfalls in minus eins sein – an mindestens eine Dimension – baden gegangen ist – und jetzt endgültig der letzte Schritt – grausam – das sagt mir etwas über die Determinante ✂ wie groß muss also die Determinante – von A Minuslander – mal Einheitsmatrix – das mit Rang und Determinanten noch mal anders wenn ich diese Matrix habe zwei mal zwei – wahrscheinlich in eins zwei – drei sechs ✂ diese Matrix – wie großes deren Rank – diese Matrix produziert nur Vektoren – deren Epson Komponente das Doppelte von Exkomponente – ist nicht alle im März zwei deshalb ist der Rank nicht zwei – des ?? bis der Rank nicht zwei sondern – eins was aus dieser Matrix rauskommt ist eine gerade alle vielfachen von eins zwei – drittens neuestes normales Vielfache von zwei – sie können leider nicht nativ zählen – wie viele – linearunabhängige – Spalt nicht finden kann eine kann ich finden die zweite kann ich nicht mehr dazu nehmen Sie einfach das dreifache der ersten Spalte – da ist der Rang gleich eins – das Bild lebt in zweidimensionalen – Detektoren die rauskommen sind – immer zwei ja – aber es sind nicht alle aus dem er zwei – sondern aus dem er zwei nur diejenigen – nicht alle aus dem er zwei sondern nur diejenigen bei denen die – Y – Komponente das Doppelte der Exkomponente – ist – nur die komm raus deshalb Dimension eins – nicht Dimension zwei – für den Rang – genau die Determinanten – Mist was mit der Fläche passiert zweimal zweitem ist was mit der Fläche passiert – aus dieser Matrix kommt aber niemals eine Fläche raus sondern immer nur ein Vielfaches von eins zwei – die Fläche wird null – des Flächenfeldes – muss null werden diese Determinante ist nur Komma zu Fuß nachrechnen – kann man aber auch direkt hier ✂ sehen – der Rank – müsste zwei sein damit ich Determinante ungleich null haben – hier kommt nur noch eine gerade raus damit die Fläche – immer – auf null geschrumpft – nun – dasselbe gilt hier – wenn ich weiß dass der Rang dieser Matrix nicht voll ist mindestens ein Dimension fehlt – mir dann die Determinante – an die Determinante – sagt mir okay was passiert mit dem eindimensionalen – Volumen – meterhoch in ?? zu sagen was passiert mit dem eindimensionalen – Volumen – stellt fest ?? Frau aus dieser Matrix hier – kann niemals ein in die Menschenansammlungen – rauskommen – sondern höchstens ein minus eins dimensionales – Das heißt – null musste Determinante sein – und das ist das übliche Kriterium – zu mäßiger Weise – für Eigenwerte Eigenvektorenlander – war – am Anfang ein Eigenwert – angenommen – Lander ist ein Eigenwert – und ich habe ein Eigenvektor – V – Nullvektor – der dazu gehört – und formt das um das Land auf die andere Seite bringen stellt fest dieses Gleichungssystem – muss ein Lösungsproblem – haben – das ist ein gleichen Systeme genauso vielen Unbekannten wie Gleichungen – aber es gibt einen Vektordienst – zu null macht – ein ?? Fragezeichen quadratisches – Gleichungssystem – mit einem Lösungsproblem – das heißt automatisch das die Determinante von null sein serviert im Einzel Klammer auf gedrosselt – postulierte man sofort sagen können okay das geht dann und nur dann – wenn die Determinante – von Armin Slum da mal Einheitsmatrix – null ist – das ist das übliche Kriterium – Lander ist genau dann – ein Eigenwert – wenn diese Determinante – gleich null – nun – soll Komma war das mit NC war solch Nummer vorführen was hier passiert wenn sie diese Determinante tatsächlich hinschreiben – kriegen sie nämlich – ein Polynom – mit der Gleichung von eben – der hier noch mal Armin Slum nach eins – in – den ?? nehmen – auch noch – Zweifel – mein nehmen – Beispiel – doch – daneben der – konsequent – ?? und die drei – drei – hierhin – die Matrix noch mal nehmen das war A minus – A Minuslander – mal die Einheitsmatrix – aber eins zwei – drei vier – davon will ich jetzt die Determinante – wissen – Determinante – von Armin Slum normal Einheitsmatrix – so ist das gemeint – gleich bisschen – kurz – so ist es gemeint – diese Determinante – Armin Sander die eins – diese Determinante – wenn sie die ausrechnen – wird das netterweise – das netterweise ein Polynom eins Minuslander – mal vier Minuslander – minus drei mal zwei sechs – Männern insgesamt – Minuslander mangelndes Lander ist Landerquadrat – nun – minus vier Lander – Minuslander – sind minus fünf Landerorokloß – einmal vier minus sechs minus war – das wird das werden – und ich muss checken ob das null ist – das es die gleichen die zum Schluss habe die Frage ist ob die Determinante – von A Minuslander – mal Einheitsmatrix – null wird dann ist dieses Lander ein eigen – genau dann ist dieses Lander ein – Eigenwert – das es danach für eine – simple quadratische Gleichung – alle Lösungen Lander dieser quadratischen Gleichung sind Eigenwert – andere Eigenwerte gibt es nicht – wenn sie dreimal drei Matrix haben wir das natürlich fürchterlicher Weise eine kubische Gleichungslander – hoch drei plus bla oder besser noch Minuslander – hoch drei – Faktor dazu sowas wie Siemens ?? – Minuslander – hoch drei – ist die Firma vier Matrix haben wir das Land auch vier – sieht man auch schon dass das nicht gut funktionieren – kann – es nur hundert mal hundert Matrix haben wir das los mit Lander hoch hundert kein Mensch zu lösen – das ist also kein Versagen kein nachhaltiges Lösungsverfahren das dafür zweimal zwei drei mal drei – ansonsten ist man die Finger davon – nun – aber ist das allererste was man probieren kann – beschreibe hin Determinante von Matrix minus andermal Einheitsmatrix – rechne das aussetze – das null – und gucke – welche Lander das Lösen das geeignete – und wenn man die – Eigenwerte hat – ganz einfach hier ein sucht sich dann noch ein Vektor der von dieser Matrix – zum Nullvektor gemacht wird – Eigenvektor – wie ein Wechsel der nicht der Nullvektor ist entsetzt ?? – Off – typischerweise – hat man hier – zwei im zweimal zwei zwei verschiedene komplexe Lösungen – sobald sie komplette Zeit zu lassen hatte tatsächlich – typischerweise zwei verschiedene Lander – dann – analog denn wenn das nicht einmal in Matrix ist Hansi typischerweise – ähm verschiedene komplexe Lander die das Lösen – es kann schief gehen wenn man wieder mal Stecknadel im Hafen gefunden hat kann das schief gehen dass die beiden lang das die man hier findet gleich sind – wir also müssen fürchterlicher – ?? der typische Fall ist ein – ist der wirklich – ist der einfache Fall – man hat genauso viele Eigenwerte – wie man Spalten oder wie man Zeilen hat Matrix – und kann auch jeden Vektor tatsächlich zerlegen des ich eben schon mal Fragezeichen – das passiert könnte tatsächlich jeden Wechsel komplett zerlegen – wenn es auch – wenn diese Gleichung hier nicht zu viele Lösungen hat – wie wir Dimensionen haben dann wird das ganze heikel aber das ist die Stecknadel im Heuhaufen sollte typischerweise – nicht passieren – sobald man anfängt sowas zu programmieren muss man natürlich berücksichtigen Punkt finster – geweihten Zwischenfall auf eine – es gibt zum Bar – Rechentricks – noch die man hier ablesen kann – an dieser Stelle kann ich das schon zeigen – wo finde ich die Determinante – meiner Originalmatrix – in dieser Gleichung – der Tricks um sich an was passiert wenn ihr Lander null ist Menander nur östlich der Haus – besteht nur die Determinante Art drin benannter null ist der Weg ist der Weg minus zwei ist ✂ die Determinante von – A – als was hinten – hinten was da ohne Lander steht ist die Determinante – der – nackten Matrix – zwangsläufig – waren – es gibt noch oder andere Tricks man kann sich zum Beispiel – angucken hier eins plus vier – sind sich die Spur der Matrix – diese Matrix er habe eins zwei – drei vier – und ich summieren die Hauptdiagonalelemente – das ist die Spur eins Plus vier ist Überraschung fünf vier steht minus die Spur – lernen – aber das war jetzt mal ordentlich denke ich – angenommen – ein Beispiel diesem Skript steht müssen die abschreiben bei der stets schon im Skript – waren – angenommen – ich habe eine vier mal vier Matrix – mit den Eigenwerten – schon ganz dreist komplexe Zahlen – haben sie gesehen hier – das wird – einfach eine Polynomgleichung – hat dann gerne mal komplexe Zahlen als Lösung – angenommen meine Eigenwerte – sind sieben Plus ihm – ?? – sieben minus – die – uns minus drei – eine vier mal vier Matrix heißt dass das Gleichungssystem – eigentlich – eigentlich – A vier Lösungen Lander vier zweiter – vier Lösung haben müsste – es ist eine Lösung doppelt – die beiden künstlich sein die letzte müsste dann doppelt sein dass diese Lösung eine doppelte – angenommen – die Situation habe ich – das Polynom was ich daraus kriege – hat vier null Stellen nehme ich mal an sieben Plus je sieben minus I und zwei mal die Nullstelle – minus drei ?? doppelte Nullstelle bei minus drei – mir das passiert – kann ich sofort – ansagen was die Determinante – der Matrix gewesen sein muss und was die Spur der Matrix gewesen sein muss – ?? erst mal die Determinante – und dann – die – Spur – wie gesagt Spur Schweiß auf Englisch – Spur ist diese Summe entlang der Hauptdiagonalen – weiter normal sowas ein zwei drei – vier fünf sechs sieben acht neun die Spur ist eins plus fünf bis neun – auf der Hauptdiagonalen – summiert das Spur – Matrix – kommt eigentlich nur an dieser Stelle vor auf eine wissentlich wo sonst noch vorkommt – ähm – und nun kann ich mir überlegen was denn die Determinante hätte sein sollen ?? sogar schon gesehen ?? hinten steht ja eigentlich die Determinante – weiß nicht ob sich jemand noch an den – Satz von Peter erinnert aus dem letzten Semester wo ich die Nullstellen – eines Polynom wieder finden kann – ?? nicht – an – wenn ich ein Feldpolynom – so zerlegt habe X minus drei Mal X minus vier mal X minus fünf – gleich der erste muss was sein Mitglied sucht Reisenden – was muss der letzte sein – wenn sie das sie ausmultiplizieren ✂ gestartet und X mal zwanzigsten – kommt irgend was mit X quadratische Musik zu eins – und dann habe als allerletzten minus drei mal minus vier – ?? minus fünf – sind zwölfmal minus fünf – stehen minus sechzig – Das heißt der lächelnden ?? steht – ohne mein X – dass das Produkt von all den – dieser – bei dieser Wahl diese alle die zusammengenommen – sind die minus sechzig – und eines kein großes Wunder was jetzt also passiert ?? schon gesehen das hat was mit der Determinante zu tun die Nullstellen – haben was mit den Eigenwerten zu tun – kein Wunder – die Determinante – wird einfach das Produkt sein sieben Plus I mal sieben minus Absatz sieben minus ihn – mal – minus drei – muss ich das – doppelt berücksichtigen – dass die minus drei eine doppelte Nullstelle ist ✂ kommt ?? zweimal – meines Stylus schreiben einfach Quadrat – das muss passieren zwangsläufig – und wenn man sich ?? weit überlegen – wenn man sich den ersten Term nach dem führenden anguckt ja bekanntlich diesen Kern genauer anguckt – in der nach dem führenden anguckt – sieht man das hat was mit der Spur zu tun – die Spur wird sein sieben Plus eins – plus – sieben minus eins – plus – minus drei was mache ich hiermit der doppelte Nullstelle ✂ ist einfach eigentlich hier noch mal minus drei haben und die doppelte Nullstelle als ja geht zweimal minus drei sind das auf wenn man auf die Schnelle – einen Scheck ob man da Blödsinn gerechnet hat insbesondere bei der Spur die Determinante ist ein bisschen eklig auszurechnen aber bei der Spur können sie sehr schnell feststellen – ob sie ?? Blödsinn veranstaltet haben – alle Eigenwerte auf summiert die mehrfachen Eigenwerte – mit Faktoren genommen – muss die Spur ergeben – also wenn ich bei dieser hypothetischen vier mal vier Matrix – den und den und den und den zusammen addiere muss ich das sie rauskriegen – sie inklusive sieben ?? sie sind vierzehn – minus – sechs – macht acht – die vier – aufeinander – addiert muss – acht ergeben – die dicken vierter – ein Scheck – an Wolfram Alpha und matlap können natürlich Eigenwerte Eigenvektoren – im Schlaf – am – Befehl wenig überraschend – stehen im Skript