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Symmetrien des Krümmungstensors

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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der Krümmungstensor – mit seinen vier Indices – einer oben drei unten typischerweise – hat ja massiv viele Komponenten – in der allgemeinen Relativitätstheorie – vier mal vier mal vier mal vier hundert sechsten fünfzig Komponenten – das glücklicherweise nicht alles zahlen die unabhängig voneinander sind ganz viele von diesen Komponenten – und diesen Zahlen dann sind null – und die anderen hängen größtenteils miteinander zusammen – eine ganz einfache Eigenschaft ist das sehr Krümmungstensor – antisymmetrisch – in den beiden hinteren Indices ist nicht die beiden vertausche – kriege ich minus – das ursprüngliche Ergebnis raus – als hier hinten vertauschen – macht mir ein Minus – das ist die Antisymmetrie – hinten Komma das so nennen will – das Komma direkt aus der Formel für den Krümmungstensor ablesen – aber besser ist natürlich zu verstehen warum so sein muss – ?? ich nehme ein quasi Parallelogramm – auf meiner Mannigfaltigkeit – auf einmal so rum auf einmal so rum – transportiere einen Vektor mit einmal so – und einmal so herum – und der Krümmungstensor – gibt mir dann diese Differenz – auf die ich erst – in die Richtung – von dem ?? Index dann in die Richtung von dem Lander Index minus umgekehrt – die auf der Seite mache ich es eben umgekehrt – bedenklich genau den umgekehrten Weg doch kein Wunder – eine Nummer raffinierter ist die erste Bianchi Identität – die Idee zu dem Diagramm was gleichkommt – habe ich von Jan Olivier – ?? hat eine Arbeit geschrieben denen sich wohl schon mittags schon zu Rumänien – Corvette schoss – er in zahmen – diskreten ?? Sessions – die Idee ist folgende ich nehme mir Basisvektoren – wie Lander – ein gewisses kleines Vielfaches davon – Basisvektor – die Mühe ein kleines Vielfaches – kam mal davon ?? und den Basisvektor – Emil und davon ein kleines Vielfaches el – jetzt transportiere ich diesen Vektor – parallel zueinander – entlang – von Kamal in Vinyl – lande ich hier so parallel transportiert – das es weitgehend dasselbe als wenn ich diesen KI Menü nehme und parallel an Hammerland – da hier hochtransportiere – Komplikationsfreiheit – rein entsprechen kann ich hier unten kam mal Vinyl – entlang von ehemaligen Ü transportieren – was ist weitgehend dasselbe als wenn ich hier ehemalige Mühe entlang von Kamal in Ü transportieren – die treffen sich hier auch ziemlich genau wegen der Torsionsfreiheit – und ihr vorne kann nicht einmal die Mühe – entlang von Hammermenü – transportieren – oder umgekehrt – jetzt transportiere ich weiter – diesen – entlang – dieser hinteren Kante – und diesen unteren entlang dieser kannte – diesen entlang dieser Kante – oder eben den unteren hier entlang der Kante und die oben auch noch – diesen entlang der Kante – oder den entlang dieser Kante – und jetzt taucht hier netterweise gleich dreimal – der Krümmungstensor – auf – Komma dass das Stückchen hier an – das ist Hammer die Lamm da – einmal um Menü – dann um Menü transportiert – minus – andersherum – das rote Stückchen muss also was sein wie der Krümmungstensor – alles mit irgendeinem Index oben – ich transportiere Haarmann ?? Landerar – Mallander – erst in Richtung Karmalinie – dann in Richtung Lander im Mühlen und dann umgekehrt – erst in Richtung kam mal – die Mühe – und dann in Richtung – L mal die Mühe – das ist – dieser Rektor – dieser Vektor – hier wird einmal im Öl – transportiert – einmal oben rum einmal hintenrum – Elmar – irgendein Indexmühl – ich transportiere – erst in Richtung Hammadilander – dann in Richtung Kamal in Öl minus umgekehrt – erst in Richtung Haarmannlander – und dann in Richtung Karma – ihn müde – und der letzte im Bunde das ist dieser hier – hier wird Kamal in Amal unten rechts – hoch transportiert – und einmal links hoch und oben nach rechts – also Krümmungstensor – Karmalinie – mit transportiert – Karmaleimühl – musste – Erstindex und sein – ich transportiere erst in Richtung ehemalige Mühle und dann in Richtung Haarmannlander – aneinander – erst in Richtung Elbe mal eben müde – und dann in Richtung Harmaglander – minus – das umgekehrte – und nun sieht man das muss zusammen – Null ergeben – überall steht Hacker LH KL davor – daraus lerne ich eine Symmetrie – des Krümmungstensor – Lander Menü – Standardmenü – an der Menü – rechte Indices und zyklisch durchtausche – und das Addieren – muss nur rauskommen – das ist die erste blanke Identität – also wenn ich Bilder er das gibt dem andern oben Alphalander – Müll Mühl plus Herr oben Alphamühlmühllander – plus erhoben Alphamühllander – Mühe – kriege ich null raus – und hier wird schlicht und ergreifend – zyklisch – vertauscht – an der Menümühlsteins – vor ?? rutscht als vor Lander kommt von vornherein – mehr als vor – eins vor Lander kommt von vorne rein und noch ein zweiter vertauscht – nie Rückstands vor Lander Rückstands vor – mir kommt von vornherein – die erste Janke Identität – das könnte man natürlich auch wieder ganz langweilig nachrechnen mit der Formel für den Krümmungstensor – aber dann hat man nicht allzu viel verstanden – in Sun erste Bianchi Identität gibt gibt es natürlich auch eine zweite Bianchi Identität – ist eine Nummer komplizierter – aber nicht so viel – das Diagramm was ich jetzt mal ist schon wieder inspiriert – durch Jan Olivier – ich nehme wieder drei Basisvektoren – jetzt aber mit anderen Indices haben mal die Mühe – kam mal die Mühe – und Elmar – EO – denke ich mir hier einen Würfel – müsste man sich alles genau überlegen wie denn dieser Würfel zu bauen wäre aber vom Prinzip der denke mir einen Würfel und mache ein Paralleltransport – auf sehr komischen wegen um den Würfel so sieht das dann nach ?? aus ich gehe hier diese untere Würfelkante – nach rechts – dann nach hinten – dann rauf dann wieder nach vorne dann runter dann wieder nach links – die auf der linken Würfelseite – mache ich das ähnlich ?? ich gehe rauf – ich gehe nach hinten ich gehe nach unten – und nach vorne – eine geschlossene Kurve um diesen gedachten Würfel herum – und wie gesagt es geht mir einzig und parallel Transport ich möchte entlang dieser geschlossenen Kurve hier ein Vektor parallel transportieren – vorstelle hier hängt ein Vektor V dran – den transportiere ich bis dahin – parallel – bringe ihn am herum – bringen wieder bisschen vorne hin bringen da einmal rum und stand an dem Punkt an dem ich gestartet bin – dieses ist natürlich ein einziger Punkt und dieses auch ein einziger Punkt sein nur wenn ich's auf ein Punkt mal kann man nichts merken – diese Differenz hier kann ich jetzt mit dem Krümmungstensor – angeben – ich transportiere – meinen Vektor – einmal um dieses Rechteck – dann durch den Vektor der ?? transportieren – Komma Farbe da – steht ja Wetter – oben steht irgendein Index übrigbleibt – ?? ?? Tiere erst in Richtung Kamal in Höhe und dann transportiere ich in Richtung Karmalimmühl – das wird die Sorge Vektor werden auf dieser Fläche passiert dasselbe aber ich laufe andersherum – das heißt dieser Vektor andersherum – wird werden Hammer K Krümmungstensor – V better auf der linken Seite ausgerechnet – was mich jetzt insgesamt interessiert es was passiert wenn ich mit Konvektor einmal um diese gesamte Figur laufe – also wie groß ist diese Differenz – ich kriege auf der rechten Seite diesen Vektor – drauf ich kriege auf der linken Seite diesen Weg darunter beides mal das einmal rechts genommen einmal links genommen – das gibt den roten Vektor als aus wird der rote Vektor werden – das es mit dieser Vektor minus dieser Vektor – ich kriege H mal K – er mit irgendeinem Index oben better – Milmenü – V – Wetter – einmal rechts – minus – einmal links – alles mit Paralleltransport – das muss eine kovariante Ableitung – sein in die Richtung Gros – und der Faktor L muss noch dazu – jetzt ?? versichern dich mit fünf Indices einer oben vier unten – ein Paralleltransport – um diese Figur – muss was zu tun haben mit der kovariante Ableitung – des Krümmungstensor – ?? in diese Richtung – die die beiden Ebenen verbindet – das natürlich alles überhaupt kein mathematischer Beweis sondern nur eine Idee wo diese Gleichungen denn überhaupt herkommen könnten – es nämlich mehrere von diesen Figuren – und stelle fest das wieder was mit einer zyklischen Vertauschung geht – ich mal noch mal diese Figur hin unten nach rechts – dann nach hinten – dann nach oben dann nach vorne – dann nach unten – wieder nach links eigentlich exakt über einander – nach oben nach hinten nach unten nach – vorne – diese Figur hat – mit dieser Ableitung des Krümmungstensor – zu tun er mit irgendeinem Index oben Wettermüllmühl – nach Rohr geleitet – jetzt sehe ich das ganze – und zwar so – ich gehe nach hinten – dann nach Rechtschr – nach oben dann nach links – nach vorne – nach rechts – nach hinten – nach unten – nach vorne – und wieder zurück – das muss jetzt also sinnvollerweise – sein etwas was mit dem Krümmungstensor – Menü – roh – abgeleitet – nach Mühe zu tun hat hier das ist die Mühe Richtung – wenn ich diese beiden jetzt sozusagen addiere – ich bewege mein Vektor erst einmal um diese Figur und dann um diese Figur – stell ich fest das ganz viel wegfällt – diese beiden ja ständig mehr über einander vor – an dieselbe Stelle im Raum gemalt – das heißt wo ich hieraus Komma komme ich hier wieder rein und wo ich hier rein gehe – komm ich da raus – habe ich wieder angeschlossen Fahrt – und von dem Feld ganz viel weg – hier gehe ich nach rechts nach hinten nach oben nach vorne – das ist hier genau umgekehrt – rechts hinten oben vorne – wenn ich diese beiden Pfade miteinander verkehrte – transportiere ich ein Vektor erst einmal so rum und dann wieder zurück das macht keinen Unterschied das Feldweg – Urteil fällt weg und dieser Teil fällt weg – ihr gehe ich nach hinten da gehe ich nach vorne – das Feld weg – übrig bleibt – hinten – dann gehe ich nach oben – dann gehe ich nach links nach vorne – dann gehe ich nach rechts – bin ich hier fertig dann gehe ich runter – nach links – nach oben – und – links – nach oben – nach hinten – und wieder runter – das erstaunlicherweise – schon wieder so eine Figur dieser Art – vorne eine Umrundung hinten eine Umrundung und die beiden verbunden – jetzt aber in Richtung Menü – hier habe ich etwas was zu tun hat mit Krümmungstensor – better Mühlpro – in Richtung Menü – abgeleitet – ist Komma alles noch etwas schöner schreiben – der Krümmungstensor – das wissen wir schon ist in den beiden hinteren Indices – antisymmetrisch – das heißt hier steht minus – er – Index oben better Homil – kovariant abgeleitet in die Richtung nur – diese beiden Indices vertauscht – das macht das Minuszeichen – den bring ich jetzt rüber auf die linke Seite und hab wieder irgendwas plus irgendwas plus irgendwas ist gleich null wie bei der ersten Janke Identität – das ist dann die zweite Bianchi Identität – dieser – schreib es Oma wirklich ein Index hin Alpha – Beta – kovariant abgeleiteten Richtung Groslos – dieser – Wettermenü – roh kovariant abgeleiteten Richtung Mühe plus – der hier rüber gebracht auf die linke Seite erhoben – Alpha – Beta – Pro – Mühe Korinth ab Beistrich ?? ist gleich – null – auch die kann man mit etwas Mühe tatsächlich nachrechnen über die Formel für den Krümmungstensor – aber sie hat einen relativ einleuchtenden – geometrischen Grund – wobei das hier muss ich gestehen sehr geflohen Gott ist das muss man sich sehr genau überlegen und das auf diese Weise wirklich geometrisch begründen zu können der handfeste Beweis ist wirklich nachzurechnen – wie bei der ersten Bianchi Identität wird auch hier zyklisch vertauscht ich hab drei so manchen und jeweils ist das zyklisch vertauscht ?? die letzten drei Indices – die sind zyklisch vertauscht – Müdebüromenü – roh – Mühen Höhe – wo einfach diese drei Indices hier durch schieben – und der davon über ist das müßige vorne über den hinten anstellen – ist dann das neue vorne über den hintendran stellen – das sind die Symmetrien – ?? wir dann Identitäten – die man kriegt wenn der vorderste Index noch oben steht – der nächste Schritt des vorderen Index zu senken und dann noch mehr Identitäten – Symmetrien – zu finden – ich gehe also aus formalen Krümmungstensor – unten Betterlander – Mühe oben schreib jetzt mal Mühe hin und senke diesen Index durch den metrischen Tensor – G unten alpha unten müde – was da rauskommt wenn ich dann sinnvollerweise – natürlich eher unten Alpha unten Wetterlander – Müll – jetzt in die sie für Indices gleichberechtigt – aus – und das sind sie in gewisser Weise sogar – als erstes kann man sich fragen was denn die geometrische Anschauung hinter diesem – Objekt ist der Krümmungstensor – mit dem gesenkten ersten Index – was ist folgender Ausdruck der Krümmungstensor – mit dem gesenkten Index – verziert mit Vektoren ich sage mal U alpha – für den Index und V Wetter – für den Index – guck ich mir wieder folgende Figur an ich gehe – H mal – in Basisvektor – Lander – und ich gehe K mal den Basisvektor – eben müde – werde damit ein quasi Parallelogramm – mein Vektor V – nicht einmal hier vorne – herum parallel transportiert – und dann – nach rechts oben denen ich mal V strich – und meinen Vektor ?? nicht mal links herum und oben herum – Punkt da das Ergebnis hier nenn ich mal – O Strich – meine Behauptung ist dieser Ausdruck hier ist nichts anderes als Skalarprodukt – von den beiden Vektoren hinten minus das Skalarprodukt von den beiden Vektoren vorne – das ?? normal aus O Strich – V Strich minus UV – diese Skalarprodukt – hinten – das kann ich aber auch ausrechnen ?? nämlich beide Vektoren weiter transportiere – vorne hin und dann der Skalarprodukt – ausrechnen – beim Paralleltransportwerte – des Skalarprodukt – erhalten – O Strich und V Strich transportiere ich oben rum nach links unten O Strich wird dann wieder – das ist einfach aber V Strich ändert sich Frau Strich wird wenn ich den weiteren transportiere – vielleicht ein neuer Vektor denen ich mal fort Beistrich – ihr vorne habe ich dann also statt Unterstrich V Strich U fort Beistrich – also Skalarprodukt von U mit irgendwas minus Skalarprodukt von und mit irgendwas – Skalarprodukt – ist in den Jahr im zweiten Teil und im ersten Teil – nicht kriege raus das ist Uwe – Skalarprodukt – mit der Differenz V zwei Strich minus V – V zwei Strich minus V – diese Differenz kennen wir schon von Krümmungstensor – die habe ich also insgesamt – das Skalarprodukt – von – oben Alpha – und hier steht jetzt der Krümmungstensor – er Alpha – Beta V Betterlander – Mühe und verziert mit Haarmarker – also dieser Ausdruck hat wirklich damit zu tun dass ich diese Skalarprodukt – hinten minus der Skalarprodukt von Bilder – mal – sozusagen die Fläche – von diesem Parallelogramm – man kann das ?? weitertreiben – wenn ich diesen Differenzvektor – betrachte – minus V denen ich mal die Patienten den ich Ihnen mal die Strich – O Strich minus V Strich durch die strich ich diesen Differenzvektor – betrachte – und davon das Quadrat der Länge – habe ich folgendes – das Quadrat der länge von dem vorne – minus das Quadrat von der Länge von dem hinten vorgemerkt – vorne minus hinten – kann jetzt mit Kellerprodukten hinschreiben – und eine Fußnote gerade noch quadratische Länge in der Relativitätstheorie – darf dieses natürlich null werden für Vektoren die nicht null sind nicht artig – und sogar negativ werden – also Quadratelänge – ist mit Vorsicht zu genießen als Bezeichnung – nichtsdestotrotz – dieses Quadrat minus dieses Quadrat – schreibe ich hin als – die ist um minus V – Längen zwei Grad minus und hinten habe ich natürlich O Strich minus V Strichmenge ins Quadrat – das schreibe ich hin mithilfe des Skalarprodukt – quasi die binomisch Formel dieses hier ist die Länge von U ins Quadrat – minus zwei Mal Skalarprodukt – V – plus die Länge von V ins Quadrat – und hier hinten minus – die Länge von O Strich – ins Quadrat – minus zwei mal O Strich – mal V Strich plus – die Länge von Frau Strich ins Quadrat – der Paralleltransport – erhält Skalarprodukt – ?? und damit auch Längen das heißt du Strich ins Quadrat ist dasselbe wie uns Quadrat – und Frau Strich ins Quadrat ist dasselbe wie V ins Quadrat – gekonnt also raus – das ist zweimal – minus minus macht plus – O Strich V Strich – Skalarprodukt – minus – UV – Skalarprodukt – den Ausdruck hatten wir eben schon mal – dieser Ausdruck bei dem der Krümmungstensor – alle vier Indices unten hat den kann ich mir auch zusammenreimen – indem ich Bilder – diesen Abstand – ins Quadrat vorher – minus den Abstand ins Quadrat nachher verziert mit passenden Faktoren – damit kann ich jetzt weitere Symmetrien – finden – insbesondere die Antisymmetrie – vorne – hinten war das ja schon an die symmetrischen – es ist auch vorne antisymmetrisch – nochmalige Skizze wie eben – Harm Alexander – rauf – kam mal im Menü – rechts – V wird – rumtransportiert – ?? unten – rechts – zu V strich – Uwe Trum transportiert – links – oben – zu O Strich – habe ich den Differenzvektor – die Striche von den Differenzvektor – D – und wir haben gerade gesehen zweimal armer Ka – Mal – Alpha eher unten Alpha Betalander – Menü – V – better – kriege ich – bis auf Därme höherer Ordnung – in dem ich rechne – die Differenz vorn ins Quadrat minus die Differenz hinten ins Quadrat – ?? man sieht wieder sehr symmetrisch ist Beistrich denselben Ausdruck – die Länge von den Quadrat mindeste Länge von die Strich ins Quadrat – wenn ich die Rollen von U und V und gleichzeitig die Rollen von HL Ander und Ka im Mühl vertausche – das muss dasselbe sein wie zweimal – Harmarka – V nicht U V alpha er Alpha Beta – und jetzt Mühllander – und den State U – better – ist es raffinierte Indices anders zu wählen ich hatte vorne Wetterwetter – und hier schreibe ich alphaalpha – ?? ich weiterhin zu Alpha wieder oben und vor Wetter – wieder oben – und ich weiß obendrein das was hier steht Millander – wenn ich hinten vertausche – dann kriege ich minus er mit der Alphalander – Mühl – also was muss gleich sein dieser hier muss gleich dem sein – Alphawetterlander – Mühe – mit der Alphalamm damit aber mit ein Minuszeichen – die weit überraschendste Symmetrie ist die zwischen hinten und vorne – ich habe das mein was das heißen soll er Alpha Betalander – Menü – ist dasselbe wie er – und jetzt vertauschte ich vorn und hinten – erst die hinteren in die CS – dann die vorderen Indices – an der Mühe – Alpha – Beta – besser gehe es zu äußerst auf die vorderen Indices ganz andere Rolle haben als die hinteren die hinteren beschreiben – die Figur um die ich transportiere – und die vorderen beschreiben – was transportiert wird – wohl gleich sehen wir im Endeffekt ist das egal – und kann vorsichtig versuchen aufzumachen – was diese Symmetrie dann bedeutet – gleich zur Herleitung aber ich versuche das mal auf zu malen was das bedeutet – ich habe Lander – und Mühl – und ich habe Alpha – und Beta – jetzt nehme ich eh später einmal – entlang – bemühen – und – das Ergebnis – entlang Illander – und ich nehme die Alpha entlang Illander – und das Ergebnis entlang im – das hat mit der linken Seite zu tun – diese Skalarprodukt dahinterknien – Skalarprodukt der vorne – das ist die linke Seite – rechte Seite ist das jetzige Lander und im – um ihr Alpha – und im Wetter transportieren – muss – ich nehme Lander entlang von E alpha das ist dieser hier – und transportiere weiter – nicht der oben – ich nehme ihm Mühe – entlang von ?? better – transportiere weiter entlang von ?? Alpha – das wird der – das hat mit der rechten Seite zu tun – ?? Lander Emil – erlangte im Öl – transportiert – um dieses quasi Parallelogramm – und jetzt guck ich mir die Differenzvektoren – an sich gibt immer gar keine Richtung ich vergleiche das Quadrat haben denen ich mal D eins – auf der Gegenseite hier denen ich mal die zwei – denen ich D drei – und den ihr hinten ähnlich D vier – und diese Symmetrie sagt nun – das meine ich den hier unten Quadrieren – minus den da oben – das nehme ich was immer direkt auf der rechten Seite steht mit ein paar netten Faktoren – Richter selber raus es wenn ich den ihr vorne Quadrieren – und den Renten im Quadrat abziehen – sieht im Endeffekt nicht völlig unplausibel aus – wenn das hinten weiter aufgeht ?? wird es war doch der oben weiter aufgehen – aber das ist natürlich alles andere als ein Beweis – eine grafische Idee was hier passiert im Prinzip – diese Symmetrie kann aber relativ leicht algebraisch – zeigen – und das geht so der Krümmungstensor – unten Alpha Betalander – Mühe – den kann ich auch schreiben mit dem ich Alpha und Beta vertauscht und ein Minuszeichen der Vorsitz – Antisymmetrie – vorne – jetzt kommt die erste Bianchi Identität – hier hinten zyklisch vertauschen – und addiere kommt null raus – nicht hintenzyklisch vertausche – Lander Mühl – Alpha – und – Mühl Alphalander – dieser plus dieser plus dieser kommt ?? raus oder ebenso geschrieben minus dieser ist diese Summe das ist die erste Bank Identität – in Aktion – er Betterlander mit Alpha kann ich aber mit den Antisymmetrie – hinschreiben – wenn ich Wetter und Lander vertausche – in der ich das Vorzeichen – wird durch die beiden hinteren auch noch den in der ich noch mal das Vorzeichen – so ist alles wieder in Ordnung – diesen Trick hier mach ich es andersrum noch mal – hier aus von er unten Alpha Betalander – jetzt vertauschte ich aber die hinteren beiden also minus er Alpha Beta – Mühllander – die hinteren beiden vertauscht – ?? Bitter stehen gelassen macht ein Minus – und noch mal die erste Bianchi Identität hier zyklisch durch tauschen – macht also eher unten Alpha – zweite getauscht mit Landarbeiter – und er unten Alpha – noch ein zweiter tauschen Landarbeiter mit – Dieterich zwei Arten wie ich den Krümmungstensor – schreiben kann ich keinen einmal so schreiben ich kann ihn einmal so schreiben – ich benutze beide auf einmal – ich werde den Mittelwert aus diesen beiden Arten ein halb mal dieses plus dieses ein halb mal – eher lambda Wetter Alphamühlklos – er Wettermühl – Alphalander – plus den – er Alphamillander – Wetter – er Alphalander – Wetter müde – und jetzt guck ich was passiert wenn ich vorn und hinten vertausche – Alpha wird zu Landerlander – wird zu Alpha – die beiden vertauschte ich die beiden vertauschte ich die beiden vertauschte ich die beiden vertauschen – ich vorn und hinten vertausche wird Alpha zu Land und umgekehrt und es wird Wetter zu müde – und umgekehrt – später wird zu Mühe und umgekehrt später Mühe – austauschen – Wetter austauschen Wetter und mir austauschen – was ändert sich beim austauschen – hier sehe ich die vorderen – werden ausgetauscht die hinteren werden ausgetauscht – ?? zwei Minuszeichen – der hinten bleibt – hier derselbe Effekt wenn ich von hinten austausche tausche ich hier die beiden vorderen und die beiden hinteren aus fiktives Minuszeichen – dieser bleibt hier ist – ?? noch zwei Terme über nicht vorn und hinten tausche wandert das Lander – dahin und das Alpha nach vorne – das ist dieses hier das Beta wandert nach hinten des my wandert nach vorne – das bitte nach hinten das my wandert nach vorne – diese beiden verwandelt sich ineinander – wenn ich vorn und hinten austausche – das heißt im Endeffekt – kommt dasselbe raus – der Krümmungstensor mit den Indices Alphawetter landen wir unten ist dasselbe wie der Krümmungstensor – mit den Indices Lambdamühl – Alpha – Beta unten – es gibt eine Symmetrie zwischen den Indices vorne und hinten – samt Fassung – werden zwei Arten an Antisymmetrie – der Krümmungstensor – ist in den beiden hinteren Indices antisymmetrisch – und ?? ist wenn den vorderen Index herunterbringe – in den beiden vorderen Indices – antisymmetrisch – also – da das Lander da das Lander – hier das Alpha da das Alpha – jedes Menü deines mir hier das Wetter da das Wetter – ich kann nicht sagen – über die ersten beiden in PCs solange der vordere Index nach oben stetig ganze vorne erst was zu Symmetrien sagen – wenn die beiden unten sind – Vorsicht an der Stelle – dann gibt es eine Symmetrie – die zwischen vorn und hinten er Alpha Beta – Lambdamühl – ist dasselbe wie er Lander Mühl Alpha Beta – vorne – hierzu Hintenenten – wird zu vorne – und dann gibt es die beiden Bianchi Identitäten – Yankee eins – und Yankee zwei – Yankee eins habe ich den Krümmungstensor wieder ist er Alpha – Betalander – und tausche die drei Indices unten zyklisch durch – und kriege null Haus – Yankee zwei – habe ich eine kovariante Ableitung – von dem Krümmungstensor – und tausche da die letzten drei zyklisch durch – und kriege auch wieder nur raus