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Riemannscher Krümmungstensor


CC-BY-NC-SA 3.0

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der Riemannscher – Krümmungstensor – und er soll die Krümmung beschreiben die Krümmung einer Mannigfaltigkeit – im Zimmer schmale Kugel – als Mannigfaltigkeit – wird Google vielleicht und ich nehme jetzt eine Kurve – die geht von Brasilien – nach – Afrika – zum – Nordpol – und wieder zurück – jetzt nämlich einen Tangentialvektor – hier in Brasilien – denen ich meine Frau – und diesen Tangentialvektor – den schiebe ich parallel – entlang der Kurve – Paralleltransport – das kam bei der kovariante Ableitung – ja schon vor – in Afrika wenn ich also so angekommen ich schiebe weiter parallel – werde ich hier so draufgehen – ich komm beim Nordpol an – und schiebe ihr parallel – werde ich hier so runtergehen – und Überraschung – der Vektor der da unten wieder ankommt nach dem Paralleltransport – ist nicht der Vektor – mit dem ich gestartet bin – gehe Komma diese Fläche ist – im allgemeinen dann die Mannigfaltigkeit – je krummer diese Mannigfaltigkeit – ist – umso größer ist diese Abweichung zwischen Original und dem transportierten Vektorflächen – Vektor ich nehme wie groß die Fläche ist sich über Streich in welche Richtung nicht gehe und so weiter und so fort all das wird nach einem Krümmungstensor – eingebaut sein – diese Kurve hier stell ich mathematisch als Fahrt da – es wird abgebildet auf ein X von es – es ist ein Parameter – entlang – der Kurve – und X ist dann das Ergebnis was es jeweils der Punkt – zum Parameter es ?? Punkt auf der Mannigfaltigkeit – diesen parallel transportierten – Vektor hier gebe ich auch noch ein nahm – ich Sach einfach – am Parameter wird es – ist das Fau Trans – von wegen Frau – transportiert – zurzeit – sozusagen zum Parameter – es – und was mich jetzt interessiert – ist – die Differenz die ?? entsteht – was ist die Abweichung – zwischen – dem transportierten – Vektor und dem Originalvektor – diese Differenz hier – macht eine Aussage über die Krümmung – es geht also um den Paralleltransport – entlang – dieses Vaters – unser Fahrt soll geschlossen sein das heißt ich hätte gern das X von – einem Entwert des Parameters – Animal SE – gleich – X vom Anfang ist – als ich starte mit dem Parameter null und so weiter und so weiter und hier komme ich wieder an am selben Punkt – in Brasilien sozusagen – der Wert des Parameters – gleich SE ist – und jetzt überlege ich mir wie dieser – Vektor V – da transportiert – wird – was passiert – wenn ich V – transportiert – von S – Alphakomponente – ableiten nach es – wie geht das Infiniti Si mal weiter – ich muss jetzt tangential – zu diesem Pfad – weiter transportieren – müssen wir schon wie das geht mit Minus Komma das kam bei der – zweiten Ableitung vor – oben muss ein Verstehen ich nehme das gamma an der Stelle an der ich gerade bin – mit meinem Pfad X von est und neutraler mehr Indices – nun kommt die Richtung – in der ich parallel transportieren – also – Einfahrt – abgeleitet – nach es – den ersten Index da unten – und was ich jetzt transportiere – mir toll – den Vektor – V transportiert – an der Stelle SD möchte ich transportieren – ?? und weiteren Index rechnen in ihr mal bitter bitter – damit habe ich eine Differenzialgleichung – für diesen Vektor – wieder darum transportiert wird – ?? Anfangsbedingung – die Anfangsbedingung – des Geschenk – zum Anfangszeit – Punkt – null möchte ich einfach – das dieser Vektor gleicht dem Vektor ist VA nicht in der nur genannt mit dem ich da am Anfang los lege – und habe ich eine Differenzialgleichung – und eine Anfangsbedingung – kann ich versuchen die zu lösen – was mich interessiert – ist – der entfernt – minus der Anfangswert – ich möchte also wissen was ist der transportierte – Vektor – zur Zeit SE – also warum sind minus – was ist am Anfang gewesen – V alpha – der Stadtvektoranfang – minus Ende sowas es sich schön mit einem integral schreiben – Hauptsatz der Differenz ?? und Integralrechnung – ich integriere die Ableitung und kriege die Differenz – Ende minus Anfang genau das mache ich hier ich integriere die Ableitung von null – bis SEE – im Endzeit Punkt – das ist die Ableitung also minus – Komma – oben Alpha unten – Wetter von X von S – TX – müde – nach DS – und jeder transportierte – Vektor – oben Wetter – und jetzt versuche ich das sie auf der rechten Seite diese etwas schräge integral – hübscher zu machen – des Integral schreit nach partielle Integration – für – diesen Ausdruck hier kann ich eine Stammfunktion – angeben – X Mühl von es minus X – Mail von null – Echsen von null dessen Konstante – ich arbeite krieg ich das da oben – sind ?? Fonds geschickt ist das ?? dazu zu nehmen – hierfür kann ich die Stammfunktion angeben – dann will ich also von dem Rest der hier im integral steht – die Ableitung angeben – für die partielle Integration – letztlich in den eckigen Klammern – die nicht abgeleiteten Funktion – der Blauteil wir da steht – mal – den Grünenthal – also – irgendwas mit dem blauen Teil – mal den Grünenthal – X Menü von es minus X Mühl von – null – in den Grenzen von null bis – SEE – sollte ?? das Minuszeichen mitnehmen – aber es sowieso egal weil – wenn ich jetzt SE Einsätze – der wird am Ende ist es hell wird am Anfang steht der Sohn zu Fielmann null wenn ich null Einsätze steter wird man Frank Minister wird am Anfang ist wieder null das heißt die vorn steht schlicht und ergreifend null – das war der Grund warum ich hier X wie von null noch abgezogen habe dass sie das komisch aus warum mach ich die Stammportion komplizierter als nötig – hier hilft es die eckigen Klammern fliegen weg – und natürlich minus – das integral mit vertauschten Rollen minus minus also los – das integral mit vertauschten Rollen von null – bis SEE – den blauen Ausdruck ableiten – mal den grünen Ausdruck – X Mühe von es minus X Mühe – von null – das schreibe ich es mal in voller Gänze hin als das integral von null bis SEE – abzuleiten – ist – der blaue Ter mir – Komma oben Alpha unten – Beta von X von es – mal – ?? Frau transportiert – oben Wetter von – des – ehemaligen grünen Term – X Mail von Alice minus – X – von null – DS – und rechtlich die Ableitung aus – Produktregel – Komma mal V – erste muss sich Gammapleiten – nach Essen Komma von einer Funktion X von ist – Kettenregel – also – gamma – ableiten – nach X Lander zum Beispiel – Komma Lamm daher kurz geschrieben partielle Ableitung – Reclam nahm an dieser Stelle X von es – mal – X Lander – von es – nach es abgeleitet – das wäre der erste Name ist abgeleitet – mit der Kettensäge – mal den zweiten – DA transportierte – an der Stelle des Index better soweit der erste Teil der Produktregel – den ersten abgeleitet jetzt kommt der zweite den muss ich ableiten – plus also – den ersten stehen lassen ?? den zweiten ableiten Komma oben Alpha und Beta – an der Stelle X von es – sich den ableiten – konnte wird dessen Ableitung kann ich aber schon – das war die Differentialgleichung – die wir eben hatten – scrollen nochmals auf die Ableitung von dezidierten Vektoren kennen wir schon minus Christoffel-Symbol – Geschwindigkeit – Vektor transportierte Vektor – setze jetzt hier ein – ?? also minus Kataster vorne minus – Christoffel-Symbol – wieder an der Stelle X von NS – Geschwindigkeitsvektor – und der transportierte – Vektor ?? die Indices irgendwie zusammenbauen – den ersten Index und nenne mich typischerweise immer für die Richtung – das ist die Richtung also diese in nächster und dieser Index da müssen derselbe sein – Lambdalander – und der andere Index rechnen in Maltamar – muss mit dem Gehen Komma – dass es das schon richtig hässlich geworden – ?? können es etwas zusammenfassen – hier steht V better V gamma – warum steht da oben Wetter und deuten Komma dass es ärgerlich – die Sorge für das auch unten Wetter steht – hier schreibe ich bitter hin – dann tausend Arbeiter stehen ärgerlich ist ?? das Wetter da vorne schon verwendeten Schreibtische von ?? Komma das heißt Komma – dann ist es etwas – besser zusammenzufassen – ja bei den ?? als Vektor – beide Male mit Lambda – gesäubert und von es dahinter schreiben – und die haben wir den – asphaltierten Weg arbeite man mit bezahlen Komma den ausklammern – Kommen also das ist das integral von – Anfang bis zum Ende über den Parameter – ganz hinten habe ich wieder in Grünteil – X Mühe von es minus X – von null – und hier vorne kann ich jetzt ausklammern – den Geschwindigkeitsvektor – mal den transportierten Vektor der Städte und es genauso und mit denselben Indices – also den Geschwindigkeitsvektor – mal den transportierten – Vektor – und was bleibt übrig einmal die Christoffel-Symbol – abgeleiteten Richtungslander – an der Stelle X von es – minus – unterstützt ein Produkt von Christoffel-Symbol – beschreibt das – von X von es nicht ausritte zu eng – Alpha oben – Komma oben – Komma Untenlander – better – und – jetzt habe ich ausgerechnet – sie noch jemand erinnert – was dieser Vektor ist – ich nehme den Vektor V transportieren – einmal rum – und gucke – was ist der am Ende minus am Anfang diesen roten Vektor habe ich ausgerechnet – Ende minus Anfang – ist gleich ist gleich ist gleich ist gleich und so weiter – dieses fantastische integral – bis integral kann man jetzt nicht allgemein ausrechnen – Komma kann es – näherungsweise – ausrechnen wenn man nur eine kleine Schlaufe macht – mal dazu in Orange für kleine Schlaufe – dann gucken uns an was passiert also nicht von Brasilien bis Afrika zum Nordpol und wieder zurück sondern – was passiert wenn ich mal drei Zentimeter sozusagen – entlang der Erdkugel laufen Punkt – damit in drei – Bild oder irgendeine geschlossene Figur bilden – diese Geschwindigkeitsvektor – der wird wie wild basieren – dabei – ihr diese Differenz dahinten ist auch schwierig – dicht bei null – nicht da prozentuale Änderungen angucke das Ding wird sich massiv ändern aber – der transportierte – Vektor hier an der wird schlicht und ergreifend – der Vektor werden mit dem ich gestartet bin da wird sich nicht großartig was dran tun – und hier vorne – die Christoffelsymbole – ob ich die nun hier nehme oder ein paar Zentimeter weiter weg die beschließende Reifen stehen X von null wir sind die Christoffelsymbole – Frauenhaus – am Anfang – und ich so denke habe ich folgende Konstante stehen hier bitte Konstante stehen die ganz weit aus dem integral ziehen – also für eine kleine Schlaufe kriege ich ungefähr – Christoffel von Mühl Beta abgeleitet – in Richtung Lander von X von null – minus – hier dieses Produkt – oben Alpha unten Müll Klammer auf von X von null jetzt – mal – Christoph von oben Komma Untenlander – better – von X von null – mal – meinen Vektor mit dem ich angefangen bin – und jetzt sammle ich den Rest zusammen vom integral des ein bisschen heikel von null bis SE – was übrig bleibt – der – Geschwindigkeitsvektor – mal diesen grünen Ausdruck dahinten – das ist schon deutlich handhabbar – beziehen ?? zum komischen Ausdruck – der von meinem Vater abhängt – aber die ganze – Geometrie der Mannigfaltigkeit – habe ich rausgezogen – und nun gibt man eine ganz bestimmte – kleine Schlaufe – einmal – diese kleine Schlaufe nehmen wir die gleichen Zeichen – in einer Karte – einer Mannigfaltigkeit – bildlich ein Parallelogramm – ich gehe einen Vektor – entlang Kabinettstückchen – Armaturenhaar – soll eine sehr kleine Zahl sein – und ich die ein Stückchen kam mal einen Vektorfee – so billig mein Parallelogramm – hier – diese Richtung gehe ich rum – auf der Mannigfaltigkeit – für das typischerweise – ein krumm lebendiges Objekt werden – Einfahrt von der Art – wie ich in ihm haben will ich möchte hiermit ein Weg der Staaten in Amrum transportieren und gucken was passiert – und für diese kleine Schlaufe – dieses Parallelogramm in der Karte kann ich jetzt dieses integral hier ausrechnen – außerdem möchte ich eine Parametrisierung – vorgeben dass ich sage es fängt hiermit null an – ihr ist es gleich eins es gleich zwei es gleich drei und hier ist es gleich – vier als SE ist hier also dem Spiel gleich vier – und ?? rechnet das integral aus was mich da interessiert von null bis – vier ist jetzt mein SE – der – Geschwindigkeitsvektor – mal – die Differenz – der Positionen – an der Stelle es minus anfangs Position – des ?? hat jetzt vier Teile von null bis eins von eins bis zwei von zwei bis sein von drei bis vier – mit vier Teile fass ich raffiniert – wieder zu zwei Teilen zusammen – ich integriere einmal – von eins bis zwei – und dann von drei bis vier – also rechts und links – und ich integriere einmal – von null bis eins der untere Teil – und von – zwei bis drei – so will ich dieses integral zerlegen – jetzt Koreas rauskommt – der Geschwindigkeitsvektor – hier vorne ich komme in der Zeit eins – von da unten nach der oben – ?? Geschwindigkeitsvektor – H mal – Ar Malulelander – und – diese differenzieren – zwischen rechts und links – ist natürlich – K mal W – Aroma kam mal viel Mühe – und hier es ist umgekehrt – der – Geschwindigkeitsvektor – hier – kann mal wieder mit einem Minuszeichen – mal wie die Öffentlichkeit Beistrich dass Lander – und diese Positionsdifferenz – muss also einmal der oben ausrechnen einmal der unten ausrechnen unten abziehen weil – da der Geschwindigkeitsvektor – andersrum geht diese Positionsdifferenz – ist Hammerl – bei dem unteren – also hier steht Harm Malmomühl – mit anderen Worten ich kriege das SH mal Kamal – Lander – W Mühl – minus an der umgekehrt – das steht jetzt mit dem ?? und dem Fee – das Lander steht mit dem W und nicht mit dem – minus ich hab das mal so – was gerne – ?? und Lander vertauscht – damit ich dieses integral ausgerechnet – ?? für diese Figur das relativ billig des Integralas – Komma das angucken – ihr setzt sich das ein – neben den ganzen Krempel von oben mit – auf dieser Mannigfaltigkeit – habe ich quasi ein Parallelogramm – krummes Parallelogramm – ihr – dieses Stückchen soll seinen – Haar mal – dieses Stückchen soll sein kam mal wie – er meinen Vektor den ich so transportiere – erst entlang sie dann entlang U – dann gegen – W und dann gegen Uhr – und mich interessiert – diese Differenz – nachher minus vorher – und das kann ich jetzt angeben – das war der entscheidende Formel – ganzen Christoffel Symbole – der Vektor den ich transportieren – will und dieses integral habe ich gerade ausgerechnet – ich kriege also lass die Alphakomponente – von diesem Weg durch hab zwar so – sehr schematisch – ungefähr folgendes selbst – Christoffel-Symbol – oben Alpha unten wie Beta abgeleiteten – Richtungslander – an der Stelle an der echter Sitze schreibe ich nicht mehr hin minus das Produkt zwei Christoffel Symbole – sowie Streben alles war – mal den Vektor selbst – hätte fordern schreiben sollen – Punkt bitte – jetzt doch mal dieses was aus dem integral rausgekommen – ist mal HK – Lander wem – Minuslander – gegen – austauschen – das kann man anders zusammenfassen – am Altar schreibe ich davor – den ganzen Christoffelzier – nämlich einmal so wie sie da sind – Komma oben – Komma und Lander better unten – dann haben wir ein V Beta – ein oder andere ein W mühen – der Trick ist jetzt klamm dagegen müht diesen Austausch – auf den hier hinten mache – oder vorne machen – ist egal – ich kriege Christoffelkram – mal vom Wettermalolander – wehmütig – minus – das ganze mal – U aigu – WLAN da – kann ich auch andersrum schreiben – dass der Christoffel kam mal und so weiter – kulanter wie Mühe – und ihr vorne mache ich – den Austauschlander – Gegenmittel – ich kann es also diesen Differenzvektor – in Mehrung – schreiben – als diesen Ausdruck mit den ganzen – Christoffel-Symbol – und Ableitungen davon – mal – V – der Vektor der transportiert – wird – ist die eine Kantenrichtung – kann Richtung die später dran ist nicht ?? diversen Weg dann in Richtung ruh – und dann noch Venedig anrichten die zuerst dran ist – Musikanten – das muss jetzt immer funktionieren egal mit welchem V und U und wehe ich anfange – was rauskommt – ist geometrisch offensichtlich ein Vektor – dann muss das was hier steht – ein Tensor sein – das ist der Krümmungstensor – der Riemannscher Krümmungstensor – genauer gesagt die Komponente – Alpha – Betalander – Mühl vom ?? Menschen Krümmungstensor – also eher oben Alpha alpha ist kontravariant – und unten habe ich ein Wetter – und ein Lander und ein mühe noch über ?? – und wie die Christoffel-Symbol – natürlich – von Position zu Position verschieden sind im allgemeinen wird auch der Krümmungstensor – von Position zu Position verschieden sein als es ist eigentlich ein Tensorfeld – das Krümmungstensor – fällt wenn man so will – man redet immer vom Krümmungstensor – man hätte die vom Krümmungstensor fällt aber – dieses Ding hier hängt von der Position ab das darf man nicht vergessen – außer in Ausnahmefällen – natürlich wenn man sehr schöne Geometrie Inhalte einfach immer drin – Komma zurück zu der Skizze – statt dass man den Vektor V einmal rum – transportiert – einmal ganz rum transportiert Komma noch anders vorgehen – wieder mein quasi Parallelogramm – auf der Mannigfaltigkeit – ich transportiere den Vektor V einmal in Richtung – Vevey – und dann in Richtung – so – transportiere ich ihn einmal in Richtung – ?? und dann in Richtung – W so herum – und dann guck ich mir – diese Differenz an – das ist dasselbe Resultat – das es nachher etwas freundlicher – für Anwendungen – als die sattes zu rechnen – als Idee besonders ?? rauskommen muss ich könnte jetzt diesen Weg teuer einfach weiter – parallel transportieren – den Weg ?? nicht herausgekriegt – habe – und der wird sich nur Infinitisi mal ändern – und noch was zum merken – diese Index Alpha hier oben der erste Index – der muss offensichtlich bei den Christoffel-Symbol – auch jeweils einmal oben stehen – der zweite Index das Beta hier – bezieht sich auf den Vektor dem man transportiert – das V – damit das auf die Puste hier vorne einmal vorkommen es ist nicht der nach dem abgeleitet wird – und den muss auch einmal vor Komma – der kommt nicht mit dem Alpha zusammen vorsteht – an dem andern Christoffel-Symbol – ?? Lander und – anderen Müll beschreiben – dieses kleine Parallelogrammlander – Index Nummer drei – der in der Mitte unten – Lambda geht mit der Richtung – bei mir und wo ist die Richtung – in die zuletzt – transportiert – wird genauer gesagt gegen die zuletzt transportiert wird ersten Richtung weht dann in Richtung EU – also – dieses laminar ist die Richtung die nicht sofort dran es beim Transport – nach der Richtung wird zuerst abgeleitet – das muss man sich merken Komma dass will ich auswendig machen will nach der Richtung in die ich als zweite – transportieren – wir zuerst abgeleitet die mit dem Plus sind dasselbe nochmals verwickelt mit einem minus – zweite außer Bruch natürlich auch nacheinander hier ist es – auch das Lander steht nicht mit dem Alpha steht an dem anderen Christoffel-Symbol – es bleibt müde – der letzte Index hier – der Index my steht mit der Richtung in die zuerst transportiert – wird – muss natürlicher von dem ersten sogenannten Auftauchen – kann eine Chance und den zweiten so manchen ist es der der mit dem All versteht – und dann natürlich hier alles mit vertauschten Rollen an der Mühe und vertauschten Vorzeichen – so könnte man sich wenn man unbedingt will – merken wie die Komponenten des Krümmungstensor wirklich aus gerechnet werden