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23.04 Numerische Integration, Trapezregel, Simpson-Regel


CC-BY-NC-SA 3.0

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jaletzte Integration im wahren LebenRahmenshowmäßig benutzt man diesen Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungsie sucheneinunbestimmtesintegralsagen eine Stammfunktionund bestimmen dann Stammfunktion am oberen Ende minus Tampons und am unteren Ende soll langsam schon an der oberen Grenze minus ?? Fusion an der Untergrenzedas ist alles schön und gut Komma denn die Stammfunktion hatdas ist eine eherundankbareAufgabe Stammfunktionenzu findeninsbesondere gibt es von vielen Funktionenkeine Staffel gesagt ister insbesondere kann man von vielen Funktionen die Stammfunktionnichthinschreibenmit üblichen Funktionen insbesondere diese hier die Macht bei derbei bei der Wahrscheinlichkeithat diese Funktion hier ihren großen Auftritt ähm minus sechs QuadratJugendsisfaradverziert aber das muss man dabeiX wird ihre Minister vor und eh hoch dassdiese Funktion hierGaußglockevon der Weisheit zum Beispieldamit List und Tücke zeigen dass man von der die Stammfunktionnicht ordentlich hinschreibenkann mit üblichen Funktiondiese Funktionhat natürlich eine Stammfusion sie können die mal was passiertwenn Sie diese Funktion integrierenandas können Sie ihn mal bitte die Funktion aussehenwie eine Stammpunktion aussehen würde ?? mathematischexistiert ich davon sodass es keine Frage ich kann blöderweise die Stammfusion nicht mit Normalfunktionhinschreiben?? es also nicht versuchen etwas zu bilden wie Sinus eh hochminus X durchforstenX oder was auch immer hoffendass diese Funktion rauskamdass esnicht ganz einfach zu zeigenwarengrößeres Ärgernis an der Stelle allerdings dannnoch lange versuchen Fusion zu findenund danach Jahren aufgebendas heißt man hat in der Praxis das ProblemNummer einssiebt haben Funktionengerne mal so wie diese hier das ist die erste bei der Sand wirklich nervtsie haben Funktion von denen sie keine Stammpunktion angeben können?? imVisier von Stammfunktion suchen Sie können mit Wolfram einfach mal probieren wird Wolfram Alpha ihn wahrscheinlich was LIEFERN mit erstdas ist die aber fang schonan das ?? nur Name für die Stammfunktionaber nicht gewonnen damitalles gibt eine Stammfunktion ich kann sinnvollerweisenur nicht mit den üblichen Verdächtigen Sinus RosenpotenzenRhythmusübrig hinschreibenProblem Nummer einsda versagtdie schulmäßige ausrechnenmit der StammfunktionsproblemNummer zwei?? Messwerteirgendwositzt ihreWindenergieanlagein der Gegend und sammeln Messwerte ein und sie wollen jetzt wissen was zum Beispiel die die gesamteingespeisteEnergie isteine sehr zu Beistrich weiler ?? wie bestimme ich denn davon jetzt eine Stammfunktion wo schlage ich den jetzt diese Funktion hierer ist ?? eine wo schlagen diese Funktion in meiner Tabelle mit den Stammfunktionennach die gebe ich diese Funktionen Wolfram Alphadas Haus irgendwie nicht hin ich hab ?? Tabellean ganz vielen Stellen haben sie nicht mal eine Funktion die sie integrieren sollen haben nur eine dumme Tabelle an Werten gegeben??auch da hilft uns das natürlich nichtähmdas ?? mit Stammfunk zum integral ausrechnen könnenalso manchmal haben sich die Stammfunktionmanchmal ?? nicht mal einehandelsübliche Funktion zum integrieren sondern eine Wertetabellewas man sich hier vorstellt istaller machen oder vielleicht Balken aber das istkeine saubere IDS gebessert man gedanklich ist eigentlich das ich von der ursprünglichen Funktion?? Punkt wegmachendas ich von der ursprünglichenFunktionssampleshabeist eine Funktion wieder integriert worden istoder zur Deadline so es gibt eine von solider zu integrieren ist aber ich habe nurjede Minute gemessenoder jede Sekunde oder jede Millisekunde oder jeder Mikrosekundenaber ich kenne nicht ständig messen?? es gibt eine Funktionnicht integrieren möchteaber ich kenne von dieser Funktion nurMesswertedas können zwangsläufig nur in endlich viele sein und endlich wiederunendlich viele Messwerte kann ich wir speichern es können nur endlich viele sein ?? rechne ich jetzt einen integralist das zweite Problemarm lassen die beiden Gründe weshalb man sich numerische Integration angucktestIntegrationwiekann ichan das integral kommenin dem ich meine Funktion tatsächlich numerischin Zahlen ausrechnenbestimme Funktionswerte?? oben in dem Fall wenn ich dich da Punkt so nicht hinschreiben kann bestimme ich Funktionswertedie unten habe ich Funktionswertedirekt und versuche dann nur Außenfunktionswertendas integral zu bestimmen nicht aus der Formel das würde analytisch heißen oder symbolischdas es waserWolfram Alphazunächst probieren wir symbolisch analytisch zu machen ist guckt sich die Formel eine versuchte Stammfunktion zu findenund wenn es dabei auf die Nase fällt fängt es an und numerisch zu arbeiten ist rechnet Werte ausund versucht nur mit definierten Wertendas Integralscreeningandas was sie nicht tun sollten dasschreibe ich jetzt abschreckendes Beispieldas was sie auf keinen Fall tun sollten wenn sie Wertehaben integral ausrechnen sollenist Treppenstufenbildeneinenich habe das jetzt hier hinniedas bitte machen Sie nie mit Treppenstufendasvon der grundsätzlichen Idee her wie das integralgenährt werden kann insbesondere beim Riemannschreit das eigentlich nach den Treppenstufendas ist aberkeine gute Ideeman vernünftige Werte haben willalsoGedanke ist sich in möcht integrieren von A bis Bich teile das Ganze inEntstückein gleiche Stücke in gleich breite Streifen ?? ähm gleich also ein Streifen gleicher Breite sowie dasähm streifengleicherBreitegleicherBreiteund dann kann ich zum Beispiel immer den Wert links neben die Funktion an der Stelle A mal die Streifenbreiteplus die Funktion an der nächsten Stelle meine Streifenbreite gibt diesesRechteckdie Funktion an dieser Stelle mal die Streifenbreite gibt das Rechteck an dieser Stelle mal schreiben weit und so weiter und so weiter alle auf summierenzu ?? ist eine Idee was es integral sein muss eine nicht allzu gute Ideewie gesagt das als mit nieder schreibe ich nochmals erste Gedanken als erste Gedanken hin das integral von A bis Bvon X die X ist also ungefähreine Summe über streifennunschreib hier mal ein bisschen auf die Zielprogrammierungvon null bis N minus einsdas geschickte Resistenzstückensemahntenbei null anfangen und bei ähm minus eins aufhörenwir vielleicht mal von null bis drei null eins zwei drei wenn sie von null bis dreidie Summe durchgehend an sie vier StückNzum Andenwas verliere ich jetztdenWertan Haarein bisschen weiter ein bisschen weiter und dann immer mal die Breite den Wert mal die breit und die Breite wäre B minus AdurchNdas schreibe lieber gleich kurzes B minus Awas ist die breite SB minusartigendenich das malHaaretwas kürzerals diese Streifen sollen alle die Breite H habender Funktionsstellebricht den FunktionswerteStaate mit Arwiekönnen Sie es ausrechnen welcher Stelleder Fusionswert zu nehmen istdie Staaten mit Abei K gleich null überglücklich mit Arbei Ka gleich eins müssen ein Streifen weitergehen einmal Haackergleich zwei müssen wir zwei Streifen weitergehen diesen Wert hier zweimal H A plus K malHdas wäre dieseeinfache Näherung mit Treppenstufengleichmäßigen Treppenstufen goldene Sonne ungleichmäßigmachen aberzu kompliziert so dies Verfahren wenn Sie bitte nie bald zum selben Preisin Rechenaufwandgibt's ein anders Verfahren das Trapezverfahrenwasgenau istdeutlich genauer ähmdas Medizin Nummerzwanzigdie TrapezformelPilzmalebenähnlich aufgebaut dabei ist es malwiederein streifengleicherBreitePunktindreiWörternbeiH ist gleichB minus A durch ähmeine Funktionwie der Name Trapezformelsagtich Legetapetedrunterkeine Stufen mehr sondernTrapez das für ein TrapezTrapez heißt ein Viereck mit zwei parallelenSeitenJammer noch ein Trapez zwei parallele Seitennach immer noch ein Trapezund so weiter alle diesesummieren sich in der Fläche die Summe derFlächen der Trapezals Näherungwas wird das werden dieFläche von A bis B unter der Funktionungefährman sich überlegen was denn die Fläche eines Trapez istam Randenebenbei wie groß ist die Fläche eines Trapezja mehr Haarjahrenwar für mich das ich mir das ?? Y eins Y zweiwie groß ist die Flächeder Trick ist sich folgende Figur anzugucken sie bilden die Linien der Mitteund klappen dieses Dreieckdahindann haben sie Rechteckdas Rechteck hat die Breite Hund die HöheMittelwert links und rechtsdas hier diese Höhe ist der Mittelwert der linken und rechten Höhealso mich insgesamt dass die Fläche von dem Trapez istdie?? beschreibt es so um die Summe der beidenSeiten durch zwei der beiden parallelen Seiten durch zwei mal die BreiteHdiese Höhe hierdas hierist der Mittelwert Y eins plus Y zweihalbedas kann ich jetzt verwendenalso immer links und rechts ausrechnenmitten mal die Breitewie sieht das auslinks und rechts ausweichen beim erstens SF von AS der linke plus F von A plus Hdas ist der hierhalbierenmal die Reizelosjetzt kommt der nächsteder fängt an bei Artus H von A plus H plusJade auf der Seite A plus zwei H von A plus zweiwardavon der Mittelwert Hmal Hplus und so weitergeht sieht man das man zusammenfassenkannin F von Ahalbe mal Haardoch nur einmal aufaber der wird hierzwischen dem ersten Streifen den zweiten Streifen der tauchtzweimalaufjeweils durch zweizweimal diese wird durch zwei Dynamit zum Schluss einmal das geht bist du in durch ?? der allerletzte Wert auch wieder nur einmal auf unsinnig im Detail vorführenähmdas gibt's den ersten Werthalbiertden letzten Wert halbiertPunkt mein Haarmannhatte öffentlich verpenntKlammer zu insgesamt aus somal Haarausgeklammertplusund jetzt alle dazwischen auf summiert von Ka gleich eins bis N minus einsalle auf summiertvorn argloskam mal haarverzerrterGefängnisse ganz geschickt sosieht das aus ?? Trapezformelerstem ersten Werte jetzt vernetzen wir alle zwischen auf summierenmal die BreiteArmistminimal komplizierter als die Formel von ebenaber deutlich genauerähm sie sehen sie sie symbolisierendamit daseben war das du mir alle von null bis N minus eins alle Funktionswertesind wirksame setzen zu mir alle Funktionswertevon?? vom ersten bis zum vorletzten Mal Haartrapezformelist zu mir alle Funktionswertevom ersten er vom zweiten wenn Sie so wollen und die mit der Nummer eins bis zur vorletztenvom ersten nehme die Hälfte um vom allerletzten nehme die Hälftemal Haarwinzige Änderung aber deutlich genauerwarenbei den letzten ?? auch gar nochals eine Nummer komplizierter machen willund noch eine Nummer genauer machen will sind ?? Stufenhier habe ich gerade Stückeder nächste Gedanke ist mein Lichtparadestückchendurch jeweils zweiPunkt durch über Streitpunkte durch zweiStreifendas ist das Simpsons Verfahrenwenig ausbesitzenSchweinerassenauf Englischähmokaywesentliche Bedingung ist nundas man eine gerade Anzahl an Streifen hat in Gelradeenden Streifenaber eine gerade Anzahl sowie hier vier Streifenund ich nehme jetztweiterhin jeden Streifen als Breite H des geht etwas durcheinander sie müssen gucken in die vom Info nachgucken?? was mit habe gemeint die Breite eines doppelten Streifen die Breite eines einfachen Streifens muss vorsichtig sein ?? mit H die Breite eines einfachen Streifens die Hälfte eines von den Doppelstreifender Gedanke ist mein Licht durch jeweilsdrei Punkte also links von Doppelstreifenrechts von Doppelstreifeneine Parabel durchjeweils drei Punkte eine Parabel durchbestimmt die Fläche unter der Parabelnicht antun ?? Fläche aus das ganze inzwischen selbstwarenkeine große Kunst die Fläche ausrechnen wir haben dreiPunkte gegeben die Klasse dazu könnte mit den üblichen MeditationsformenParabel ausrechnetnetterweisegeht dasnicht mehr dasselbe Ergebnis raus wenn man nichtquadratisch Parabel im sonnenkubischeParabel das heißt ich könnte die auch genausokubische Parabeln nähernund hätte dasselbe Ergebnissind zu verfahren ist als wenn sie wollen eine Nehrung mit stückweise Näherung mit kubischen Parabelschon an schmiedenähmwas man Rausgericht ist folgendesdas integral istnachHerrnsimsen ungefähr folgendesbeschreibt immer zumindest die grobe Herkunft der Formelanmerkungsich erst mal so ein Teil an mit einer Parabel darüberund kriecht raus das ist der Wert linksplusvier mal der Wert in der Mitteplus der Wert rechtsmit hundert ?? nicht ganz fertigmalmal H durch dreidiese komischen Zahlen hier vier und drei komm raus man die Parabeln ausgerechnet das macht richtig Spaß ?? man setzt endlich mal ein eine Parabel durch drei Punkte rächen die Fläche darunter raus und kriecht dasfür diese erste Teilfläche dann kommt die nächste Teilflächedas ist jetzt elf der linke wird er von A plus zwei Hplus vier mal der Wert in der Mitte A plus drei Haarplusder Wetter hintenF von A plusvierHaarmal Haug dreiDrittel wieder plus und so weiterdie vermögen sie notfalls selbst hinkriegen also wie gesagtParabelgleich beide Streifen integral brechen sie das raus ungesetzlichdas man die zusammenfassenkannwie eben beim Trapezverfahrenkommt mal wiederkonnte man rechts und links zusammenfassen Rechtswesen zusammenpassenund die ganze Sache wird relativ einfachund Simpsons sind zu verfahren ähnlichdenen hierkönnen Sie mit den zusammenfassendie rechte Kante hier ist leider nicht linke Kante da die kommt zweimal vorund dann habe insgesamt die simsen Formelzittern oder mit einer Interpretation von H Vorsicht an der Stellesteht sie dann in der Formelsammlungnehme den Wert links der kommt nur einmal vor dann kommt viermal der Wert danebendann kommt zweimalder Wert ein zweiterzweizwei Haar los dann kommt viermal der Wert eins weiterplus und so weiter und so weiter und irgendwann kommt der allerletzte der kommt nur noch einmalF von Bkommt dann irgendwann ganz zum Schluss mal H Dritteldas könnte man auch noch mit einem ?? programmiert was man das auch eine zusammensie nehmenjeden zweitenRechner alle Funktionswerteaus jedem zweitensummieren sie aufKnien des ?? viergebensoll sagenalle anderen voneinander lassen den ersten den letzten Weg die summieren sie auch auf nehmen die mal zwei und eine die Reise den ersten und letzten noch dazumal die Breite durch drei gibt eine wunderschöne Nehrung für das integral