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21.03 Wendepunkte


CC-BY-NC-SA 3.0

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das kann eine Stufe weiter treiben mit den Wendepunkten – Komma die – die Extrema – der ersten Ableitung angeguckt Wasser Einwände Punkt eine Wendestelle – sein – ?? – wieder eine grob skizzierte Funktion – einen Wendepunkt – soll sein – ein Punkt an dem die Kurve ihre – Krümmung ändert das hier wären – die mal Daumen – Wendepunkte – die auf Englisch nicht ?? Points heißen außer in der Literatur – heißen ?? Sectionspoints – so das wären zwei – Wendepunkte – Wendepunkte weil folgendes passiert – die – Funktion – die Kurve soll ich sagen ?? Graph – krümmt sich hier rechtsrum – rechtsrum – rechts rum – und hier fängt sie an sich links und so konnten links rum krümmen links rum kommen – und hier können Sie sich wieder – Punkt – so eine Stelle dazwischen – zwischen links Komma rechts Komma das ist ein Wendepunkt – da wo die Kurve von links Komma rechts Komma oder von rechts Komma links Komma übergeht das es ein Wendepunkt – dies X dazu ist eine Wendestelle – sinnvollerweise – Punkt es wirklich – beide X Y eine Wendestelle ist dann das X was dazu gehört – das scheint erst mal überhaupt nicht mit Ungarn extremer zu tun zu haben – bis man sich die erste Ableitung anguckt – und stelle fest das hat was mit lokalen Extrema der Ableitung zu tun – und zwar sehen sie das hier die Steigung – fällt die Tangenten gerade wird immer flacher – die Steigung der Tangenten gerade singend sinkt sie singt sie sind – bis hierhin – ab da – geht's wieder aufwärts mit der Tangenten gerade die steigende Tangenten gerade steigt – bis hierhin – und dann wird die Tangenten gerade wieder flacher – also Wendepunkte habe ich da wo die erste Ableitung lokale – extreme hat – Komma die erste Ableitung Gänsefüßchen zu skizzieren – wir hatten schon die erste Ableitung null sein muss nämlich bei den lokalen Extrema – ganz maximus – null sein lokales Minimum Semikolon sein – lokales Maximum – muss sie Null sein – an diesem Punkt – muss sie – ein lokales – Minimum – haben will sagen ihre Ableitung – gleich zweimal angenommen ?? zwar ableiten – ihre Ableitung – lokales Minimum haben – die zwei ?? abgeleitet – werden kann heißt es aber dass die Tangente der Ableitung – horizontal sein muss – lokales Minimum horizontalen Intervention nach die Ableitung steht – Punkt stehen wird muss das hier noch zum Teil Tangente haben das muss ein lokales Minimum sein – hier bei dem umgekehrt bei dem Wendepunkt umgekehrt – die Steigung steigt steil steigt wird immer steiler und über die Stadt ?? hat das hier muss ein lokales Maximum – der Steigung sein – Komma dass es im Detail liegen mag aber vom Prinzip her ums Prinzip vermissen hier ein lokales – Maximum – der Steigung haben – wohl gemerkt ein lokales Wachstum der Steigung nicht erfüllt und selbst ?? lokales Maximum – der Steigung – das heißt – hier die – Ableitung muss – Maxi Aussehen vielleicht so aussehen – ?? prinzipiell – nicht exakt passieren muss und prinzipiell auf Verlauf – da maximal – dort – ganz gelungen – so könnte die Ärztin die Steigung – das heißt wenn ich auf der Suche nach Wendepunkten – oder Wände stellen die Nixon dazu wenn ich auf der Suche nach Wendepunkten bin – kann ich nach lokalen maximal lokalen Minimal – der Ableitung suchen – und eines klar wie man Kriterien dafür findet – sie betrachten lokale Maxima lokalen Minimal der Ableitung Atoll – in all dem was ich eben geschrieben habe – setzt sich einfach F durch Beistrich ich suche jetzt kein lokales Extremum – von elf Besuch eines von ?? Beistrich – diese drei Kriterium – aber dann angewendet auf die Ableitung – was muss also gelten – elf – F – hat eine Wendestelle – ein – Wendestelle – ein X – daraus folgt – dem gleichen Kriterium wie eben – an der Stelle – muss man lokales Maximum lokales Minimum der Ableitung haben – also – muss die zweite Ableitung null sein – wenn denn die Funktion zweimal abzuleiten ist – Komma die Franz jeweils – sind wir schon an den an den Tangenten nicht daran gemalt habe diese Tangente an die Ableitung – heißt dass die zweite Ableitung null sein muss – hier muss ich Nullstelle von der zweiten Ableitung haben – und dann noch die zweite Ableitung untermalen – Beistrich sowie die Zeitarbeit oder drunter mein – ?? Auschnitt – soll – gemeint – ?? unten auf der Seite noch Luft – ?? Siggi das – hier muss die zweite Ableitung null sein – hier muss die – zweite Ableitung null sein – an dieser Stelle ist offensichtlich die zweite Ableitung positiv – an dieser Stelle ist sie offensichtlich negativ an dieser Stelle ist sie – negativ – Pi mal Daumen – war nicht ganz gelungen Pi mal Daumen – so ein Verlauf – gerade solche damit das man zum draufsetzen Schulung – sehr schön – so ein Verlauf Pi mal Daumen hatte sie sind es ist bisschen heftig dass die – die Steigung ist ja nicht so heftig der sollte etwas – weniger negativ werden sowas vielleicht – das noch dazu – als Idee ?? hier ist die zweite Ableitung positiv der die erste Ableitung steigt – ist die zweite Ableitung negativ – denn die erste fällt jetzt die zweite Ableitung negativ denn die erste fällt – hier – an dem Wendepunkt – der Wendestelle muss die erste Ableitung an ein lokales – bei dem ihr lokales Maximum haben – seit zweite Ableitung muss – Null sein das ist ein – notwendiges – Kriterium es gibt nicht rückwärts – das hier ist – notwendig – aber nicht hinreichend aus dem selben Grund wie eben – Punkt wenn – dich aber nicht hinreichend – wir haben zum Beispiel – im Rechenbeispiel – gesehen – dass das nicht nur dass das hier nur notwendig aber nicht hinreichend ist – Komma denken Sie an – den hier – da ist die zweite Ableitung – an der Stelle null null aber definitiv ist das hier keine Wendestelle – ich komme – mit der Linkskurve und ich gehen in der Linkskurve das hier ist keine Wendestelle trotzdem so zweite Ableitung null – das Gegenbeispiel – warum es nicht hinreichend ist – es kann sein das es weiter beim ?? des Autors keine Wendestelle – wenn ich eine habe – die Fusion Klammer zu werden – dann – ein Stück Karten erstellen – so das ist notwendig aber nicht hinreichend die anderen Kriterien kann man durch genauso übertragen – aber es hat eine Wendestelle – eine Wendestelle – ein X – genau dann wenn – ein scharfes Kriterium – analog zu dem eben von dem – lokalen Maxima und Minimalpaaren – nach wollte mir – da – die Fusion selbst ?? lokales Extremum in X wenn die Ableitung einen Nulldurchgang hatte ich suche jetzt nach lokalen Extrema der Ableitung – die Ableitung – hat ein lokales Extremum genau dann wenn die zweite Ableitung einen Nulldurchgang hat – Situation – ihr Dasein Wendestelle – zweite Ableitung Nulldurchgang Wendestelle – zweite Ableitung null Durchgang – und das ist ein scharfes Kriterium – F zwei – Strich hat ein X einen Nulldurchgang – das ist notwendig und hinreichend – Punkt es muss gelten und wenn es gilt dann sind wir auch fertig – und – das schulmäßige – ist – analog zu dem dritten wieder was wie was denn da war's – die Funktionen der lokales Extremum ein X – ganz sicher hat sie das wenn ich weiß – das die erste Ableitung müssen die zweite Ableitung ungleich null ist – ich suche jetzt nach lokalen Extrema der ersten Ableitung – weicht der Wassertiefen zum selbst Wendepunkt hat – also – ganz zu Beistrich – nämlich ein zweiter die zweite Ableitung – null sein die dritte Ableitung ungleich null dann kann ich ganz sicher sein – ob ich schon fast ein Nummer zusicherte das ist – nicht notwendig – aber dafür hinreichend – also F Appendix – Hartz – werdende – Stelle – an – X – folgt – wenn ich weiß – das die zweite Ableitung null ist – und dass die dritte das muss alles ?? ?? gleich dreimal differenzierbar sein – als die dritte Ableitung ungleich null ist – das ist aber leider – hinreichend – aber – nicht – was das Landes ist – in reichen aber leider – nicht notwendig hinreichend – aber nicht notwendig – also wenn sie das Wissen – haben sie gewonnen Komma wenn sie Pech haben – es die dritte Ableitung gleich null und trotzdem – ein Wendepunkt – an seine Stelle – nicht gut – dick