[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

24A.1 Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

zu – drei klassische – Integrationsverfahren – Integrationsverfahren – Nummer eins ist die partielle Integration – erzählen Integrationsdefizit – und ergreifend – die – Produktregel – rückwärts – die Produktregel für die Ableitung verstanden haben – dann das keine Aktion – die partielle Integration – zu kriegen Produktregel – rückwärts die – Integration – hat ja was mit ableiten zu tun nämlich sozusagen ableiten rückwärts das ist das integrierende Mann will – auf eine sehr bestimmte Art habe ich jetzt mal vorgeführt – Punkt – Haupt setzte die von seinem Integralrechnung – wenn ich also Regeln habe fürs ableiten – Produktregel zum Beispiel wird die rückwärts lesen können und dann was übers integrieren – lernen – ?? – Produktregel ging so – wenn ich – ein Produkt ableite – ?? Produkt zweier Funktionen – ableitete – dann ist das – die erste abgeleitet mal die zweite – plus umgekehrt – die erste Mal die zweite – abgeleitet – und das sagt mir jetzt etwas – über das Integral – ich bitte links das bestimmte Integralrecht – das bestimmte integral – dann muss auf folgendes gleich sei das integral – von A bis B – von der Ableitung – des Produkts – TX – TX dieses integral muss also sein – das integral – auf der rechten Seite das kann man aber sofort zerlegen hier steht die Summe zweier Funktionen das Produkt so ?? ist das Produkt so – das ich kann das Integrale zerlegen das es das integral – vorne ableiten – von A bis B plus das integral – hinten ableiten von A bis B – ist ?? das einfach nur die Produktregel genommen und beide Seiten integriert von A bis B beide Seiten integriert – wenn diese Funktion gleich der Funktion ist eines endlich auch die Fläche unter der Funktion ist gleich der Fläche unter der Funktion rechts – Stein geht nichts kaputt – ?? – an der Trick ist nun dass sie dieses integral hier – ganz billig ausrechnen kann – mit dem Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung – suche ich ja eine – Stammfunktion – eine Stammfunktion – zu der Funktion im integral die mit den Kranken eine Stammfunktion – zum in die Kranken was ist offensichtlich eine Stammfunktion – zu diesem eingeklemmten Immigranten ✂ kostet etwas Überwindung – ?? hier so wirklich billig abzulesen ist eine Stammfunktion – zu dem eigenen Klingelton hier ist eine Funktion – sodass deren Ableitung – das es was ich hier angekündigt habe eine Funktion – deren Ableitung – die Ableitung des Produkts nach X ist toll also eine Stammfunktion – wäre insbesondere – F von X – G von X – die hier eine Probe wenn Sie diese Funktion ableiten – steht das da was oben im integral steht genau das ist der Test den ich verstand Funktion machen ich suche eine Funktion deren Ableitung die Funktion im integral ist – das hier ist so eine Funktion – passieren andere Funktion mit derselben Eigenschaft der funktionsdich ableite und ich kriege das hieraus ✂ andere Stammfunktion wäre dieses Plus dreizehn – dementiert Bruchrechnen – er von X Maggie von X ableiten schöner steht hier dreizehn ableiten ist null – wird auch die können Sie der Stammfusion konstant agieren – was es bestimmt integral nicht kaputt macht den – oben kommt die Konstante drauf kommt die Konstante weg – ist natürlich – blödsinnig wenn sie mit plus dreizehn schreibe wozu solch den Aufwand machen – die Stammfunktion – und die Busreisen so viel – intelligenter – so – und jetzt hat man da die partielle Integration stehen sie lösen einfach auf und zwar – zum Beispiel – nach dem hier – nach dem auflösen – Komma folgendes gelernt – was das noch – so – habe ich gelernt dieses integral das rotintegral – von A bis B – Beistrich von X – G von X – TX – ist also – der hier – das Produkt – in Grenzen – minus – den – ?? – lassen sich partielle Integration – Komma die teilweise – Integration – übersetzen – an – das F Strich – wird integriert – SF Strich wird zum F was ist der Teil den ich integriere – aber das geh so lustigerweise abgeleitet – Punkt es wird ein Teil integriert – Beistrich hierzu F und ein Teil wird abgeleitet gebe zu Beistrich – und das Körnchen Salz ist das ich diesen Rand gern dazu kriege beide Funktionen nicht abgeleitet – ?? diese Regel werde man typischerweise – an der man erreichen kann dass diese Ableitung hier die soll schon das die Ableitung von G einfacher wird – einiges hinkriege das Genöle – ist aber G Strich – einfach ist oder einfach her ist dann verbindlich diese Regel versuche diese Regel zum ?? in der Hoffnung dass dann die rechte Seite – besser zu behandeln ist als die linke Seite – den gleichen Aktionen partielle Ableitung zu sehen die – am – Produktregel ist eigentlich ziemlich simpel – wenn es integral ins Spiel kommt wird es plötzlich – ziemlich eklig aber es ist eigentlich die Produktregel – nur rückwärtsgelesene – Produkte – sind hier noch eine Portion abgeleitet mal eine andere hier sehen Sie die eine Funktion so markante abgeleitet – war Überreste von der Produktregel und das Minus ist hoffentlich jetzt auch klar bei der Produktregel standen ja der und der auf derselben Seite – ein ableiten mal die andere die eine Materna beleidigt damit ein Plus auf derselben Seite bei der – partiellen Integration stehen sie auf verschiedenen Seiten deshalb ein Minus dazwischen – partielle Integration – die erste große – Integrationsregeln – die nächste groß Indikationsregel – stammt aus der – Kettenregel – das ist die Substitutionsregel – oder Integration – durch Substitution – so die – sie – uns – Igel – und das ist nichts anderes als Kettensäge rückwärts – zählen – Herz – und – ich schreibe die Kettenregel mal etwas anders hin mit anderen – Buchstaben – als üblich – und zwar so – eine Funktion – groß F – einer Funktion klein U – von X – bis ?? die Kettenregel immer als klein F von klein G von X – aber ich hoffe das sie mir erfolgen können – wenn ich – statt klein F groß F schreibe und wenn ich statt GU schreibe – passiert da nichts Schlimmes – so um die Kettenregel sagt – die Ableitung von dem hier – ist – die – äußere Ableitung – der äußeren – außer Funktion ableiten an der alten Stelle G von X mal die innere Ableitung des ?? dir was mit dem Fehlerwachstum – zu tun sich die – Raten mit denen die Fehler von außen nach innen oder von innen nach außen wachsen – ?? dass ich die Raten – jemals mit Ableitung modifizieren – wenn ich das hinschreiben – steht hier vorne als erstes die Ableitung der Funktion groß F – die Ableitung der Funktion groß F bin ich sinnvollerweise – klein F – bis groß F seine Stammfunktion – zu klein F sein heißt das ja – Ableitung von groß F – ist klein F – habe ich jetzt mal klein F – um zu sagen das soll die Ableitung von groß F sein – an der alten Stelle von X – mal die Ableitung der inneren Funktion – Beistrich von X – bis dahin ist das die Kettenregel – des integrierten wieder beide Seiten – nicht das Tool von A bis B links und rechts integrieren – die – von – vorn links – mit – der EU geschrieben Uppsala die X natürlich warum sagt keiner was – die – X natürlich – TX – TX – ?? – das gibt also andere Seite integrieren A bis B das integral von F und von X mal – Beistrich von X – TX – Funktion – gleich der ist dann sind auch die Flächen darunter immer dieselben – ?? kann nichts schief gehen – nun kann ich wieder eines dieser beiden Integrale – total billig ausrechnen ✂ das integral links nämlich was gegen sie aus dem integral links raus – ist er – ganz dumm ab was hier steht ihr steht ja schon die Ableitung einer Funktion das heißt sichtlich die Stammfunktion geschenkt F von – U von X – in den Grenzen von A bis B wenn sie Probe rechnen – diesen Ausdruck je nach X ableiten – der toll das es genau was im integral steht genauso rechtlich oder der Stammfunktion ich nehme meine Stammfunktion leite – nach der Integrationsvariablen – ab und dann muss das dastehen was ich integrieren soll – genau das funktioniert hier – auf ganz banale Art – hier steht also – das ist die Funktion – groß F – an der Stelle – von B – ist jetzt sehr fix das B ein – Minus die Funktion groß F eine Stellung von – A für das X das A einsetzen – das kann ich aber anders schreiben – das kann ich auch schreiben als – F von – Namen ich das jetzt mal in das man ?? von U – in den Grenzen von A bis U von B – derselbe Ausdruck hier – nur mit vertauschten Rollen – das jetzt ausrechnen – F von U von B oben – minus F von groß F – von – U von A unten – dasselbe raus – ersetzen – Trick siebzehn ich kriege erst mal das er als Resultat – die Funktion groß F von der Funktion klein U – von X – an der Stelle B – minus eine Stelle aber – nur wenn sich das angucken stellte fest ?? das Kommando an das Schreiben die Funktion groß F – eine Stelle U von B – minus die Fusion groß F – an der Stellung von A – dasselbe Ergebnis – und das hier unten – eine Stammfunktion – groß F – zu einer Funktion klein F das hier unten ist lustigerweise im integral des integral – von F und – die – von U von A – bis U von B – dieses integral ?? unten lösen wollen suchen Sie sich eine Funktion – deren Ableitung – klein F ist – groß F deren Ableitung ist klein F – und setzen die Grenzen ein von A von B – Kosten paar Schritte mehr – aber da steht jetzt die Substitutionsregel – manchmal Fusion F integriere – von U von A bis U von B – kriegt dasselbe raus als wenn ich das hier rechne – meine Funktion von U – integrieren – mal O Strich von A bis B – das farbige so mein eins zusammen – das ist die Substitutionsregel – wenn ich Rechner – zu ?? Komma hierhin – den hier F von U von X Mark Beistrich – also was haben wir gelernt – A bis B F von – U von X – mal O Strich von X TX – ist gleich dem hier – von U bis – U von A – und B von U – den – das ist die Substitutionsregel – weiteren Substitution – geht ich habe – diese Funktion – U von X – als neue Variable – um – Di substituiert worden was in meiner alten Funktion steht – ist wird sich Integrationsvariable – geworden deshalb Substitutionsregel – oder Integration durch Substitution – ?? man darf nicht vergessen das die Grenzen dann anzupassen sind das integral läuft nicht mehr von A bis B – sondern von U von A bis U von B diese Funktion – werden weiterhin Werte von U von A bis U von B eingesetzt mich A bis B – und man darf nicht vergessen das man hier noch damit funktioniert in der Ableitung braucht – man – das hier ist so die Auffassung – der Mathematik – ingenieurmäßig – sieht das anders aus – ?? die – übermäßig – die Physiker sind auch wieder sehr locker wenn sowas kommt – dann – man guckt sich das an A bis B F von U von X – O Strich – ist ja eigentlich die Ruhe nach TX in dieser Schreibweise – einer Schreibweise – O Strich – die U nach TX – und dann ist man außerhalb der Mathematik sehr großzügigen Sachbruders Komma doch kürzen – und sofort am Ziel – das ist die – Auffassung – jenseits der Mathematik – in den in den Ingenieurwissenschaften – und in der Physik insbesondere – das man kürzen kann wenn sich eine Ableitung haben das sie kürzen können – aber – wenn sie das tun Vorsicht Vorsicht Vorsicht – ?? die Grenzen anpassen – können zwar Ableitung kürzen – das erlaubt die Mathematik anscheinend wie man hier sieht aber sie müssen vorsichtig sein ?? des Integralgerichten – andere Grenzen – läuft nicht mehr von A bis B sondern von U von A bis U von – U von A bis U von – Lorenz das in den meisten Veranstaltungen sind es dann einfach gekürzt wird wenn ich in Ableitung habe darf ich dieses Differenzial – gegen diese Männer kürzen auch wenn das streng genommen – nicht als – Bruch definiert ist und dass sie auch kein echtes Produktes was der hinten steht es verhält sich netterweise trotzdem – man die richtigen mathematischen Methoden hat kriegt man das sogar hin das es wirklich sowas ist aber das es – eher Raketentechnik – dass es Substitution – eine Funktion einer Funktion integrieren – die – partielle Integration – wendig an wenn ich hoffe das – in so ein Produkt – einer durch ableiten – ?? besser wird – die GEW zugehe Beistrich – wenn einer in einem Produkt durch ableiten besser wird ein Podium probiere ich die Produktregel besser werden heißt einfacher werden – ?? durch die Produktregel – und die Substitutionsregel – probiere ich wenn ich sowas habe eine Funktion an einer Funktion die Wurzel – aus dem Sinus – oder E hoch X Quadratsfunktion – einer Funktion dann probiere ich die – Substitution – und – die dritte und letzte der großen Regeln – ist Integration – durch Partialbruchzerlegung – gerade Linie – zur – das integral einer rationalen Funktion – will sagen ein Polynom – durch ein Polynom – wenn sie so ein integral haben – dann macht man einfach – Uppsala – macht man einfach – von der rationalen Funktion – eine Partialbruchzerlegung – will sagen erste Schritt ist sie führen die Polynomdivision – aus dem Krisen bei diesem ganzzahligen Anteil – Polynomdivision – oder Schnee Klammer zu Polynom – an das Polynom aus der Polynomdivision – John – Kloß – den Rest – durch das alte – Männerpolynom – hier – sieht das ja aus nach der Polynomdivision – dieses Polynom – getigert bin ich integrieren wenn hier stets Dreiecks hoch zweiundvierzig – wunderschön müssen sie wie sie davon – stampfen zum bilden hier das Polynom davon ist total billig zu integrieren – dann – und hier hinten Arbeits und – wirklich die Partialbruchzerlegung – an dieser Stelle allgemein gesanglich aber hier hinten kommt jetzt die Partialbruchzerlegung – am – ?? – Bruchzerlegung – dass sie sich die Polstellen – suchen – wo hat dieses Polynom Polstelle – dann kriegen sie sowas wie – einst durch – oder die einzige Konstante – eine Konstante durch Polstelle – flossen andere Konstante durch Polstelle – ins Quadrat und so weiter – sehr individuell geschrieben aber gewiss niemals ?? – Punkt das ist der Gedanke – wenn ich eine gebrochene nationale Fusion integrieren soll X hundert und drei durch die zur fünf plus sieben – jährig erstmalig Polynomdivision – aus – gibt ein Division Ergebnis – Plus ein Rest – jedes Polynom was da vorne steht das Divisionsergebnis – ist total billig zu integrieren – und den Rest durch den Nenner – von dem Partialbruchzerlegung – ich gucke mir nur das Boot stellt und endlich eben irgendeine mehr oder minder fürchterliche Summe an – ähm – an einen einfachen Rationalfunktion – mit irgendwelchen – Bohrstellen – und die Kammer wieder nach Schema F integrieren – jede für sich das Integration ?? verzaubert – was ich schon angedeutet hatte vorsichtig wenn sie über Polstelle integrieren das integral fliegt ihnen um die Ohren wenn sie von Polstelle haben die diese Fläche bestimmen wollen wird's unendlich groß und wenn sie – Sonne Polstelle haben – haben haben sie als Fläche unendlich – minus unendlich – was ziemlich unbestimmte Sache ist also bitte nicht über Polstelle integrieren – keine gute Idee – sollte man ?? checken das es Integration durch Zahnwurzel – eine spezielle Geschichte nur für rationale Funktion