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19C.1 Beispiele für beschränkte, monotone, konvergente Folgen


CC-BY-NC-SA 3.0

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ich – habe ein paar Folgen hin – und sie sagen ob diese Folgen beschränkt ?? monoton bestimmt divergent konvergent sind – ein paar Folgen – für – den Mann in Excel vor ich meine ähm ist – eins zwei – drei und so weiter bis ins unendliche – aber nicht das unendlich wirklich erreichen sondern beliebig groß werden – und – die Frage soll sein die folgende ich angebe sind die schrägen – streng – monoton – sind sie monoton – sind – sie – Konvergenz – wenn ja was ist der Grenzwertgrenzwert – haben und konvergent sein – oder sind sie – bestimmt die Berge – gehen sie nach plus unendlich oder minus – auf eindeutige Weise wachsen sie über alle Schranken – fallen sie Unterschrank – stimmte Divergenz – sagen Sie das mal folgende Folgen – die folgenden Quadrat also eins Kara zwei Quadrat drei Quadrat und so weiter – die Folge – ähm Quadrat – durch – Entquadrat – plus eins – Folge – zwei hoch in – ?? minus zwei Klammer zu ähm – dann die Folgen minus eins – hoch in – die Folge minus eins – durch – ähm – Drohungen und die Folge Sinus – von ähm Sinus im hohen Maße verstehen – wie üblich – und die Folgen Sinuskiki – drei Komma eins vier – mal ähm – von den Folgen wüsste ich gerne – ?? sind sie beschränkt ja oder nein sind sie monoton Jahren ein streng monoton konvergent – Grenzwerte zweifelsfrei – bestimmt divergent das überlegt sich mal was machen diese Folgen gemeint ist jeweils immer das hin schreibt Punkt – ich setze zahlt ein zwei drei und so weiter ein und gucken was passiert eins Komma zwei Quadrat drei hundert vier Quadrat White und so weiter eine Millionenstadt – hat eine fantastische Jans Quadrat – was wird passieren – wenn dieses in – sich ✂ unendlich verabschiedet – der erste entfaltet ?? an denen – man könnte jetzt anfangen eine Parabel zu malen ist es vielleicht gefährlich – sie können jetzt sagen Quadrat eines es groß X Quadrat gemahlen – eine Normalparabel – Beistrich den ich die ganze Normalparabel – ich will ja nur haben eins Quadrat zwei Quadrat drei Quadrat – eins Quadratmeter – zwei Quadrat einfach ?? ich will ja nur einzelne Punkte aus der Parabel haben mich interessiert nicht was zwischendurch interessiert – mich interessieren nur die ganzzahligen – Werte – insofern vorsichtig wenn sie jetzt ähnliche Funktionen ?? Platten – mich interessiert nicht der komplette Graph die komplette Kurve – eine Folge – im mathematischen – Sinne ist einfach nur eine Liste – in diesem Fall die Liste eins – vier – neun – ?? sechzehn und so weiter diese Liste interessiert mich und diese Liste kann ich eben elegant bildenden im Quadrat bilde mit eins zwei drei dann eingesetzt – und es war das nichts mit Funktion zu tun ist eine Liste an Zahlen – und sich diese Liste an Zahlen ansehen – schreibe ich das immer geschickt auf – man – sieht auf jeden Fall ist nicht beschränkt beschränkt heißt diese Liste an Zahlen bleibt – im Zaum – sie können eine reelle Zahl angeben die garantiert überlegt sie können eine kleine Zahl angeblicher – Grund unterliegt – das würde heißen beschränkt – ?? hier nicht dieses Ding wächst über alle Grenzen in Quadrat wird größer als – Zahl sind allerdings nicht kleiner – als ?? zum Beispiel nicht kleiner als minus zweiundvierzig – also es ist – nicht beschränkt – beschränkt – aber es ist beschränkt von unten – beschränkt wird heißen beschränkt von oben und von unten – von unten ist das beschränkt es wird nicht kleiner als minus zweiundvierzig – ?? ersichtlich kleiner als minus eine Million – beschränkt von unten – werden hier – monoton – ist es ist es sogar streng monoton streng monoton – zu kurz – ich schreibe mal streng monoton nach oben so streng monoton wachsen – wenn sie eins Quadrat zwei Quadrat drei Quadrat bilden offensichtlich kann das nur größer werden und dass man jetzt – großartig mathematische Theorien ersetzt – es ist – divergent es ist sogar bestimmt divergent bestimmt divergent – wachsend – bestimmt divergent nach unendlich bestimmt divergent heißt folgendes – divergent heißt das Gegenteil von konvergent konvergent heißt es gibt einen Grenzwert – eine Folge zieht sich mehr und mehr auf eine rituelle Zahl zusammen das heißt konvergent System ist nicht konvergent – nicht konvergent heißt Divergenz – konvergent und ergänzende Gegenteile voneinander nicht konvergent hast divergent – ist aber nicht nur einfach – Divergenz diese Folge – dies bestimmt divergent – Bindestrich dazwischen – bestimmt divergent – Punkt sie geht nämlich ins unendliche und kommt nie wieder – bestimmt divergent heißt eine Folge – nach plus unendlich – wenn sie – jede eine Zahl irgendwann überwunden hat sie geben vor Komma tausend – zehn okay diese Folge wird irgendwann ?? sie mir bitte irgendwann zahlt Haus überwunden haben Komma die wieder zurückgeben – ist die Zahl eine Million überwunden haben kommt nie wieder zurück – das ist die Idee hinter – bestimmt divergent – bestimmt divergent geht auch wenn die Folgen nicht monoton ist sie kann so laufen – dann ist sie nicht monoton – trotzdem – kann sie dann bestimmt divergent sein weil sie irgendwann jede Vielzahl überwindet – viel – technische – Namen dahinter so das ist der erste hier – der zweite – Packen Sie die Grenzwertsätze – anwenden bisschen um Form – hier steht im Endeffekt gefühlt sowas wie unendlich durch unendlich wenn ich entgegen unendlich gehen lasse steht ?? sowas gefühlt Jugendlichen – endlich was undefiniert ist Punkt – das kann sonst was werden – ich mache das definiert – dieses Ding hier kann ich schreiben durch kürzen als eins durch eins plus eins durch ein Quadrat – sie kürzen – mit en Quadrat – den Zähler durch ein Quadratzahl – macht eins den Nenner durch ein Quadratsteil – macht eins plus eins sich in Quadrat – das exakt umgeformt wenn sie ihr drei Einsätzen drei Quadrat durch drei Quadratfuß einzelne selber sind sie Rechen eins durch eins plus – eins durch neun – für jedes ähm komplette Wetter selber raus ich habe nur rechts – durch ein Quadrat geteilt Zähler und Nenner bringen Quadratmeter – gekürzt – jetzt kann ich aber ganz entsetzt anwenden – einst durch ein Quadrat geht gegen – null – NN gegen unendlich geht – eine – beschränkte Folge durch eine bestimmt divergent erfolgen das geht gegen null das heißt der ganze Nenner – geht gegen eins plus null – die Summe zweier Folgen – geht gegen den – die Summe der Grenzwerte der beiden folgen wenn die beiden Folgegrenzwerte – an das geht also gegen eins – das gesamte Ding – eins durch etwas was gegen eins geht – geht gegen ein Einzelbild gegen eins – das haben sie auch so gesehen wenn sie einfach tausend Einsätzen – tausend Quadrat ist eine Million durch eine Million Einzelding offensichtlich weder dicht an der eins – ist also Konvergenz – Zusammenleasingvertrages – einfach nur noch ist also Konvergenz – wenn sie konvergent es ist die automatisch beschränkt sie können nicht haben das eine Folge auf einen Grenzwert zuläuft – und unbeschränkt ist – auf einen Grenzwert zu laufen heißt sie muss irgendwann in einem Kasten liegen die Muster insgesamt in einem Kasten liegen wenn sie konvergent es ist automatisch beschränkt – wenn sie konvergent ist kann sie nicht Divergenz seines Gegenteile – diese hier ist netterweise monoton – internationale – Funktion denken X Quadrat durch – X Quadratfuß eins – an den sich erinnern ist irgendwie so – wachsen muss gegen die eins Staatsstreich – gegen die Asymptote eins auch wenn ich hier nur die ganzzahligen – Mixer habe – wird das – größer – immer nur größeres streng monoton – wachsen streng monoton steigend – der hier – keine verlässlichen ?? zu viel Kleinkram zwei hoch ähm – ist wie der hier – eine Folge die explodiert – ist nicht beschränkt wird größer als alles was man sich vorstellen kann aber es ist beschränkt von unten – Punkt es wäre – also dasselbe wiederum – ist beschränkt von und es wird nicht negativ – streng monoton wachsend zwei hoch drei es für zwei hoch zwei – zwei ?? vier ist höher als zwei ?? drei – und bestimmt divergent es geht nach unendlichem Kombi zurück – am – minus zwei Wochen haben sie durch Einsetzen gesehen – minus zweiundneunzig – minus zwei – minus zwei hoch zwei plus vier – minus zwei ?? drei ist minus acht – so sieht das aus – es geht nach unten ist geht nach oben abwechselnd – ganz fiese Geschichte – das ist definitiv – nicht beschränkt – ?? es ist nicht bei beschränkt von unten oder von oben wieder beliebig negativ – und beliebig – positiv ist es weder beschränkt von unten noch beschränkt von oben es ist nicht streng monoton – ?? mal ?? ?? monoton scheint ?? durch – nicht monoton – geschweige denn streng monoton – als ?? auf runter rauf runter geht – es nicht monoton – und es ist auch nicht bestimmt divergent ist es einfach nur dumm divergent – dieses Ding entscheidet sich einheitlich für plus oder minus unendlich – ist es sozusagen Beistrich einfach nur divergent – minus eins Woche ähm ist der übliche Trick in der Mathematik um die Vorzeichen – umzukehren – wenn sie eins ersetzen prinzipiell – das eins mit zwei Einsätzen seitens Quadrat ?? plus eins wenn sie drei Einsätzen minus also drei haben sie wieder minus eins – mit sieben Vieh einsetzen minus ein Sofia haben sie wieder plus eins – diese Folge ist also minus eins plus eins minus eins plus eins minus eins plus eins – abwechselnd minus eins plus eins – dies beschränkt er keine Frage – sie geht garantiert nicht über zwei ?? hinaus und sie geht natürlich unter zwoundvierzig minus wandelt sich in unter – dies beschränkt – sie ist nicht monoton weil sehr ständig hin und her springt – minus eins hoch – ähm durch Ändern haben sie diese hergenommen – und teilen durch ähm das heißt sie starten mit minus eins durch – eins – ?? wieder minus eins raus und es ging sie nicht plus einzelner plus eins durch zwei plus ein halb – minus ein drittel plus ein viertel minus ein fünftel – und das alles jetzt beweisen müssen dass sie ganz schwer konvergent aus – läuft auf die null – hinzu – kann es auch beweisen ?? steht beschränkte Folge durch eine bestimmt divergent Folge Grenzwertsatz – das Ding läuft auf die nur dazu das ist konvergent – schon das man so – gegen null – diese Folge konvertiert – und hat den Grenzwert null dieses geht in die Zahlen null – nun – damit ist es automatisch beschränkt Konvergenz – wird dazu das automatisch beschränkt ist es ist nicht monoton – und sie sind der Sprinter hin und her – nicht monoton – konvergent hatten wir weiß konvergent es ist es nicht divergent – der Sinus von ähm – sie nehmen sich aus der Sinusfunktion – einzelne Punkte heraus – ?? und Siemens Funktion – so aus der Sinus anzunehmen sich einzelne Punkte raus – Sinus von eins also irgendwas bei sechzig Grad – den Sinus von zwei – den Silos von drei ?? kurz vor die – den Sinus von drei den Sinus von vier den Sinus von fünf den Sinus von sechs – in Sinus von sieben diese Punkt indem sie sich aus nicht die gesamte Kurve diese Punkt in den sich raus und sehen das geht rauf und runter – das Ding – hat keine Chance – zu korrigieren aber es bleibt beschränkt – sich garantiert nicht größer als Weinviertel wird garantiert nicht kleiner als – minus zweiundvierzig – also – divergent – beschränkt – nach oben beschränkt und nach unten beschränkt heißt ?? einfach kurz ein Wort beschränkt – und das immer noch – nicht monoton – weiter hinunter Punkt – den letzten hatte ich noch gebracht – um ihn klarzumachen dass es keine gute Idee ist einfach nur die Funktionskurven – zu malen – darf kommt eben nicht an beiden – folgen – mich interessiert nicht diese Funktionskurve – Sinus Pi mal ein heißt sie nehmen den Sinus und auch in den ?? um den Faktor Pi – das heißt hier ist jetzt – hier ist jetzt die eins – beim normal Sinus ist hier die das Spiel hier ist die eins und hier ist die zwei Tiers die Dreitiers – die vier – bei Sinus Pi mal X – tauchen in Sinus um den Faktor Pi – wenn sich die Kurve angucken denken Sie nur das konvergent nie – es eingeschränkter weiß konvergent niemals rauf und runter geht aber – sittlicher Gang ich möchte ganze N Einsätzen – entlang eins Einsätzen macht nur in gleich zwei Einsätzen null – in gleich drei Einsätzen macht null Energieeinsätzen – machten es die ganze Zeit null – ihr kommt die ganze Zeit nur raus – eine Folge die ganze Zeit null ist – und eine Folge die ganze Zeit null es ist natürlich konvergent – trivialerweise – dieses Ding hat den Grenzwert null ?? sowieso die ganze Zeit nur Distanz auf den Grenzwert null – eins konvergent ist ist es beschränkt – ?? es ist – absurderweise monoton – wenn es weder Feld noch steigen Beistrich monoton aber nicht streng monoton – und es ist nicht divergent weiß konvergent ist es nicht divergent – sie es aber der ist beschränkt bei der Konvergenz – wenn sie eine konvergent Erfolge haben – eine konvergent Folge muss sicher irgendwann – in solche Kästen sozusagen unendlich nach rechts unendlich ausgedehnte Kästen reinzwängen – was sie mit jeder konvergent Folge machen können – dieser Teich ist auf jeden Fall beschränkt – weil sie dir den Kasten an der hat einen oberen Deckel und einen unteren Deckeldamms – dieser Teil auf jeden Fall beschränkt – hier vorne haben sie nicht endliche Anzahl an reellen Zahlen – tausend oder drei Millionen hundert zehn fand das Millionen an endlichen Zahlen ist die Folge rein wird in den Kasten – liefern eine endliche Anzahl an reellen Zahlen auch das muss beschränkt sein – wenn sie des Millionen endlichen Zahlen haben gibt es eine größte von dem ?? und es gibt eine kleinste von dem – beschränkt also eine konvergent Erfolges in jedem Fall beschränkt – ein hundert und sein – Kabinett ist natürlich beschränkt Weise konvergent ist und sie sehen direkt ✂ ist ganze Zeit null – das heißt – sie ist garantiert – unter zweiundvierzig – und über minus zweiundvierzig wird sie von ganz kleinen Oberschein und eine untere Schranke – und – sichert damit das auch noch mal diese Folge ist monoton – sie bleibt immer ✂ auf derselben Höhe – ist sie monoton – dies aber nicht streng monoton – streng monoton würde erfordern – dass sie wirklich beschissen und gewachsen ist es wirklich größer wird das wird sie nicht – sie wieder nicht wirklich kleiner ist eine streng monoton fallend – Punkt das haben wir nicht – sie bleibt auf dem gleichen Niveau das es bei Monotonie erlaubt monoton heißt es darf auch dasselbe Niveau bleiben – also wenn sie wollten sie sagen die Folge ist monoton fallend und monoton steigend monoton wachsen – gleichzeitig – Funktion – den Fall ganz geben monoton wachsende monoton Falkenwald – im ?? auf dem selben Niveau bleibt nicht die ganze Zeit auf dem selben Niveau bleibe – die das monoton durch – dann sowohl monoton wachsen sie auch monoton fallend – bisschen an den Haaren herbeigezogen – aber in der Mathematik – sieht man solche Geschichten im streng durch – diese Definition