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02A.4 Abstand Ebene vom Ursprung, Normalform, Normalenvektor


CC-BY-NC-SA 3.0

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letztes – Mal gab's diese Ebene – im R drei Z ist gleich – minus drei X – plus vier Y – plus zwei – meine Frage war – was der Abstand dieser Ebene vom Ursprung ist – der Gedanke – irgendwo liegt diese Ebene im Raum – so in alle Richtungen in sich ausgedehnt – ?? – irgendwo liegt der Ursprung – sowie das sie gemalt habe – ?? hoffentlich – erkennbar nicht die ursprüngliche jetzt vor der Ebene – gesucht ist der – Abstand – vom Ursprung zur Ebene – letztes Mal – kommt das so gemacht das für den Abstand zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene ausgerechnet haben und das minimiert haben mithilfe zweier Ableitungen – das ist die umständliche Variante – die kürzere Variante sich zu überlegen – dass diese direkte Verbindung senkrecht auf der Ebene stehen muss – und damit dem Skalarprodukt zu arbeiten da möchte ich jetzt mal in das wäre der offizielle Weg – man hätte auch was über – Ebenen – beim Beginn mal so vor – erstens – mein Sternchen diese Gleichung – schreiben Sie die gleichen Sternchen – mithilfe – des Skalarprodukt – des – ?? – schreiben – sie das haben – finden Sie mal einen Vektor senkrecht – zur Ebene – ?? – dann können Sie eine Ursprungsgerade – senkrecht zur Ebene finden – insoweit – sind – dann können Sie die Schnittmenge – zwischen dieser Ursprungsgrade – und der Ebene bestimmen – Stellen der Ursprung – die Ebene – gerade – senkrecht zur Ebene wieder so durch Dickson – den Schnittpunkt bestimme – bin ich schon – bei dem dichtesten Punkt ?? Punkt auf der Ebene der am dichtesten am Ursprung nicht – sprechenden Schnitt Punkt – wenn den Schnittpunkt haben können den Abstand des Schnittpunkt zum Ursprung berechnen – das schlicht und ergreifend auch der Abstand der Ebene vom – Ursprung der Lieder Punkt ist der Punkt auf der Ebene der nächsten – ?? Punkt nicht – jedes Mal in dieser – Form vor Punkt – das wäre der offizielle Weg – über den offiziellen Weg gegangen sind immer fest – es gibt sogar noch einen viel kürzeren – halb inoffiziellen Weg man direkt aus dieser Gleichung hier – den Abstandebene vom Ursprung ablesen kann – ?? muss ich noch bisschen nachlegen – ?? ich möchte gerne sowas das da steht soundso viel Skalarprodukt – X Y Z ist gleich soundsoviel – als man in die Form um – einen Vektor – mal X Y Z ist gleich soundsoviel – kriegen sie aus dieser Gleichung – nehmen – diese Gleichung – ist jetzt rein – vom Malerkram – X Y bring ich auf die andere Seite dann steht da – dreimal – X minus vier mal Y – plus Z ist gleich zwei – das hier – schreit schon – deutlich – Skalarprodukt – schreibt noch deutlicher Skalarprodukt ?? schreiben plus einmal Z – Artikel zum überbringen – und sind was hier auf der linken Seite steht ist eigentlich der Vektor drei minus vier eins mal Skalarprodukt – den Vektor X Y Z – plötzliches aus dieser Gleichung – dieser harmlosen Gleichung hiermit X Y Z was mit Vektoren geworden – Beistrich kann die Gleichung für die eben auch schreiben – dieser Konstante Vektor mal der Ortsvektor eines beliebigen Punkt auf der Ebene ist gleich zwei – genau die X Y Z liegen auf der Ebene die das erfüllen dass diese Skalarprodukt – gleich zwei – das ist eine andere Art Ebenengleichungen – zu schreiben dass hierbei auch sowieso schon eine andere Art Ebene Gleichungen zu schreiben – eben gerade im – Seminar hatten wir diese Art Ebenengleichungen – zu schreiben X Y Z ist gleich – Komma drei vier fünf dort mit perfekt weiß Punkt auf der Ebene plus Lamm da mal – eine Richtung Vektor von mir aus ein zwei drei – dieser Ebene plus Mühe mal einen anderen Wegvektor – zwei eins eins oder sowas – dass es noch ?? Art Ebenen hinzuschreiben – ?? – Ortsvektor eins Punkt zwei Richtungsvektoren – die nicht parallel sind – wir sehen Sie auf dieser Seite – drei – Arten – versammelt wie man Ebenen schreiben kann so – so und so – weit diese Art Ebenen zu schreiben – nicht allgemein ist – wenn Sinne Ebene haben – die – ähm – äh – die parallel zur Zeitachse ist entsinne Ebene haben dies so läuft parallel zur Zeitachse – das meine Zeitachse – auf die Ebene durch – innerlichen Problem in dieser Schreibweise manch alle X und Y vorkommen – dass es wieder analog – zu dem was wir für Graden hatten so Simpson gleich immer X plus B das fusionierte auch nicht mit allen geraden – dass sie funktioniert mit allen Ebenen – diese Schreibweise hier netterweise – kriegen sie hin mit allen Ebenen – mit dem Skalarprodukt – sind doch keine Sonderrolle mehr von dem Z – Diamant dieselbe Rolle die Koordinaten – diese Schreibweise klingt auch für alle Ebenen ?? – nicht irritieren lassen es gibt diverse Arten die man Ebenen – schreiben kann – diese nennt sich Normalform – normalen Form – jetzt können wir – eine normale – einen Vektor senkrecht zur Ebene ablesen wenn sie das hier sehen Beistrich dass ?? müssen glorifiziert hinschreiben – wenn sie das hier sind drei minus vier eins mal – X Y Z – ist gleich zwei – ein Vektor senkrecht zur Ebene – wie kriege ich einen Vektor senkrecht zur Ebene – Lustigerweise – kann ich direkt den Weg der da vorne neben der ✂ heißt dann auch normalen Vektor – dieser Form – als auch im normalen Vektor zu Ebene – eben ein Vektor senkrecht zur Ebene – dann – zu – wenn ich – ein Punkt auf der Ebene H X Y Z – und irgendwo – habe ich jetzt den drei minus – vier – eins – drei nach rechts – hier nach vorne eins nach oben sieht fürchterlich aus also – irgendwo steht dieser Vektor – Beistrich etwas anders das ganze hässlich wird gleich – irgendwo – zeigt dieser Vektor in die Gegend – nun überlege ich mir folgendes wenn ich von dem Punkt den X Y Z hier – senkrecht – zu den weitergehen – senkrecht zudem – ändert sich dieses Produkt – wenn das Produkt X Y Z gleich zwei ist und hier nämlich noch ein Vektor senkrecht dazu schreiben hier X Y Z plus – ein Vektor senkrecht zudem – oder modifizieren sie aus kriegen sie dieser Vektor mal den S zwei sogar zwei sein plus – dieser Vektor – ?? einen Vektor senkrecht zu dem was gibt das – du mal ein Vektor senkrecht zu sich ergibt null das Licht raus und das Ergebnis bleibt zwei ✂ das ist der Trick – wenn sie aus X Y Z einem erlaubt Punkt auf der Ebene – senkrecht – zu drei minus vier eins zur Seite gehen – bleibt das Ergebnis gleich zwei – das geht in alle Richtungen senkrecht zu diesem drei minus vier eins – also läuft meine Ebene – senkrecht – zu diesem Vektor dieser Vektor hier wird senkrecht auf meiner Ebene stehen bereits auf sie kriegen in dieser Form direkt an normalen Vektorgeschenk – im Fall drei ?? des Vereins – so – kam ein Vektor senkrecht zur Ebene – nächster Schritt – bestimmen Sie eine – Ursprungsgerade – die durch die Ebene senkrecht durch die Axt im Haus meiner Ebene – Ursprung und jetzt hätte ich gerne eine Gerade durch den Ursprung die – senkrecht durch die Ebene durch Dienst – bestimme ich da den Schnittpunkt – und bestimme den Abstand dass wir die nächsten Schritte machen – Ursprungsgrade – senkrecht durch die Ebene durch – bestimmen – Abstand bestimmen – zumindest – das mit der Ursprungsgrade – ist jetzt geschenkt – eine Ursprungsgerade ✂ senkrecht zur Ebene – schenke ich kenne nämlich ein Vektor senkrecht zur Ebene ?? ich nehme diesen Vektor – als Richtung vektorweisen – Ursprungsgrade – sein soll – muss sie durch den Ursprung gehen lustig – die ganz ausführlich schreiben wollen Schreibens okay auf Punkt nehme den Ursprung plus – ein Vielfaches von dem Vektor senkrecht im normalen Vektor den Vektor senkrecht zur Ebene – das wäre die besagte gerade – hier den Ursprung – der Nullvektor – genauer gesagt sind der zu schreiben beendet es nicht langsam mal drei minus vier eins – ist die Geradengleichung – und jetzt suche ich den Schnitt Punkt ich hab die gerade durch den Ursprung senkrecht zur Ebene – und suche den Schnittpunkt – zwischen – der Ebene und der geraden – sind einige Leute versucht da was gleichzusetzen – Lamm da mal drei minus vier eins ist gleich – das haut es aber nicht hin ich hab die Ebenengleichung – kann ich in der Form X Y Z gleich – die Ebene Gleichung in dieser – komischen Form der steht – die Ebene enthält alle Punkte deren Ortsvektoren – bei diesem Skalarprodukt – in der zwei ergeben – hier steht nicht X Y Z gleich irgendwas dann könnte ich hier gleichsetzen mit dem Trendsetter unten – die steht – wenn ich folgendes auf X Y Z anwenden im Skalarprodukt bilden – dann kriege ich zwei raus – wie kriege ich jetzt diese – diese Ursprungsgrade – und diese Ebene – miteinander verheiratet – schreiben – alle Punkte auf der geraden – lassen sich in dieser Form schreiben X Y Z ist gleich Lander mal drei minus vier eins – sind sie jetzt eine Chance diese beiden Gleichungen – zusammen zu bringen – genauso ich muss überprüfen – ob dieser Ortsvektor – der da raus kommt aus der geraden Gleichung – auf dieser Ortsvektor – diese Ebenengleichung – erfüllen kann ich kann da nichts gleichsetzen – sondern ich musste in der oben – einsetzen – dürfen sind es in diesem Fall – den hier – einsetzen – gleichsetzen – ?? ich suche nach einem Lander spitzfindig – ist die Suche nach einem Lander – das so ist das der Wechsel der hier unten rauskommt – auf der Ebene liegt – diese Ebene Gleichung erfüllt – nicht gleich irgendwas ist ?? die Ebenengleichung erfüllt – es die ganze komischen Art Ebenen zu schreiben dass man jetzt – an das Andenken – setzen Sie unten – oder oben ein und das macht dann – bestimme es also die – Schnittpunkte – in dem ich – mir angucke es muss sein drei minus vier eins – Mallander – mal drei minus vier eins – zwei – das müssen die – Schnittpunkte erfüllen – wenn ich hier für X Y Z – den allgemeinen – Punkt auf der allgemeinen Ortsvektor des Punkt auf der geraden einsetze – muss zwei rauskommen – dann habe ich ein Punkt der auf der geraden ist Punkt auf der Ebenen ist also – ein Schnittpunkt ist Teil der Schnittmenge – bestimmen Sie Mallander – und bestimmen Sie dann den Schnittpunkt Lamm da ist ja noch nicht erstickt Punkt bestimmen Sie dabei den Schnittpunkt und den Abstand der Schnittpunkt zum Ursprung – vorsichtig steht Vektor – Skalarprodukt – Vektor – auf der linken Seite muss die rechts eine einzige ✂ Zahl kommen – dreimal – drei Lambda – plus – minus vier mal andermal minus vier plus einmal Lander mal eins das wird soundsoviel Mallander – dann können Sie ganz billig auflösen – dass sie nicht drei Gleichungen – oder so in der Skalarprodukt – die geringste Zahl – ein einzelgleichen – wird das werden – was steht hier – dreimal – drei Lambda – sind ✂ neun Lander – minus vier mal minus vier ?? sind sechzehn – Lamm da – und – einmal einen sind einander – das steht auf der linken Seite – sehen sechsten zwanzig Lander – man es gleich ein dreizehntes – das ist jetzt alles was vielen Kilometer Wert – ein dreizehnte Meile von Bielefeld aus aber in welche Richtung das ?? noch kein ?? Punkt – ich suche – den Ortsvektor eines Punkt – Lander bezieht sich auf die gerade hier die Ursprungsgrade senkrecht zu unserer Ebene – da sind sich das Land herein und Kriege ein Punkt raus – also ist der Schnittpunkt – gibt anscheinend nur ein – Lander gleich ein dreizehnte Satz keinen anderen – scheint es gibt nur den einen – der Schnittpunkt wird also sein – ein dreizehnte – mal drei minus vier eins – eins – einfach auf der geraden nachgeguckt – und damit kann ich den Abstand bestimmen – das ist der Abstand – dieses – Punktes – ?? des Punkt mit diesem Ortsvektor zum Ursprung und gleichzeitig – der Abstand der Ebene vom Ursprung – also schlicht und ergreifend – die Länge dieses Rektors – können Sie die elegant ausrechnen wie Mitte ein dreizehnte der vorne – noch die Länge von drei Zehntel eines Vektor ist ja ein dreizehnte – ?? der Länge vom Vektor – Faktor da kann ich rausholen – de facto ein dreizehnte Lauf der Dinge – und das ?? war gerade eben schon mal gucken neun sechzehn eins – neun sechzehn eins und die Wurzel aus – ist also ein dreizehnte – von – Wurzel neun plus sechzehn plus eins – ähm – besteht also Wurzel sechsten zwanzig – ist gleich Wurzel sechsundzwanzig – dreizehnte – sechsundzwanzig – ist aber – zweimal dreizehn – kann ich diesen Ausdruck jetzt noch vereinfachen – zweimal dreizehn Wurzel durch dreizehn – guter Gedanke und die dreizehn können Sie ja schreiben als Wurzel aus dreizehn – mal dreizehn – Wurzel dreizehn Quadrat – das die dreizehnter und jetzt können Sie kürzen – des Blattwurzel – zwei dreizehntel – übrig – das wäre der – Abstand – ohne – dass man irgendwas minimiert hat einfach nur mit dem Gedanken dass die kürzeste Verbindung senkrecht auf der Ebene stehen muss – und das dann mit – Skalarprodukt – zusammengebastelt – man – das hier – kriegt man alles noch in bisschen hübscher hin für deine schöne Tiefe gehen wenn sie diese – Ebene Gleichung so hinschreiben – dass hier ein Vektor mit der Länge eins steht – was erwarten Sie dann auf der rechten Seite dieser Ebenengleichung – für ?? Zahl anschaulich – ob ich das doch ✂ noch mal mit zum Beispiel wird es dann – ganz raffiniert geht denjenigen Komma noch bisschen weiter umformen – wenn ich die Länge dieses Vektor sie wieder einbauen – will wenn ich etwa die sechsten zwanzig noch Herr kriegen will vier durch sechsundzwanzig – ?? zwei durch dreizehn unter der Wurzel vierte sechsten zwanzig – wie können Sie das schreiben viele sechsten zwanzig daraus die Wurzel belästigt das vereinfachen – oben können Sie die Wurzel jetzt erzielen zwei – das weit unten die Wurzel sechsten zwanzig – Wurzel sechsten zwanzig ist aber nichts anderes als – Wasser im Jahr hatten – neun plus – sechzehn plus eins – Wurzel draus – nur sechs zwanzig ist die Menge von diesen Vektor drei minus vier eins – so – das natürlich jetzt nur für diesen Spezialfall – tragen sie Abi CD ein rechtes allgemein durch dann sind es allgemein gilt der Abstand ist das – was auf der rechten Seite steht die zwei – hundert die – die zwei – ?? Abstand ist die zwei auf der rechten Seite – durch die Länge des Rektors auf der linken Seite – das ist die Bedeutung – der zwei also hier haben Sie ein Vektor senkrecht zur Ebene – und auf der rechten Seite steht eigentlich nur der Abstand – nicht ganz der Abstand ist diese Zahl hier durch die Länge – von dem – normalen Vektor der hier steht – und da man das in bisschen weiter verfeinert sorgt man dafür dass dieser Weg durch die Länge eins hat – der steht jetzt auf der rechten Seite schlicht und ergreifend der Abstand – wurde dieser ?? plus oder minus der Abstand ist jetzt drauf eingehen – an – Hessesche normalen Form – als jemals gehört haben zwar nicht so wichtig im – normalen Leben – das ?? Skalarprodukt ist der richtige wieder Skalarprodukt funktioniert – der Weg durch ?? vorne steht senkrecht auf der Ebene – und was sie als Zahl rauskommt auf der anderen Seite hat was mit dem Abstand – vom Ursprung zu tun – auf diesem Wege