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Ableitungen von Tensoren, metrischer Tensor


CC-BY-NC-SA 3.0

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nun geht's um ein paar mehr oder minder komplizierte – Standardsensoren – der billigste von allen ist der Nulltensor – schreibe mal ohne – den gibt's mit beliebig vielen Indices oben und unten – zum Beispiel sowas hier Alpha Beta kontravariant – Komma – kovariant – delta kontravariant – diese Komponenten vom Nulltensor sind einfach schlicht und ergreifend immer Tool überraschend – und wenn es in einer Basis der Fall ist es klar in jeder anderen Basis müssen die Komponenten auch null sein – O Strich Alpha Beta Gamma Delta – gleich Null – die transformierten – Komponenten kriege ich ja in dem ich die Originalkomponenten – mit irgendwas von wegen Ehestrich bla von EE oder äh von ?? Beistrich und so weiter multipliziere – null mal irgendwas – bleibt null – gemäß komplizierter denn so wird der Einheitstensor – das ist das Analoge und zur Einheitsmatrix – der üblichen Vektor Matrizenrechnung – schreibe mein I für den Einheitstensor – der dein kontravariant – Index und ein grober Varianten Index – und dessen Komponenten sind in allen Basen gleich dem Neckardelta – ganz billig – will sagen wenn die beiden Indices gleich sind ist die Komponente eins sind die beiden Indices verschieden sind ist die Komponente null sich als ?? überlegen muss dass das wirklich ein Tensor ist – ich guck einfach mal wie die Komponenten transformieren – in einer anderen Basis kriege ich ihn Beistrich – sagen wir Mühe oben – unten – und wenn dieses Ding korrekt transformiert – ist das – das was wir vorher hatten in dem ursprünglichen System – und jetziger Information für den kontravariant – Index E Strichmühl – von EE – Alpha – ich hab schon gar nicht mehr die Summe überall Verein – versteht sich inzwischen von Selbstsummationskonvention – mal was ich brauche Klammer zu und von diesem Covariantenindex – E better – von EE strich – Menü – auch für die Summe über Wetter nicht reingeschrieben – versteht sich von selbst – in der Originalbasis – kenne ich die Komponenten aber – dass das Konica Delta – das heißt bei diesen Summen über Alpha und über Beta – gibt's nur da ein Beitrag wo all Vergleich bitter ist und da ist diese Komponente gleich eins – im Endeffekt zu mir ich also nur noch zum Beispiel über Alpha – habe dann die Strichmühle – von Alpha – mal die – Wetter gleich Alpha ist nun erzwungen – Alpha – von EE Strich null – und nur die Summe über Alpha – Gesäß – mit Index oben – ?? Berlin Jahr Formen seien – eine Basis für den dualen Vektorraum – sind genial in diesem Argument – aus der drin steht – das heißt ich kann dies hier mitsamt der Summe die gar nicht hingeschrieben es über Alpha – hier reinziehen – in das Argument – und kriege – das ist die – Strich – oben müde – von – alters jetzt zusammengenommen – die oben Alpha von E Beistrich – unten müde – mal hier unten Alpha – eine Zahl – im Jahr Form angewendet gibt eine reelle Zahl mal ein Vektor – basiert in der Klammer steht – ist aber schlicht und ergreifend die Strich unten – ich nehme den Vektor ?? Beistrich unten Höhen – und schreibe ihn – mit der alten Basis – die EU mal vergeben mir die Koeffizienten – DE und EN Alpha sind die Basisvektoren – dazu – wirklich einfach den Weg Beistrich nie wieder – steht also zusammen Beistrich oben – von ?? Beistrich unten ?? und nach Definition – der dualen Basis ist das hier Delta Menü – in der Tat findig als auch in der anderen Basis – jeder anderen Basis dass die Komponenten – von diesem Ding – dem Einheitstensor – gleich dem Konica Delta sind – der Nulltensor in allen Varianten sonstige Stufe kontravariant – und solide Stufe kovariant – hatte überall in allen Basen die Komponenten null – Einheitstensor – gibt's dann eben nur erste Stufe kontravariant erste Stufe – kovariant – der hat in allen Phasen – das Konica Delta was Komponenten – das ?? summiert sich also nichts im Endeffekt – warum ist dieser Einheitstensor – im Endeffekt die Einheitsmatrix – wenn ich mir den Nehmekomponenten – auf von – oben Alpha und Beta – und ich multipliziere nur mit irgend einem anderen Tensor sagen wir unten Komma – ihr nehme ich zum kontrahieren das Beta noch mal – die Summe über dieses Wetter versteht sich ja von selbst und um noch mal an – wenn ich sowas hin schreibe – krieg ich ja automatisch – der Summe über Beta – alle von diesen Komponenten – bei den better gleich Alpha ist und sonst nicht – dass wir im Endeffekt werden Tee – und ?? Klammer auf – Alpha – oben will – diese Operation – mit dem Anreiz denn so macht im Endeffekt nichts – das geht natürlich nur mit einem Index oben das geht auch im Index unten wenn ich sowas habe ?? irgend ein Tensor – sagen wir – Alpha – ?? Komma unten und oben – Multiplizieren – mit dem Einheitstensor – und kontrahieren über diesen Index hier oben das Alpha und das Alpha – später das ich unten frei – ?? bitte hier das Konica Delta – alle allenfalls raus – bei den Alpha gleich bitter ist und die Summe die hier nicht mehr steht Summationskonvention – sorgte für das er zum Schluss nur noch es – Wetter – Komma müder steht – der nur Tensor macht bei der Addition nichts und der Einheitstensor – macht bei diesen Operationen – nichts – normalerweise – haben wir keine Größen dieser einzelnen Raum umhängen – sondern – Felder – an jedem – Punkt im Raum – oder zumindest einer bestimmten Menge von Punkten im Raum – klebt so eine Größe dran diese Größe hängt vom Ort ab – das ist dann ein Feld – einfachster Fall – ein Scanares fällt – das heißt gerne groß Fi – ich hatte mal ausdrücklich von X – X soll die Viererkoordinate – sein an der wir das Feld betrachten – also wenn man für CT und Ortsvektor X – oder ein Vektorfeld – also ein Vektor zum wir kontravariant – der Vektor unabhängig – von Ort und Zeit – und im allgemeinen Fall ein Tensorfeld – zum Beispiel hier – zweiter Stufe kontravariant – abhängig – von Ort und Zeit – ein Vektorfeld und als klares stellt ?? durch Spezialfälle – von Tensorfeldern – in dem Sinne dass Vektoren Skalar auch Sensoren sind – Komma – gucken wie sich diese Felder verändern – man von einem Punkt in der Raumzeit zum anderen geht – insbesondere wenn man Ableitungen bildet – Lustigerweise – entstehen dabei neue Zensoren – Svenska Larsfeld – was von Zeit und Ort abhängt jetzt eindimensional – im Ort kann Schönlinien einzeichnen – als es entlang dieser Linie gleich vier – und entlang dieser Linie gleich drei ?? und entlang dieser Linie – gleich zwei und entlang dieser Linie – gleich – eins – und so weiter – das wären die Werte – vom Feld wie von X – und wenn ich mit zum Beispiel angucke ?? sich das Feld verändert wenn ich hier sitze – und in Richtung positiver – X eins Werte weitergehen – stelle ich fest dass das Feld – ab Feld – von drei – irgendwann runter auf zwei – das wäre dann die partielle Ableitung – ich leite das Feld partiell ab – nach X eins – und stelle fest der Wert sinkt diese partielle Ableitung – ist kleiner als null – natürlich kann ich an jedem Punkt – Ableitungen – nach X null sechs eins sechs zwei X drei betrachten – und gucken was da passiert – in welche Richtung – das fällt wie stark abfällt – genauso für Tensorkomponenten – wenig Vieh steht sondern Komponente eines Sensors – geht das endlich genauso durch – das überraschende ist wenn ich mir irgend so ein Tensor nehme ich sage mal es unten Alpha Beta oben Komma – abhängig von X als ein Tensorfeld – zweite Stufe kovariant – erste Stufe kontravariant – so ein Tensorfeld nehmen egal welche Stufe kovariant welche Stufe kontravariant – und leite das ab – nach der Koordinate – X Mühlen – kriege ich lustigerweise – wieder einen Tensor – jetzt mit einer weiteren Covariantenkoordinate – wichtige Fußnote – in der allgemeinen Relativitätstheorie – mit krummen Linien Koordinatensystem – wird nicht mehr so einfach sein – da klappt das nur mit Skalar nicht mehr mit beliebigen Sensoren wenn ich dein Skalar – pleite habe ich wieder – ein Tensor also ein Vektor in dem Fall – aber es wird nicht mit allgemeinen – Sensoren klappen – in der Fußnote – bei uns hier wird es jedoch – immer noch klappen – Punkt es ?? Summationsverhalten – an in einer anderen Basis habe ich andere Komponenten – nennen wir sie es Strich – unten Alphawetter oben Komma – abgeleitet – nach – anderen Koordinaten – X Strich – oben mühen – die Ableitung nach X Strich kann ich aber anders schreiben – das ist der Gedanke hinter dem totalen Differenzial – ich leite nach X ab und multipliziere – mit den Ableitungen von X – nach X strich – und hier ist wieder eine Summe über genügend dazu gedacht – das ist das totale Differenzial – in Aktion – das sieht ja so aus – das totale Differenzial einer Funktion ist – ich leite die Funktion partiell nach X ab Komma die X groß ich leite die Funktion partiell nach Y ab Mai der Y – plus je nach dem wie viel Koordinaten ich habe – die Ableitung nach X Strich wird also sein – das bleibt das Differenzial – wird partiell X Schrägstrich abgeleitet – und so weiter und so weiter ich kriege diesen Ausdruck – mit der Summe über alle X Komponenten – dazwischen – der vordere Teil hier ist – zumindest der Speziellen Relativitätstheorie – kann Drama – der transformiert üblich – die es Strich Alpha Beta Gamma kann ich mit NS Komponenten ausdrücken – und irgendwelchen ?? Beistrich von I und E von ?? Beistrich – die Ableitung macht an diesen ?? Beistrich von E und E von Beistrich nichts kaputt war die Konstanz sind – das wird sich in der allgemeinen Relativitätstheorie – ändern – welche hinten ist der Spannende – ich gucke mir an wie ich meinen Vektor X ein Vierervektor – X auf zwei Arten schreiben kann – ?? einmal in der alten Basis sein BX Menü – Menü – mit Summationskonvention – und einmal in der neuen Basis sagen wir X strich – Lander – die Strichlander – das heißt – ich kriege das X – Menü – in dem ich das die oben Mühe auf diesen Ausdruck loslasse – als auf diesen Ausdruck loslasse die Obenhöhe von – X Strich – oben Lander Beistrich unten Lander – dieser duale Basisvektor – ist der gerade dadurch definiert – dass er diese Komponente – X Menü raus blickt aus dem Vektor X – EO benötigt ein Korrektor ist eine Linearform – kann ich dieses Schrägstrich Landrates ist eine Zahl ausziehen – und die Summe ihr verstecktes Land erhoben lange unten kann ich auch ausziehen – und kriege das ist X Strich – oben lang da die oben – von – Ehe Beistrich unten Lander – und jetzt komme die Ableitung ausrechnen ich möchte wissen was ist die partielle Ableitung – von X oben Ü nach X strich – Hu Mühl – das fusioniert jetzt also – groß Menü ableiten – nach X Strich – oben – wird werden – das muss ich jetzt ableiten – EU Menü von ?? Beistrich und Lander ist eine Konstante – noch – sind nicht per Grundlinienkoordinatensystem – das heißt die Ableitung wirkt auf den ersten Faktor – und ich kriege das ist die partielle Ableitung – von X Strich Obenlander – nach – wir hatten X Strich oben Mühl mal – diese Konstante – die oben – von Ehestrich – Untenlander – partielle Ableitung – sind aber so gebaut – dass wenn ich die Sauce für die Koordinate – nach der sonstigen Koordinate ableite – das hier wieder Konica Delta kommt – wenn ich eine Koordinate nach sich selbst ableite – das eins wenn ich eine Koordinate nach der anderen ableite wird das null – ?? ich also wieder alle bei dem gleich lang ?? ist – und es bleibt – eh oben Menü von ?? Beistrich – und Müll – dieser Faktor hier hinten ist also dieses hier eh oben ?? von ?? Beistrich und Müll und dass es genaues verbrauchen für kovariant – in diesem Index Mühe mit der Ableitung – kovariant sein ich habe also ein – Tensor – dritter Stufe genommen und einen Tensor – gebaut der eine Stufe mehr kovariant ist in dem ich abgeleitet habe – wieder eine Fußnote – im Vorgriff auf die allgemeine Relativitätstheorie – die Ableitung – nach der Mythenkoordinatenfunktion – die scheint in gewisser Weise dasselbe zu sein – wie der mythische Basisvektor – und die Nötekoordinatenfunktion – mixen über diese Funktion für sich – scheint in gewisser Weise dasselbe zu sein – wie das nötige Element – der dualen Basis – der kriegt man schon mal eine Idee was denn diese Vektoren und Korrekturen – in der allgemeinen Relativitätstheorie – sein werden in kombinierten Koordinatensystem – war die Ableitung so häufig vorkommen – eine Kurzschreibweise – irgend ein Tensor ich schreib jetzt Alphabete unten Komma oben egal – irgend ein Tensor partiell abgeleitet nach der Mythenkoordinate – ist in kurz Schreibweise einfach nur die unten Mühe – es Alpha Beta Gamma – steht das Müll auch an der richtigen Stelle netterweise – das müsste ein kovariant der Index – und es geht noch kürzer – und schreibt es Alpha Beta oben Gamma – Komma – Müll – um zu sagen diese Komponenten bitte nach der müden Koordinate ableiten – die drei alten Bekannten aus der Vektoranalysis – der Gradient die Divergenz – die Rotation – die kann man jetzt viel hübscher schreiben – der Gradient eines Kanarenfeldes – wittern einfach die Mühe Vieh oder ganz kurz geschrieben – Vieh Komma – Müll – ein kovariant der Rektor – der und sagt in welcher Richtung dieses Feld am schnellsten wächst und wie steil es wächst – die Divergenz – eines Vektorfeldes – immer ein kontravariant – ist Einfachheit halber – kriege ich nun so ich bitte die Ableitungen – und contra ihre – oder kurz geschrieben – aber oben müde Komma unten – ist ja die Summe eingebaut – Summationskonvention – das gibt ein Skalar – ich habe kein Index mehr über ein Skalar dem er sagt – was die Quellendichte – von meinem Feld ist – und die Rotation – wird sowas werden wie die Untenmühlar – oben müde und nun minus – mit vertauschten Rollen die unten – A oben Mühl – ein antisymmetrischer – Tensor – kurz geschrieben – wäre dann – haben Mühe Komma – minus – haben will Komma – das sagt mir was über die – Wirbeldichte – meines Vektorfels – normalerweise hatte man ja sowas wie die Ableitung der Z Komponente – nach Y minus – die Ableitung der Y Komponente – nach Z und so weiter – so geht's nun in Vierervektoren – oder sogar allgemein – in fünf Dimensionen zwanzig Dimensionen – später eine alternative Möglichkeit das zu schreiben mit dem Y Symbolnummer – zu trickreich um das hier zu machen – der Begriff der Metrik – Englisch Metrik mit ein sie am Ende natürlich – wir haben mehr als ein Vektorraum – in einem Vektorraum kann ich Vektoren – bezahlen modifizieren – ?? mal zwei nehmen – und ich kann Vektoren addieren – und dabei soll die üblichen Rechengesetze gelten – ich nicht alle auflisten will – wir haben aber mehr als das können nicht nur das Vielfache von Vektoren bilden und Vektoren addieren – mehr haben aber mehr als das Vektorraum – plus sozusagen – was wir mehr haben ist die Metrik – die – klassische Sorte Vektorraum – gibt's den Längenbegriff – zu jedem Vektor – kann ich eine Länge angeben – und verwandt mit dem Längenbegriff – das Skalarprodukt – gegeben zwei Vektoren – kann ich das Skalarprodukt – der beiden bestimmen – was den geometrischen – bisschen raffiniert ist die Länge der Projektion des einen auf den anderen mal die Länge des anderen – besonders spannend am Skalarprodukt – ist das ich sagen kann wann zwei Vektoren senkrecht – zueinander sind – nämlich genau dann wenn ihr Skalarprodukt – gleich Null ist – das sind die Zutaten dies bei Keith gibt – die Länge unter Skalarprodukt hängen insofern zusammen als das Quadrat der Länge – der Skalarprodukt – eines Sektors mit sich selbst ist – sind wir aber bei der Relativitätstheorie – und haben nicht nur mit dem Raum zu tun – es kommt die Zeit dazu – also nicht nur Glied sondern nur Minkowski – wenn ich eine unbeschleunigte – Bewegung habe – zwischen zwei Ereignissen – das einem einfachsten am Ursprung kann ich sagen – was die Eigenzeit ist die von einem bis zum anderen vergeht – das entspricht der Länge Mitglied – in der Einheiten soll ich sagen zieh mal die Eigenzeit – und es war eben – das Quadrat davon sie Quadrat mal die Eigenzeit ins Quadrat gleich – separat mal die Zeitdifferenz – minus – die Ortsdifferenzlängenquadrat – das ist sozusagen der Längenbegriff – bei Minkowski – und Analog gibt es ein Skalarprodukt – ich kann zwei solche – Vektoren miteinander multiplizieren – ?? Komma CT eins – X eins Vektor CT zwei X zwei Vektor – wie kann ich miteinander multiplizieren – und eine Wellezahl rauskriegen – ?? ich hab es mal nicht eintippen Punkt dazwischen – klarzumachen dass das was fieses ist schreibe ich mal mathematisch diese spitzen Klammern – Skalarprodukt – dieser beiden Vierervektoren – kriege ich bei Minkowski – als Cequadrat – T eins – T zwei – minus – das – übliche Skalarprodukt – das akribische Skalarprodukt – von – X eins und X zwei – und klar ist – hier wieder denselben Zusammenhang – zwischen diesem in Anführungszeichen – Skalarprodukt – und dieser in Anführungszeichen – länger – ein Vektor mal sich selbst in diesem Skalarprodukt – das Quadrat der Länge – man kann dieses hier das Minkowski Skalarprodukt – nennen – mathematischen Sinn ist aber kein Skalarprodukt – was mir passieren kann – wenn ich Einbettung die selbst modifizieren – sie was negatives – rauskommt – immer einfach die gleich Null entsteht hier minus – die Länge – von der räumlichen Komponente ins Quadrat – das ?? die Definition – der raumartigen – Vektoren – für die gibt Vektor mal selben Vektor eine negative Zahl – dass wir bei mathematischen Skalarprodukt verboten – der mathematische Begriff für diese Sorte an Ding ist eine symmetrische – Bilinearform – was wir haben es also ein Vektorraum – V – und eine symmetrische Bilinearform – im kritischen Fall – die klassischen Räume – das normale Skalarprodukt – und – bei Minkowski – eben diese schräge Skalarprodukt – was mit der Eigenzeit zu tun hat – und ich schreib mal weiterhin die spitzen Klammern – für diese symmetrische Bilinearform – bekommt der Name Herr überhaupt – eine Linearform – schon gesehen die Korrekturen – an den Jahr Formen – ein Jahr Form ist eine Abbildung von Vektoren – nach den Wellenzahlen – dieses eine Peelingjahr – Form – zwei Vektoren die ich einsetzen kann – und das was rauskommt ist in ja im ersten und den zweiten – nicht nur das es auch symmetrisch – die Reihenfolge ist egal – Amal B B mal A solche egal sein – das geht in beiden Fällen Glied und Minkowski – das hübsche an dieser billigen Erfahrung ist die ist unabhängig von der Basis diesen Innenraum eingebaut – ich kann die mit einer Basis ausrechnen – aber ich kriege – immer dasselbe raus für das Ehepaar an Vektoren egal welche Basis ich nehme – das mal mit Komponenten hingeschrieben – ich möchtebestimmender – Skalarprodukt – von A und B genauer gesagt diese symmetrische – Bilinearform – mit A und B eingesetzt A und B zwei Vektoren aus V – kann ich das ja hinschreiben indem ich A und B Komponenten zerlegen – Haar schreibe ich als Argument möge die unten Mühe – die Summe über Mühe wieder eingebaut – beigeschafft – als BU – die unten – dieses in ?? Fragezeichen Skalarprodukt – ist Lean ja in jedem – seiner beiden Faktoren – eine Bilinearform – das heißt ich kann die somit ihr verstecktes unter verstecktes raus ziehen und ich kann diese Armee – Vinyl aus zehn – Krieger also das ist Armeemenü – und jetzt ermüdete Basisvektor – Skalarprodukt – der Nöte Basisvektor – Beistrich hier haben – ist der metrische – Tensor – dessen Komponenten – heißen – typischerweise – die unten mögen unten – war das eine symmetrische Bilinearform – ist gar nicht die Mühe gegen ihn ?? austauschen und das muss dasselbe rauskommen – dieser Tensor hier ist – symmetrisch – es gleich die Mühe müde Indices vertauscht – dass er ganz dreistmetrische – Tensor eigentlich weiß ich ja noch nicht das es überhaupt die Komponenten eines Sensors sind – das sich dass sie richtig transformiert – in einer anderen Basis – kriege ich die Strichmythen – hören – und das ist dann das Skalarprodukt – symmetrische Bilinearform – ?? gesprochen – von die Strichmühe – äh Beistrich – Menü – so würde ich denen einer anderen Basis ausrechnen – kann ich aber diesen Basisvektor – schreiben – mithilfe – der alten Basis – mit Basisvektoren – I alpha – der Koeffizient vorher Alpha – ist die oben Alpha – der zugehörige duale Basisvektor – angewendet auf ihre Strichmännchen – hier wieder die Summe eingebaut oben Alpha unten Alphatier – genauso – gestrichen wie kriege ich – aufgespannt auf die alte Basis – die unten Beta – und hier eh oben Wetter angewendet auf den Vektor den ich zerlegen will und die Summe über Wetter wieder eingebaut – das soll eine Bilinearform – sein das heißt die Summen die ?? eingebaut sind kann ich raus ziehen und diese Faktoren hier eh von ?? Beistrich – die von ?? Beistrich kann ich ausziehen – und kriege das ist eh oben als Gefahr von äh Strich unten minimal – ?? oben Beta – von ?? Beistrich unten müde – und es bleibt im Skalarprodukt – in der Bilinearform – stehen – eh Alpha mal die Beta – der formale Beta ist aber die Definition von G Alpha Beta gewesen – und versteht hier die Komponenten – in der neuen Basis – sind die in der alten Basis verziert mit EE Strich Beistrich – genau was wir brauchen für das doppelt kovariant Verhalten – die Menü sind also tatsächlich – die Komponenten eines Tensor – metrischen Tensor kann man ?? benutzen – um kontravariant – in DC zu Covarianten – zu machen – Indices zu senken von oben nach unten zu bringen ?? auch umgekehrt – das nennt sich Wissen scherzhaft Indexgymnastik – gegeben ein kontravariant – der Vektor – also einer aus dem ursprünglichen Vektor – an kann ich mir folgendes angucken – die billigen Jahr Form – bei der ?? fest links – diesen einen Vektor einsetze – und das zweite Element freilasse – dieses hier ist jetzt noch eine Lineaform – kann hier an die zweite Stelle irgendwas einsetzen – ein Vektor einsetzen aus dem ursprünglichen Vektorraum – und – das ganze wird sich den ja – in diesem Vektorverhalten – dass es eine Linearform – also ein Element aus V Stern dem dualen Vektorraum – ein kovariant Rektor – in Originalvektor – hier kann ich in einer Basis schreiben als auch oben Ü die unten – mit der eingebauten Summe – diesen – Konvektor – muss sich ja mit der dualen Basis schreiben können – Ihnen das einfach mal ?? unten Ü – E oben müde – und gegeben diese Art oben Mühe – möchte ich nun bestimmen – was denn die Art und Menüs sind was sind denn die Komponenten dieses Corektors – mithilfe der Metrik – dieser billigen Jahr Form habe ich aus dem ursprünglichen – Country Varianten Vektor – ein kovariant – Vektor gemacht – wie Rech nicht nur um von den ursprünglichen kontravariant – Komponenten – in die kovariant Komponenten – setzt sich hier einfach mal einen beliebigen Vektor X ein – das Ergebnis dieser billigen Jahr Form ganz einfach mit – Komponenten hingeschrieben – A ist auch oben müde wie unten – und auf der rechten Seite das X auch zerlegt – wenn was X oben Ü – E unten – jetzt kommt wieder die Bigenialität – die Summe die eingebautes kann ich Aussehen links wie rechts – Lamy Excel kann ich raus ziehen – und dieses hier die Mühe mal in ?? kennen wir schon das ist der metrische Tensor hier steht also A oben – X oben Ü und hier der metrische Tensor geben Menü – es ist die eine Art mich das ausrechnen kann – das Produkt von A mit X – also die Bilinearform – angewendet auf A und X – ich kanns aber auch mithilfe dieser Zerlegung ausdrücken – nicht jedes X Einsätze – kriege ich ani die oben – angewendet auf X – und das X wieder aus buchstabiert – ?? daher kann ich direkt erkennen wenn ich ihn Ü die müde Komponente haben will hiervon kritisch – X nötig ?? ja schon als hier steht an – X nötige – es muss also – dieses gleich diesem sein und dass für alle X egal welchen Weg trittsicher eingesetzt habe – muss auf diese Weise dasselbe raus kommen wir auf diese Weise – also muss dieses aber unten will folgendes werden – was hier oben steht außer dem mixen ?? oben mühen die unten Menü – dies ist das senken eines Indexes – State mit einem Kontervariantenvektor – kontrahieren den mit dem metrischen Tensor und Krieger ein Covariantenvektor – dieser couragierte Vektor ist – was die billigen Jahr vermacht – das kann man allgemein machen – wenn ich zum Beispiel – einen Tensor habe mit Lammdarm – Mühe oben – und unten – und setze da die – Lander – Broder hinter André Hirt über das Lander – nicht das Ergebnis sinnvollerweise – genauso Tee – steht nicht nur umeinander – sondern unten ein Promill – will – diesen Wechsel am da wurde gesenkt und das ist natürlich wieder ein Tensor – bei dieser Operation hier – keine laute Tensoroperation – ist – der metrische Tensor erlaubt mir also von kontravariant – nach kovariant – zu gehen – ?? Indices zu senken – es geht aber auch umgekehrt – ich kann ein kovariant – Index zu einem kontravariant – Index machen – den Index – heben – kann ich umgekehrt an sei ein Korrektor gegeben – wenn bei ihm B – den kann ich mit der dualen Basis schreiben – als B und Menü äh oben – der Job ist nun ein passenden Contravarianten – Vektor zu finden oder zumindest dessen Komponenten – in dieser Basis – so das das selbe rauskommt wenn ich B von X rechne – für einen beliebigen – Vektor X – oder das Skalarprodukt – diese bitte in Jahr Form ausrechnen – wie oben müde und möge – diesen kontravariant – Vektor modifizieren – mit diesem X – sagen X oben nötig und nehmen – für alle X – aus dem Vektorraum – dann habe ich diesen kovariant – Vektor ausgedrückt – mit diesem – kontravariant Vektor – jetzt kommt wieder die Genialität – die Summe kann ich raus ziehen dieser Komponenten – demnächst ?? kann ich raus ziehen und habe – die oben Mühe X oben Ü mal – E und Mühlmanni – und Menü – wieder die Komponenten – des metrischen Tänzers – das muss aber das selbe rauskommen – wenn ich das X hier oben einsetze – B Menu – Maleni – angewendet auf X – die oben sagt was die Menükomponente – ist von dem X naja das müssen wir X nun – also müssen die beiden gleich sein – für alle X egal wie siebzig eingesetzt habe – woraus ich sehe – das be und Menü sein muss wie oben Mühe – geben in den – ?? Beistrich eben schon – ?? in eine Richtung vorgegangen – der Ärger ist nun das sicher den Covektor – gegeben habe – ?? das Menü ist gegeben – anders als eben und ich suche die Contravariantenkomponenten – muss diese Gleichung auflösen – ich brauche die inverse Matrix zu diesem Gemini – zu diesen Komponenten Gemini – einen anderen – Tensor ?? sich dabei herausstellt – schon mal Tensor – an anderen Tänzer mit den Komponenten gegen Dylan – da so das wenn ich das Herausrechnen – kann Ecker Delta rauskommt – an der oben wie unten – so eine Sammlung von Zahlen brauche ich – netterweise gibt's die sowohl bei Glied wie auch bei Minkowski – und dann kann ich weiter rechnen – ich nehme diese Gleichung hier wie unten Öl ist gleich – wie oben Mühe – Magie unten Menü in der bekannte metrische Tensor – GEZ sich auf beiden Seiten die Vinyl anderer hinter – dann muss das immer noch gelten – mit der eingebauten – Summation über dessen Höhe natürlich – dieses Jahr wird nun Konica Delta – und das heißt auf der rechten Seite bleibt schlicht und ergreifend wie Obenlander übrig genau das was ich habe – die kontravariant – Komponenten meiner gesucht – also wirklich die Contravariantenkomponenten – mithilfe von dem inversen – des metrischen Sensors – die oben – an der – ?? das geht auch wieder allgemein – nicht nur mit provokanten – Vektoren sondern allgemein mit Sensoren – wenn ich einen Tensor habe zum Beispiel – am Darm Mühe – oben und unten – und nehme dann geh – oben – menüroter – hinter – hier über das Menü kontrahiert – nenne ich das Ergebnis sinnvollerweise – T Lander Mühl – roh – das Menü sozusagen – raufgewandert – der Index Menü – wurde gehoben sozusagen – im englischen Touristenindex – was ich rauskriege sind natürlich offensichtlich – wieder Komponenten eines Tensor – der nun einen kovariant Index weniger hat und ein kontravariant – Index mehr – das inverse von den metrischen Tensor – ist in der Tat auch wieder ein Tensor – Behauptung – Gehmühlander – oben sind die Komponenten eines Sensors – zweite Stufe kontravariant – denn – ich gucke mir das Informationsverhalten – an wie kriege ich die – Strich – mühsam – dar – diese Zahlen sind eindeutig dadurch bestimmt das geht Beistrich – möge genüge – der übliche metrische Tensor – in dieser Verbindung – Konica Delta geben muss – ich muss nur zeigen dass das hinhaut – wenn ich den metrischen Tensor wie üblich transformieren – und jedes inverse von metrischen Tensor so transformieren – wie sich das gehört – Transfer mit sich der metrische Tensor – sind dessen Komponenten – in der ursprünglichen – Basis und dann kommt jetzt hier eh von ihm Beistrich – die von ?? Beistrich – desto – kovariant – Alpha oben – wie unten um das Müll zu kriegen und später oben wie unten – und das nur zu kriegen – so kann ich die konsumierten Komponenten hier berechnen – jetzt guck ich was der sein müsste – wenn er ist Wasser zu sein vorgibt – ein Tensor – kontravariant zweiter Stufe – dann müsste das sein dessen Komponenten – in der ursprünglichen Basis – nur die Indices später in Rom – und des kontravariant – transformiert – die Strich – von Ehen Beistrich – von ähm – mühselig – rauskriegen – hier einige da ein Etat – für den Stroh kommt da unten hin – und das Lander völlig raus kriegen wir das Land ein – guck ich mir diese beiden an – die kann ich mit der Linearität zusammenbringen – als die oben Beta – von – dass es ein Vektor den ?? wieder hinten stehen – das dem Jazzfaktorreihen – E Strich oben Mühe – äh und netter – was hier passiert ist – dass der Vektor EZA – zerlegt – wird in die Basis – Beistrich – hier in drin kommt also ganz frech einfach wieder die daraus – die oben Beta von geehrter ist aber einfach Delta – Wetterwetter – das heißt ich kann überall hier oben Wetter durch Beta ersetzen diesen zwangsläufig gleich – und die grünen Therme Dinge raus – also die Alpha Beta unten die Alpha oben von ?? Beistrich – unten – der Pflicht raus – G – et habe das Betaproblem – stehen – der Pflicht raus – äh Beistrich – dann da – die Pro – guck ich mir die beiden – Gays an – ?? Definition – von dem inversen metrischen Tensor – wie dieses hier – Delta – Alpha unten – pro oben – also kann ich überall roh rausschmeißen – und stattdessen Alpha schreiben – das macht – der Pflicht raus – E alpha Beistrich Menü ändert sich nichts – der Pflicht raus – Beistrich langsam auch nichts Neues aber statt Rom schreibe ich nun Alpha – nicht den noch in den Rhein – ?? eine Linearform – und kriege das System Beistrich Lander – von – äh Alphadirektor – bleibt stehen das als Faktor reingezogen – E Alpha von ?? Beistrich mögen – in den Klammern steht jetzt die Strichmühe – aufgespannt – mit der alten Basis – die oben Alpha gibt die passende Komponente – der Alpha der Basisvektor dahinter – in der Klammer steht er Beistrich – Mühlen – und äh Strichlander – angewendet auf Beistrich Mühe – da kommt jetzt die Definition – der dualen Basis – ist – Deltaandermüll – was zu zeigen war – Komma zurück gedacht hier – was ich gezeigt habe ist – wenn ich den metrischen Tensor so transformieren – müssen das ?? transformiert – wenn ich das Inverse – so transformieren – wie sich gehören – würde für ein Tensor – dann kriege ich tatsächlich – keine Kartell daraus – war diese Gleichung aber das Inverse des metrischen Tänzers definiert – als das – es gibt nur eine Möglichkeit für den dich richtig zu transformieren – es gibt keine andere Lösung dieser Gleichung – kann man sich abschließend noch angucken was denn eigentlich der zierliche metrischen Tensor in diesem G drin steht – bei Oxid – und bei Minkowski – nicht die Basisvektoren – im magnetischen Raum so wäre wie man sie üblicherweise – wählt nämlich alle von der Länge eins und alle senkrecht zueinander ?? wirklich auf der Feile drüber – dann ist diese Skalarprodukt – geht es Herrn Skalarprodukt – null oder eins wenn es dieselben sind ein Weg Komma sich selbst ist es eins und ansonsten ist es null war die paarweise senkrecht aufeinander stehen soll das heißt das wäre Konica Delta – wenn – diese Vektoren eine Orthonormalbasis – bilden – was man üblicherweise machen wird – Komma welche andere Basis habe in der die nicht senkrecht aufeinander stehen oder die Länge eins haben dann wird der metrische Tensor im athletischen auch nicht mehr Konica Delta sein – das erklärt auch warum dieser Unterschied zwischen kontravariant – und kovariant – in den athletischen Räumen nicht wirklich auffällt – der Übergang – von einem zu anderen – des trivialen – Jahr dieselben Komponenten – Minkowski – ist das etwas anders – wenn ich Ihnen eine der üblichen Basen gehe ist das Ergebnis nicht nur null oder eins sondern manchmal auch minus eins – eins minus eins oder null kommt hieraus hier kommt ja nur null oder eins raus bei Glied – eins wenn – Mühe und schnell beide die Zeitkomponente – sind also Müll gleich Null gleichen Mühen – minus eins Pfennige die Raumkomponenten – habe – die gleichen wie aus der Menge – eins zwei drei – und null sonst – wenn diese beiden Indices verschieden sind – auch das hier gilt wieder nicht immer sondern nur für die schönen Basen nämlich Fan – E eins E zwei – E drei im Raum eine Orthonormalbasis – bilden – im gewöhnlichen dreidimensionalen – Raum – das Quadrat der Eigenzeit von ihnen null gleich eins ist und wenn E null in eine ruhende Richtung zeigt – was herauskommt die eins minus eins null heißt auch gerne – etwa – Menü – wobei man mit den Vorzeichen vorsichtig sein muss hat in der allgemeinen Relativitätstheorie – die Vorzeichen gerne andersrum – das bei der Zeitkomponente – die minus einsteht und bei den Raumkomponenten – die plus eins steht – nicht geht so eine schöne Basis nehme ein Orthonormalbasis – komme ich durch Mutationen – immer nur auf – wieder solche Orthonormalbasen – und es bleibt dann bei delta J – bei Minkowski – ist das analoge dann mit Lorentz-Transformation – wenn ich eine solche schöne Basis habe man sie nun typischerweise nimmt und wenn der Lorentz-Transformation – an dann bleibt das eine Basis mit diesen Eigenschaften – man sich auf solche Basen beschränkt Orthonormalbasen – oder Basen von dieser Sorte hier kann man ein Versagen okay der metrische Tensor ist immer in Anführungszeichen – immer – Delta beziehungsweise immer – Etat – ist aber nicht ganz korrekt – es gibt auch andere Badende nicht so nett sind und spätestens dann in der allgemeinen Relativitätstheorie – schlägt das heftig zu – dass man allgemeine Vasen benutzen muss – und worauf ich nicht so deutlich eingegangen bin – dieses hier sind umkehrbare – Matrizenmarke – also tatsächlich vom metrischen Tensor – das Inverse bilden – das ist eigentlich nicht selbs verständlich