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Einsteinsche Feldgleichungen

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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es ist alles an Techniken beisammen damit man die Einsteinschen Feldgleichungen hinschreiben kann die Grundgleichungen – der Allgemeinen Relativitätstheorie – beim Äquivalenzprinzip – kann mir schon diese Situation – vor – betrachte – freifahrende – Testpartikel – die fliegen – irgendwie durch den Raum – alle sollen denselben Anfangsgeschwindigkeitsvektor – haben V wenn ich den mal – dies hier passiert im Staub – der Dichte pro – Saison zu vier Kilogramm – pro Kubikmeter – und ich untersuche das Volumen – das von diesen Testpartikeln – aufgespannt – wird – dieses Volumen hier wies sich so zeitlich entwickelt – dass der nicht groß V von T – zum Zeitpunkt T gleich nur partiell losgehen – mit identischen Geschwindigkeitsvektoren – und beim allgemeinen Relativitätsparty – bei mir festgestellt wenn ich dieses Volumen zweimal nach der Zeit ableite – am Anfang meiner Bewegung – bekomme ich minus vier Pi – Gravitationskonstante – die Dichte – meines Staubs – mal das Volumen am Anfang – dieses Verhalten war ein wesentliches Indiz dafür das was mit Krümmung zu tun haben – und in der Zwischenzeit habe den Ricci-Tensor gebaut um genau so etwas zu beschreiben – diese Bewegung hier guck ich mir mal in einem Koordinatensystem – an das im Zentrum mit fällt und sich nicht dreht – und ich versuche dazu mal ein minimales – Minkowskidiagramm – nach rechts – sollte Raumachse sein – drei Dimensionen kondensiert zu einer Achse nach oben soll CT sein als Axe – Ortskoordinaten – und Zeit – in meinem mitfahrenden Koordinatensystem – ich starte bei T gleich Null mit einem bestimmten Anfangsvolumen – allein in die Raumrichtungen – hier – und Ende – mit einem anderen Volumen – dieser Orangestriche – ist also das Volumen zur Zeit – T – zu wenige Dimensionen hier in der Ebene und das aufzumachen – hier verstecken sich drei Dimensionen in diesem Strich – beim Ricci-Tensor – untersuchen wir aber keinen einzelnen Strich sozusagen sondern es ging um ein Ende mit Volumen um ein vier dimensionales – Volumen – ein Problem ich mache das zu einem vier dimensionalen Volumen ich mache dieses Volumen sozusagen dick diese Dicke wird eins zu eins natürlich mit transportiert – also da unten wieder oben ist die dicke – C mal irgend ein Delta T – ein Zeitabstand – das kommt ja so vorstellen als ob ich dieselben Teilchen – kurz danach noch mal auf die Reise schicke – dann sieht's natürlich genauso kurz danach – da unten – diese Zeitdifferenz ändert sich nicht so lange mein Feld hier statisch ist – jetzt habe ich wirklich ein vierdimensional ?? Volumen das sich entwickelt – entlang von genetischen – die Bahnen von frei fallenden Testpartikeln – sollen ja genetische sein – was mir so fehlt für die Anwendung von Ricci-Tensor – ist ein Geschwindigkeitsvektor – in welche Richtung entwickelt sich das mit welcher Geschwindigkeit – weil ich in einem mit fallenden Koordinatensystemwänden – sind die drei räumlichen Gefälligkeitskomponenten – null – nicht mehr V irgend ein Vektor ungleich Null wie hier sollen hier fliege ich mit ich fliege nicht in die räumliche Richtung ?? fliegen die zeitliche Richtung – und das durch mit der Geschwindigkeit – C – nicht CT nach meinem Parameter ableite – Tee ist jetzt der Parameter kriecht sie raus – das heißt dieser Vektor hat folgende Komponenten – V – null – ist C – V eins – ist null kann räumliche Anteile und die anderen durch genauso null – vor zwei ist null und V drei ist null – in einem mit fallenden nicht rotierenden Koordinatensystem – ist der metrische Tensor – gleich dem Minkowskitensor – also eins minus eins mindestens eins auf der Diagonalen das macht die Sache gleich extrem einfach – insbesondere kann ich hier schon mal sagen – die Komponenten von Frau mit Index unten sind hier steht mal eins in meine Art des Minkowski Zensus – und mischt sich mit minus als Multiplizieren – und IV mit den Exoten zu kriegen aber nur bei minus eins bleibt null – jetzt kann ich den Ricci-Tensor – auf diese Situation loslassen – und das Ergebnis hiermit vergleichen – mit dem Ricci-Tensor kriege ich für dieses neue Volumen – also groß V – von T mal C delta T Breite mal Höhe sozusagen – für dieses Volumen kriege ich das ist das ursprüngliche Volumen – V von null – mal die dicke C delta T – und jetzt kommt es Entwicklung eins minus der Parameter ins Quadrat der Parameter war die halbe – ?? und der Ricci-Tensor – schlagen wir Wetter haben will V Beta V mühlplus – Terme höherer Ordnung – es gleich etwas geschickter wenn ich diese Indices nach oben nehme Wetter – oben und diese Indices nach unten nehme – ich mein was da steht – V better – Formel – und immer null Aussage – Wetter ist gleich null und ?? ist gleich null das einzige was hier steht ist er oben null null – mal – C Quadrat – hier von null ist C und hier von OSC – immer mitfahrenden – nicht rotierenden Koordinatensystem – bleibt also nur das ?? übrig – jetzt räumliche von noch ?? bisschen auf zehn mal delta T Zimmer delta T ist überflüssig – jetzt kann ich sagen was das für die zweite Ableitung bedeutet – die zweite Ableitung vom Volumen – nach der Zeit – an der Stelle T gleich null ist also das Volumen am Anfang – mal die eins Formel ableiten die Feldweg – nicht T quadratseinmal – ableite habe ich zwei T noch mal ableiten gibt zwei – durch zwei macht eins also Volumen am Anfang mal minus – Ricci-Tensor – oben null null sie Quadrat – und jetzt vergleiche ich diesen Ausdruck für die zweite Ableitung des Volumens mit dem ?? und stelle fest – Ricci-Tensor oben null null mal C Quadrat – muss dasselbe gewesen sein wie vier Pi Gravitationskonstante – mal die Massendichte – ich finde also Ricci-Tensor – oben null null ist gleich – vier Pi mal die Gravitationskonstante – Durchcequadrat – mal die Massendichte – die Massendichte – stand mehr oder minder oben links im Energie-Impuls-Tensor – T null null Durchcequadrat – und wenn man sich diese Gleichung jetzt anguckt – und auf der Suche nach einer Tensorgleichung – ist wir wollen etwas was nicht von den Koordinaten abhängt – ?? kommt man zwangsläufig – auf diese Idee – dass der Ricci-Tensor – vier Pi Gravitationskonstante – durch zehn hoch vier – mal den – Energie-Impuls-Tensor – sein muss – wie schreibt man Fragezeichen Ausrufezeichen – darüber das ist nämlich noch nicht richtig – diese Gleichung führte sich damit beißen – dass Energie und Impuls erhalten sein sollen – ich mache gerade eine kleine Nebenrechnung aus der man das sehen kann ich nehme den Krümmungsskalar – und leite ihn in Richtung Sigma ab – ob ich in partiell ableite oder kovariant ist egal ich hatte mal kovariant hin – was ist der Krümmungsskalar – das ist die Spur vom Ricci-Tensor – des ?? sich hier noch ableiten – was der Ricci-Tensor – das war die Spur von Krümmungstensor – und ich muss immer noch ableiten – eine kovariante Ableitung – vom Krümmungstensor – dafür haben wir aber die zweite Bianchi Identität – jetzt spielerische unten durch tauschen – Minusalphabete – ?? und nun einmal unten durch getauscht – Wetter Sigma – kovariant in der Richtung Alphapleitenmond – minus er oben alphabet ?? unten noch ein weiter tauschen sie Komma Alpha – Komma Alpha und kovariant in Richtung Wetter ableiten – ?? ich die ersten beiden Indices vertauschte ändert sich das Vorzeichen – das hier ist also – plus – er Beta Alpha oben und dann unten wird das Sigma kovariant in Richtung Alpha – und dieses hier ist dann analog – nicht die beiden unten vertauschte – Beschluss – erhoben – Alpha Beta – unten Alpha Siegmar – kovariant abgeleiteten Richtung Beta – ein Wetter da oben ein Wetter und manche bin ich schon wieder beim Ricci-Tensor – hier steht er oben Alpha und Musik war Ricci-Tensor – kovariant abgeleitet nach Alpha und hier steht oben das Alpha – und das Alpha auch wieder der Ricci-Tensor – hoben Wetter – und Musikmarkt – Kobold abgeleiteten – Richtung Beta erhoben Alpha – der oben ein Alpha ?? ?? Alpha – der oben ein Wetterton – ein Wetter – dieser Ausdruck gilt dasselbe wie der Ausdruck – Geschick also raus das ist zwei mal den Ricci-Tensor – oben Alpha – unten Siegmar – und kovariant abgeleiteten Richtung Alpha – mit einer Kontraktion hier über das Alpha – so das Fall kleine zwischen Rechnung – wenn der Ricci-Tensor – ein konstantes – Vielfaches – vom Energie-Impuls-Tensor – wäre – müsste dasselbe für den Energie-Impuls-Tensor – gelten – und wir gucken uns an was das bedeutet – ich müsste hier den Energie-Impuls-Tensor – einsetzen dürfen statt des Ricci-Tensor – ist hier genauso – und es müsst immer noch stimmen – also wenn der Ricci-Tensor wirklich ein konstantes Vielfaches vom Energie-Impuls-Tensor – wäre müsste auch gelten – Energie-Impuls-Tensor – oben weiter unten Beta kovariant in Richtung Siegmar – ist gleich zweimal – der Energie-Impuls-Tensor – oben alpha unten Sie Krakow hat in Richtung Alpha abgeleitet – ?? des will ich aber Energie und Impulserhaltung – haben das heißt dieses hier muss null werden hier steht im Endeffekt – die Divergenz vom Energie-Impuls-Tensor – wenn das gleich null ist müsste also dass wir gleich Null sein – die Spur vom Energie-Impuls-Tensor – abgeleitet – in die Richtungen – müssten Null sein – das heißt – die Spur vom Energie-Impuls-Tensor – müsste konstant sein durch Zeit und Raum konstant sein das ist Unsinn – zum Beispiel beim gasseitig – irgendwann gezeigt steht hier die dichte mal Lichtgeschwindigkeit – Quadrat groß dreimal der Druck das wird nicht durch Raum und Zeit konstant sein – diese direkte Weg hier Punkt sind also leider nicht ?? kann nicht schlicht und ergreifend – den Ricci-Tensor – als proportional – zum Energie-Impuls-Tensor – einsetzen – ich brauche irgendwas auf der linken Seite – das zu der Erhaltung von Energie und Impuls passt auch etwas auf der linken Seite das auch die Divergenz null hat – das ist dann der nächste Schritt konstruiere – einen Tensor – üblicherweise – als der groß G – Mühlmenü – das ist der sogenannte Einstein-Tensor – dann – konstruiere – einen solchen Tensor aus dem Ricci-Tensor – aber dieser Tensor soll eben zur Erhaltung von Energie und Impuls passen ich möchte das dann null rauskommt – so kann er ein konstantes Vielfaches vom Energie-Impuls-Tensor – sein – als sich dies eben mit dem Ricci-Tensor – gerechnet habe ist der Krümmungsskalar – aufgetaucht – und versucht als etwas mit dem Krümmungsskalar – zu basteln – und das sieht dann so aus eher Menü – minus ein halb Krümmungsskalar – mal den metrischen Tensor – das nennt sich Einstein-Tensor – mittels rechter Mann nach was passiert wenn ich dies bilde – die oben – kovariant – in Richtung Mühe mit der Kontraktion – ein kriege ich also das für den hier Richie oben im Menü unten – kovariant – in Richtung – minus ein halb jetzt ?? sich den Krümmungsskalar – ableiten – mit der partiellen Ableitung schreiben die Menü – ist aus Sicht der kovariante Ableitung – eine Konstante – die Ableitung vom Krümmungsskalar – die hatten wir aber gerade – die Nummer zurück wie Ableitung von Krümmungsskalar – wird zweimal der Ricci-Tensor – kovariant abgeleitet und kontrahiert – ihr steht also zweimal – der Ricci-Tensor – oben alpha unten bemühen – und hier kovariant – in Richtung Alpha und kontrahiert – das Menü – muss ich noch nach oben bringen dieses Menü geht nach oben als Mühe und dann ist hier der metrische Tensorweg – ob ich jetzt Alpha Alpha schreibe oder genügen Höhen ist egal ihr könnt ich auch Menü nun schreiben – ein halb mal zwei hebt sich weg und dann sich hier ab was davon steht der Ricci-Tensor ist der symmetrischen sein Indices – also tatsächlich hier kommt nur raus – dieser Tänzer der Einstein-Tensor – der könnte ein konstantes Vielfaches vom Energie-Impuls-Tensor – sein – das probier ich jetzt nächster Versuch – der Einstein-Tensor – war zu dieser hier – Richie minus ein halb Krümmungsskalar – metrische Tensor – der soll doch mal eine Konstante – sein – mal den Energie-Impuls-Tensor – und jetzt versuche ich mal diese Konstante zu bestimmen – den hinteren Index bin ich mal runter dann haben wir da er oben ?? und Menü minus ein halb er die oben – unten wieder so verschiedene Reifen delta gleich – die unbekannte Konstante malt sie den Energie-Impuls-Tensor – oben – unten Öl – jetzt sich von beiden Seiten dieser Gleichung – die halbe Spur – mal Kronecker-Delta – ab ?? statt auf der rechten Seite deines klarer was passiert ich ziehe die Hälfte der Spur – also C mal C – oben alpha unten Alpha mal Kronecker-Delta – null null ab – wenn ich das rechts mache und fällt das links mache muss es wieder stimmen links wird etwas komplizierter – hiervon abziehen – die Hälfte – der Spur – also oben alpha unten Alpha – mal Kronecker-Delta – Menü – hiervon die Hälfte der Sportszenen – habe ich als plus ein viertel – den Krümmungsskalar – die Spur von Kronecker-Delta – dastehen lauter Einsen auf der Diagonalen – ist vier – hundert fehlte noch das Delta oben im Menü – es wird netterweise links einiges weg hier steht der Krümmungsskalar – da der Krümmungsskalar – da der Krümmungsskalar – immer mit delta Menü zusammen – minus ein halb – minus ein halb plus Vierviertel – hebt sich weg – ich finde also – er oben Mühe unten – wird werden – C – die unbekannte Konstante mal groß Klammer auf – den Energie-Impuls-Tensor – oben wie unten Menü – minus ein halb C hatte ich schon die Spur mal Kronecker-Delta – und davon guck ich mir jetzt die Komponente null null an – er oben null unten null ist jetzt also die unbekannte Konstante mal – müsst null ist null minus ein halb – die Spur ist oben und unten null plus oben eins unten eins Plus oben zwei und zwei plus und drei unten drei delta null null ist eins – das Recht nicht zusammen – gibt meine Konstante – durch zwei – mal – T null null zig die Hälfte ab also T null null und die anderen drei werden jeweils abgezogen minus – T eins eins minus D zwei zwei minus T drei – drei – hier vorne bei T null null – das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit – mal die Massendichte – dieser Term gewinnt gegenüber den Term diesen praktisch Null im Verhältnis – und jetzt gucken wir nach was sollte denn das Verhältnis sei inzwischen eher null null und T null null – das – war – dieses hier – ich wollte haben dass er null null das vier Pi groß G durch zehn hoch vier fache – von T null null ist das bauliche ein – er null null soll vier – Pi groß G – durch CO viermal T null null sein das heißt diese Konstante hier muss ein acht – Fi groß G – durch CO vier – und so Sprüchegleichung – hat die null oben stehen – die null oben stehen ich rechne ja in meinem schönen Koordinatensystem – in dem der metrische Tensor der Minkowskitensor – ist das die Galopp die null unten steht oder oben steht – jetzt eine Idee was diese Konstante sein muss in diesem Versuch für meine Feldgleichungen – Einstein-Tensor – ist ein konstantes Vielfaches vom Energie-Impuls-Tensor – mal hingeschrieben – habe ich bis jetzt also – der Ricci-Tensor – minus – ein halb mal der Krümmungsskalar – mal den metrischen Tensor – das ist der Einstein-Tensor – hier auf der linken Seite ist acht Pi mal die Gravitationskonstante – durch die Lichtgeschwindigkeit – in der vierten Potenz – mal den Energie-Impuls-Tensor – diesen Tensor links hier den Einstein-Tensor – den baut man ja so das die Divergenz null ist damit wir keinen Ärger mit der Energie und Impulserhaltung – bekommen – das ist nicht der einzige Weg dritte das kann es gibt einen der das mit relativ wenig Aufwand auch kann ich kann nämlich diesen Tensor neben der der links steht – Einstein-Tensor – und noch einfach ein konstantes – Vielfaches von metrischen Tensor dazu addieren – wenn ich den hier ableitet kommt natürlich null Haus – ?? zeigen dass dieser Tensor hier der einzige ist der sich halbwegs vernünftig bilden lässt – auf der rechten Seite – lass ich das stehen was ich da hatte – das sind jetzt endlich die Einsteinschen – Feldgleichungen – und dieses Lander hier nennt sich auch kosmologische – Konstante – die wird auch es in kosmologischen Maßstäben wichtig – die ist nichts anders als die berüchtigte dark energy – dieser Ausdruck hier hat ja wenn man die Einheiten anpasst dieselbe Bedeutung wie ein Energie-Impuls-Tensor – oder das negativ ans Energie-Impuls-Tensor – was sie jetzt steht die Einsteinschen Feldgleichungen – ist ein System – aus zehn Differenzialgleichungen – zehn – mal das hier alles hübsch symmetrisch ist hier vier Dimensionen – vier mal vier aber mich interessiert nur der Anteil den ich brauche – umso ein symmetrischen Tänzer zu definieren – das sind vier plus drei plus zwei plus eins zehn – die unten links sozusagen ganz angucken – die Lösungen dieses Systems von zehn Differenzialgleichungen – sind zehn Funktionen – effektiv zehn Funktionen – nämlich die Funktion G Menü in Abhängigkeit von X auf dem Ricci-Tensor symmetrisch – auf von dem brauche ich nur zehn Komponenten – zum Beispiel null null null eins null zwei null drei eins eins eins zwei eins drei zwei zwei zwei drei drei drei dann kenne ich alle Komponenten – durch die Symmetrie – hier taucht dem Ricci-Tensor direkt auf aber ich will ja aus dem metrischen Tensor die Christoffelsymbole – aus den Christoffel-Symbol – den Krümmungstensor – aus dem Krümmungstensor – den Ricci-Tensor – und den Krümmungsskalar – also diese Funktion die Suche die effektiv zehn Funktionen ich suche die verstecken sich hier in einer total finsteren Form – ich bilde partielle Ableitung – ist als ein System aus partiellen Differenzialgleichungen – und fast noch schlimmer sie sind nicht länger – ich habe Produkte von diesen Komponenten – drin – auch sogar die inverse Matrix zwischendurch – spannend ist auch dass die Einsteinschen Feldgleichungen kovariant – sind wenn die in einem Koordinatensystem – geltenden gelben sind allen Koordinatensystem – also wenn ich irgendeine physikalische Situation habe mit irgendwelchen Masseklumpen – im Universum – und ich lege mein Corinna System so dadurch – werde ich irgendwelche – Funktionen gehe Menü dafür finden – ich könnte das Koordinatensystem – aber auch ganz anders legen – und finde für dieselbe physikalische – Situation – ganz andere Lösungsfunktion – und die Lösungen die man für das orange Koordinatensystem – kriecht Komma der natürlich mithilfe der Tensorrechnung in die Lösungen für das violette Koordinatensystem – umrechnet – das wichtigste Hilfsmittel um diese einstreichen Feldgleichungen dann wirklich zu lösen ist ein schönes Kanalsystem – zu wählen