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Schwarzschild-Metrik und Schwarze Löcher


CC-BY-NC-SA 3.0

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grundlegende Fragestellung in der allgemeinen Relativitätstheorieist was ist wenn ich einen einsamen Stern im Universum habenur diesen Stern und sonst nichtswir setzen gleich einfach den Energie-Impuls-Tensoraußerhalbvon dem Stern gleich Nulldas wieder mal ein bisschen geflogen ist denn der Stern sendet ja ein Service Verstrahlungaus das der Raum außen nicht wirklich leer istaberpraktisch leeraußerdem soll der Raum außen Asymptote flach seindie weiter ich rausgeheumso mehr sorgt der Raum anführen wie der aus der speziellen Relativitätstheorieaußerdem nimmt man erst mal zur Vereinfachung an das dieses Modell UniversumKugel symmetrisch istund dann soll es noch zumindest außerhalb von dem Sternstationär seindas heißt es soll überall eine zeitartige Richtung geben in der der metrische Tensor konstant istwenn man ein bisschen genauer nachrechnen stellt man fest aus den anderen Annahmen leer im Außenraum Asymptote Schlachtkugelsymmetriefolgt das eigentlich schonder Kopf gefundendamit aber nicht ganz heftig wird werde ich dazu Novität einbauenin meine Herleitungals ob es eine zusätzliche Annahme wärewas ?? dann erhält ist die Schwarzschild-Metrikneunzehn hundert sechzehn von Karl Schwarzschild gefundenein sehr passender Name bei gleich wird es auch um Schwarze Löcher gehendas Vorgehen ist nun folgendeseigentlich dasselbe Prinzip wie schon bei der FLRW-Metrikman wählt ein schönes Koordinatensystemman schreibt ein Ansatz sind für den metrischen Tensor in diesem Koordinatensystemich schreibe also hin wie dieser metrische Tensor ungefähr aussehen müsstewas ich über diesen Tensor weiß versuche ich also schon mal auszudrückenmithilfe von Funktionendie ich dann noch nicht kennen aber finden mussdann Gott den dritten Schritt der eklige Teil den Vergleich mit Computer Unterstützung machen aus dem metrischen Tensordie Christoffel-Symbolbestimmenaus den Christoffel-Symbolden Krümmungstensorbestimmen aus dem Krümmungstensorden Ricci-Tensorbestimmenund dann kommt wieder die Physik die Einsteinschen FeldgleichungenRicci-Tensorminus ein halb malKrümmungsskalarmetrische Tensorund jetzt ohne kosmologische Konstantebearbeiten im Kleinenhoffentlich ist egal die kosmologische Konstanteund auf der anderen Seitestehtder Energie-Impuls-TensormitVerzierungder zu ?? gesagt außerhalb von dem Sternsolldas Universumleer sein also steht hier auf der rechten Seite null außerhalb vom Sternder Krümmungsskalarhier nervt auch noch immer den selben Trickwie schon bei den Friedmann-Gleichungenich subtrahieren von beiden Seiten ein halb mal die Spur mal die metrischen TensorRechtsstaat natürlich null stehenheute Spur auch null wirdund links stehtwas das sowieso stehtRicci-Tensor minus ein halb Krümmungsskalarmit Ricci-Tensorund jetzt ein halb mal die Spur malte mir zwischen den zu Abziehendie Spur von Ricci-Tensorist der Krümmungsskalarbesteht also minus ein halber geht Menüjetzt auch ich hiervon die Spurminus ein halbKrümmungsskalarkann ich raus ziehen die Spur von metrischen Tensorein Index muss sie nach oben bringenKomma nicht einfach Kronecker-Delta stehen und die Spur davon ist vier eins plus eins plus eins plus einsalsoabziehen muss ich ein halb malvierG Menü mal was da stehtein halb mal vier G Menüabziehenaußerhalbgroß kellermetrischeTensor minusKomma Skala metrische Tensorund ?? steht im EndeffektPlusKomma Skalar mit Tischer Tensor das sieht sich alles wegund die Gleichnis viel einfacher geworden ich muss aber noch lösen der Ricci-Tensorist null außerhalb des Sternsnicht das habe kann ich mir zu guter letzt angucken wie sehen denn jetzt die Bahnen aus von Testpartikelnwas passiert denn da jetzt wirklichLos geht'sSchritt einsich wähle ein brauchbares Koordinatensystemdas Kölner systembasiert vorführen ist ein unkonventionellesdas kann ich aber deutlich besser verstehen als die üblichen Systemedas habe ich mir ausgedacht auf Basiseines klassischen Koordinatensystemsvon Kunstrandund peinlicheund zweite ich gerne in meinem Universumeine Flächemit der Topologie einer Kugelund auf dieser Flächewird in Kugelkoordinatenein Winkelbauerund ein Winkelviehauf dieser Fläche soll es eine einheitliche Zeit geben synchronisierteUhrendas soll gleichzeitigdie Eigenzeit von Betrachternsein die auf dieser Fläche einfach sitzen bleibendie Betrachter ich auf dieser Fläche sind sich einig über die Zeit des ?? können Sie den Umfang bestimmenund damitsozusagenein Radius festlegenist aber ganz dreist sagen dieser Umfangvon den gehe ich aus und rechne zurück dann muss der Radius den ?? groß Rdieser Umfang durch zwei bi gewesen seinich kann vielleicht nicht den Abstand zum Zentrum Essenden Umfang messenund damiteine gewisse Artradius festlegenund diesen Radius in Anführungszeichenfür diese gewählte Flächewenn ich groß Rund jetzt Grundidee von Kunstwort und KaDeWeMann lässt Regen fallen aus dem unendlichenRegentropfendie erst ruhenweit draußen praktisch ruhen und dann beschleunigt werden mehr und mehr beschleunigt werdenin Richtungauf unseren Stern in der Mitte glaube drehen oder globaler Regendieser globale Regen gibt ?? noch eine weitere Koordinatekann die Eigenzeit messen von diesen Partikelnich sage einfach wenn so ein Partikel genau auf meiner Fläche ist dann setzt sich die Eigenzeit auf nulldrinnen wird die Eigenzeit also positivund draußen ist dieser Eigenzeitnegativich habe eine Zeitmessungaber eigentlich mäßig mit dieser Zeiteine Positionnämlich bin ich drinnen wie weit drinnen bin ich draußen wie weit draußen bin ich genau auf dieser Flächedamit habe ich vier Koordinatentaugt die Eigenzeiteines Regentropfenauf null gesetzt in dem Moment in dem meine Kugelfläche durchstoßen wird C groß Tdie Eigenzeit von Betrachtern auf der Oberflächein diesem Moment in dem der Regentropfen durch die Oberfläche stößt das heißt dieser Regentropfen hier zum Beispielnimmt das groß T mitmerkt sich zu welchem Zeitpunkt er durch die Oberfläche gestoßen ist der Regentropfen nimmt sich nicht nur das groß D mit nimmt auch noch das Täter und das Vieh mit von der Oberflächedie Koordinaten für ein Ereignis zu findenguck ich also nach welcher Regentropfen war in diesem Moment gerade in der Gegend was ist dessen EigenzeitKleintauzu welchem Zeitpunkt groß Tist der durch die Flächen gegangen und mit welchen Täter und mit welchem Vieh ist der durch diese Fläche gegangen das sind die vier Koordinatenfür mein Ereignisdas war Schritt eins und jetzt kommt Schritt zweiich suche einen Ansatz für den metrischen Tensor in diesem Koordinatensystemder metrische Tensor mit Indices untenabhängig von tautestund Viehmeinen vier Koordinatenschreibe den mal als Matrixdas Land danummeriert die Zeilen durchalso?? gleich Null vertrauen oder gleich eins für Tund so weiterund das Mühe nummeriert die Spalten durchsechzehn Einträgeaber für den Leser symmetrisch sind also nur zehn Einträge die wirklich bestimmen muss eins zwei drei vier auf der Diagonalenein zwei drei vier fünf sechs oberhalbim allerersten Schritt kann sich überlegen dass das schon mal acht Nullen drin stehen müssennämlich in diesen beiden Blöckenrechts oben und links untenich zeige das man am Beispiel dieser Neugierimmer im Universum kuck ich mir zwei hundert Leerzeichen Regentropfen andie sich in groß Tund den Täterein bisschen unterscheidenaber dasselbe Tau haben und dasselbe vier haben dann entwickelt ja gerade diesen Eintrag aus dem metrischen Tensorder derselbe ist wie dieser Eintrag wegen der Symmetriemich interessieren zwei Ereignisse mit dem selben Taueinem etwas verschiedenengroß Teinem etwas verschiedenenTäterund im selben Viehdas Tau soll gleich sein das heißt sie haben sozusagendenselben Abstand von dieser Flächeaber das groß T ist etwas verschiedengeeinigt früher als der anderer wenn man das so sagen könntediese Koordinate zwar wörtlich nehme eines früher als der andereich schreibe mal dazu früher späterwas im Zweifelsfall relativ ist aber jetzt in unseren Koordinatenso numerisch hinkommtdie Regentropfen die dazugehörensollen den selben Winkel phi habenwir sozusagen auf dem selben Längengradaber ein etwas verschiedenen Winkel Täter haben der Breitengrad ist sozusagen etwas verschiebenund der eine Regentropfen ist eben etwas früher als der andere Regentropfendurch diese Oberfläche gegangenbeide sind gleich langgeflogenist auchum bei diesen Ereignissen anzukommenjetzt Bereich nicht mit der MetrikDS Quadrat die Shops in Klammern ins Quadratdas wenn ich etwas sicherer als das übliche DS Quadrat ohne Klammernmit ?? denn so sagt jetzt nicht das ausrechnen kann ich Shops mit Vektoren und Matrizen in etwas ungewöhnlicherweiseeinen besser sieht was passiertder Differenzvektorhier istnullund ist null in vier Richtungaber geht minimal in die Richtung schreibt mal DTinformellund geht ein bisschen in Täter Richtung Detektor schreibe ich mal informellvorne steht derselbe Differenzvektor noch malund hier steht unser metrische Tensorman sieht jetzt was ich brauche von den metrischen Tensordiesen oder oben führt dazu dass ich die erste Spalte nicht brauchedie null da hinten führt dazu dass ich die letzte Spalte nicht brauchediese nur hier oben führt dazu dass sich die Oberzeile nicht brauche diese null Toten führt dazu dass ich die untere Zeile nicht brauchees sind also nur diese vier inneren Einträge wichtigDT malirgendwas warteteirgendwas mal DT Quadrat heißt dasLosder Täter malirgendwasmal die Täterplusund jetzt kommt der Eintragder ?? interessiertundauf deiner Seite der Diagonalen steht dasselbe noch maldieser Eintragmal DT mal die Täterund auch malmal die TäterQualität also zweimalunser Eintragmal die Tdie Täterund jetzt sieht man folgendeswenn ich DT so lasse die Zeitdifferenzauf dieser Flächeaber das Vorzeichen von den Täter änderedann würde sich das Wegelementänderndas für die Kugelsymmetrieverletzenich muss fordern das hier null stehtwegen der KugelsymmetriePunkt entsprechend kann man sich die anderen drei Nullen überlegen symmetrisch dann unten die anderen drei Nullenim ersten Schritt können wir jetzt diese untere rechte Eckewas ungewöhnlich aber so kommen sich besser orientierendas sind die Zeilen durchnummeriert von Lander und das sind die Spalten durchnummeriert von Mühedie null für Tau die erste für diezweite für Täter und die dritte für Viehwir haben vier Nullenoben rechts vier null null linksund jetzt geht's um den Teilunten rechtsan dir schreibe ich jetzt einfach die räumliche Metrik für die Kugeloberflächereindas Quadrat vom Radiusnullnullund das Quadrat vom Radiusmal Sinus Quadratsstädterim ?? noch Minuszeichenich hab jadie Welt etwas ungewöhnliche Signatur ?? plusminusminus minus also minus für die Raumrichtungendeshalb hier ein Minuszeichenund die Frage ist was es jetzt dieser RadiusKomma sondern unser Universum andiese eine feste Flächeaußerhalbder Stern in der Mittebin jetzt so ein Regentropfenauf der Oberfläche ankommt Tau gleich Nullkann ich den ?? verfolgenzu einer größeren Zeit?? größer nulloder auch rückwärts verfolgen in seine Vergangenheit verfolgendas kann ich analog machen für alle Regentropfen die dann kommendie kann ich zu einer bestimmten Zeit größer null oder kleiner null verfolgenund dann guck ich mir die Fläche an die von diesen Regentropfen gebildet wirddie muss auch wieder Kugelsymmetriehabengemeinsame Zeit und kann wieder den Umfang bestimmenund sage dann also okay dieser Umfangder hilft mirein Radius zu definierendenen ich dann zwei Pi Radius von Tauweiß nicht was der Platz um Centro Messwerte gibt es auch keinen Sinn aber ich kann den Umfang bestimmenund mithilfe des Umfangs kann ich an Radius definierenich kann die Eigenzeit bestimmen die meine Tropfen gefallen sind nachdem sie durch diese Referenzfläche durch sind die mit Radius groß Roder auch zurück in die Zeitdort eine Fläche bilden deren Umfang bestimmen und dann sage ich eben Herr von Tau von dieser Eigenzeitist der Umfang dieser Fläche durch zwei Pi das muss dieses er sein also eher von Taudes ersten noch nichteine richtige Koordinatedas erst aus dem Tau berechnetsich in dem auch schon benutze ist das dieses groß Tkeine Rolle spielen soll es ist egal was die Uhren Außenanzeigendas ganzeein Jahr früher oder eine Million Jahre später passiertdiese Umfangsmessung muss dasselbe ergebenda kommt jetzt zum ersten Mal die stationäre Tetrahätte gerne das dieses groß T eine Zeitkoordinateist von der nichts abhängtjetzt immer noch die vier Einträge links oben?? oben wird mit Differenzen von Seiten multipliziertmit alles in Metern ist bauliche oben C Quadrathätte dieses Cequadrat auch in die Koordinaten einstecken können also zehn Tau und C T als Koordinaten nehmen können ich finde es so etwas übersichtlicherin dem metrischen Tensor wenn auch vielleicht etwas unüblichlinks oben bleibt einfach C Quadrat stehen bei Tau eine Eigenzeit ist wenn ich Tau ein bisschen ändere aber groß T groß Täter groß viel gleich lassemuss zehn QuadratmeterQuadrat rauskommendas cequadratsfacheder Eigenzeitmuss aus der Metrik rauskommen hier oben bleibt einfach C Quadrat stehenund die übrigen können jetzt noch mit Funktionen von Tau verziert sein wegen der Kugelsymmetriekann Täter und Vieh nicht vorkommenund weil nichts von groß T abhängen sollkann auch das nicht vorkommendie übrigen dreikönnen noch mit Funktionen von Tau verziert sein ich schreibe hier mal Haar von Town dazudann steht hier wegen der Symmetrie auch Haar von Taubei dem hier unten rechts könnte man jetzt eine weitere Funktion K von Tau einfach dazuschreibenund wer fährt sichdas gibt aber unschöneRechnungennicht Komma folgende Trickschreibe dazu Haarvon Tauquadratminus eine Funktion K von Tau ins Quadratverschreiben können Sie Quadrat mal eine Funktion von Tauhätte auch funktioniertso ist das ?? etwas raffinierterdie Gleichungen werden übersichtlicherKomma jetzt schon sehenwenn ich die Determinante oben Bilder von den vier violettenkommt der vor wenn ich den das metrischen Tensor brauche wenn ich hier die Determinante bildersteterunter anderem Cequadratswaldseequadratshaarvon Tau ins Quadratnoch ein Teil mit dem Kauf von Dans Quadratminus die Quadratshaar von Tau MaxiquadratH von taub diese vier grünen heben sich weg es bleibt zum Schluss als Determinante noch minusC QuadratK von tausend Quadratunter sieht man auch das es mit dem Quadrat funktioniertdie Determinante muss negativ sein ich brauche noch eine Raumrichtungund ?? oben auf die Zeitrichtunggroß mal minusminus K von Dowquadratscequadratist negativoder wenn was schiefgeht nulldas heißt ?? stehen in den metrischen Tensor nicht mehrzehnFunktionendie von vier Koordinaten abhängenSonne stehen nur noch drei Funktionendrin erH und Kdie von einer Koordinate abhängen Taudas ist doch schon eine erfreuliche Reduktionstellt sich heraus wir werden auch noch Haar von Taulosdas wird einfach eine Konstante werdenwas ich nehme noch gar nicht benutzt habe ist dass diese Regentropfenfrei fallenwie sind die Bahnen von den Regentropfen aus muss ich mal guckendie Koordinaten dieser Regentropfenin Abhängigkeitvon deren Eigenzeitbeschreiben also eine nach der Eigenzeit Parametrisierunggenetischemit anderen Worten was war das eigentlich ?? es ist auch dieser Eigenzeitaber für den fallenden Regentropfenist der Tee konstantgroß T das war die Zeitauf der Oberflächedes Moments in den der Regentropfen durch die Oberfläche gehtdie nimmt der mitder Regentropfen nimmt sein Winkeltäter mitunter Regentropfen nimmt sein Winkel phi mit ?? und Lambda nummeriert hier durchich kann die Gleichung für die genetische hinschreiben die zweite Ableitung meiner Koordinatennachder Eigenzeitist minus Christoffelan dem jeweiligen Punktmal die Geschwindigkeitsvektorendie erste Ableitung nach der Eigenzeitmit eins null null null werdenhier steht also eins null null null und Mühe nummeriert die Zahlen durch und hier steht genausoeins null null null und Menü nummeriertdie Zahlen durchmeine Privatnotationwelches noch mal ableitenach der Eigenzeitdie zweite Ableitung nach der Eigenzeit bilde steht dann null null null null null nullnullnull undlandernummerierteZeit durchwas in Christoffel-Symbolwird also das herausgepickt mit Mühe gleich null und null gleich nullPunkt ich erfahre das egal was Lander ist null rauskommen mussdas Lehr nicht damit aus der Geodäte GleichungChristoffel-Symboloben Land da unten null nullistegalwo ich Bilder aus ?? vom Stern natürlichgleich Null für alle Landereinmal nach was ist denn dasChristoffel-SymbolObenlander und null null das war ein halb mal das inverse von metrischen TensorObenlanderein weiter Index jetzt als eine nicht denunterAlpha vornedran kommtnull Euro nachnull ableiten plusdie null vorne Alpha als zweites und nach null ableiten minusdie beiden übergaben null null und nach Alpha ableitendie nur null Komponente nach irgendwas abgeleitetist abernullnull null Komponente steht konstantC Quadratder hinten fällt also weghier vorne steht wegen der Symmetrie des metrischen Tensorzweimal das gleichezweimal die Ableitungnach der Eigenzeitdie Tauvon G alphanullG alpha null das heißt ich gucke mir die Spalte links an und gehe alle Zeilen durchdiese Spalte ihr guck ich mir an gehe alle Zahlen durch und leite nach Tau ab dann kriege ich raus nullC QuadratH abgeleitetnullnullihr steht also zwei malwieder in meiner privaten RotationnullC QuadratDH nach D Taunullnullund der Index Alpha geht die Zeilen durchden wer symmetrische Tensor hierauf angewendetsollte Nullvektor seineinen besser Tensorkann aber nicht singulär sein die einzige Chance sie der Nullvektor rauskommt ist das hier schon der Nullvektor gestanden hat als er mich damit gezeigt dass die Ableitung von H nach Town null istHaar hängt nicht von Tau ab mein Ansatz für den metrischen Tensor wird also noch mal einfachermein metrischen Tensor sieht jetzt also so ausgehen ?? dieMühe wieder für die Zeilenund Mühe für die Spaltenoben links steht einfach C Quadratdann kommt sie Quadratsmeilenkonstantes Haar nicht mehr Herr von TaudarunterDingssehr bewährt in der Symmetriejetzt kommt ihr C Quadrat auch nicht mehr H Quadrat von tausend ?? nur noch haarquadratsminusK von Tau ins Quadrat oben rechts stehen vier Nullenund links stehen vier Nullenund unten rechts stehtdie Metrik von der Kugeloberflächemit einer unbekannten Funktion erjetzt habe ich also noch zu finden eine Funktion eher eine Funktion Kund konstanter Haarjetzt rechnen wir H noch ausdas Wetter gar nicht berücksichtigt habenist das dieses groß Tdie Zeit auf dieser Referenzoberflächemisstunsere Kugeldie für Tau gleich Nullin die Regentropfen durch die Oberfläche gehen setzen wir Tau gleich Nulldas kann ich mit dem metrischen Tensor ausrechnenwas denn diese Zeit sein soll kommt der metrische Tensor reinan Tau gleich Nullauf unserer Oberflächezwei Ereignisse im Abstand von DTselbes Tau nämlich Tau gleich Nullselbst etwa selbes Viehder Differenzvektor genauso dann auf der linken Seitewas sie jetzt rauskommt sie noch Quadratmeterhabe ich ja meine Metrik gebaut dass zum Schluss alles in Quadratmeter rauskommt ?? großes C Quadrat wieder wegnehmendas es jetzt das Quadrat der Zeitund das müssen durch dasselbe sein wie DTdamit ist DT wirklich den Zeitablauf auf der Oberfläche beschreibtKomma metrischen Tensor jetzt nur ein einzigen Eintragnämlich den mit DTDTdiesen hier ihr steht also das ist die Wurzel einst durch C QuadratD Thema DTjetzt der EC QuadratmalH Quadrat minus K von nullich bin ja auf meine ReferenzoberflächeQuadratund die WurzelC Quadrat und Sie Quadrat heben sich wegDTsoll rauskommenman lernt hier muss eine eins stehenmit anderen WortenH Quadrat ist gleicheins plusK von nullins Quadratund wenn man die Wurzelziehenist haargleichdie Wurzel aus eins Plus K von nullins Quadratplus oder minus die Wurzel ist die Frageplusdie Wurzelund zwar aus folgendem Grundnehme diese Referenzoberflächeein erster Regentropfensoll zum Zeitpunkt T einsauf der Oberfläche seindann ist da natürlich Tau eins gleich null?? auf der Oberflächesind sichere Eigenzeit auf null?? in genau dem Moment Licht aussendendas hier bei einem anderen Regentropfen ankommtdiene nicht zweiselbes Täter selbes Viehdann ist bei diesem zweiten Regentropfen das Taugrößer als null ist ja schon drinnenund der Zeitpunkt zu dem der durch diese Oberfläche gegangen istder ist kleiner als T einsder muss ja vor dem ersten Regentropfen durch die Oberfläche gegangen seinwird um uns an was die Metrik dazu sagtLichtder Differenzvektorzwischen diesen Ereignissen ist lichtartignullmuss aus der Metrik rauskommenoder aus dem Quadrat der Metrik ich heute das Quadrat der Metrikwas ist der Differenzvektorzwischen den EreignissenTau zwei minus Tau eins und T zwei minus T eins null nullselbst etwa selbes Viehrechts derselbe Vektorundin der Mitte steht wieder unser metrische Tensormich interessiert nur die linke obere Ecke von metrischen Tensorzur Erinnerungdie Standard C Quadrat C Quadrat mal Haar sechs hundert malacht hundert minus K von Tauquadratdas wird also werdenlinks obenTau zwei minus Tor eins links unter zwei MinustauHeinz also C Quadrat Maltau zwei Minustau einsQuadratplusder nächste auf die diagonalenT zwei minus T eins die zwei minus Terrainsdas schwarze Quadrat mal H Quadrat minus K vonnullQuadratT zwei minusdie einsQuadratplus zwei mal was neben der Diagonalen stehtaber drüber Komma drunter zweimalin der Diagonalen steht C Quadrat mal Haarund dann kommt doch malTau zwei Minustaueins malT zweiminus TH Quadrat minus K von null Quadratsmischungist einsTau zwei MinustauEinstauzwei Minustau eins größer nullminus gleich NullistpositivT zwei minus T einsD zwei minus T einsT zwei war vor T einsdiese Frist also negativC Quadrat mal ein Quadratgroß C Quadrat mal eins mal ein Quadrat was hier stehtist positivKomma gucken??und sieht maneine positive Zahl plus zweimal C Quadrat Hmal eine positive Zahl mal eine negative Zahl ist nulldann muss dieses Haar eine positive Zahl seinBändern habe ich plus mal plus Mal minusder so man wird negativund kann den ersten positiven Sommer zu Null machensonst wird sich von zu miralso Haar braucht ein positives Vorzeichenwerden wir damitdamit haben wir nur noch zwei unbekannte funktionenmetrischenTensordas Haar kann ich jetzt aus dem K bestimmendie Funktion K ist unbekannt die Funktion er ist unbekanntjetzt kommt derdritte Schritt?? haben ein Koordinatensystemes gibt einen brauchbaren Ansatz für den metrischen Tensorund nun kommt die Fleißarbeit aus dem metrischen Tensor die Christoffel-Symbolbestimmen daraus den Krümmungstensorbestimmendaraus den Ricci-Tensor bestimmendas ist eine sehr mechanische Arbeit die ganze Computer auf demMaxima ist ein Open Source Computer Algebra Programmwas Tensorrechnung beherrschtich sage dem erst mal per sedass er rationale Ausdrückezusammenfassensolldann lade ich das Paket was ich mit den so befasstich sage was meine Koordinatensein sollennämlichtaugtPunkt Teeund TäterPunktwiejetzt gebe ich mein metrischen Tensor an LTEblauerdieder mit den Indices untentägliche metrische Tensor UGApathie wäre der mit den Indices oben wartete das metrische Tensores kommt der mit den IndicesundLGund zwar ist das eine Matrixdes gebe ich Zeile für Zeile der Matrix anin der obersten Zeile steht Ce Quadratscequadratklein Hnull nulldie nächste ZeilestehtCequadratmal Haarund Cequadratmalpaar QuadratminusTag vonTau ins Quadratnull nullunddie nächste Zeile fängt an mit null nullund dann kommt minus er von Tauins Quadratund noch eine nullund die letzte Zeilenullnullnull und minus er von Tausquadratmal den Sinus vonTäterins Quadrat?? sieht das so viel hübscher aus finde das deutlich mathematische jetztsieht verdächtig aus wie das was ich auf meinem Notizzettelstehen habemit zeitlich diesem Paket es möge so die diversenHilfsberechnungenmachen Sie mit Vic insbesondere das Inverse des metrischen Tänzers bestimmenPunkt nun hätte ich gerne den Ricci-Tensorzu einfach mal so und zwar bitte nur die Einträge von Ricci-Tensordie nicht null sind sonst für das bisschen vollhier sind wir zu Fuß dauert das Überstundenmeyerbald eine Stunde wenn man geübt istund er habe das jetztauf ein Knopfdruckich lerne alsoim Ricci-Tensorgibt eseinigeEinträge die nicht null sind eins eins eins zwei der natürlich auch genauso zwei einswegen der Symmetrie zwei zwei drei drei vier vierdie Einsteingleichungenaußerhalb des Sterns?? bedeutet dass der Ricci-Tensorgleich Null sein muss alle Komponenten müssen verschwindenund jetzt kriege ich alsofünf Differenzialgleichungendiese fünf ausdrückliche müssen alle gleich Null sein außer vom Sterndas ist dann was aus den Einsteinschen Feldgleichungen in meinen Koordinaten wirddamit kommen wir dann bei Schritt vierdie Feldgleichungenzu lösenMaxim ausgespuckt hat waren die Komponenten vom Ricci-Tensor die nicht null sindunddie vergleichen bestand ja gerade darin zu sagen die müssen alle null seienSie der ?? monströs aus ist nicht ganz so monströs wie es scheintbeim letzten hier sieht man zum Beispieldas ist der vorletzteeinfach nur mit Sinus von der der Quadrat multiplizierthatte der letzte hierist nichts Neueswenn ich mir die oberste Gleichung angucken ja nicht der Zähler muss Null sein mit anderen Wortennull ist gleichzwei mal Ka von Tauwar die zweite Ableitung von er von Tau nach Tauplus er von Tau mal die zweite Ableitung von Kachterdas er nicht Malgleichung einswenn ich mir die zweite und die dritte Gleichung ansehe stelle ich fest dass diese große Klammeroben dasselbe ist wie die große Klammeruntenist ?? jeweils was anderes davornur wenn H gleich null istkann dieses nicht null werden es sei denn K ist nullwas komisch wärewenn es sie ungleich null istist Haar nicht gleich Nullmit anderen Worten passiert im eckigen Kasten steht muss Null seindie beiden zusammenund stelle fest null es gleichzweimal die Ableitung von Karma die Ableitung von Rpluser mal die zweite Ableitung von Cardass er nicht gleich um zweiinteressanterweisekommt in Gleichung eins und in Gleichung zwei derselbe Ausdruck vorher mal die zweite Ableitung von K ärmer die zweite Ableitung von Kdas heißtdiese beiden anderen hier müssen auch gleich sein links null stehtmuss also haben dass dieserzweimal kam mal die zweite Ableitung von ergleich dem ist zweimalK abgeleiteter abgeleitetund dann sieht man die zwei ist noch überflüssigdie für die gleichen sieht aberwitzig ausdie Komma jetzt aber vereinfachen mit den Gleichungen die man schon gefunden hatihr vorne kommt was vor mit Karmaldie zweite Ableitung von ermit einem Minuskommt was vormit der Ableitung von Kamaldie Ableitung von er mit einem Plusich kann das hier benutzenum zu sehen dass sich diese beiden Ausdrücke weggebenwenn schon die ersten beiden Gleichungen erfüllt sindund ich keiner was zusammenfassenhier kommt wieder sein Produkt K abgeleitet er abgeleitetwas auf den oberen gleichen dasselbe ist wie kam eine zweite Ableitung von erdas aber hier kam mal die zweite Ableitung von er auch drei K Quadrat von ?? Faktor kam er das heißt sie werde den Streichen und vorne einen Faktor zwei dazu schreibenwas da jetzt rauskommt wenn ich die Gleichung dreiich bin also vonfünfziemlich monströsen Gleichungen runter auf drei schon etwas übersichtlichereGleichungGleichungen römisch eins römisch zwei schreien danach das hier irgendwelcheProdukte?? Quotienten konstant bleiben dass sie oben sieht nach Produktregel aus das sie sieht auch irgendwie in einer Produktregel aus oder Quotientenregeldamit minusetwas bastelnfindet man folgendesich bilde die Ableitung von Carmag er ins Quadratund zeigt jetzt das muss konstant sein ich das nach Taucher pleite und hoffentlich null rausPunkt mal sehen was passiertProduktregel den vorderen ableiten hatte die zweite Ableitung von K habe ich dannmaldas Quadrat von Rplus hinten ableitendie erste Ableitung stehenmal wissen sie das Quadrat ableiten also zweimal hermal die Ableitung von Rund die Gleichung römisch zwei sagt mir nundas istnulllinks stehtdas Mehrfachevon dem hierund rechts steht dass er Fahrer von demdie Summe ist nullalso habe ich eine Konstante gefundendie Ableitung von Kmal das Quadrat von Rist eine Konstanteich nenne die mal Konstanzdieser Trick normal angewendet auf eine etwas andere Größeich bilde mal die Ableitung nach Tau vonder Ableitung von RdurchKdas schreit nach der Quotientenregelden Nenner Quadrierenden Zähler ableiten ?? die zweite Ableitung von ermal den Nennerminusden Zähler stehen lassen?? die erste Ableitung von ermal den Nenner abgeleitetwird steht dem Zeller etwas von dem wir wissendas es nur lässtdas war diese Kombinationvon römisch eins und römisch zweialso kann ich noch eine Konstantewas sie abgeleitet worden ist es konstantbeziehungsweiseich kann sagen dass die Ableitungvon R nach Taugleich einer konstantenich nenne sie konstantzweimal Ka Fanta istletzte Mustergleichungrömisch drei zu wenden ?? null ist gleichzwei K auch drei R zweite Ableitung von Rplus dritte Potenz von Kerster bei dem Vermerk verliertminus ?? Quadrat Kdas Quadrat ersten Ableitung vonPluscequadratPunktund da kommen jetzt die oberen Ergebnisse benutztdie Ableitung von R nach Taukennen wir schon Konstante malKaihr steht alsodas Quadrat dazu Nehmekonstantezwei ins Quadratsmarcavon Tauins Quadrat?? vorne Woche die zweite Ableitung von R nach Tau die erste Ableitung kenne ich schon ich muss das noch mal ableiten hier steht alsoKonstantezweimal die erste Ableitung von Kich weiß was die erste Ableitung von K istKonstante eins durch das Quadrat von erjetzt habe ich überall ein Faktor K hoch drei klein K hoch dreiK hoch dreiKMarca Quadrat K hoch dreiden schmeiß ich rausund lerneNull ist gleichzweimalKonstante eins mal Konstante zweimal eher durch ihr Quadrat also durch RPlusgaudrei habe ich rausgeschmissenes bleibt das Quadratder Ableitung von erminus ?? auch drei römisch rausgeschmissenes bleibt ?? Quadratmeter Konstante Zweitquadratund hinten geraucht ?? habe ich rausgeschmissenbleibtCequadratdas ist doch schon sehr viel übersichtlicherund jetzt baue ich noch eine Annahme eigentlich bisher nicht verwendet habeich wollte das meinetwegenquasi aus der Ruhe im unendlichen Feldsoll mit einer Anfangsgeschwindigkeitvon null im unendlichen starten zu unendlich negativerZeitEigenzeitTaowas bedeutet das ich schreibe mal wir wollenfürTau gegen minus unendlichdassdiese eher Koordinategegen unendlich gehter war ja eigentlichüber einen Umfang bestimmt aber im männlichen sollte mein Raum immer flacher werden das heißt er bekommt allmählich einen Sinnals Radialkoordinatedas soll gegen unendlich gehenaußerdemsoll der Fallquasi aus der Ruhe passieren im unendlichen Das heißt DR nach Ditaudie Geschwindigkeitsoll gegen null gehendiese wird ja weit draußen bei der Raum Asymptote schwach sein soll die Geschwindigkeit werdendie soll null werdenfür Tau gegen minus unendlichnicht weit weg binjetzt guckt man sich diese Gleichung anund sieht was passierthierteiligdurch R von Tauairvon Tau geht gegen unendlichwird dagegen mindesten endlichdas heißt der erste so manch geht gegen Nullmental gegen wir müssen endlich geht der zweite so meint das ist dannim Endeffekt die Geschwindigkeitgratuliertder zweite Sommer und wird auch gegen nulldagegen minus unendlich gehtund das heißt diese beiden Enden müssen sich gegenseitig weggebenich habe gerade die Konstante zwei bestimmt damithabe ich ja schon mit K ausgedrückthier hinten muss null stehen bei den beiden vorderen gegen null gehen und immer nur rauskommen muss also istHaag vertratGleichcequadratdurch die Konstantezwei ins Quadratentsteht hier hinten immer nulles muss aber immer nur rauskommen auch wenn Taunoch endlich ist das es die beiden vorderen ?? müssen sich auch noch weggebenmuss Angaben null ist gleich zweimal das Produkt der beiden Konstantendurch Rplus die Ableitung von Erzquadrataus der Gleichung drei sind damit zwei weitere Gleichungen gewordeninsgesamtist also folgendes passiertam Anfang stand die Einsteinschen FeldgleichungenPunkt was ich nun gezeigt habedas Daus für Gleichungen folgen nämlichdie Ableitung von Knach der Zeit mal das Quadrat von Rist eine Konstantedie Ableitung von R nach der Zeitist eine Konstantemal Kaund was aus der dritten Gleichung folgtedas Quadrat von H ist Quadrat der Lichtgeschwindigkeitdurch die Konstantezwei ins Quadratund das Quadratder Ableitungvon Rist gleich minus zwei das Produkt der Konstantendurch erdie Vergleichungen endlich mal ABC undDwird es in diese Richtung gezeigtman jetzt umgekehrtdiese Gleichungen hat der ?? geht offensichtlichauch die andere Richtung wenn diese vier Gleichungen gegeben sinddann folgen darausdie Einsteinschen Feldgleichungenmuss diese Gleichungen einmal einsetzen und nachrechnenoffensichtlich muss das genaudiese Konstanten hier sind physikalischnoch etwas lieblosich gebe diesen beiden Konstanten mal etwas mehr Bedeutungoder zumindest dem Produkt dieser beiden Konstanten etwas mehr Bedeutungdass sie unten sicher schon sehr verdächtig ausdas Quadrat einer sozusagen Geschwindigkeitist proportionalzu eins durch den Abstanddas Ion sieht ganz fürchterlich nachNewtons Gravitationausweit draußen erwarten wir etwas das aussieht wie die newtonsche Gravitationder Raumsonde Asymptote flach sein also eher ?? und Tau und DRnach DTVwie bei Newton erwarten wir wenn wir weit weg sind von unserem SternabstandZeit und Geschwindigkeitund der Zusammenhang ist am einfachsten wenn man den über die Energie erstelltwenn ich die kinetischeEnergienehmermeines Regentropfenein halb MV Quadratund dazu die potentielle Energie addierenminus GravitationskonstanteMasse des Sterns groß M schreibt dafürmalMasse des Regentropfendurch den Abstanddann muss ich dann null rausbekommendamitdas Teilchen im unendlichen mit einer Energie von null startetbei Newton ist diese Energie konstantstatt im endlichenmit einer Geschwindigkeit null beim Potenzial nullda muss die ganze Seite null rauskommenbei uns natürlich jetzt nur weit draußenfürTee gegen minus unendlichaus Komma diese Gleichung die hier benutzenund davon einsetzendas mache ich maldann steht hier für das Quadrat der Ableitungminus zwei malKonstante eins mal Konstante zweidurch R von Taudamit sich jetzt was dieses Produkt der beiden Konstanten istein halb mal zwei hebt sich Wegdurch er durch erMasse und Massesind überflüssigich lerne alsodas Produkt der beiden Konstantenist minus Gravitationskonstantemal die Masse des Sternsdie newtonsche Masse des Sternsund an sich lustigerweiseBeziehung hier von Newton die weit draußen gelten mussdie geht nicht nur weit draußen und näherungsweisedie Geld sogar exaktdiese Masse hier die da drin steht die Masse des Sterns ist der Stern nach Newton anfühlt?? wir nicht irgendwelche Massen Aufsummen oder Energien auf summiert sondernStern fühlt sich nach Newtonvon außen so anich habe mir mal gefühlte Masse drankein offizieller Begriffweit draußen ist eretwas Abstand und Tau etwas wie eine Zeitbei Newtonentsteht in Newtons Gesetz mit der Masse wie sie nach Newton gefühlt wirdweiter drinnen stimmt diese Gleichung auch nur er und Tauabendenatürlich nicht mehr dieselbe Bedeutung wie bei Newtonund jetzt können wir endlich er von Tau bestimmen diese Funktion eher von Tauwenn ich meine Gleichungden nehmekann ich auflösennach der Ableitungvon Herrdiist alsodie WurzelziehenKonstante Konstante ist minus GM ihr steht also minus minus einmal GMdurcheherkurze zweimal GMdurchHerr von Tauer nimmt abmeine Regentropfen fallen ja hinein weit draußennimmt er abauf jeden Fallund hier kann auch das Vorzeichen sich nicht ändern sonst hätte ich eine Unstetigkeit drinin der ersten Ableitung von R das wäre sehr komischdas muss immer ein Minus bleibendass es jetzt Differenzialgleichungwie sie im Buche stehtdie löst man durch Trennung der variablenWurzel HerüberrichterWurzel er malte er auf der linken Seite ist gleichund Rechtspartner stehen minus Wurzel zwei GMTäterdas Detail auf die andere Seite gebrachtich integrierevon einer Referenzflächegroß Rbis zu irgendeinem Radius R einsauf der rechten Seite also von der Eigenzeit Tau gleich Null die Weihe auf der Referenzflächegleich Null gesetzt bis zu irgendeiner Zeittau eins hiervon steht Konstante also minuszweiGMintegral von null bis Tau eins Tettauauf der rechten Seite kriege ich minus Wurzelzweigeim Markt auf einsWut auf der linken SeiteStammfunktion bilden eher hoch ein halb dann kriege ich hier also eher hoch drei halbe mal zwei Drittelals eine mögliche Stammfunktionvon groß R bis R einsund kann damit eher eins bestimmenzwei drittel R eins hoch drei ?? minus zwei drittel groß R hoch drei halbe ist gleichminus Wurzel zwo GMTau einsalso R eins ist gleichzweiDrittel der hoch drei halbe den rüber gebracht minusWurzel zwo GMTau einsdas ganze mal drei halbe Unze zwei Drittel loszuwerdenund das ganze auch zwei Dritteldamit habe ich endlich die Funktion er bestimmt Herr von Tauist alsodrei ?? Nummer zwei Drittel hebt sich Weg Herr hoch drei Halbe minusdrei ?? mal die Wurzelmal zwei GM?? hochzwei Drittelder Zimmer nur noch die Funktion Kaus erwischte mich jetzt das kamnämlich mithilfe von dieser Gleichungbegleite er nach Tau abteiledurch die Konstante Nummer zweidann habe ich Kdie Gleichung D alsoaus der folgt der AscarMainz durch die Konstantezweimal die Ableitung von R istaber die Ableitung von R kann ich jetzt ausrechnenich kriege also eins durch die Konstante zweimal zwei Drittelwas da stehtin den Klammernden Exponentenum eins verringert macht minus ein drittelmal die innere Ableitunginnen nach Tower bleibenalso mal minus drei halbeWurzel zwo G imzwei Drittel und Strahl beheben sich wegund ich findeCaristminusWurzel zwo gehendurch die Konstante zweistand da vornemissbrauche ich die Klammern hoch minus ein dritteleher sind die Klammern hoch zwei Drittelich zieh die Wurzelder Nachricht nur noch ein Drittel und bei den Endgeräten habe ich auch minus ein drittelalso eins durch die Wurzel aus erjetzt kenne ich kannnur diese Konstante zweiist jetzt noch nervigaber auch für die Konstante zwei haben mir wasnämlich die Gleichung Ckommt die Konstante zwei vorPunkt ich war schon was Haquadratist vor schon H QuadratsvereinsbusK von null ins Quadratalsoaus der Gleichung C folgtein Quadrat ist gleichCequadratdurchKunstzu eins Quadrat H Quadratist aber nichts anderes als eins plus Kauf von null ins QuadratK von null ins Quadrat können wir ausrechnenist also eins Plus dieses Quartierenmacht zwei GMDurchkonstantezwei Ziffer Grad mal eins durchKauf von nuller zum Zeitpunkt nullist groß er zwanzig vertiefen also einst durch groß Rspäten zweiten zum Anden nach obenund findeeins ist gleichKonstante Zweitquadratgemeinsamer Nennerund oben steht Cequadratminus zwei GM durch ehergroß erworbeneund damit sich die Konstante zwei endlichnehme ich als Wurzel aus dem Zähler ihr?? mir plus die Wurzel hätte auch minus die Wurzel nehmen können ?? das Vorzeichen von Karl Geis in der Metrik tauchte nur K Quadrat aufdamit wir die Metrik endlich konkretwas ist die Lösung der EinsteinschenFeldgleichungenfür unseren Fallder metrische TensoristCequadrat steht links oben Danzig vertrat man Haar Ziffer hat man HaarOber und unter der diagonalenCequadratmalH QuadratmeterOscar von Litauens Quadratoben rechts vier Nullen und links vier Nullenund unten rechtsder metrische Tensor für die Kugeloberflächeeher von Darwins Quadratmit einem Minusund ganz unten rechts minus er von tausend QuadratSinus Quadrat von Twitterund ich kenne jetzt die die verschiedenen ZutatenR und K und Her istder Radiusvon meinerReferenzkugeloberflächeminus zwei halbeWurzel zwo mal Gravitationskonstantemal die von außen gefüllte Masse ?? Tauhochzwei drittelKist minuszwei mal geh mal ähmdurch Netz kann ich die Konstante zwei Jahrhunderten einsetzen also wurzelt sie fordert minus zwo Mal Kemal ähmdurch hartes meiner Referenz Google mal eins durch Wurzeleher von Teeratesder fatz Google über den Umfang bestimmt vorgemerktmit dem Zentimetermaßmittelpunktgemessenund H diese Konstantedie Wurzel aus eins Plus K von null ins Quadratkann ich gar einsetzenund finde das ist eins pluszwei malgeh mal ähmden Quadrieren ?? und Quadrieren Cequadratminus zwei mal gemalt ähm durch groß Rden Quadrieren einst durch eheran der Stelle null alsogroß erdaraus die Wurzeletwas ich diese beiden Länder noch zusammen er malden vorderen Nenner also hier mal her und als das wegbringedie eins und den Wochenenden auf einen Nennernämlich den den ARC Quadratmeter zwei GMdie eins wird zu RC Quadratmeter zwei GMplus zwei GM bekomme ich vom hinterenBruchMinuszweigeplus zwei GM fliegt raus?? ich kürzemit Thermalseequadratenweit oben eins stehen Wurzel eins bleibt eins Untenwurzelkürzlich MAZ Kanada steht nach eins minus zwei GMdurch EmmacequadratPunkt hier taucht jetzt etwas Neues auf zwei GM Durchcequadratmuss die Einheit Meter haben mich Teile durch den Radiuskann ?? mit der Eins verrechnenzweimal Gemahlin Durchcequadratmuss eine Art Abstandvon Atradiusseindas ist der Schwarzschildradiuser istder Schwarzschildradiusnebenbei sieht mandieser Radius gemessen durch Umfang meiner Kugeloberflächezu klein wäredich unter der Wurzel eine negative Zahl und irgend was würde schief gehen keine gute Idee?? Radius meiner Kugeloberfläche muss hinreichend groß seinem Verhältnis zum Schwarzschildradiuswie große Schwarzschildradiusist dazu gibt ?? Nummerzeichen BeispielZenker von der Masse abfür H kriege ich jetzt also mit dem Schwarzschildradiusetwas geschrieben eins durch Wurzel eins minus Schwarzschildradiusdurch Partys meiner Grenzflächefür erihr steht ja auch zweimal gemein ähmmit defekter Schwarzschildradiusdrin bekomme ich R hoch drei Halbe minus drei halbeCe Mal kurz vom Schwarzschildradiustauzwei Drittelund für Kabel komme ichminusgesteckte Schwarzschildradiusdrin und steckte Schwarzschildradiustrennen also Wurzel er esdurchkurze eins minuser ist durch eherklug gebastelt mit dem Potenzen von zehnmal eins durchWurzel er von Taudas kann ich Nummer hübschin den metrischen Tensor reinschreiben?? Menüist alsooben steht immer noch Cequadrathier kommt sie Quadrat mal Hahahacequadratdurch diese Wurzelsteht dasselbeihr bleibt Cequadratdurcheins minus Schwarzschildradiusdurch den Radius meiner Referenz Google mal eins minus Schwarzschildradiusdurcher von Tauum vier Nullen unten vier Nullennull drei null minus elfQuadratund minus er von tausend Quadrat SinusTäterSchlappe normalerweise nicht als Matrix hinsondern in einer einzigen Zeiledieses Element DSins Quadratschreiben ausdrücklich DS Klammer ins Quadrat statt DS Quadrat?? nicht das Differential von S Quadrat gemeint istwas wir das Cequadratsteht mit DTVund die Tau als IC Quadrat mal die Tauins Quadratplusdieser steht mit Detau und DT und kommt zweimal vor also zweimalsie Quadrat durch Wurzel eins minus Schwarzschildradiusdurch groß RTau Dgroß Tplus diese hier steht mitDTmal DTPunkt sie Quadrat durch eins mit Schwarzschildradiusdurch groß Reins minus Schwarzschildradiusdurch er vonTau mal den Tee ins Quadratminusder steht mit den Täter ins Quadratund diese hier steht mit T vier ins Quadratund ich kann den mit minus er Quadratzusammenfassenhieralso plusminus Quadratvon Täter die sie ins Quadratimmer ganz genau hin Punkt kann man hier schonsehen welchen Effekt die Schwerkraftauf die Zeit hateine Zeitdilatationdurch die Schwerkraftund damit eine Rotverschiebungoder eine Blauverschiebungje nachdem in welche Richtung und gucktich gerne zwei Regentropfen anguckenzu verschiedenen Zeiten groß Tdurch meine Referenz Google gehenKomma nach gleicher Eigenzeittaujeweils anguckenund sozusagengleiche Entfernungangucken dann ist ja auch dieses eher von Tau gleich in das Tal gleichesunter gleichem Winkeltäterund vier guckenergibt mit dieser Termin das Quadrat einer Zeitdifferenzmalt sie Quadratdie ersten drei könnte man noch halbwegs zusammenfassenMelodie eins nimmt und nicht den Minusausdruckdann steht hier ?? sie Quadrat ausgeklammertder TauZiffer ?? Kommadie Tau Hamm wareinst durch die Wurzel mal DTwenn ich jedes Quadratsbilderhabe ich da schon den Term mit der Eins erledigt ich brauch noch das mit dem minusalso minusC Quadrat durch eins minus ?? ist durch erist durchR klein RT ins Quadrat und der übliche Winkelanteildamit sind die Einsteinschen Feldgleichungen gelöstund jetzt geht's weiter mit dem Schritt Nummer fünfFinanzsystemgewähltein Ansatz für die metrischen Tensor hingeschriebenMaxima hat uns in Ricci-Tensor ausgerechnetjetzt sind die Einsteinschen Feldgleichungen gelöstnun kommt der Schritt Nummer fünf ?? gucken uns mal an die tatsächlich Testpartikeldurch diese Welt fliegendie Bahn muss in zeitartigeRichtung verlaufenwerde Signaturplusminus minus minusplus für die zeitartige Richtungkann ich aber hinschreiben was das Linienelement ist mithilfe der Metrikes ist Cequadratmalte Tauplus TT durchWurzel eins minus Schwarzschildradiusdurch groß erin Klammern ins Quadrat minuszig Quadrat durch einzigen Schwarzschildradiusdurch groß R Schwarzschildradiusdurchein er von TaumateTee ins Quadratund der Winkelanteilbeim Winklanteilsubtrahieren?? ich immer eine Zahl größer gleich null das heißt sobald ich Sundwinkelanteildrin habe verringere ich meine Möglichkeitenfür den ersten Ausdruckdass der größer gleich null ist ich ziehe obendrein noch was ab wenn ich alsostudieren will was meine Testpartikel maximal möglich können mit Tau und Teenämlich den Wickelanteil gleich nullist die Radialrheinin Richtung Sternder Täter gleich nur die vielleicht null ?? ich die meisten Möglichkeiten für Tau und Teezweite Zeilewas ich wegdie obere Zeile muss größer gleich Null seinSeequadrat kann ich schon mal rausstreichenundden rechten Termauf die kleiner Seite bringen dann habe ichTau plus de groß Tdurch Wurzel eins minus Schwarzschildradiusdurch eher ins Quadratist größer gleichwas übrig geblieben isteins durcheins minus Schwarzschildradiusdurch großeSchwarzschildradiusdurch er von Taumal tätig war Punktdas muss also entlangder Bahn eines Testartikelsauf jeden Fall geltenwie kriege ich das hin wenn diegroß T gleich null istdann ist das geschenkt weil auf der linken Seite die Taube ins Quadrat steht und auf der rechten Seite steht nullalternativkönnte ich jetzt auch alles durch die groß T Teilenwurde ich dann Ableitung kriegeingenieurmäßigPhysiker mäßig mit Ableitungen gerechnet alsodie Tau durch TTplus hier steht dann nur noch eins durchins Minusals Grades durch groß Rins Quadrat ist größer gleichraus groß er er es durch Herr von Taudas ist eine quadratischeGleichungin dem Schlitz auseinanderwie kann das passierendie linke Seite kann größer sein als die Rechtewenn die Taunach DT groß genug isteine Möglichkeites kann auch passieren dass die Dau nach DT klein genug ist negativ genugdass sie drinnen eine negative Zahl steht deren Quadrat groß genug ist und größer gleich der rechten Seite zu seindas man im oberen Fall die Tau nach DTsoll positiv genug seindass der Überschuss über dieses hierim Quadrat größer gleich dem istalso der Überschuss über dasmuss im Quadrat größer gleich dem sein Bier war dann also Wurzel auseins durch eins minus er ist durch eher mal esdurch er von Tauoder Firma zusammenfassteins durch Wurzel eins minus er ist durch erden und den dann steht da noch Wurzeler es durch eher von tauchminuseinszweiter Falldie Tau nach DT ist negativgenugdas heißt ich muss den hier mit einem Minuszeichenunter treffendiese Wurzel glich dann Minuszeichendiese Wurzeltrichter Minuszeicheneins durch Wurzel eins minus er es durch groß Rmal minus WurzelBeistrich er von Tau minus einsdas versuche ich jetzt mal in einem Tauteekoordinatensystemzu Plattendann jedes Tropfens ist in diesem Diagrammeiner Horizontalezum Zeitpunkt Tau gleich Null stoß ich durch diese Referenzflächedurchgucke dort auf die Uhr für die gesamte Bahnmerke ich mirdiese Uhrzeit als groß Tansonsten läuft entlang der Bahn die Eigenzeit??und die soll Null seinwenn ich durch diese ReferenzoberflächeStoßdas sie wäre die Bahn eines Tropfensimmer noch eine eindas oben wäre also ein später Tropfen sozusagendie Zeit dieauf der Oberfläche ist groß das Ion ist ein früher Tropfenum das mal ganz weit draußen im Fernuniversumdas kann unser Tropfen tun zwei Möglichkeitendie erste Möglichkeitdie Tau nach DTist größer gleicher es durch groß RderSchwarzschildradiussoll deutlich innerhalb von dem groß R liegen hier unten steht also was von wegen null Komma neun neun neun irgendwasdie Wurzel dann auch null Komma neun neun neun irgendwas der Kehrwert davon ist eins Komma null null null irgendwaseher von Tau weit draußenist großer es durch er von Tau ist klein die Wurzel ist kleinich ziehe von einer kleinen positiven Zahl eins ab das gibt mir minus null Komma neun neun neun irgendwaseine Möglichkeit für diese Ableitung die Tau nach DT oderdie andere Möglichkeiteiner gleichvorne steht wieder eins Komma null null irgendwashabe ich nun eine kleine positive Zahlmit einem Minusalso eine negative Zahl dicht bei null und ich zieh noch eins kriegeich minus eins Komma null null null irgendwas raushabe Grenzen für die Tau nach DTetwas vorsichtig sein die Dau nach DTdas ist nicht die Ellipse nach der Ex Sonnen gerade umgedrehtdie X nach der Ywie Liegen in die typischen RichtungenEntetaunach TTgleich null istals das die Tau ändert sich nicht das hier wäre die Richtung Litauen nach TT ist gleich nullEntetau nach DT gleich eins isteine gleich minus eins istdies minus fünfundvierzig Gradwenn sie gegen unendlich gehtein kleiner Schritt in Teinen riesigen Schrittin Tauein kleiner Schritt in Tmacht einen riesigen Schritt in Tau das heißtso gehen wirgegen unendlichminus unendlich heißt ein kleiner SchrittNTmacht einen extrem negativenSchritt in Tauchein bisschen mit hierauf heißt Tau muss sinkendas heißt hierkomme ich in die Richtung minus unendlichbei der AbleitungTourismus einzeichnenden Tau nach DTsoll größer gleichminusnull Komma neunirgendwas seiihr Wärme bei minus einsmüssen positive Richtung größer gleich minus null Komma neun also etwasoberhalbvon dieser fünf vierzig Grad Linieda geht's losoberhalb von dieser vom vierzig Grad Linie bis nach plus unendlichdass es alles erlaubt?? zweiten Bereich von kleiner gleich minus eins Komma irgendwasdiese gerade etwas oberhalb von minus einsdes bin ich etwas unterhalb von der Steigung minus einsund darf meiner Steigung bis ins negativ unendlichewas jetzt ausgespartist bei DT gleich Null das hatten wir eben noch als grundsätzlichen Fall das ist also sowieso erlaubtdas wenn die wirklichen Richtung für ein Testpartikelan dieser Taukoordinateder Eigenzeit für den Regentropfenkann man jetzt ablesendas muss alsodie Richtung in die Zukunft sein und das muss die Richtung in die VergangenheitseinTau muss wachsen in die Zukunftsieht ja das Partikel das genauso schnell fällt wie der Regentropfensei das Partikel könnte aber auch schneller fallenoder langsamer fallenoder vielleicht sogar ruhennun soll dann hier heißen einen festen Wert von er von Tau habeneinen festen Wert von ?? haben im Endeffektoder sogar Weg fliegenan entscheidender Punkt ist offensichtlich die Stelle an der er von Taumeine Hilfsgrößedich aus dem Tau berechnet habe gleich dem Schwarzschildradiusistergibt sie offensichtlichdie ein oder andere Verwicklunggucken wir erst mal was außerhalb davon passiertdie Tau nach DTan diesem Term ändert sich nichts ?? kommt nicht eher von Tau fuhr also größer gleich eins Komma null null irgendwasmaldiese dem wird es aber spannend er von Tau ist nur ein kleines bisschen größer als der Schwarzschildradiusich teile er es durch eine Zahl die etwas größer ist als er es das heißt hier vorne kriege ich etwas raus das knapp unter eins ist die Wurzel knapp unter eins ich ziehe eins ab dann werde ich hier also minus null Komma null null haben eine leicht negative Zahl oder zweite Möglichkeitkleiner gleich die eins Komma null weiter stehen wir eben maler es durch HerrPAS knapp größer als er es es durch er ist also knapp unter eins die Wurzel des knapp unter eins täglich minus eine Zahl knapp unter eins minus einsist irgendwas von wegen minus eins Komma neun irgendwasmal sehen was das bedeutetdie Tau nach DT soll größergleicheins maleine knapp negative Zahl sein also größer gleich eine knapp negative Zahl sein muss entwickelt negativvierleichtlinksvon der vertikalen Staatendas wärediese Grenze knapp negativ besetzt positiv und endlich ist erlaubt größer gleichoder die zweite Möglichkeitkleiner gleicheins Komma null irgendwas mal minus eins Komma neun irgendwas also kleiner gleichder ungefähr minus zweifinde ich minus zweiminus zwei Schritte Tau ein Schritt in Tso etwahier finde ich etwa minus zweiund DT gleich Null ist natürlicherlaubt das war eben die allererste Möglichkeitder Fallunterscheidung?? man sieht an dem Regentropfendas muss also die Zukunftsrichtungseinund das muss die Vergangenheit Richtung seinjetzt kommt der spannende Teil was passiert wenn dieses eher von Tauinnerhalb vom Schwarzschildradiusistdann habe ich eine Möglichkeitdie Tau nach DTist größer gleich dieser Faktorimmer noch derselbeeins Komma null irgendwas malHerr von Tau istknapp unter RSder Bruch ist also knapp über einsdie Wurzel des knapp über eins ich ziehe eins abhake eine Zahl knapp über nullKomma nullirgendwasoderdie Taunach DT kleiner gleich eins Komma null bleibt stehenmaldiese Wurzel hier ist eine Zahl knapp über einsminusund dann noch minus eins dann bin ich knapp unter zweiminus zwei Komma null irgendwasso die möglichen Steigungen sind alsovonnullaufwärtseben nicht bei null aberleicht positivalsovon rechts oben kommt sozusagen oder besser nach rechts oben gehen sozusagenSteigung des leicht positiv bis ins unendlichealso der Bogen Rohrbachbis zur horizontaldas ist die eine Möglichkeitund die andere Möglichkeitist die Steigerungkleiner gleicheiner minus zweian weben praktisch auch an dem ändert sich nicht so drastisch was und DT gleich null ist natürlich wieder mit dabeian unseren Regentropfen Komma wieder Zukunft und Vergangenheit ablesenbezieht man hier den entscheidenden Effektsobaldein Testpartikeldiese Schwelle überschritten hat gibt es kein Zurück mehr die Zukunftsrichtungzeigt nur nach innendas Komma noch in ein Modell so fassen dass der Raumhier quasi rein fließtein Flussmodellvermutesodass dann der Raum in das schwarze Loch einfließt?? haben die Testteilchen keine Chancegegen den Raum zu schwimmen sozusagenkurz vor dem Schwarzschildradiusgibt es nur mit viel Mühe eine Chancewieder rauszukommenaber nach dem Schwarzschildradiusgibt es keine Schockshier bildet sich ein Ereignishorizontwas in den Ereignissen passiert ist für ein Beobachter außen nicht wahrzunehmenLindgren ist übrigens auch die Metrik nicht mehr stationäres gibt keine Zeitrichtungin der die Metrik konstant ist die Metrik ist der in diese Richtung konstantdiese Richtunggroß Tist aber innerhalb ?? Schwarzschildradiuskeine zeitartigeRichtung mehr sondern eine raumartige RichtungWärme gerade für unser Testpartikelihr diese grünenRichtungen herausgepickt das in die zeitartigen Richtungendes ?? natürlich vorsichtig seindiese Situation habe ich nicht immeroder sogar eher seltenbei allen normalen Objekten die man so täglich erlebteinschließlichSternenist die Oberfläche viel weiter außen als der Schwarzschildradiusund meine Gleichung geht mir nur bis zur Oberflächeder BernsteinchenFeldgleichung der für den leeren Teil des Weltalls gelöst nicht für das Innere des Sternsim Inneren des Sterns gibt ob diese Konzeption hier dann nicht mehr das Problem mit dem Schwarzschildradiushat man nur dann wenn die Oberfläche des SternsinnerhalbSchwarzschildradiusist wenn der Stern derart klein ist das hier am Schwarzschildradiusnoch die Rechnung gilt die ich gemacht habe weil ich außerhalb vom Sternbildeines nahe liegendes auch der Stern selbstdiesen Gesetzmäßigkeitenunterliegt und immer weiter kollabiertdas ist das schwarze Loch alswenn ein Objekt im wesentlicheninnerhalb seines Schwarzschildradiuses ist dann ist der völlige Kollaps unvermeidbardas Wasser weiter sich der Stern so weit zusammenziehtdas unsere Gleichung für alle positiven er von Tau geltenbei der Stern ja nur noch bei er gleich Null setztdas ist das schwarze Lochund unsere Regentropfen kommen endlicher ZeitEigenzeitvorgemerktbei er gleich Null an das Komma noch einmal ausrechnenwie lange brauchen die Regentropfenzum Beispielvom Schwarzschildradiusbis zu er gleich Nulldas mal Fall Zeittauneben Rechnung wir wissen ja eher von Tau ist gleichReferenzradiushoch drei habe minusdrei halbe LichtgeschwindigkeitSchwarzschildradiustautrug zwei Drittel das heißtTau ist alsoden muss ich rückgängig machen also zwei durchdreimal C Wurzel Schwarzschildradius?? brauche ich damuss er hoch drei habe minus er von Tau hoch drei ??damit kann ich jetzt die Fallzeit bestimmenmeiner RegentropfenvomSchwarzschildradiusbis zu er gleich Nullich subtrahierenwie viel Eigenzeit brauche ich um bei der gleichen anzukommenab der Referenzoberflächevierzehnten null ein Minuswie viel Zeit brauche ich um von der Referenzoberflächebeim Schwarzschildradiusanzukommen ?? ich sitze hier den Schwarzschildradiuseinund das gibt dann er hier und dass er da geben sich weg also zwei durch drei LichtgeschwindigkeitWurzel Schwarzschildradiusmal Schwarzschildradiushoch drei halbe?? zusammenfassenist also zweimal der Schwarzschildradiusdurch dreimal die Lichtgeschwindigkeitwenn ich nach Newton die Strecke des Schwarzschildradiusmit Lichtgeschwindigkeitfliegen würde dann wäre eine Zeit vergangen von RES durch Ceinmal er es durch zehnStück natürlich nicht ich hab Zeitdilatationdrin insofern es zwei Drittel gar nicht so plausibelder Schwarzschildradiusist der zweimal Gravitationskonstantemal die Masse des Sterns von weit draußen Wunsch bestimmt Durchcequadratdann bin ich hier also bei vier DrittelGravitationskonstanteMasse durch C hoch dreiund dass es interessanterweiseproportional zur Masseje größer die Masse wirddesto länger wird diese Fall Zeit war natürlich die Strecke auch viel größer wird ein massivesschwarzes Loch hat einen großen Schwarzschildradiusdie Strecke vom Schwarzschildradiusbis zu er gleich Null mit der Größebeim massiven schwarzen Lochsichert aber soll ich noch anmerkender Regentropfender rein fällt der kommt in endlicher Zeit bei er gleich Null an draußen ist das natürlich nicht sichtbarwas hinter dem Horizont passiert Pflicht aus mir keiner mitfür den Beobachter draußen scheint sich dieser Fall mehr und mehr zu verlangsamenist Komma ?? ?? extrem rot verschobene Signale außen an der Betrachter draußen siehtnichts mehr hinter dem EreignishorizontBetrachter draußen scheint dieser Fallvorgangunendlich langsam zu werdenmal ein paar Zahlenbeispielendie Masse eines Objektssein Radiusist physikalisch tatsächlich hat sein Schwarzschildradiusder kritische Radius unter dem es ein schwarzes Loch wird und die Fallzeitwenn es denn ein schwarzes Loch wäreihm wie ein Automit einer Masse von einmal zehn hoch drei Kilogramm vielleichtkein so großes Auto ein Radius weicht von zwei Meternwenn Schwarzschildradiuskommt raus eins Komma fünf mal zehn hoch minus vierundzwanzigMeterals ein normales Auto ist garantiert kein schwarzes Loch sein realer Radius ist viel größer als der Schwarzschildradiuswenn es ein schwarzes Loch wäre wäre die Fallzeit drei mal zehn hoch minus dreiunddreißig Sekundendie Erdesechs Komma nullals sie noch vier zwanzig Kilogramm als Masseder reale Radiussechs tausend vier hundertKilometer also sechs Komma vier mal zehn noch sechs Meterder Schwarzschildradiusläge bei acht Komma neun mal zehn hoch minus drei Meterwill sagenknapp ein Zentimeterin die Erde auf einen Radius von unter einem Zentimeter zusammengedrücktwürdedann würde sie ein schwarzes Loch werden und dann wäre die Fallzeit zweimal zehn noch minus elfSekundendie Sonnezwei Komma null mal zehn hoch dreißig Kilogrammeinen Radius von sieben Komma null mal zehn Uhr acht Meterder Schwarzschildradiusbei dieser Massewären drei Komma nullals sie noch drei Meterdrei Kilometerdas wieder merklich spannenderalso die Sonne zusammengedrücktauf einen Radius von unter drei Kilometernwürde gefährlich seinund die Fallzeit wäre dannsieben mal zehn noch mindestens sechs Sekundenund jetzt um ein paar echte schwarze Löcher oder vermuteteschwarze Löcher eine der ältesten Kandidaten des Zyklus X einssechs tausend Lichtjahre von uns entferntmit einer Masse von vorsichtig geschätzt drei mal zehn noch einunddreißig Kilogrammein Radius dernicht beobachtbar istder Schwarzschildradiuswäre dannvier mal zehn hoch vier Meterungefährje nachdem wie man die Masse dann hundertvierzig Kilometer da wird allmählich ein Schuh drausdie Fallzeiteinmal zehn hoch minus vierSekundendas heißtein Beobachter der in dieses schwarze Loch rein fällt dieses vermuteteschwarze Loch Reinfeldwird davon nicht allzu viel mehr merkenund dann noch als letzten hier sage Dariusarsternist das Zentrum der Milchstraßeda vermutet man ein supermassivesschwarzes Loch wie in praktisch allen Zentren von Galaxienachtmal zehn und sechsten dreißig Kilogrammden Radius kann man zumindest nach oben abgrenzensind weniger als sie noch dreizehn Meterder Schwarzschildradiusder sich aus der Masse ergibt sind eins Komma zwei mal zehn hoch zehn Meterund vergleiche das mit der Sonne der schwarze ?? zu diesem Objekt ist mehr als eine Größenordnungüber dem Radius der Sonneso massiv ist daskommen hier offene Fall Zeit von dreißig Sekundenein derart massives Objektder vier Millionen Sonnenmassenschreit geradezu danach ein schwarzes Loch zu seindie beiden unteren hier sind alsoziemlich sichere Kandidatenfür Schwarze Löcherdas wäre jetzt also der Abschluss von unserem Programmdiesem hier abschließendmuss angeguckt wie denn Testpartikeldurch dieses Modell Universum fliegen könnendas wesentliche Resultat war die Metrikhier stand sie und dieses klein Rmusste eben aus dem Tau berechnet werden möchte meisten Leute doch lieber dieses eher als ordentliche Koordinate haben es nicht aus irgendeiner anderen berechnen sondern dieses er soll gefälligst für sich selbstständig eine Koordinate seindas wirkt noch vordas lieferten auch die üblichen Schwarzschildkoordinatendie allerdings einen gravierenden Nachteil habeneine Koordinatensingularitätden Vergleichnicht zeige malweitere Koordinatensystemeauf dem Weg hin zu den Schwarzschildkoordinatenherausgekriegtdass die Ableitung von ernach der Taukoordinateund so weiter und so weitergleich minus LichtgeschwindigkeitWurzel SchwarzschildradiusdurchHerr von Tauch ist das es diese Ableitung ist immer kleiner als null und sie ist niemals gleich null das heißt er ist ein streng monoton fallende Funktiondes ?? kann ich eher als Koordinatenehmenaber immer mit dem Körnchen Salz er ist nicht der Abstand vom Mittelpunkt er ist der Umfang eines Kreisesan dieser Stelle durch zwei Pidiese Gleichung hier ständig umich kriege also die Tau ist gleich minus eins durch Lichtgeschwindigkeitwurzelt er durchdasdie erin dem ich das sie Tau nach rechts bringe und was sie rechts stehtin den Nenner bringenkann ich die Metrik hinschreibenmit meiner neuen Koordinateerdas kann ich dann in mein Linienelementeinsetzen was ich schon hatte alsoCequadratmaljetzt nicht mehr die Tauch sondern dieser hier einst Durchcewurzeler durchSDRund der Rest bleibt plus DTdurch Wurzel eins minus erstdurch er ins Quadrat minus zehn Grad durcheins minus ?? ist durch erist durchein er nunjetzt ist es eine Koordinatenicht mehr von Tauberund der Winkelanteil auch da ist jetzt ja die Koordinateunsere neue Koordinate und nicht ausgerechnet ausTauherrQuadrat mal die Täter ins Quadrat plusSinus QuadratmeterEvi ins Quadratkönnte mir das Quadrat wieder auseinandernehmenund kriechtmir bleibt und er durch RSD eins Quadratkommt hier kreuzt derein C bleibt übrig zweimalbeim ACdurch diesen Nenner hier eins minus Beistricher Wurzeleher durch ?? des DR DThiervon das Quadrat was ich mit dem zusammenund kriege Pluscequadrateins minus erst durch klein Rdurch eins minus RESgroß Rdie ins Quadratund wiederin Winkelanteilist es schon mal dieses eher als richtige Koordinateetabliertdieses groß Tdie Zeitauf der Referenzflächedraußenist an eine Suppe könnt ich hätte gerne eine schöne Zeitkoordinateseine globale Zeitklein T nenn ich die malund die soll jetzt von R und groß T abhängedes ?? sichert die groß Tloswerdenwas ist die groß TTotal differenzialpartielle Ableitungerer plus die partielle Ableitungnachklein TDC klein Tmeine neue Zeitvariablemit schreib ich mal hin was das bedeutetmeiner MetrikDS Quadrat wird also werden von ändert sich nichts mehr durch eseher ins Quadratminussich DT überall ersetzensie durcheins minus erst durch groß Rund CR durch RESDRund jetzt kommt mein DT ersetztpartielle Ableitungnach RTRplus partielle Ableitungnach C DDund jetzt mit dem QuadratPluscequadrateins minus er ist durch eher eins minuser ist durch groß Rund hier steht jetzt die T ins Quadratalso alser PR plus partiell nachklein TTT ins Quadratund die WinkelanteileminusR Quadratet cetera ins Quadrat plusSinus Komma Tetraeviins Quadratich will nur dieses klein T so bauendas in partiellen Ableitungen zugeschickt sind für diesen Term mir ganz viele Wegfalldazu modifizierte unten erst mal ausund gucke was ich überhaupt bekommewie viel DR Quadrat habe ich wie viel DT Quadrat habe ichwie viel DER DT habe ich unter ?? kommt dann noch der übliche Kram mit den Täter und die fürwie viel der Quadrat habe ich eher durchesihr kommt der malte erC durchWurzel eins minus RES durch groß RWurzeleher durches diese Ableitunggroß T partiell nach Herr und ihr kommt noch ein D eins Quadratdieser Term mal dieT nach DRins Quadratsquadratanhand schwarz alles durch klein Reinzelne Schwarzschildradiusdurch groß Rbei DT nach der er ins Quadratdas es alles mit eher Quadratjetzt mit DT Quadratbekomme ich nur hier also C Quadrat mal eins minus RES durch erdurch eins minus es durch groß Rmal die groß T nach D klein TpartiellinsQuadratdes gemischte DifferenzialDR DTDRDTkommt zum ersten Mal vor minus zwei Mal Lichtgeschwindigkeitdurcheins minus RESdurch erdener durcheines Schwarzschildradiusmal die partielle Ableitungnach klein Tund DR DT kommt noch mal vor wenn ich dieses Quadrat ausbuchstabierenKomma mich im Kreuz der DR DTalsozweimaldiesen bei den Waldi zweimalC Quadrateins minus RES durch eherein Zins ist durch groß Rund das Produkt der partiellen Ableitungenwie gesagt das Ziel war meine neue Variable klein T so zu bauen dass hierdie Therme einfacher werden sie dass man nicht danach aus aber es wird gelingen nur etwas Geduldwas ich vor einigen stört es dieses gemischte Differenzial DR DT möchte gern dass meine Koordinaten so weit wie möglich getrennt sind ich möchte nicht eingemischt hinter mir habenmöchtest diese große Klammern null wird ich möchte klein T so bauen heißt das dass diese partiellen Ableitungenso zusammen spielenwenn das Meerestierdas die Klammer null wirddassoll gefälligst null werdenmit Zimmermanns Ausgleichung hin schreibt wird schon ganz viel weg zwei C zwei Cmal CFeldwegsteht die Wurzel aus eins minus erst