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Kosmologie der Friedmann-Gleichungen

CC-BY-NC-SA 3.0

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es geht weiter mit diesem ganz einfachen Modell vom Universum – ich stelle mir vor dass es eine kosmologische – Zeit gibt's also eine Zeit die quer durchs Universum gilt sozusagen – dazu eine räumliche Mannigfaltigkeit – mal kleiner – mal größer – aber eigentlich – immer dieselbe räumliche Mannigfaltigkeit – bis auf ein Skalenfaktor – der sagt wie groß sie sein soll – und die Zeit der Billigkeit von diesen Skalenfaktor – der Scan A von T ist Wasser nicht interessanteste Aspekt in diesem Modell – ihr fängt der Skalenfaktor – sehr klein an wird schnell groß und dann langsam größer also könnte er vielleicht so verlaufen – die räumlichen Koordinaten in diesem Spiel – wird man typischerweise – Comovering – mit befähigt – das heißt wenn dieser Punkt die Koordinate X hat soll auch dieser Punkt die Koordinate X haben obwohl sich das Universum vergrößert hat soll diese Koordinate quasi mit dem Punkt mit fallen – an dem Punkt kleben – die sechs Koordinate misst also nicht tatsächlich Abstände – sondern ist quasi ein Name für eine Galaxie die hier mit dem Universum mit gepumpt wird – wenn ich ?? als Kreislinie andeutet ist das natürlich geflogen – wäre der nur eindimensional – ich dreidimensional – und er wäre geschlossen – für diesen Skalenfaktor – hatten wir die beiden Friedmann-Gleichungen – diesen äquivalent zu den Einsteinschen Feldgleichungen – wenn man dieses Modell einsetzt – erste Friedmann Gleichung sagt etwas über die Ableitung – vom Skalenfaktor – in dieser Formableitung – durch momentan Wert ins Quadrat – ist acht wie Gravitationskonstante – Dichte – ist natürlich Masse und Energie dann eingebaut in die dichte – relativistisch – Drittel Minuskrümmungslichtgeschwindigkeit – ins Quadrat – durch Skalenfaktor – ins Quadrat – plus kosmologische – Konstante Lichtgeschwindigkeit – Quadratsdrittel – die gleiche Nummer eins – und die gleiche Nummer zwei – hatte mit der zweiten Ableitung zu tun sozusagen mit der Beschleunigung – von diesem Skalenfaktor – und das war dann minus vier Pi Gravitationskonstante – Drittel – und hier kann mit der Druck mit der Reindichte – plus dreimal den Druck – durch Quadrat der Lichtgeschwindigkeit – und auch hier die kosmologische Konstante – als Seequadrat dritte – wenn man jetzt was fundamentales übers Universum lernen will versucht man diese Differenzialgleichungen – zu lösen Essen der gewöhnliche Differenzialgleichungen – keine partiellen Ableitungen hier – allerdings nicht linear – durch Arquadrat – und hier auch das durch A und so weiter – das macht es nicht so einfach – aber im Prinzip – lassen die beiden sich überschaubar lösen – die zweite Gleichung sieht auf Anhieb komisch aus warum durch die zweite Ableitung – meines Skalenfaktors – wenn ich doch schon die erste habe – ist die zweite Gleichung nicht eigentlich über – der Witz ist das mit die zweite Gleichung weniger was über den Skalenfaktor – sagt als über das Verhalten von Dichte und Druck – die müssen auch irgendwie vom Skalenfaktor – abhängen und die zweite Gleichung schränkt das ein – das ist in dieser Form arg verborgen es gibt eine Art wie man das etwas – offensichtlicher machen kann etwas hilfreicher hinschreiben kann und zwar so – aus der ersten Gleichung folgt – dass die Zeitableitung – von – der Zeitableitung – vom Skalenfaktor durch den Skalenfaktor ins Quadrat – dass – diese Ableitung – nämlich die Ableitung der linken Seite – die Ableitung der rechten Seite sein muss also acht die Gravitationskonstante – mal die Zeitableitung der Dichte – Drittel – hier wird durch ein Quadrat geteilt A hängt von der Zeit ab – Kettenregel – macht also plus – zwei – Krümmungsrichtgeschwindigkeitsquadrat – durch auch dreimal ab Punkt – und hier hängt nicht von der Zeit ab der viertem ableiten weg – diese Ableitung hier links – die kann ich aber ausbuchstabieren – A Punkt Quadrat – durch Arquadrat – das soll abgeleitet werden also A Punkt Quadrat mal eins durch Arquadrat – das möchte ich hier ableiten – das gibt – hier auf der linken Seite – Produktregel – den linken ableiten das macht zweimal – A Punkt A zwei Punkt – mal einst durch ein Quadrat den Rechten stehen lassen plus der zweite Teil der Produktregel – die Linken stehen lassen – den Rechten ableiten – einzig ein Quadrat ableiten – macht – minus zwei – einst durch A hoch drei mal ab Punkt – die beiden kann ich zusammenfassen – bei beiden steht der zwei – beiden steht ab Punkt – bei beiden stehen genügend A durch die geteilt werden – Durchardan – bleibt über von dem hier vorne – A zwei Punkt durch eines dieser beiden aß – und von dem her hinten – war Punkt Quadrat – durch zwei von diesen als mit einem Minus – A zwei Punkt durch Ar ist ein Fall für die zweite Friedmann Gleichung – ab Punkt Quadrat durch A Quadrat – ist ein Fall für die erste Friedmann Gleichung – das wird sich da wieder ein – das macht also – zweimal ab Punkt durch Ar aus der zweiten Friedmann Gleichung – minus vier Pi Gravitationskonstante – der Dritteldichte – plus – dreimal der Druck durch Lichtgeschwindigkeit – Quadrat plus – kosmologische Konstante C Quadrat Drittel dieser Ausdruck – und es kommt minus was rechts in der ersten Friedmann Gleichung steht – also minus acht die Gravitationskonstante – Drittel – Dichte – plus Krümmungslichtgeschwindigkeit – Quadrat durch A Quadrat – minus – kosmologische Konstante C Quadratsdrittel – ich muss also haben dass dieser Ausdruck – gleich – diesem Ausdruck es wenn ich mal die ganzen Zwischenschritte hier vergesse – kann ich so einiges Weg streichen – zweimal – Karadzic war dadurch auch drei ab Punkt – zweimal – A Punkt – durch Ar noch mal durch A Quadrat KC Quadrat – dieser hier – und dieser hier die fallen weg – dieser Term wird da abgezogen – die beiden fallen weg – und habe ich die noch über ?? und den – und den – der steht überall was von wegen prima Gravitationskonstante – Drittel – die schmeiß ich weg ?? prima Gravitationskonstante – dritte prima Gravitationskonstante – Drittel – jetzt guck ich was übergeblieben ist – habe ich acht – Mal pro Punkt – ist gleich zweimal – A Punkt durch A – minus vier pro plus Treiber der Druck durch C Quadrat – minus vier – Dichte plus aber der Druck durch C Quadrat – minus acht mal die Dichte – zweimal vier gibt acht dies acht weg diese zwei Weg diese vier wegzehnten – artig achtmal zwei sind sechzehn – aus dieser Nacht wird eine zwei – damit habe ich eine Gleichung für Roh Punkt – ihr steht nur noch roh Punkt die Zeitableitung der Dichte ist also A Punkt durch A – minus roh minus zwei pro – Nase minus drei Euro – auf minus drei P durch C Quadrat – die minus dreißig Haus sind also minus drei – ab Punkt durch Ar – mal Proplus – B durch C Quadrat – statt dass ich die zweite Friedmann Gleichung benutze kann ich also auch diese Gleichung hier benutzen die mir was über die Zeitableitung – der Dichte sagt – diese letzte Gleichung kann man aber noch etwas anschaulicher hinschreiben – immer folgendes aus – A hoch drei – mal die Dichte mal C Quadrat – auch dreimal die Dichte sollte irgendwas sein wie eine Masse – was passiert wenn ich die Masse Maxiquadrat – also die Energie – der Zeit ableite – das sieht aus wie ein spannender Ausdruck ist es auch – nicht gucke was passieren wird wenn ich den ableite – Produktregel – auch drei ableiten also drei A Quadrat ab Punkt – OIC Quadrat plus und jetzt das Gros ableiten A hoch drei – O Punkt C Quadrat – und für dieses roh Punkt zusätzlich jetzt ein sich gerade eben gefunden habe – also dreimal – A Quadrat A Punkt O C Quadrat wie eben – plus A hoch drei – und jetzt minus drei – ?? Punkt durch A – Opus P durch C Quadrat – mal C Quadrat – drei A Quadrat A Punkt groß C Quadrat – jährlich minus drei – auch drei durch Armada Quadrat ab Punkt Hocequadrat – dieser hier und dieser hier heben sich weg – und es bleibt über minus drei – A Punkt – durch Ar Mal auch drei – also Malaquadrat – P durch C Quadrat als sie Quadrat – mal P – drei – A Quadratsmala – Punkt – hatten aber eben schon ?? Quadratsmana – Punkt das ist die Zeitableitung – von A hoch drei – ist als im Endeffekt minus der Druck mal die Zeitableitung von A hoch drei – statt der beiden Friedmann-Gleichungen – die mich also die erste Friedmann Gleichung für sie war – der Button des Charakters durch den Skalenfaktor ins Quadrat ist acht die Gravitationskonstante – Dichte Drittel Minuskrümmung – C Quadrat durch A Quadrat – plus kosmologische Konstante C Quadratsdrittel – und dazu nicht die zweite Friedmann Gleichung sondern die gleichen Diebe gerade gefunden haben wenn ich ableite – A hoch drei – mal Rom als Seequadrat – nach der Zeit ableite – und dazu addiere ich ?? das rübersuchen – plus Druck mal die Ableitung von auch drei nach der Zeit dann kommt null raus – so ist das viel anschaulicher – als mit der üblichen zweiten Friedmann Gleichung – diese zweite Gleichung ist hierzu etwas geworden was an die Thermodynamik – geändert hier steht im Endeffekt – die Änderung der inneren Energievolumen – ?? Dichte ist die Masse Malcequadrat – ist die Energie – die Änderung der inneren Energie – nach der Zeit – und hier steht was wie Druck mal die Änderung des Volumens – das kennt man aus der klassischen Thermodynamik – insofern ist das nicht wirklich überraschend – und hier oben die erste – offizielle – Friedmanngleichung – auch die kann man klassisch verstehen – auf der linken Seite steht etwas wie die kinetische Energie – V Quadratsgeschwindigkeit – ins Quadrat hier steht etwas wie die kinetische Energie – geschieht etwas wie minus die potentielle – Gravitationsenergie – und – ein paar Extratherme – was man klassisch erwarten würde ist das kinetische Energieplus – potentielle Energie wie man sie rüber bringt eine Konstante ergeben – dass es relativistisch der nicht mehr ganz dasselbe – aber diese Band der mir sind auch klassisch zu verstehen – versucht diese zweite Gleichung – durch Ansatz zu lösen – und zu gucken was die erste Gleichung dann bedeutet für mein Skalenfaktor – genauer gesagt für die Zeitentwicklung – meines Skalenfaktors – der übliche Ansatz ist das diese Dichte – aus zwei Anteilen besteht – einmal einen Anteil von relativistisch – und Teilchenstrahlung – hat bei dir Eschen und einmal einen Anteil – aus kalter Materie – pro matt Materie – von diesen beiden Anteilen kann ich nämlich sofort sagen wie die sich entwickeln werden – kalte Materie verteilt sich einfach mit dem Volumen das Universum wächst das heißt dieser Anteil muss was sein wie eine Konstante rechnen Sie Malcemat – durch A hoch drei – wendet sich A verdoppelt – wird sich – dies hier auf ein achtel reduziert – weil das Volumen Fracht gemacht worden ist – mit der Strahlung ist das bisschen raffinierter – ?? im RC Rat für eine Konstante für die Strahlung – bin ich mir Fotonen vorstelle – oder Neutrinos – Komma erst mal Fotonen – die Zahl der Fotonen wird sich entsprechend – dem Volumen verdünnen – Komma wenn die Skalen – sich ändern ändern sich auch die Wellenlängen – was es kurze Wellen waren wenn dann später lange Weltkriegen noch ein Faktor A dazu – ?? sich die Wellenlänge ändert – sich die Größe des Universums ändert – also hier steht dann zum Schluss – dieser Strahlungsanteil – ist eine Konstante durch auch vier nicht durch A hoch drei – damit Verkehrs über die Dichte gesagt ich brauch den Druck – der Druck für relativistisch Materie ist ein drittel mal die – Dichte Maxiquadrat – sage ich gleich warum – und hier gehe ich von kalter nicht relativistisch Materie aus ich sage einfach der den Druck null – Randnotiz wie komme ich auf diesen Druck für Strahlung – der Energie-Impuls-Tensor – mit beiden Indices oben in einem einflussreichen schönen Koordinatensystem – freifallend nicht rotieren übliche Einheitenweiher – ich schon mehrere über die verschiedenen Geschwindigkeiten – die ich habe mit dem jeweiligen – Lorentzfaktor ins Quadrat – der – Dichte für die jeweilige Geschwindigkeit Waldseequadrate – geht's weiter mit drei Nullen darunter stehen drei Nullen – und jedem räumlichen drei mal drei Block steht die Summe über alle Geschwindigkeitsklassen – überzeugte ins Quadratsgeschwindigkeitsvektortensor – Produktgeschwindigkeitsvektor – mal die Dichte – das war für Geschwindigkeiten – unterhalb der Lichtgeschwindigkeit – in diesem drei mal drei Bock steht also – Sonderkammer Quadrat – Komma drei Matrix – mal roh und in dieser dreimal drei Matrix habe ich Frau X Quadrat – V X V Y und so weiter V Epson Quadrat in der Mitte ?? VZ – Quadrat rechts unten und so weiter und so weiter – die Summe hier auf der Diagonalen – gibt also das Quadrat – der Länge meiner Geschwindigkeit – bin ich mit der Geschwindigkeit – gegen die Lichtgeschwindigkeit – gehe muss diese Summe hier zum Quadrat der Lichtgeschwindigkeit – werden – und wenn ich dann hier noch über alle möglichen Geschwindigkeitsklassen – zum Ire müssen wir drei gleiche Zahlen stehen wegen der Entropie – was dann also daraus wird wenn ich mit der Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit – gehe muss etwas werden wie – Cequadrat – null null null null null – und muss hier Cequadratsdrittelcequadratsdrittelcequadratsdrittel – stehen und sonst lauter Nullen – daherkommt dieses ein Drittel – ich brauche drei gleiche Zahlen deren Summecequadrat – wird – hier oben im Energie-Impuls-Tensor – steht danach herum als Cequadrat – hier steht der Druck – und der ist dann offensichtlich ein Drittel von Romalcequadrat – das als Notiz am Rande – wo dieser Druck für Strahlung herkommt – wie gesagt das soll jetzt mein Ansatz sein für diese zweite Gleichung – für den Ansatz einsetzen – und gucken ob Sinn kommt – Komma habe ich also nach der Zeit – abgeleitet – auch drei mal – die Dichte hatten diese beiden Komponenten – die eine Konstante – durch auch vier – und die andere Konstante durch auch drei – Malcequadrat – versteht hier – plus der Druck das ist nur dieser Strahlungsanteil – mal – die Ableitung von hoch drei nach der Zeit – des Gezeterrum dass der null rauskommt – dann ist die zweite ?? tatsächlich erfüllt – auch drei mal Konstante durch auch dreimal Konstante – die beiden Aarau treiben sich weg wenn ich nach der Zeit ableite kommt null raus den kann ich also streichen – dann bleibt über – diese Konstante – C Quadrat – und muss sich auch minus eins ableiten – und hier habe ich ein Drittel – Dichte der Strahlung C Quadrat – und hier wie üblich dreimal A Quadrat ab Punkt – den rechtlich aus den Kehrwert ableiten gibt minus eins des Quadrat mal die Ableitung – diese Dichte der Strahlung hatten wir auch das soll ja sein – C – satt durch auch vier – Cookie was übrig bleibt drei durch drei Feldweg – A Quadrat durch auch vier macht unten einer Quadratszierrat – steht vorne Ziffer steht hinten C Quadrat steht vorne C Quadrat steht hinten – A Punkt durch A Quadrat A Punkt durch A Quadrat – vorne mit einem Minus hin mit einem Plus – es kommt tatsächlich nur raus die zweite Gleichung ist erfüllt – durch diesen Ansatz – ich kann nun also einfach alleine mit der ersten Gleichung weitermachen – ?? ich war die erste gleich noch mal den Zeitableitung vom Skalenfaktor durch den Skalenfaktor – ins Quadrat – ist acht Pi Gravitationskonstante – Drittel – besteht jetzt die Dichte die habe ich aufgespalten – in Strahlung – und – Materie – Anführungszeichen oben – wann kommt die Krümmung dazu – und die kosmologische Konstante – um was über das Universum aussagen zu können auch nun allmählich doch echte Werte für diese ganzen Zahlen die da drin stehen ich hab die mal nachgeschlagen – die heutigen Werte für diese Ausdrücke – das wichtigste ist dieses Verhältnis links – wie schnell – expandiert – der Raum A Punkt durch Ar – als und das Quadrat vorgemerkt diese Größe hier nennt sich die habe Konstante – der Ausdruck konstant ist aber mit Vorsicht zu genießen Sie es konstant – durch den Raum – aber nicht konstant in der Zeit das ist ja gerade der Witz und interessiert die Zeitabhängigkeit – von A – dieses Verhältnis hier – ist etwas bei siebzig Kilometer – pro Sekunde – pro Megabarsekbase – ist eine Einheit die die Astronomen lieben ein paar sechs sind ungefähr drei Lichtjahre – also wenn zwei Galaxien – eine Million – paar Sekt auseinander sind – haben sie aktuell – eine Relativgeschwindigkeit – von siebzig Kilometer pro Sekunde – das ist nicht gerade viel – aber das Universum ist groß – das modifiziert sicher je weiter die Galaxien auseinander sind umso – größer wird ihre Geschwindigkeit mit der sie auseinanderfliegen – Kilometer Mega PREISE das sind beides Längeneinheit man kann natürlich kürzen – in Standardeinheit – stünde hier zweimal – zehn hoch minus achtzehn pro Sekunde – also man kann es so auffassen – dass jede Länge – pro Sekunde – den Anteil von zwei mal zehn hoch achtzehn ?? länger wird durch die Expansion des Universums – das gilt natürlich nur über große Distanzen – zwischen irgendwelchen Galaxienhaufen – zum Beispiel – nicht – innerhalb des Sonnensystems – oder innerhalb eines Atoms die werdende Richtkräfte zusammengehalten – auf der rechten Seite ?? man jetzt vier Anteile – Strahlung – Materiekrümmung – kosmologische Konstante – die ?? miteinander vergleichen kann die werden ja alle addiert subtrahiert – ich hab jetzt vergleichbare – Größen hier stehen – und kann von diesen vergleichbaren Größen angeben – wie viel Prozent – sie denn zu diesem Quadrat ?? Konstante beitragen – die Strahlung – damit an die Strahlung trägt aktuell null Komma null eins Prozent bei ?? ist also aktuell nicht allzu wichtig – die Materie – dann auch diesen vor Faktor dazu genommen – bei der Materie wird etwas schwieriger die übliche – Materie – die man so sieht im Teleskop – die gewöhnliche Materie – die trägt fünf Prozent bei – aber es gibt zwar die Reviere die wir nicht sehen dark matter wieder so schön heißt bis heute sagen Materie die wir vermuten – die Tracks von zwanzig Prozent bei die Krümmung – macht im heutigen Zustand des Universums nicht allzu viel der Beitrag der Krümmung liegt im Betrag unter einem Prozent – das Universum ist sozusagen schon glatt gebügelt durch die Expansion – und der wichtigste Teil ist der letzte hier von der kosmologischen Konstante – der macht siebzig Prozent aus also bei weitem das meiste – und heißt dann populär gerne die dark energy – dark energy ist im Endeffekt nur ein anderer Name für die kosmologische – Konstante – kosmologische Konstante ist also derart positiv ?? könnte auch negativ sein sollte derart positiv dass dieser Term hier im heutigen Zustand des Universums – die andern locker überrundet – wenn das Universum expandiert – ändert sicher diese dichtet diese Dichte – hier das A Quadrat ändert sich der letzte Ball gleich das heißt diese Verhältnisse – zwischen diesen vier Anteilen die werden sich verschieben – im Laufe der Zeit – die kosmologische Konstante hier steht auch als Konstante in dieser Gleichung der wird nicht durch A Quadrat geteilt oder Ähnliches – dieses verdünnt sich nicht wenn das Universum wächst – ein konstanter Beitrag – nicht abhängig war – und es auch nicht abhängig von der Zeit – die Materie sowohl die gewöhnliche Materie wie die dark matter – die geht mit eins durch A hoch drei – deren Beitrag fällt also ab – und die Strahlung geht mit eins durch Ar hoch vier das heißt die wir zu Beginn des Universums – viel wichtiger sein als die gewöhnliche Materie – aber dann extrem schnell abklingen – so müsste der Einfluss der Strahlung aussehen – das Universum hat also mindestens drei Epochen – eine – in der die Strahlung – dominiert – dann kommt eine in der die Materie dominiert – und dann kommt eine in der die kosmologische Konstante dominiert – und jeweils kann man sich jetzt überlegen – was denn mit dem Skalenfaktor – passiert – in der Strahlung dominierten Epoche – Blatt aus der ersten Friedmann-Gleichungen – im Endeffekt – recht verstehen was mit eins durch auch vier geht – die Strahlung ging mit eins durch auch vier an anderen Therme lass ich weg – diese Differenzialgleichungen – ?? sich per Ansatz – einfach eine Potenzfunktion – auf und die ist proportional – zu T hoch irgendein festen Exponenten Kuchen – oder guck ich was passiert – wenn ich das Einsätze – wie oben steht dann Q mal T hoch Q minus eins unten steht Theo – Kuhn das ganze ins Quadrat – also bleibt links im Endeffekt T hoch – zwei Q – minus zwei – minus zwei Q – zwei Q minus zwei – minus zwei Q – und auf der rechten Seite – teile ich durch die vierte Potenz – von Theo Kuhn – Exponent rechts ist also minus vier Q – zwei Q minus zwei Q hebt sich weg ich lerne – Q muss ein halb sein – und das heißt der Skalenfaktor – geht in der Strahlung dominierten Epoche also mit Teheran half mit der Wurzel von T – ganz ähnliche Rechnung für die Materie dominierte Epoche – ich habe A Punkt durch eins Quadrat – ist proportional eins durch Ar hoch drei – der Materie Teil ging mit eins durch auch drei alle anderen ignoriere ich – hier will ich beim Ansatz etwas vorsichtiger sein – in der Strauß dominierten Epoche habe ich ganz dreist angesetzt – wenn die Zeit null ist ist auch der Skalenfaktor – null der Big Ben passiert bei dir gleich Null das habe ich hier eingebaut – hier muss ich erlauben das die gleichen auch woanders liegen darf und ineinander übergehen lassen zu dürfen also mein Ansatz wäre – das der Skalenfaktor – proportional – ist die minus irgend eine Zeit T null hoch Q – ansonsten dieselbe Rechnung – auf die Seite steht dann ich minus vier sondern – minus drei – und die habe ich dann eben nicht ein halb zwei Viertel sondern zwei drittel Crew ist zwei Drittel – und damit ist der Skalenfaktor – proportional – zu T minus dieser Anfangszeit die null hoch zwei – Drittel – Epoche Nummer drei das Universum ist dominiert – durch die kosmologische Konstante – steht – in der ersten Friedmann Song ab Punkt durch A Quadrat – ist gleich – kosmologische Konstante malt sie Quadratsdrittel – das erste was man sieht das geht wohl nur wenn die kosmologische Konstante größer ist als Null das müsste das Quadrat negativ sein – diese Differenz ?? Gleichung ist besonders einfach – ich erhalte also A Punkt durch Ar ist gleich – die Wurzel aus kosmologische Konstante Drittel – malt sie – im Prinzip könnte auch noch ein Minus davor stehen aber offensichtlich ist das nicht das was bei uns stattfindet – jetzt habe ich also dass die Zeitableitung – einer Funktion A durch die Funktion A gleich einer Konstanten – ist also eine exponentiell Funktion als Lösung – der Skalenfaktor muss in dieser Epoche – proportional – zu E Hochwurzellander – drittel – Mal Lichtgeschwindigkeit – mal die Zeit sei mit Sagen exponentiell wachsen – in der Strahlung dominierten Epoche – geht der Skalenfaktor – also wie eine umgekehrte Parabel – dann in der Materie dominierten Epoche wird der fast lineare hoch eins wäre ?? Jahr aus hoch zwei Drittel etwas nach unten abbiegen – und in der Land ?? dominierten Epoche wächst er exponentiell – das versuche ich mal in dieses Diagramm einzuzeichnen – wie hängt der Skalenfaktor – ab von der Zeit – wir nur Strahlung hätten – hätten wir hier einfach eine umgekehrte Parabel – irgendwann kommt aber der Übergang zur Materie dominierten Epoche – wurde Skalenfaktor – fast Lineal anwächst – des Kontos ist die null ins Spiel hier muss ich dann anscheinend – quasi früher angefangen haben wir die Materie dominierten Universum dass die beiden sich hier so überschneiden können – starte mit der blauen Kurve – und eine Übergangssohn – und ich sitze auf die grüne Kurve – und dann kommt wieder ein Übergang in die Lander dominierte Epoche – eine Exponentialfunktion – quasi so von dir kommt und hier blenden wir über von der grünen Kurve in unser Exponent sah Funktion – in der Strahlung sowie den Fahrers und der Materie dominierten Phase – sieht man dass die Kurve nach rechts weggeht – und in der Lander dominierten Phase geht sie nach links weg – der heutige Zustand ist in dieser Übergangsphase – am Anfang von den roten Bereich – hier ist das jetzt – die zweite Ableitung des Skalenfaktors – nach der Zeit ist bereits positiv – denn – ?? guckt sich die zweite Friedmann Gleichung an A zwei Punkt durch Ar – welche von den Term ist heute – der Gewinner – ist der mit der kosmologischen Konstante – und wir wissen dass die Positives – mit diesem Artikel dominierten Teil könnte das Alter des Universums schätzen – die einfach nur von der grünen Kurve aus und sag auch mal ganz dreist die fängt bei T gleich Null an nicht Stückchen vorher – dann habe ich also der Skalenfaktor – Möglichkeit von der Zeit ist irgend eine Konstante Marty hoch zwei Drittel – des hier mit den gleich null – das heißt – Ableitung des kahlen Faktors nach der Zeit wird sein – selben Konstante mal zwei drittel – vorne mal T hoch minus ein drittel – den Reiz reduzieren – das heißt – wenn ich die beiden Durcheinander Teile – A Punkt durch Arpflicht – die konstant heraus – das zwei Drittel bleibt stehen – und ich habe zehn hoch minus ein drittel durch die hoch zwei Drittel – also Theo minus drei Drittel besagen einst durch T – eins durch Tee ist also drei A Punkt durch zwei A T ist zwei A durch drei A Punkt – A Punkt durch Ar kennen wir das ist die habe Konstante hier steht also – zwei drittel mal eins durch zwei mal zehn hoch minus achtzehn – pro Sekunde – das sind ungefähr – drei mal zehn hoch siebzehn – Sekunden – oder elf Milliarden Jahre – immer die erste Friedmann Gleichung – korrekt löst nicht mit dieser stark vereinfachten Annahme – dann werden es dann nicht elf Milliarden Jahre sondern – knapp vierzehn – Milliarden Jahre – genauso überschlagsmäßig – kann man sich überlegen – wann denn der Übergang von der Strahlung dominierten zur Materie dominierten Epoche war – und zwar mithilfe der kosmischen Hintergrundstrahlung – dies sozusagen der Schlussakkord – dieser Epoche hier nach dem Übergang für die kosmische Hintergrundstrahlung freigesetzt – die kosmische Hintergrundstrahlung – Kosmetik Configuration – sag jetzt einfach nur die sehen wir bei drei Kelvin ungefähr – statt – wo sie hingehört bei drei tausend Kelvin – die Temperatur eines ionisiert Gases – sollte drei tausend Kelvin sein nicht drei Kelvin sein – Punkt damit kann ich jetzt zurückrechnen – die Temperatur der Strahlung – hat mit der Energie pro Teilchen zu tun – die Energie – der Strahlung wissen inzwischen geht wie einst durch auch vier – die Zahl der Teilchen geht wie einst durch A hoch drei – das heißt die Temperatur geht wie einst durch Ar – wenn sie das Universum um Faktor zwei vergrößert – im Raum wird die Temperatur – insbesondere der kosmischen Hintergrundstrahlung – um Faktor zwei runtergehen – damit kann ich folgern – der Skalenfaktor – zum heutigen Zeitpunkt – durch den Skalenfaktor – zu dem Zeitpunkt an dem die Hintergrundstrahlung – ausgesendet worden ist – dieses Verhältnis – muss umgekehrt das Verhältnis der Strahlungstemperaturen – seien also drei tausend Kelvin – durch drei Kelvin – ?? sagen tausend – seitdem sind die Längen im Universum als um den Faktor tausend – gewachsen – und jetzt rechtlich rückwärts mit dem Materie terminierten – Universum – die Zeitableitung – zu diesem Zeitpunkt – an dem die Hintergrundstrahlung – ausgesendet worden ist – durch den Wert – des kahlen Faktors zu dem Zeitpunkt ins Quadrat – das es was auf der linken Seite der ersten Friedmann Gleichung steht – das es jetzt in der Materie dominierte Phase danach kommt – irgend eine Konstante – durch diesen Skalenfaktor – wir hier steht hoch drei – und jetzt kommt bisschen Bruchrechnen das schreibe ich als selbe Konstante – durch den Skalenfaktor – heute – hoch drei – mal den Skalenfaktor – heute hoch drei – das siebzig Weg durch diesen Skalenfaktor – zum Zeitpunkt in dem die Hintergrundstrahlung – ausgesendet worden ist hoch drei – und konnte erste Friedmann Gleichung – ich weiß dass dieses hier – in der Materie dominierten Phase – die habe Konstante ins Quadrat ist mit der ersten Friedmann Gleichung also zwei mal zehn hoch minus achtzehn pro Sekunde – ins Quadrat – und dies hier weiß ich ist tausend hoch drei das Verhältnis der beiden Skalenfaktoren – ist tausend – also mal tausend hoch drei – jetzt also mit der Materie dominierten Phase quasi rückwärts gerechnet – was dieses Verhältnis sein muss Ableitung des kahlen Faktors – durch den Skalenfaktor – in dem Moment in dem die hintere Strahlung ausgesendet wird – und letztlich nicht vorwärts – vom Anfang des Universums – bis zur Aussendung – der Hintergrundstrahlung – was nicht ganz stimmt – ein groß Modell – dann habe ich in dieser Epoche ist der Skalenfaktor – eine Konstante – mal die Wurzel der Zeit – und die Ableitung des kahlen Faktors gleich – der selben Konstante durch zweimal die Wurzel der Zeit – das heißt – wenn ich die beiden Durcheinander Teile ab Punkt durch Ar kriege ich einst durch zwei mal die Zeit raus – ab Punkt durch Ar habe ich jetzt aber gerade sozusagen von hinten bestimmt – nicht rückwärts rechne – die Materie dominierte Epoche rückwärts rechnen damit habe ich ab Punkt durch Ar am Anfang der Materie dominierten Epoche – am Ende – der Strahlung dominierten Epoche das setz ich jetzt ein Finder also – der Zeitpunkt zudem die in der Schrank ausgesendet worden ist erst ein halb mal eins durch – A Punkt durch Ar diese Gleichung einfach umgestellt – von diesem Zeitpunkt natürlich hier – passiert steht – ?? gerade eben bestimmt – das ist also ein halb mal eins durch die Wurzel hieraus hier gab's Quadrat die Wurzel hieraus also hier steht zweimal zehn hoch minus achtzehn – pro Sekunde – und dann die Wurzel aus tausend hoch drei mal tausend hoch drei – Halbe – und das macht acht mal zehn hoch zwölf Sekunden – oder – drei hundert tausend Jahre – hundert tausend Stück nicht so ganz das Wetter sehr simpel gerechnet – die offizielle Antwort ist er vier hundert tausend das heißt man das Diagramm zurück geht – dieser Zeitpunkt hier die Aussendung der kosmischen Hintergrundstrahlung – nach dem Übergang – von Strahlung dominierte – Materie dominiert – ist etwa bei vier hundert tausend Jahren dann sieht man dass er sie nicht als maßstabsgetreu – ist vierzehn Milliarden Jahre bis zum jetzt – aber nur vier hundert tausend Jahre ein winziger Bruchteil davon bis zur Ausdehnung der kosmischen Hintergrundstrahlung – zuordnen eine Idee von der zeitlichen Größenordnung – des Universums – jetzt zu den räumlichen Größenordnungen – nicht seine noch mal den Verlauf – des Skalenfaktors – es beginnt mit Wurzel die in der Strahlung dominierten Phase – dann geht es mit T hoch drei halber also fast Lineal weiter – und dann kommt exponentiell Wachstum – das möchte ich jetzt im Raum betrachten – natürlich wieder in Como Winkorden – als – das hier und jetzt – befindet sich da – nimmer die X Koordinate null einfach ist egal welche ich nehme wegen der Homogenität – und vierzehn Milliarden Jahre nach dem Wegberg – das Universum beginnt – in Plasma – sich dann irgendwann lichtet das ist der Moment – in dem die kosmische Hintergrundstrahlung – ausgesendet – wird – jetzt wüsste ich gerne was passiert wenn ich zum Zeitpunkt – null also beim Bigband an der Koordinate X null – eine Lichtimpuls aus sende – das natürlich ein Gedankenexperiment – in der würde dem Plasma untergehen – ein Lichtimpuls – ab X gleich null – T gleich null – dass es jetzt nicht ganz so einfach weil ich hier in Como koordiniert bin – wenn hier ein Galaxienhaufen – entsteht bleibt der Andechs Koordinate und hier – und hier und so weiter – das wär gerade der Witz bei diesen Koordinaten ist die mit wachsen mit dem Universum – am Anfang des Universums scheint es nicht ?? schneller zu sein in diesen Koordinaten – als es derzeit ist bei dieser Entfernung in realen Kilometern gemessen ja viel kleiner war auch wenn sie immer Nix Koordinaten gleich groß sind – in diesen Koordinaten muss ich für Licht also haben – das X Punkt proportional zu eins durch A ist wenn mein Universum – um den Faktor zwei in den Längen größer geworden ist ist das Licht in diesen Koordinaten – nur halb so schnell – unterzeichnet für die verschiedenen Epochen durch was das bedeutet – in der Strahlung – dominierten Epoche habe ich X Punkt es proportional – zu – eins durch Wurzeltee – mit anderen Worten – X selbst ist proportional zur Wurzel Tee dieses integrieren – in der Materie dominierten Epoche – habe ich X Punkt ist proportional – zu eins durch T hoch zwei Drittel also Professional zu Theo minus – zwei Drittel – will sagen X selbst – ist proportional – zu T hoch plus ein Drittel diesen integrieren – das es noch nicht ganz plus eine Konstante – zu sehr von dem X weitermachen was vorher in der Strahlung dominierten Epoche rausgekommen ist – und nun in der Epoche die durch die kosmologische Konstante – dominiert wird habe ich X Punkt – ist proportional – hier hochminus – irgend eine positive Konstante mal Tee – beteiligt einst durch eine wachsende Exponentialfunktion – ich das integriere – bekomme ich das X proportional ist zu eins minus E hochminus – besagte Konstante Mathe – plus eine Konstante – nämlich die Position dich zu Ende der Materie dominierten Phase hatte – das heißt – wir fangen Wurzel für mich an diesem Diagramm also Parabel förmlich – das dort noch ausgesehen hat aber dann wird es zu Tee hoch ein Drittel – dieses Vati hoch zwei Drittel – letzter wichtige hoch ein Drittel – das muss im Verlauf also deutlich flacher werden – es übersteigt immer noch jede Zahl aber langsam – und in der letzten Epoche hier warf ich gegen eine Asymptote – E hoch minus eine Konstante Marty – wird für die Gegenden endlich zu Null werden – ihr kommt das Licht nicht mehr mit mit der Ausweitung des Universums – ich beginne gegen eine Asymptote zu laufen – und werde niemals – weiter nach rechts kommen – das war nicht was ab ist gleich null startet – ob ich hier starte oder da oder da darf kein Unterschied machen das ist homogen – ich starte mal hier – so das unser Licht – heute bei der Erde ankommt – das kann ich auf der anderen Seite auch – das Licht was wir heute sehen aus dem Universum – kommt also von hier – oder von da oder im Raum eben ringsherum ?? ich ?? nur eine Raumrichtung – dies ist das Licht was wir heute sehen – wir gucken also in die Tiefe des Raums und gleichzeitig – in die Vergangenheit – Milliarden Jahre zurück und je weiter wir zurückgucken – des rot verschobene wird dieses Licht weil das Universum der hier viel kleiner war als heute ist – das Licht bedient sich quasi auf dem Weg durch das Universum die Wellenlänge wird größer – das älteste was man sehen kann stammt von mir und von hier das ist die kosmische Hintergrundstrahlung – das Ende dieser Plasmaphase – jetzt Komma noch was in räumlichen Größenordnungen – sagen – diese Distanz hier – die Distanz aus der die kosmische Hintergrundstrahlung – ?? abgeschickt worden ist vor Milliarden Jahren – das sind zweiundvierzig Millionen Lichtjahre – wir wissen aber schon von da bis da – ist das Universum und den Faktor tausend größer geworden – das heißt wenn ich ihr an derselben Stelle Universum – einer Galaxie entstanden ist oder besser ein Galaxienhaufen – entstanden ist ist der heute tausendmal weiter weg genauer – sechsten vierzig Milliarden Lichtjahre – Milliarden vorgemerkt und sind Millionen – ich kann diese Lichtsignale – hier noch etwas weiter draußen stark ist nämlich dieselbe Kurve und schiebe sie noch im bisschen weiter nach draußen – so das die X gleich null Achse – die Asymptote – wird von dieser Kurve – die X gleich null Achse wird niemals erreicht von diesem Lichtsignal – genauso auf der anderen Seite – das heißt hier bildet sich ein Ereignishorizont – was hier hinterlegt – werden wir niemals sehen – genauso auf der anderen Seite – schlimmer noch – die Galaxien tauchen nach und nach in den Ereignishorizont – ein – natürlich das Licht ausgehen sondern – die Rotverschiebung – wird stärker und stärker irgendwann sind sie dann ganz dunkel – mehr und mehr Galaxien tauchen weg hinter den Ereignishorizont – bis wir dann mit der Andromedagalaxie – irgendwann alleine sind – und der Abstand zum Ereignishorizont – das sind aktuell sechzehn Milliarden Lichtjahre – das sind also die räumlichen Größenordnungen – des Universums – im Standardmodell für das Universum verfeinert man das ganze noch ein bisschen – in die Anfangsphase baut man zum Beispiel noch ein Inflation