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15.00 Verkettung von Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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Kompositionvon Funktionen hört sich großartiganim Mozart und Beethovenwarengemeint ist damit die Hintereinanderausführungvon Funktionenzum Beispielunsinniges Beispielals Idee ich bilde X ab auf folgendeses billig E hoch Xund dann bin ich davonden Sinusin der Formdas wäre eine Kompositioneine Verkettungzweier Funktion?? sauber schreiben Kompositioneine Verkettung zweier Funktionenerste eine ausrechnen?? dann die andere ausan das ist wohl gemerkt etwas anderesKomma ganz dick ungleich das es etwas anderes als man folgendes macht X wird abgebildetaufdie Hochsilosvon Xwenn sie zwei Funktionen miteinander verketten Ecclesiafunktionund denSinus einmal so rumeinmal so rumes natürlichhöchstwahrscheinlichwichtig in welcher Reihenfolge ich das tueamklicken Sie auf die Schnelle sehen dass diese beiden Funktionen hier wirklich verschiedene Funktionen sind das das nicht dieselbe Funktion ist nur anders geschriebenals sie können sich zum Beispiel angucken was kommt hieraus aus den Sinus kommen alle Zahlen von minus eins bis plus eins ausdas werden sie auch garantiert tun wenn ich hier Erikseinsätzealle Zahlen ab null aufwärtsalle Zahlen ab null aufwärts in den Sinus einen ätzenden Kombi garantiert aus dem Sinusanzahlvon minus eins bis plus eins rausaber nicht mehrsein wird sich wirklich rauskommenund minus zwanzig wird auch nicht rauskommenhat sich ?? oben sehe ich dass das Bild vondieser Funktiondas Intervall von minus eins bis eins beiden Seiten abgeschlossen sein mussund hier unten sehen Sieinder Sinus von X die Bildmenge des Sinus von X aus dem gleichen Grund wie eben die Bildmenge von Sinus von X sind ihre Eltern von minus eins bis einswas sich also hier ausrechnen ist eh hochaktuelle Zahlen von minus eins bis einsan das es was anders als was sie oben rauskommtsolltest mal dahinter schreiben ob seine ?? dahinter schreibenhier habe ich als Bilddefinitivdie Menge der reellen Zahlen von minus eins bis eins aber hier habe ich als Bilddie Menge der reellen Zahlendieliegengenau genau von einst durch dieist äh momentan von einst jedes ihn nämlichE hoch minuseins eins durch E und am oberen endeeo plus einsEdas sind definitiv verschiedene Intervalle die als Bilder rauskommt das wäre eine Art man sich das überlegen kann ähm noch einfacher Gänsefüßchen zugemeinsamer Testweise Werte einsetzen ?? zum Beispiel null einsetzen wie hoch Sinus von nullwieder null einsetzenSinus von null ist null die hoch null käme hiereins Rausseonur mittels hier tun haben sie eh hoch nullmachteinsund den Sinus von einsgibt was ziemlich krummesauf jeden Fall Geschichten der Reifen alsmein Werte einsetzt sieht man auch das kann ich Seins kann natürlich sein das die beiden zufällig das man entwickelt X erwischtzu dass die beiden zufälliggleich sindamaber bei den beiden müssen wirklich die Stecknadel im Heuhaufen finden Sie Zufälligkeitsind beim Funktionswert es reicht wenn irgendein Pensionsverpflichtungeneines Verschiedenesdavon gibt's hier unendlich viele verschiedeneandie kann man auch noch an das Schreiben professionellerWeise schreibt man diese Funktion hier obendie ersten ?? ausrechnen und dann den Sinusals die Exponentialfunktionverkettetso geschrieben mit dem Sinus gelesen Sinus verkettet mit dem mit der Exponentialfunktionzu heiß diese Funktion hier obenan diese Funktion der unten heißt dann analogdas ist die externe Zahlfunktion verkettet mit dem Sinusalso auf der rechten Seite steht die Fusion die zuerst angewendet wird und links steht die Funktion die nach ?? angewendet wirdPunkter müsste sich sinnvollerweiseauch noch über den DefinitionsbereichGedanken machen ?? man zwei Funktionen verkettetdennwenn ich zum BeispielNummer dreiüberlegen wir was ist eigentlich der Definitionsbereichvon der Funktionerst den natürlichen Rhythmus anwendenund dann die Wurzel anwendendie beiden hintereinanderalso was hier gerechnet wird istgegeben ein Xbestimme die natürlichen Rhythmusund was dann rauskommt setze in die Wurzel einwas wäre derDefinitionsbereicherst mal in den Logarithmusdarf ich nur zahlen?? größer als null einsetzen unter der Begründung sowieso ein Problemin Rhythmus Energie das graphenmäßigaußer dass der Logarithmusals Metafunktionan der fünfundvierzig Achse gespiegeltda dürfen die Zahlen ab null aufwärtsohne die null einsetzen positive Zahlen dürfen Sie den einsetzendenRhythmus erstes Problemnächstes Problem die Wurzelwurzeln will nurnulloder positive Zahlen keine negativen Zahlen sowie sie kennen zumindest die Wurzel keine negativen Zahlen das heißt auch ich darf kein X einsetzenso das der neue Rhythmusnegativ wirdalso geht nuralle X der außen reellen Zahlenmit der Eigenschaft dass siegrößer gleich eins ZinsUppsala oder als Intervall geschriebenoder als Intervall geschrieben alle reellen Zahlen ab eins einschließlich aufwärtsohne Ende aufwärtssei Komma was sie passiert und ich überlege mir für welche X kann ich folgendes rechnennatürlichen Rhythmus und daraus die Wurzelwelche X kann ich das rechnendie natürlichen Rhythmus sowieso nur für positiveZahlen Xschönwas rauskommt für positiveZahlenleiderwenn ichunter der eins binich unter der eins bin mit meinem X kommt was negatives raus was die Wurzelin die Grätsche zwingtan insofernmüssen die auch noch verbietendie Zahlen unter einsund das wird dann übrig bleibtalso wenn maneine Verkettungmuss man eigentlich streng immer noch gucken was mit den Definitionsbereichpassiertes kann passieren das der Definitionsbereichkleiner wird dadurchan das ich hier nicht alle X hinnehmen kann wie der Look Rhythmus verträgt und das auch noch aufpassen muss was den Außenlogarithmusdann rauskommt sodass es die Wurzel verträgtmein Beispiel hier obenist das kein Drama Ego X verträgt alle reellen Zahlen und der Sinus verträgt auch alle Zahlen öffentlich gegart und muss mir keine Gedanken über Definitionsbereichmachen das ist immerdann die komplette Menge der reellen Zahlenandas für den verketten Funktion sieht ziemlich künstlich auswenn man genauer hin gucktsieht man die an allen Ecken und Enden wenn sie folgende Funktionen sich angucken einst durch das Quadrat vom SinusQuadrat plus einssehen Sie da irgendwelcheanderen Funktionendrin die irgendwienurverkettet sindund insbesondere habe ich Sinus als Zutat dann habe ich so was euch einfach mal?? Hilfsfunktionlernen einiges Funktion die einfach sagt X wird abgebildet auf dieKehrwertund vielleicht auch noch eine Hilfsfunktiondie mir X abgebildetaufX Quadrat plus einsdann ist diese Funktion der oben nichts anderesalsarme Synagogen des Sinus wird zuerst angewendetdanachkommt dieQuadrieren und eins dazu zählenund danachkommt FKehrwertund ihr Petriplatz gelassenKomma richtig sattgeplant Punktdas passiertediese Funktion der obenbestimmt zuerst den Sinusdannmit dem Ergebnis aus dem Sinus geht sie in Quadrat und eins dazu Quadrat und ein zuund dann geht siein den Kehrwertzum Beispieles gibt ein beratendes aufzuteilendes Bus eins können Sie hierzum Kehrwetter nehmen oder sie machen aus dem G zwei Funktionenquartierenund dann nächsten Schritt einsetzen sind und so weiter das ist jetzt keine eindeutige Zerlegungnur eine Ideedass man in solchen Ausdrücken tatsächlich verkettete Funktionen wieder findetder Sinus steht hier das Quadrat steht hier beides bekannte Funktionen die kommen ihnen drin vor der wird noch was eins addiertalso verschobenauf der y-Achse dann wird hiermit gebildet und so weiter alle sind einanderständig weit vorgesehenen Taschenrechner eingeben würden immer schön verschiedene Tasten irgendwo Sinus das Tier vor die einzige X Taste sind auchFunktionenFunktion verketten heißt mathematisch nicht anders als mir das miteinander zu drückendie bilden dann eineneue Funktionals um ein kleines Programm an dickeren Makroeinrichtungenein vermehrtes Miteinander drücktmit dieser Funktion den verketten Funktion beschäftigt sich zum Beispiel die Kettenregeldie nicht umsonst ein Kettenregel heißtnungerne bisher immer so in der Formschreibt meine klassischen Formenleite eine Funktion abdie von einer anderen Funktion abhängt sowasleider eine Funktion einer anderen Funktion abund bringen sie klassisch was raus?? schulmäßigdie äußere AbleitungBeistrichdie äußere Funktion SF die Äußeres und ableiten aber dannan der bekannten Stelle mal G Strichvon X das wäre schulmäßigeäußere Ableitung mal innere Ableitungdannwenn man dasmit dieser einen Symbolik schreibt mit der Profisymbolikder Kompositionder Verkettungsteht hierverkettete F und Gin der Formverkettete F und G und leite das X abund hier stehtdie Verkettung welcher Funktionja habe ich elf Beistrichverkettet mitGerst die anwenden und ?? Beistrich anwendenmaldie Strich von Xbewusster oben stehtan kurz geschrieben??X kann ?? weglassen Weise über der jetzt ziemlichgegenstandslos rumstehtdie Ableitungeiner verketten FunktionF Kringel G die Ableitung einer verketteten Funktionist folgendeses ist die Ableitung der ersten Funktion verkettetmit der zweiten der inneren Funktionen maldie Ableitung der inneren Funktiondie Kettenregel dannkurz geschrieben aus die Ableitung einer verketteten Funktion ist von ableitenverkettet mit dem alten Malin ?? bleibendie Regel für Funktionenhingeschrieben nicht für Funktionswertehier steht ja was ist der Wert der Ableitungvon eher verkettet mit G an der Stelle Xhier steht was ist die Funktionabgeleitetalso alle Werte an allen X zusammengenommenauf einmal betrachtetmanbei dem Newtonverfahrenhatten wir schon?? laufende Verkettungerinnernum den Nullstelle zu findenrate ich einen AnfangswertLegetangentean die Stellean die Kurvegucke wo die Tangente durch die x-Achse geht rategerade nichts obwohl der ?? durch die x-Achse geht nehme da den nächsten Funktionswertliege darin eine Tangente dranund so weiterund so weiter und so fort das war im Endeffekt auch eine Verkettung von Funktionen immer wieder dieselbe Funktion nämlicharm XminusmeineFunktiondurch die Ableitung meiner Funktiondieses wurde immer wiederin sich selbst eingesetztFunktion für eine Funktion aufgerufenund es immer wieder in sich selbst einsetzen und auch schon das hat einen andem Skript abschreiben wenn ich an eine Funktion von sich selbst von sich selbst von sich selbst Bilderso als ob sie beim Taschenrechner eine Zahl eingeben und dann den Sinusfirmenintern einer drückenden klassischen Tassen Rechnerfirmenintern anwendenähmheißtdann nach FO vier die vierte Potenz der Funktionund die hatten auch schonhoch minus eins ?? schon erklärtwie das zusammenhängtanfing den Exponent zu rechnendas soll dieUmkehrfunktionsein wenn sie denn existiert meine Funktion F