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Zeitdilatation, Eigenzeit, Zwillingsparadoxa


CC-BY-NC-SA 3.0

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geht man Initial System – schau ich mir ein Objekt an das mit konstanten Geschwindigkeitsvektor – fliegt – sein wir V – für die Zeit Delta T – und frage mich wie viel Zeit vergeht jetzt für dieses Objekt selbst – wenn Zeit und Raum gemischt werden ist klar dass sie irgendwas schlimmes passieren muss die Zeit die hier für das Objekt selbst vergeht wird nicht die Zeit sein Delta T – die in meinem Inertialsystem – hier vergeht – ins Computer die definierende Eigenschaft der Lorentz-Transformation – wenn ich von diesem initial System XT – transformieren – auf das Initialsystem – was an diesem Objekt hängt – muss folgendes erhalten bleiben – Cequadrat – war die Zeit die in meinem Netzteilsystem – XT vergeht – ins Quadrat – minus – die Distanz ins Quadrat – die in diesem System zurückgelegt – wird das wird also sein – Geschwindigkeitsvektor – mal Delta T davon die Länge ins Quadrat – das muss derselbe sein – als wenn ich das in dem System Rechner was hiermit bewegt wird mit dem Objekt also Cequadrat – mal – en was delta T Strichquadrat – die Zeit die in diesem – Objekt vergeht – minus – immer so niederzuschreiben – will den Nullvektor ins Quadrat – weil ich hier mich nicht fertig bewege in dem System – Komma Weglassen – des Jochen kann ich noch auseinandernehmen – delta T Quadrat überall rausnehmen – dann habe ich das ist Cequadrat – minus die Länge vom Geschwindigkeitsvektor – ins Quadrat mal delta T Quadrat – delta T die Zeit die in meinem – großen – sozusagen – großen System vergeht – das lösen wir auf – die Zeit stehen dem bewegten System vergeht – Delta T Beistrich – wird also werden – sie Quadrat rüber bringen vorzuziehen – und dann haben wir das ist eins minus – die Länge des Geschwindigkeit etwas ins Quadrat Durchcequadrat – daraus die Wurzel – ?? delta T – dies hier ist offensichtlich – der Kehrwert vom Lorenz Faktor – Beistrich gamma und noch offensichtlicher – ist das weniger als eins eins minus eine positive Zahl – daraus die Wurzel das ist weniger als eins – es sei denn ich bewege mich nicht – aus der Nullvektor – das heißt – in dem bewegten System – für dieses Objekt – vergeht weniger Zeit – ein Faktor kleiner als eins mal – meine Originalzeit – sozusagen die Zeit in dem großen äußeren System – aus Sicht des XT Systems – scheint die Zeit in dem bewegten System – in dem relativ dazu bewegten System soll ich sagen – langsamer zu vergehen – die Zeit wird gedehnt ?? das ist Zeitdilatation – die Zeitdehnung – dass das Gegenstück zur Längenkontraktion – im englischen übrigens Time Delay schon – verfielen zwei Buchstaben im englischen – wenn man dies hat Komma sich leicht überlegen was passiert wenn man ein Objekt hat dass sie sich nicht mit einem konstanten Geschwindigkeitsvektor – bewegt – mit dem ich also nicht dauerhaft ein Initialsystem – mitfliegen lassen kann – das führt auf den Begriff der Eigenzeit – im englischen Körperteil – nicht Eigenteil möchte man glauben wegen Eigenvalue – das ist die Zeit die man quasi auf seine Armbanduhr – abschließt – die Zeit – in einem System – das nicht unbedingt ein Inertialsystem – sein muss – ich gehe wieder von einem Inertialsystem – aus – und in diesem Inertialsystem – hätte ich gerne eine Bewegung – zu etwas – und damit erstmalig so schwierig wird eine Bewegung – aus lauter Stücken – mit jeweils konstanten Geschwindigkeitsvektor – sagen für die Zeit Delta T eins – Geschwindigkeitsvektor – V eins – immer in Bezug auf dieses initial System XT – dann für – die Zeitspanne – Delta T zwei – ein Geschwindigkeitsvektor – V zwei – delta T drei – ein Geschwindigkeitsvektor – V drei – und so weiter – und so weiter – bis wir am Ziel angelangt sind – und jetzt möchte ich wissen wie viel Zeit für dieses Objekt hier vergangen ist – gibt ein Beobachter – der mit fliegt – Punkt am Anfang auf seine Armbanduhr der gut am Ende auf seine Armbanduhr – was sieht er als Zeitspanne – für diesen gesamten Flug – das ist die Eigenzeit das gerne Tau – der griechische Buchstabe Tau – das wird sein wie viel Zeit das erste Stück gedauert hat für den mitfliegenden Beobachter plus Besitzer das zweite gedauert hat und so weiter – also etwas wie Delta T eins – Strich – plus Delta T zwei Strich plus – Filter T Beistrich und so weiter alle diese Stück auch summiert – Neujahr für so eine Bewegung hier mit konstanten Geschwindigkeitsvektor – weiß ich schon was passiert – das wird werden – eins minus – ersten Geschwindigkeitsvektor – davon die Länge ins Quadrat durchzieht Quadrat aus die Wurzel mal Delta T eins – die Zeit die für das erste Stückchen in dem – initial System XT vergeht – plus – jetzt das fürs zweite Stückchen eins minus die Länge von Geschwindigkeitsvektor – für zwei Stückchen Quadrat durchzieht Quadrat – mal Delta T zwei – Plus – wird damit langweilig dasselbe für delta T drei natürlich – hiermit V drei – plus und so weiter – wenn ich das so hinschreiben – ?? Fluggerät – eigentlich schon bisschen – versteckt eigentlich noch sehr viel Gehirnsschmalz – dahinter – hier setz ich mich in ein bestimmtes initial System das hier so mit fliegt – an dieser Stelle steige ich um in ein anderes Initialsystempflege – mit dem ein bisschen mit und Beistrich um in ein weiteres Inertialsystem – Beistrich mit dem ein bisschen mit eigentlich muss man sich noch ganz feinsäuberlich überlegen was passiert denn beim Umsteigen – ein unendlich hoher Beschleunigung – das ist nicht ganz so – trivial – aus dem Bauch heraus ist klar – wenn ich umsteige von einem System ins andere – dann wird meine Armbanduhr nicht plötzlich verrückt spielen sondern die wird schön stetig weiter machen die wird nicht springen – diese Bahn hier aus lauter – Stücken mit konstanten Geschwindigkeitsvektor – ist natürlich nicht allzu praktisch werden gerne eine Bahn die vielleicht so verläuft – schön fließend verläuft – aber die kann ich aus solchen Stücken – nachbilden – genauer und genauer nachbilden – und gucken einfach an was dann mit dieser Summe passiert – diese Summe hier wird ein integral werden – das Delta T wird formal zum DT werden – und diese Wurzel hier dass es ganz geradlinig für zu eins minus – die aktuelle – Geschwindigkeit – ins Quadrat durch zig Fahrrad – und ich integriere – vom Zeitpunkt – zu dem ich anfange – zwei Theater – bis zu dem Zeitpunkt – zu dem ich Ende zwei TE – was ich hier bin ich am Zeitpunkt TA – in meinem initial System XT – und hier bin ich bei T E – und die sieht man auch wieder sehr schön – wenn die Geschwindigkeit nicht die ganze Zeit nur lässt – wenn ich die ganze Zeit eins steht somit immer etwas weniger als eins steht – ist die Eigenzeit – kleiner als die Zeit – TE minus TA – die im Managersystem – X T vergeht – denn wenn ihr eins steht – einmal die TNT wird von TA bis TE – bekomme ich genau TE minus Theaterhaus – versteht – immer weniger da – wenn die Geschwindigkeit nicht immer neu ist – dieser Eigenzeit – ist eine in Variante – was die bewegte Beobachter auf seine Armbanduhr abschließt – kann nicht davon abhängen – in welchem System ich diese Geschwindigkeiten – diese Zeiten angegeben habe – das heißt wenn ich hier nicht – mit dem initial System XT angefangen hätte sondern an andere Netzteilsystem – dieselbe Bewegung beschrieben hätte – müssen sich hier die Zeiten und die Geschwindigkeiten so ändern das zum Schluss genau dass er wieder rauskommt – das Komma einfach nachrechnen aber es ist schon so klar es muss hinhauen – noch eine Fußnote zu dieser Form die sieht ganz fürchterlich aus wie die klassische Bogenlänge – die Analogie will ich gerade mal aufzeigen – wenn ich eine Kurve habe im Raum – im dreidimensionalen – Raum kein Spielenzian mit vier Dimensionen – ich eine Kurve habe im dreidimensionalen – Raum – kann ich mich fragen wie lang ist diese Kurve Schneemann Maßband lichtes um die Kurve rum – wie viel Meter ist diese Kurve lang – die Bogenlänge – es gibt eine ?? vertritt das auszurechnen – ich fahre diese Kurve ab – und merke mir welche Geschwindigkeit – ich grade habe – fahre von A nach B – in einer bestimmten Zeitspanne – und messe jeweils die Geschwindigkeit mit der ich Fahrbeispiel – ich fahre drei Stunden – erste Stunde zweite Stunde dritte Stunde – und habe Geschwindigkeiten – bis zu hundert fünfzig – Kilometer pro Stunde – sagen wir die erste Stunde Fahrt mit hundert fünfzig – und dann war ich zwei Stunden lang mit fünfzig – ?? kann ich sagen welche Strecke ich insgesamt zurückgelegt – habe von A nach B der ersten Stunde – habe ich hundert fünfzig – Kilometer zurückgelegt – und in der zweiten Stunde und der dritten Stunde zusammen habe ich zwei mal fünfzig Kilometer zurückgelegt – also hundert Kilometer – Komma sich das jetzt anguckt – im Verhältnis zu dieser Kurve neuer Kurs übertrieben – zu dieser Funktion – die Geschwindigkeiten – Artigkeit von der Zeit – beschreibt – sieht man ich habe die Fläche unter der Kurve ausgerechnet – eine Stunde mal hundert fünfzig Kilometer pro Stunde – sind meine hundert fünfzig – Kilometer – für die erste Stunde – zwei Stunden mal fünfzig Kilometer pro Stunde – sind meine hundert Kilometer – für die zweite und die dritte Stunde – Breite mal Höhe – und das muss natürlich allgemein gelten – wenn ich irgend ein Zusammenhang – habe zwischen – Geschwindigkeit – und Zeit – kann ich mir vorstellen dass ich immer für eine Sekunde mit konstanter Geschwindigkeit – fahren – muss derselbe Gedanke gelten – die Fläche unter dieser Kurve – das muss die Bogenlänge sein – wobei man ein bisschen aufpassen muss mit den Einheiten – die Fläche unter dieser Kurve hatte die Einheitsstunde – mal Kilometer pro Stunde – die Einheit Kilometer – an Fläche – mit der Einheitskilometer – ?? dafür das Wörtchen Fläche nicht so genau nehmen – es ist das bestimmte integral – ich integriere – die Geschwindigkeit – über die Zeit – den Betrag des Geschwindigkeitsvektor – vorgemerkt – lediglich – über die Zeit und kriege damit die Länge aus die die zurückgelegte Strecke – also die Bogenlänge ist – Integral – vom Anfangszeit – Punkt bis zum Ende Zeitpunkt – der Länge des Geschwindigkeitsvektorsgutachtens – anders schreiben will – Integral vom Anfangszeit – Punkt bis zum Entzeitpunkt – von der Wurzel des Quadrat – des Geschwindigkeitsvektor – ist – dieser Ausdruck hier – das integral der Wurzel des Quadrat des Geschwindigkeitsvektorsger – sieht ja ganz verdächtig aus – wie dieser Ausdruck der jeweiligen Zeit vorkommt – Geschwindigkeitsvektorlänge – Quadrieren – Wurzel – aber wer kann mir das ganze noch hiermit ?? eins minus und dem Cequadrat – dies ist so eine Art vier dimensionale Bogenlänge – ?? mit einigen Körnchen Salz insbesondere wegen des minus der Trennung – geht es insbesondere Manns für Licht ausprobiert – wenn diese Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit – ist steht hier eins minus zig Fahrer Durchcequadrat – macht null – die Eigenzeit wird Null – nicht altert nicht – das würde ja nur mit der Bogenlänge nicht hinhauen die Bogenlänge ist niemals null es sei denn die Geschwindigkeit – ist die ganze Zeit nur ich bewege mich nicht von der Stelle – die Zeitdilatation – hat ein paar erstaunliche Konsequenzen – stellen uns einen extrem – langen Bahnsteig – vor – mit ganz viel Uhren drauf – die alle richtig gehen – für den Beobachter – der auf dem Bahnsteig sitzt – und einen ultraschnellen Zug – der daran quasi vorbeifliegt – und auch da sitzt ein Beobachter drin – mit einer eigenen Uhr das immer wieder nett als ein Edeldiagramm – auf Lahn – hier haben wir die X Koordinate – Punkt die Zeitkoordinate – für den Beobachter auf dem Bahnsteig – X natürlich von links nach rechts – und her mit X Strichkoordinate – und die CT – Strichkoordinate – für den Beobachter im Zug – manuell ?? Diagramm sind die Einheiten auf allen vier Achsen gleich groß – geometrisch – kann die Zeitachse mal dran machen was die Uhren sagen – Beistrich die erste Sekunde rum für den Beobachter im Zug ist die zweite Sekunde runter ist die dritte Sekunde rum – und – am Bahnsteig – ist hier die erste Sekunde runter als die zweite Runde ?? ist die dritte um – die Ohren entlang vom Bahnsteig – sind synchronisiert – im violetten System des Bahnsteigs – gehen die alle richtig zeigen alle dieselbe Zeit an – das heißt hier auf der x-Achse – da zeigen die Uhren – am Bahnsteig alle null Sekunden an – hier auf dieser geraden parallel dazu – da zeigen sie alle eine Sekunde an hier zeigen Sie alle zwei Sekunden an – und hier zeigen sie alle die Zeit von drei Sekunden an – die Uhrentzug – zeigt aber erst hier – drei Sekunden an – und hier zeigt sie noch zwei Sekunden an das heißt – der Beobachter im Zug – sieht an sich Spuren vorbei rauschen die drei Sekunden anzeigen – aber seine Armbanduhr – zeigt noch zwei Sekunden an – und wenn er draußen jemand steht – und guckt in den Zug – dann sie dann entweder selber – die Bahnhofsuhren – zeigen drei Sekunden – aber im Zug ist weniger Zeit vergangen – ist eines ?? noch alles in Ordnung – bekommen sich jetzt überlegen dass das auch umgekehrt gelten muss ?? das ist der Grundgedanke – hinter den ganzen Zwillingsparadoxon – wenn das hier zwei Zwillinge sind – scheint – ?? bewusst scheint – der eine Zwilling langsamer zu altern – als der andere – aber das muss je nach Perspektive auch umgekehrt – gelten – wenn ich mir den Zug als – riesig – lang vorstelle – und in jedem Abteil – hängt deutlich von außen sichtbar eine Uhr – geht das ganze auch umgekehrt – diese Uhren sind im Zug – synchron – den Zug sitzt glaubt dass alle diese Uhren im Gleichtakt gehen – hier auf der Expressachse – da zeigen alle diese Uhren – null Sekunden an hier zeigen sie alle eine Sekunde an – ihr zeigen sie alle zwei Sekunden an – und hier stehen sie alle auf drei Sekunden – also der Beobachter – der hier auf dem Bahnsteig – steht – und in den Zug kuckt – der sieht dass die Uhr Entzug – drei Sekunden anzeigt – Komma seine eigene Uhr auf dem Bahnsteig noch nicht drei Sekunden anzeigte und immer noch zwei Sekunden anzeigt – dasselbe Phänomen – aber umgedreht – diese beiden Rollen sind austauschbar – das heißt man kann gar nicht sagen wer von den beiden schneller altert – das heißt es gibt diesen scheinbaren – Widerspruch – das einmal der eine Stelle altert und einmal der andere schneller altert – und die Lösung ist – es gibt da kein Paradoxon – man kann es nicht sagen – ich kann das Alter von den beiden nur vergleichen – wenn sie zur selben Zeit an derselben Stelle sind – sonst schlägt diese Relativität – der Gleichzeitigkeit – zu – ?? sind aber nur ein einziges Mal – zur selben Zeit an derselben Stelle und dann sehen sie sich nie wieder – irgendwie müssen die beiden sich wieder treffen sonst macht es keinen Sinn die beiden Alter zu vergleichen – in dieser Situation hier treffen sich nie wieder – und ich kann nicht sagen ob der eine schneller altert als der andere – damit die beiden ihr Alter vergleichen können muss der eine – Entzug sitzt – Umsteigen – in die Gegenrichtung – und wieder zurück fahren – und dann sind diese beiden Betrachter nicht mehr gleichwertig – der eine ist umgestiegen – der Herd eine deutliche Beschleunigung – gemerkt – während der andere keine Beschleunigung gemerkt hat – und dann ?? ich auch kein Problem damit zu sagen dass für diesen blauen Zwilling – weniger Zeit vergangen ist als für den violetten Zwilling – übrigens gilt weiterhin die Formel für die Eigenzeit – diese Familie kann damit leben wenn der Zwilling – den Zug sitzt Umsteigen – Einzug in die Gegenrichtung und wieder zurück fährt und dann kommt aus dieser Formel immer etwas heraus was kleiner ist als die Zeit – in dem originalen – Sozialsystem – XT – als viele Leute habe ich schon gefragt – okay Komma das irgendwie loswerden – dass Umkehren – das Umsteigen – in den anderen Zug – was wäre wenn unser Universum auf gewickelt wäre ein langer Zylinder – vorgemerkt nur die Außenseite – des Zylinders – arbeite mit zwei Dimensionen – die X Koordinate mein Bahnhofssystem – sozusagen – soll hier herum zeigen um den Zylinder – und die CD Koordinate soll parallel zur Achse laufen – das ist natürlich jetzt nicht mehr spezielle Relativitätstheorie – sammelte schon ansatzweise allgemeine Relativitätstheorie – die Lorenz Translation – hier können nicht einfach Lineartanzformationen – sein – dabei sieht irgendein Unsinn – Wall Punkt mehrdeutig werden welchen Winkel gebe ich an für irgend ein Punkt welche Exponate – gebe ich anführen Punkt – diese einfachen Betrachtungen gehen trotzdem noch durch auch in diesem Fall – ein Zwilling das sich hier sitzen – auf dem Bahnsteig – der bleibt ?? – und den anderen Zwilling lass ich einmal herum fliegen um diese geschlossene Welt – darf dich da mal herum – keiner von den beiden spürt eine Beschleunigung – trotzdem treffen sich beide wieder und können ihr Alter vergleichen – das ?? besitzt die Relativität der Gleichzeitigkeit – die beiden müssen sich zur selben Zeit am selben Ort treffen – sonst kann sie alter nicht überprüfen – auch hier gezielt eine klare Antwort – der Zwilling der Arme rum geflogen ist – wird jünger sein wenn die beiden sich treffen – der merkt zwar keine Beschleunigung – weiter nachvollziehen – das in einem andern System setzt diese beiden Systeme das violette – und das blaue die sind nicht gleichwertig – insofern hab ich kein Problem – kein Paradoxon – wobei sagen können dass der andere jeweils älter sein muss oder der andere jeweils jünger sein muss sie sitzen nicht in gleichwertigen System – sieht man zum Beispiel – wenn die beiden am Staat – ein Lichtimpuls vorwärts und rückwärts schicken das ist der Lichtimpuls vorwärts – der läuft schneller als der blaue Zwilling fliegt und die nicht dem Bus den sie rückwärts schicken nach hinten – der läuft so – der violette Zwilling – wird merken dass die beiden Lichtimpulse sich zur selben Zeit wieder da treffen – wo er ist – der blau Zwilling – stößt hier auf den ersten Lichtimpuls – aber nicht auf den zweiten – den Gedenktag später finden – das heißt obwohl die beiden dasselbe gemacht haben zum Start Lichtimpulse – nach vorne nach hinten geschickt haben – sehen Sie etwas anderes diese beiden Systeme – das violette und das blaue sind nicht gleichwertig – insofern auch keine Probleme dann zu sagen dass tatsächlich einer von den beiden zum Schluss jünger sein wird Beistrich offensichtlich der blaue es gilt weiterhin die Formel für die Eigenzeit – das überraschendste – von diesen scheinbaren – Paradoxa – finde ich das von Born – über – die Clay Excel Attachments – man hat zwei Zwillinge – die dieselbe – Beschleunigung – erfahren – also nicht nur einer wird beschleunigt sondern beide beschleunigen – auf dieselbe – Art – und trotzdem gibt es ein Zeitunterschied – wieder mal ein UL Diagramm – das X CT System – soll das System sein – in dem beide – Zwillinge starten – und zwar starten sie so – jeder setzt sich zur selben Zeit – in die gleiche Art Rakete – tritt zur selben Zeit den Zündschlüssel um – nicht in dieselbe Richtung – so lange – bis der Treibstoff alle ist und danach bewegte das Raumschiff einfach mit konstanter Geschwindigkeit – sicherte ?? noch mal ihr sitzt der eine Zwilling tat es der andere Zwilling – paar Kilometer weiter oder paar Lichtjahre weiter – beide haben dieselbe Rakete mit gleich viel Treibstoff – beide Staaten zum selben Zeitpunkt den Motor der Rakete – die Raketen beschleunigen so lange wie Treibstoff da ist und fliegen danach mit konstanter Geschwindigkeit – alles – identisch – über das Wörtchen identisch das sieht man gleich mit Vorsicht zu genießen ist – für den violetten Zwillings sehen wir am Anfang eine Bewegung parallel zur CT-Achse – der bleibt erst mal quasi auf der Stelle sitzen – muss ?? beschleunigen – okay wird beschleunigt bescheuert beschleunigt – und irgendwann geht der Treibstoff aus und danach haben wir einer – Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit – habe dieses X strich CT Strichsystem so eingezeichnet – dass ein Ruhesystem – ist nach Ende der Beschleunigung – die violette Rakete hat eine Konstante – X Strichkoordinate – am Ende der Beschleunigung – der Zweitzwilling – soll es selber machen – zu selben Zeiten in dem X CT System – machte dasselbe – wie der violette Zwilling – das Meer – dieselben Zeiten im X CT System – muss diese violette Kurve also kopieren – hier ist der Treibstoff alle für den violetten Zwilling – danach – eine konstante Geschwindigkeit – und hier – zum selben Zeitpunkt – im X CT System – parallel zur x-Achse hier verbunden – ist der Treibstoff aufgebraucht – für den blauen Zwilling ab da – fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit – nach Ende der Beschleunigung – führen die beiden sicher in diesem System – X strich CT Strich – an Ruhsystem – für diese beiden – und stellen folgendes fest – der blaue Zwilling – der weiter rechts gestartet ist – der ist er fertig mit der Beschleunigung – und der violette es später fertig mit der Beschleunigung – benannt beide – die Beschleunigung hinter sich haben und mit konstanter Geschwindigkeit – fliegen – und dann einfach aufeinanderzugehen – in ihrem neuen groß System werden Sie feststellen – dass der blaue – älter ist als der violette – Tier konnte noch ?? kleine Zeitspanne dazu – der blaue muss sozusagen warten bis der Violette dann angekommen ist in diesem neuen Rohrsystem – das es total überraschend – beide machen dasselbe – aber der blaue ?? wird älter sein als der violette – die beiden aussteigen und aufeinander zu laufen – dieses Paradoxon – scheinbare – Paradoxon – ist verwandt mit dem welschen Raumschiff Paradoxon – was ich dann gerade mal erwähnen kann – da gucken sich folgendes an – was ist wenn diese beiden Raumschiffe mit einem straff gespannten Seil verbunden sind – und dann dieselbe Beschleunigung durchführen – zum selben Zeitpunkt Staaten dieselbe Beschleunigung durchführen – wird dieses sei zum Schluss Schlaf dazwischen hängen – bis immer noch straff gespannt sein – oder wird es reißen – Punkt die Lösung ist – total überraschenderweise – ?? es wird reißen weil diese Strecke hier länger ist als die Originalstrecke – in ihrem neuen Rohsystemen – sind die Raumschiffe weiter voneinander entfernt – als in ihrem Originalsystem – das hier war die Originallänge – jetzt sind sie weiter voneinander entfernt in dem neuen Ruhsystem – für ein Beobachter dich in diesem X CT System bleibt – das gar keine Frage weil – dieses Seil ja längen kontrahiert wird – die Raumschiffe haben für Beobachter mixt CT System immer denselben Abstand – das Seillängen kontrahiert – keine frage Mus reißen – das meine kleine Sammlung überraschender Konsequenzen aus der Zeitdilatation – aber auch aus der – Längenkontraktion