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18A.2 Multiplikation am Einheitskreis geometrisch, Länge, komplex Konjugiertes


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieMultiplikationkompletter Zahlen hat eine relativ einfache Anschauungin das die eine komplexe Zahl istwenn das die ihren Ursprungdie andere komplexe Zahl istdann kriege ich das Produkt in dem ich die Winkel addiereich der vielleichtdie Längen war genauso Malis komisch aussoin dem ich die Winkel addierenund die Längenvon den beiden multiplizieredas wird dann das Produkt werdenWinkel addieren Längen multiplizierendas dividierenfunktioniert genau umgekehrt die Längen teilenund die Winkel voneinander abziehenso kriegt man das geometrischengagierte einfach ausrechnen?? drei plus vier mal ihm malfünf plus sechs maligerausrechnen drei mal fünf sind fünfzehn dreimal sexy sind achtzehn?? plus und so weiter und so weiter das ist die andere anders zu machen ?? Zahl das Ergebnis muss dasselbe sein ??fertig in den alten ?? zwar vorgeführtalsohat man eine relativ einfacheanschauliche Bedeutung für das modifizieren komplexer Zahlennennenund nun komme ich mit einerkomplett anderenanschaulichen Bedeutung für das modifizieren konvexe Zahl auf dem Einheitskreispassiertganz was lustiges wenn sie den Einheitskreishaben in den konvexen ZahlenEierRealteilImaginärteilsauber schreiben als Teil von Z Imaginärteilvon Zhier ist die einsda ist die Zeit ihnweit außen schreiben Punkt den Platz gleichda ist die Zeit diehier ist die Zahl minus Ialso auf der imaginären Achse die einsDTS auf der Manierenachsedie minus einsmeineschwierige Frage ?? Medizin schreibt ohne zu ?? und das verwirren zu machen nicht jene einst Anschreiben glaubt jeder das sei die Zahl einzig meine jetzt aber auf der imaginären Achse die Einheit einsam ich mach das mal so ganz klardas ist die Zeit die da oben das siehe unten ist die Zahlminus I auf dem imaginären Achse steht ?? minus eins weil das in den Imaginärteilminus Einsatz und hier das netterweise eindeutig ist minus eins die Zahl mit Realteil minus eins und Imaginärteilnullso der Einheitskreis?? gibt es eine total schräge Art Zahlen auf dem Einheitskreiszu modifizierenamFuß wurde direkt ?? Zitatmuss erst mal drauf kommen Fußnote folgendes Pflanzen immer MeyerFranzLemmermeyerdie das googeln wollenblas und KonnexduflowersOrden Konnexcomicssind dieäh Kegelschnittesofolgender Trickwenn ich zweiPunkte auf dem Einheitskreishaben recht Beistrich weit auseinanderliegenso wenn ich zwei Punkte auf dem Einheitskreishabe sage ?? und die modifizieren normal auf folgende Weiseich bilde die Verbindungsliniees gelingt hier war?? Bindung ??Blatt Papier dran den netterweise??ich bitte die Verbindungslinieund jetzt ziehe ich eine Paralleledazudurch die Zahl einsschondas ist wahrlich ?? dazu wird alleszur ?? so bau ich dasals ich möchte diese beiden komplexen Zahlen hier multiplizierendiesem lästig gewordenen Text darum die Leertaste gewordenen Lecks daundnun gibt es ein ganz absurde Konstruktionüber das machen kann man nicht eine gerade dadurch und bildet eine Paralleledurch die Zahl eins und guckt wo diein Einheitskreis wieder schneidetdie Behauptung ist wenn das hier die Zahl Z eins ist und dass sie die Zahl Z zwei ist das hier lustigerweisedie Zahl Z eins Mahlzeit zweiein total andereArt konvexe Zahl so modifiziert das geht nur auf dem Einheitskreisanund damit hat man dann eine Multiplikationauf dem Einheitskreisdefiniertund sie sehen dadurch auf jemanden Kreis man will aber ich hab es jetzt jeden konvexen Zahlen drinmit der Becks Modifikationan meiner darauf eine Modifikationdefiniert ohne irgendwie von Zahlen zu reden ich sage okay zwei Punkte auf diesem Kreis werden multipliziertin dem ich gerade durch Legoparalleledurch diesen Punkt bilde und gucke wo die Paralleleden Kreis wieder schneideteine rein geometrische Multiplikationan sowas gibt's er nachher mitanderen Figuren auch das was in derMathematik am bedeutendstensind sind dieeher elliptischen Kurven die sehen so aus?? ergeht sich mit parallelensondern man nimmt zwei Punkte undnimmt den dritten Punkte auf der Verbindungder beiden liegtund hat damit ein geometrisches Produkt gebautdas kommt zum Beispiel der Kryptographie vorFußnotenamhier ist das ein total billige Version davon und wie sie dann sehen können ?? an Komma auf und Kontext das geht auf allen Kegelschnittendas lässt sich verallgemeinerndas ganze auch mit Ellipsen machen und mit werben und Parabeln machenaber ich wollte sie jetzt mal als Beispiel nehmenfür eine Rechnung die man mit komplexen Zahlen machen kannmöchte das wir zusammen mal nachrechnen dass das wirklich stimmtin das komplexe Zahl ist das eine komplette Zahl auf dem Einheitskreisdass das Produkt denn wirklich so liegtund nirgendwo anderswas ich zeigen will ist also folgendesweg platziertKommadass ich zeigen will istdass diese Verbindungparallel zudieser Verbindung ist was heißt das eigentlichwas heißt dass dieses parallel dazu istwie kann ich das hinschreibenkorrekt bemerkt geometrischesdas offensichtlichegucken sich dieses Stück anund aus Symmetriegründenist das gleichzeitig dieser Bogenwie sein muss denn was soll denn passieren ich möchteanschaulichdiesen Winkel nehmenund darauf diesen Winkel addieren und das soll der Winkel ob seiner das soll der Winkel des Produkts seindas es danach klar geometrisch ist ja dass das sein mussähmwir rechnen das jetzt natürlich mein konvexen Zahlen aus und lernen dabei etwas über konvexe Zahlen als die an dieser Stelle mal gegen die Geometrie ignorierenausnahmsweiseman mit komplexen Zahlen rechnen möchte nachweisenmit komplexen Zahlen dass dieseVerbindung hier parallel zu der Verbindung istseit ein paar Gleichnissenwarkomplett zu zahlen wie kann ich das ausdrückendassdiese Verbindung parallel dazu ist Wasser das mit Zahlen zu tun wie kann ich das bezahlen hinschreibenmal einen Pfeil dranund überlegen welche Richtung am besten so rum hier mal ich mal einen Pfeil dran undhier mal ich mal einen Pfeil draninden lieberüberlegen?? SchweigerKlammer zuhaben können sie was zu diesen Pfeilen sagen komplexen Zahlenkonvexe Zahlen sind in der auch gleichzeitig zwei dimensionale Vektorendieser rote Fall hier ist seit zwei minus Z einsdie Differenz der komplexen Zahl Z zweiund der komplexen Zahl Z eins sind diese beiden Vektoren voneinander abziehen haben sie dendas gehtin konvexen Zahlen genauso wie mit Vektoren das heißt dieses Ding hier unten muss sein eins minus das Produktdas hier ist eins minus Z einsmalZ zweials minus das ProduktKomma die Addition komplexer Zahlen am denn ich habedas?? Lernsystem nehmenichimmer noch so eins und ein halbso das hier wäre eins plus ein halb Iund wenn sie jetzt eine konvexe Zahl dazu addieren sagen wirein halbplusdreiviertel wie ein halb bis dreiviertel ihn sowasmacht es doch wie mit Vektoren Einheit nach rechts dreiviertel nach obendas ist die ganz normale Vektoradditionder Nutzung von komplexen Zahlen die ganz normale VektoradditionSubtraktion der komplexen Zahlen ist die ganz normaleVektor Subtraktionund hier muss ich also von der komplexen ZahlZ zwei die komplexe Zeit Z eins abziehen und habeden Verbindungsvektordamit habe ich diese beiden ?? und was mich jetzt interessiertist ob die parallelsind wenn die parallel sind habe ich nachgewiesendass diese Konstruktion wirklich funktioniertdas sich meine beiden Faktoren sind eins der zwei verbinden kann Parallele ziehen kann und jedes Schnittpunkt mit der parallelendurch die einsgibt das Produktdas habe ich dann gezeigt also das möchte ich zeigen zeigeähmZ zwei minuseinsist parallelzu eins minus Z einsMahlzeitzweiKomma zwei ?? meine Zeit nicht auseinanderhaltensollso das möchte ich zeigenwas heißt daszwei Vektoren sind parallelwie kann ich das in Zahlen hinschreibenund Formeln?? Formen bezahlen hinschreiben was heißt das eigentlichdas heißt dass bei zwei zweidimensionalenVektoren wenn die Parallele nicht nur bei zwei dimensionale Vektorenindirekt parallele Vektoren haben heißt dass der eine ist ein Vielfaches vom andern das hier ist daseins Komma acht -fache von dem oder dieser hier istman etwas deutlich anderen dieser hier ist dasnun minus ein halbfache von demparallel heißt es in vielfacher voneinander ?? ich möchte wissen ob das Vielfache voneinander sindund müssen vorsichtig sein musskriminelle Vielfache voneinanderkeine zerrütteten komplexen Zahlen sie können auch mit ihm modifizierendass man Vektor ist und ich modifizieren ihn mit ihmseine Sünden sich nichtparallel sondern steht sogar senken ich möchte wissen ob das rituelle Vielfache voneinander sindalso das ist äquivalent dazudas?? umschreibe ich daseiner soll ein Vielfache vom andern seinich schreibst mal so rundeinsminus Z einsmalzwei das möchte ich wissen ob das denn hier ein Vielfaches?? Komma diemalZ zwei minus Z einsistmit einem dass es wichtig die außen reellen Zahlenund die nicht parallel in das in echt komplexe Zahl istzeigen die in alle Richtungendamit die parallel sind sie nur eine Zahl steht ein helles Vielfaches davon seinam?? okay kann ich das irgendwie auflösendiese gleichen Sie damit Fragezeichensteht wie würden Sie die auflösendas lustige ist das in komplexe Zahlen nicht nur einfach zwei D Vektoren wenn sie das mit zwei D Vektoren haben untersteht irgend sowas wiebla Block ist gleich ein Vielfaches vonLaberphasenoder sowas dann wenn das mit zwei D Vektoren haben Kriseaufgelöstdie können nicht durch den wir teilendas sie sind aber komplexe Zahlen ich kann dich komplexe Zahlen teilenganz neue Möglichkeitenkann durch den hier teilenund stelle festäh eins minus Zeins MahlzeitzweiDurchsatzzwei minus Z einsist diese Zahl diemit einemrituellen Dmit anderen Worten ich muss nur sagen dass dieser Bruch eine reelle Zahl istdas allesin dieser Bruch eine reelle Zahl ist ein Bruch zweier komplexer Zahlen das eine reelle Zahl ist halb gewonnenTeile durch den hierdas hier ist das dem was rauskommtund ich möchte wissen das Zahldas geht mit normalen zwei D Vektoren nicht ?? können sie nicht durcheinander teilen können Sie im Skalarproduktmiteinander musizieren zum Beispielund auch nicht anderswirklich gut amkonvexe Zahlen können Sie so spezielles Wege konvexe Zahlen rauskommen und sie können ?? auch Teilen durch komplexe Zahlenganz neue Möglichkeit durch den kann ich teilenmit jetzt wissen dass das Ergebnisder Divisionnur noch zu zeigen eine ideelle Zahl istdas Kabel zwar versuchen nachzurechnenZ einsund Z zwei sind komplexeFrüchte berichtet Z geschriebenZ zwei sindsind alle der zwei sind komplexe Zahlen auf dem Einheitskreisund ich möchte gerne nachweisendass dieser Ausdruckhierimmer reell istdieser Bruch hier der ist immer reellmöchte ich wissenprobier man das mal mit deiner Herausforderungmuss auch mal seinam Ende des Tagesein Bruch zweier komplexer Zahlenvon dem möchte ich wissen dass der immer reell istähmes gibt ja das Rezept was ich mit solchen Brüchen komplexer Zahlen macheum die auszurechnenversuchen Sie das mal durch zu exerzierenBruchminus Z eins Mahlzeit zweiZ zwei minus Zeinsoben immer schlimmerPunkt zweidiesem Buch mal nachSchema F verarbeitenwas mache ich mit einemhoch zwei komplexer Zahlen um den zu vereinfachenimmer etwas wäre dasdas Schema F für sie erweitern mit dem Komplex konjugierteinsso sieht das ausjeder dieser Zahlenkomplex korrigieren das passiertaneinander das es ??dieses der zwei und Z eins ist in sichschon eine komplexe Zahlhier steht jaum was zum Beispielnull Komma sieben plus null Komma sieben mal dieunter macht das exponiertenull Komma sieben minus null Komma sieben malvon dieser konvexen Zahlenund von dieser und dieserwas soll ich erst mal überhaupt schreiben ich nehme denNenner insgesamtKomplex konjugiert losfährt etwas klarer ich nehme den Nenner insgesamt Komplex konjugiertsodas ?? das war ganz deutlich Schema Fund dann überlege ich mir au das Komplex konjugiert ?? einer Differenzistdas kommt exponiertevoneinander abziehenamKlammer zu Analogiestellen sich vor sie haben zwei plus drei ihn durch vier plus fünf Idas wird jetzt erweitert mit dem Komplex kollidiertenvon vier plus fünfvier pluskommt exponierte von vier bis fünf I ist aber vier minus fünf wieauch??durch den ersten Bruch auch nocherstem auch in unterschiedlichenvier minus fünf Ivier minus fünf Idas macht man eigentlich den Nenner komplex korrigierendas mach ich hier auch diese Nennerkomplex korrigierendas und dass der zweite ist nicht immer mit dem I unter erstes nicht der Realteil vor sich dass es jetzt nicht gealtert Imaginärteilsondern hier vorne kann stehenSohn sowie Person Sophie und Jürgen stehen so zu Philosophieund was ich muss jeweils für sich die Dinger komplex korrigierenund wenn sie dasausrechnentotal toll?? dabeiirgendetwas zünftiges rauskommen man sollte danach dann sehen das wirklich eine reelle Zahl istim allgemeinen wird es wechselseitig komplex seine komplexe Zahl seinAmt etwas nachrechnenmüssen wirklich rauskriegen es ist eine reelle Zahl des ?? eben einige Meter schon gesehen dass das so sein mussBeistrich ausgerechnetmeineda ist doch noch was untergegangenich muss noch eine Kiste erzählen eine Zahl mal ihr Komplex konjugiert?? Komma Beispiel zwei plus drei ihnmal die Komplex konjugiert es zwei minus drei ihnals Zahl meine Komplex konjugiert es was wird passieren sie kriegeneher zwei Quadratwie logische Formel dritte binomisch ?? FormelabzugsBA minus B A Quadratminus B Quadrat minusdrei IQuadrat das wir dritte binomisch Formelmachterzwei Quadratsschlussdientendie Quadratminus nicht raus plusdrei Quadratdas heißt was ist das Produkt einer konvexen Zahl mit ihrem Komplex konjugiert Maus muss rausalso das ähm ist die Länge ins Quadratdas ist wohl ein Fall für die Formelsammlungin seine komplexe Zahl mit ihrem Komplex korrigiert modifiziert kriegen sie länger ins Quadrat?? wenn sie dagegen eine konvexe Zahl QuadrierenPflicht es ihn ich rausKomma dass man mit mit zwei plus drei IQuadratgibtzwei Quadrat plus zwei mal zwei mal drei I plus dreiIQuadratbinomisch Abfluss B Quadrieren Aqua ?? zwei AB plus B Quadratmacht also vier pluszwölfI Klosnicht los sondern minus neunda bleibt das die stehen komplexe Zeitverträgehängt von der kompletten Zahl ab aber typischerweisebleibt es widerstehenseinen situativen Grade ihndann ist das ihr weg aber ansonsten bleibt es wieder stehtPunkt wenn Sie eine konvexe Zahl mit ihrem konvex korrigierten modifizierendannimmer eine ideelle Zahlung diese reelle sachbezogene nette Bedeutung des ist die Länge ins Quadratjadas müsste man jetztverwendenwomit das noch mal glaubewäre sogar noch mal besser weil Veranstaltungenbis hin sehr unsicher ist am wenn ich hier tatsächlich insgesamt?? und noch mal in Querstrich drüber schreibenso oben steht jetzt eins minus Z einsMahlzeit zweiZ zweiquer minus Z einsQuerkomplexReligionsgemeinschaftunten stehtwas steht einzig untenkurzhier stets eine komplexe Zahlmal ihr Komplex konjugiertda muss hierdie Länge ins Quadrat davon stehen die Länge von Z zwei minus Z einsins Quadrateine komplexe Zahlmal die Komplex konjugiert es ist die Länge ins Quadratohne dass ich irgendwaszwischendurch ausgerechnet habe das ist der grundlegende Trickbei dieser bei dieser Rechenregel wie man Brüche konvexe Zahlen verarbeitetwenn sie mit dem Komplex korrigierten Erweitern steht unten die Länge ins Quadratvom alten Nennerund das ist netterweise immer eine reelle ZahlVersion stehtist die Mega drumherum festzustellenobdieser Bruch eine ideelle Zahl istob nämlich diese beiden Vektoren hierkonvexe Zahlen auf die parallel sindund jetzt habe ich das so umgeformt das unten schon mal eine ideelle Zahl stehtdas heiß ich nur noch muss nur noch wissen ob oben eine reelle Zahl stehtund geplatzt seinmusste die Brücke nichtBackspaceleitungsnetzauchsoalso habe ich gelernt alles was ich wissen muss ist auch hier oben eine reelle Zahl steht eins minus Z einsMahlzeit zweimal Z zwei quer minus Z einsquerist das denn eine reelle Zahl ?? nichtgeteilt durch eine reelle Zahl dann ist der BruchPerson sie das herauszufindenZ eins Z zwei Zahlen auf dem Einheitskreiswarum ist das immer reell das müsste jetzt mit ausmultiplizierenund etwas Nachdenken gehenhier stetsganz streng ausmultipliziereneinmal Z zwei quer Z zwei quereinmalminus Z eins quereinsminus Z eins sind zweimal Z zwei quer minus Z einsZ zwei Ziffer zwei Querund dann kommt minus Z eins Z zwei mal minus Z einsquerminus mal minuslosZ eins Z zwei zed einszweiZ einsquerund hier müsste man jetzt erkennenZ zweimal Z zweiquerhat man gerade schon häufiger ist die Länge von Z zweiins Quadrathier müsste man erkennenzed einsmal Z einsquerist die Länge von Z eins ins QuadratsmahlzeitzweiZweige darüber sind ein zwei Z eins quer ist dassoFragezeichen wer aufgepassthat wie groß ist die Länge von Z zwei ins Quadrat wie großist die Länge von Z eins ins Quadratwir lebten auf dem Einheitskreisdas ist einsdas hatte ich ganz zu Beginn gesagt ich hätte gerne zwei Zahlenauf dem Einheitskreisals mit Abstand eins vom Ursprungdie Länge von Z eins in die Länge von Z zwei sollen eins seinSchreiben hier gegen Einheitskreissounheimliche insgesamtsteht da Z zweiQuerplusZ zwei den ?? verdientenminusZeinsquergroß Z eins also ich hab das mal zugucken ob alle dabeiZ zweiTöchter unten minus Z einsquerhabe ich daminus Z einshabe ich hier minus Z einsundgroß Z zwei habe ich jaalle versorgtletzter Schrittwas ist die Summeauseiner Zahl und ihrem Komplex konjugiertund hier dasselbe was passiert wenn sie zu demzu einer Zahl ihr Komplex konjugiert es addierendie kriegen zweimal den Realteil das muss ?? Kamera noch am Beispiel zeigen das noch nicht also klarerdrei plus vier Iwenn ich dazu addiere drei minusvier I kriegen sie raussechs und das I ist draußeneine komplexe Zahllos ihr Komplex konjugiert es ist zweimal der Realteilhier steht zweimal der Realteil von Z zwei hier steht zweimal der Realteilvon Z einsRealteil ist immer eine reelle Zahles kommt einereelle Zahl Rauselementeher was zu zeigen warähmdie geometrischeBegründung scheint deutlich kürzer zu sein als die mit den komplexen Zahlen?? wirksamen konvexen Zahl machen das sich das noch mal klarmachen was der eigentlich passiertsind noch auf einigeunsichere Stellen gestoßenalso der Zusammenhangvonkomplexer Zahl ihrem konjugiertund Länge Quadratden bitte noch mal anguckendiesem Zusammenhang angucken Realteilzweimal die Datei den kriege ich wenn ich die Zeit zu ihrem konvex korrigierten addiereirgendwas mit dem Imaginärteilwill ich natürlichdie voneinander abziehenähmaber hier zum Schluss aber tatsächlich eine Begründung dass es ?? eine reelle Zahldas ist eine reelle Zahlund damit sind das hier zwei parallele Vektoren