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27.01_02 Zufallsvariablen, Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable


CC-BY-NC-SA 3.0

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inder Praxis hat man eher seltenEreignisseals Zufallsvariablensie haben Messgrößenzu Pfalzgrößenschreitet sie schon Zufallsvariableneinem variabel ZufallsgrößenZufallsvariablenZufallsvariablenklassisches Beispiel dafür sind Messwerteoder die Zahl die auf dem Würfel stehtmein Zufallsexperimentliefert dann also nicht ?? ja oder neinsoll mein Zufallsexperimentliefert eine Zahldas ist dann eine Zufallsvariablealsowenn sie an Temperatur messenTemperaturmessenoder wenn sie Einwürfe werfenproduzieren sie zufällige Zahlen bei Temperatur zum Beispielallein schon durch die Messfehlerdie reinkommenwenn ich Messfehler beschreiben willbin ich hier bei derStochastikoder einen Würfel werfender produziert Zahlen von eins bis sechsZufallsexperimentdas Zahlen produziertlieferten eine Zufallsvariable?? natürlich auch den Würfel werfen und einen Sinus davon bildenauch eine Zufallsvariableoder ich messe die Temperaturund das Volumen undwerde dann irgendwas mit Temperatur und Volumengerade einfälltwas da rauskommtalso was ??man kann Zufallsvariablenunterscheidennach der Art an Wertendie sie nicht nach der Art nach der Zahl an Werten die sie annehmen könnenbezieht gibt es dreiId erst mal zwei Klassen das ?? aus der dritten Klasseähmdie einfachste Klasse sind die diskretendiskret ist nicht das Gegenteil von indiskret sondern diskret zur heißensind die Zahl der wird es abzählbardie Werteliegen nicht kontinuierlichwie dieZahlen auf derreellen Achsesoll sie können jedem einzelnen möglichen Wert die Hand schütteln es dürfen aber abzählbar viele sein?? endlich vieleendlich vieleoderabzählbar viele Absatzchancenso abzählbareinfach abzählbar vielemögliche Wertedas sind die diskretenZufallsvariablennicht so viele Möglichkeiten visuelle Zahlen gibtkönnte manganz anschaulich sagenendlich viele der würfeldiskretenTemperaturim Prinzip kann auch TemperaturvonPi Grad Celsius rauskommenund Temperatur von Wurzel drei hundert Grad Celsius rauskommenambei Temperaturen würde man davon ausgehen das ?? ist das kein diskreterZufallsvariablees sei denn sie lesen die Temperaturvomdigitalen Messgerät abdes ihnen nurdreißig Ländern in eins und drei Nullen gibtvor den ?? drei Ziffer gibt dann haben Sie natürlich nur wieder endlich viele Möglichkeitenmit Vita abschneidenabereigentlich geht man dann in der Physik erst mal davon aus ?? Wassertemperaturanderesals eine diskreteZufallsvariablemehr alsendlich sowieso und mehr alsabzählbar unendlich vieleWerteabzählbar unendlich vielen Abzüge unendlich vielejetztder zweite große Club sind die stetigenZufallsvariablenzu denen?? heute nichts mehranes gibt eine Dichte die kommt später dran dannnächste Wochedas heißt die nehmenmehr als abzählbar unendlich viele Werte an das es sowas wie die Temperatur typischerweisesein wird wenn sie Temperatur messen oder Geschwindigkeitmessen wenn typischerweise eine stetige Zufallsvariablehabenes gibt eine Dichte des ?? Nummer getrennterklärenmuss sich auf nächste Woche vertröstenund dann gibt esalle anderenglücklicherweisetauchen die eher selten aufdie beidendie man in der Praxis sieht sind die diskretenwie ein Würfelund die stetigenso sind die und die üblichen Messungen in der Physikstetige Zufallsgrößeneine reelle Zahleine praktisch beliebige reelle Zahlan mehr alsabzählbar vieleMöglichkeitenwas das im Detail heißtzunächst mal sagen das sind diesowohl zwei großenGruppen und dann gibt es die beliebigenZufallsvariablendanebenkönnen die mit ?? gemischt seinauf finsterer Weise daraus zusammen seinwird als erster mit denendiskretenweitergehenan den Komma die das leichte vorstellenmeiner dir Sachen zusammen zählt sie zu Fuß aberst mal nur die diskretenMeßmarienich indiskret sondern die stetigen und die hier alle anderen erspare ich Ihnen und mirwas man ingenieurmäßigrechnet lässt sich mit den diskreten und den stetigenHerrenbewältigeneine diskreteZufallsgrößewie gebe ich eigentlich eine diskrete Zufallsgrößeandie Verteilungeiner diskreten Zufalls groß VerteilungeinerdiskretenZufallswas variables damit nicht einige besonders größere Zufallsvariableneine ZufallsvariableKomma wasVerteilung soll heißenDächer Wert konnte nun wie häufig dranfüreine diskrete Zufallsvariablekönnen Sie immer ein Christogramm aufmachen das es die Idee die man ?? dahinter hatman von der Verteilungeiner diskreten Zufallsvariablesprichtden Begriff normal offiziell hatten eine sogareinEinersie mal die Häufigkeitsverteilungauf das es ein Restaurantwelcher Fall ist wie häufig aufgetretenbeim Würfelwas habe ichScan eins rauskommen als werde Scan zwei rauskommenkann drei vier fünf sechs rauskommen als Wert und das war'san Wahrscheinlichkeitenan Wahrscheinlichkeitenschreib MAP an die Achseja alles wenn sie Messenum ein Sechstelalso irgendwie zwischen null Komma einskann man nicht gleich großso allessollten alle zwischen null Komma eins?? zwischen null Komma eins und null Komma zwei liegen sonst der Würfel irgendwiedeutlich zu gebrauchenwie wellig die Verteilung von dem Würfelimmer ich habe beschreiben michfür vier tausend mal und schreibe dann auf wie häufig von den tausend mal die eins gefallen ist wenn von den tausend mal die einsäh zwei hundert malaufgetauchtistdann müsste ich ja SemesterprogrammNewcomer zwei einmal zwei hundert durch tausend wenn die zweivon den tausend malhundert fünfzig mal vorgekommen ist malig hier also hundert fünfzig durch tausend null Komma eins fünf und so weiterdas wäredie Verteilungdie gemessene sogar dann die gemessene Verteilungfür diese Zufallsvariablefür das heißt was ist überteuert an der Stelle der Würfel dieser eine Würfel geworfen die gemessene Verteilungso würde man es darstellenPunktim nächsten Schritt kann man sich überlegenwas denn nun eigentlichim Mittel rauskommtwenn sie diesen Würfel sie sind dieser Würfel fällt doch lieber auf die einsals auf die sechsIrrtümer von Akademikernhat als Würfelanwenn ich wissen will was dieser Würfel im Mittelbringtdas Schönwürfel wahrscheinlicher Komma spannend wäre beinaheäh WassertemperaturMessungen nach ?? Mittelwerte zu haben ?? ?? mit dem Würfel an was macht dieser Würfel eigentlich Mittelvorsichtig anguckendas nennt sich Erwartungswertsofort an der Erwartungswerteiner diskreten ZufallsvariableErwartungswerteinerdiskretenZufallsvariablein dieserFrequenzbereichenAuffassungder Auffassung bei der man Wahrscheinlichkeit alsHäufigkeit ansiehtrelative Häufigkeitäh versteht man den Erwartungswertsoder Erwartungswerteiner Zufallsvariableden immer noch mein Name XZufallsvariablengern mit Großbuchstabendiesem schreibe ich hier das monströse X groß Xsei das soll jetztdie Zahl sei nicht zufällig auf mein Würfelwerk werfealso keine feste Zahl sonderndas Ergebnis des Zufallsexperimentssoll das seinZufallsvariableXder Erwartungswertdieser Zufallsvariablewird das dann geschrieben traditionellmit eckigen KlammernMeter runde Klammer nehmen können aber die Tradition eckige Klammer zunehmensowas variabel mit Großbuchstabenund ErwartungswertexotischenBildung Erwartungswertextended Versionvonder Zufallsvariablenwas soll das seinin der Trick mit der zwischen Auffassung soll das seinsie für fünf tausend malund bilden den Mittelwertgenau das was in der Physik machen wir Dezimalmessenaddieren durch zehn teilenund hier möchte man das analoge habenaber wieder in dem Sinne eigentlich ein Grenzwertnicht tausend mal nicht eine Million Mal eigentlich möchte ich sagenwas passiert wenn ichunendlich häufig Messeund den Mittelwert werdealso der Grenzwert in Anführungszeichender Grenzwert vom arithmetischen Mittel vonarithmetischesMittelgrenzwertvom arithmetischenMittel ??natürlich arithmetischesMittelvon NMessungen schreiben ?? von N versuchentausendmalmessenauch mal die tausend auf summieren durch tausend ein zehn tausend ?? messen die zehn tausend auf dem mir durch zehn tausend und so weiter bis ins unendlichegegen welchen Wert für das Laufendas soll die Ideein den Erwartungswertseider perfekte Mittelwertendlich nur fünfmal messenwas sie in der Physik messen nur fünfmal messen und deine Mittelwert bilden was würde passieren wenn sie unendlich oft messen und den Mittelwert bilden das ist die Idee hinter dem Erwartungarithmetisches Mittel nur zu glatt und dazu machen alle auf zu mir durch die Anzahl ?? sie können ja auch alle modifizierenund dann Wurzel ziehen und ähnliche Geschichtendie schlichte Art arithmetisches Mittelauf dem ihr durch die Alstertaldas kann man jetzt netterweise mit der Verteilungsagen was das denn sein musssie das AusweichenDing kann ichangebenmithilfe der Verteilungwenn ich weißdas sind zwanzig Prozent der Fälle die eins fälltinelf Prozent der Fälle die zwei und so weiter und sofort im Browser nur diese Zahlen hier anteilig auf zu sanierenund ich weißwas der Mitte sein was was derErwartungswert soll bislang was Erwartungswert sein wirdKomma zurück zu denmit zum tausendmalmessen wenn sie den Mittelwert aus tausend Messungen haben wollennahm sich hierzwei hundert mal die Zahl eins auf zu summierenPunkt sie haben vielleicht hundert undkeine Ahnung zehn mal die Zahl zwei auf zu summieren von bei den tausend Messungenja vielleicht hundertmal die Zahl drei auf zu summieren und so weiter und so weiterzum Schluss müssen drei tausend wieder seinzwei hundert ?? hundert zehntes und das müssen meine tausend Messungen gewesen sein?? habe ich alle Messergebnisseauf summieren Teile durch tausend das wäre meinMittelwertaus tausend Messungenmit sich das Schaf angucken sehen Sie was Eiligstädtersteht die Zahl einsdas Ergebnis eins maldie Wahrscheinlichkeitdafür dass die eins kommt zwei hundert durch tausendplus die zwei mal die Wahrscheinlichkeitdafürdass die zwei kommtplus die drei mal die Wahrscheinlichkeitdafür dass sie drei Comeigentlich hätte ich rechnen könnendie eins mal wahrscheinlich galt für die eins Plus die zweimaldie wahrscheinlich galt für die zweiund so weiterund das ist die üblicheDefinitionnicht summieren über alle möglichen Werteund das sind meine diskreten Zufallsgrößeeben höchstens abzählbar viele des Adaptern so hinschreibensummierenüber alle möglichenWerteähmund was summieren sichden Werteins zwei dreimal seine WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeitwirdeingeweiht Wahrscheinlichkeitdes WertsmalWertbeschreibt es jetzt mal ganz dreist indas wäre der Erwartungswert für eine diskrete Zufallsgrößealle Werteauflisten?? Wahrscheinlichkeitenauflisten Wahrscheinlichkeit des Wertsmal den jeweiligen Wert auf summierenist daswas das Mittel von unendlich vielen Messungen wäremuss gerade einmal für denidealen Würfel anwarmedialer Würfeldann haben wir bei medialen Würfel der Erwartungswertder Augenzahlauf dem Würfelsind nicht was manpraxissmäßiges mal braucht was der Mittelwert vom Würfel ist aberauf sie kann sich genauso vorstellen statt dass sie statt dem Würfel zu werfen?? anandereetwas sinnvollere Instrumente durchführenwas muss das sein?? die Summe über alle möglichen Werte Wahrscheinlichkeitmal Wertalso wahrscheinlich galt mal wird über alle möglichen ?? ein Sechstel ist die Wahrscheinlichkeitfür den Wert einsplus ein Sechstelmal zwei denn der kommende wahrscheinlich ein ein Sechstel plus ein Sechstel mal die drei und so weiter und so weiter zum Schluss anderes ein sechs Komma sechsähmschon ein wenig ausrechnen was wird das werdenalso können wir ganz dreist ausrechnen aneins plus zwei plus drei plus vier plus fünf sechs sechstel sind zusammen danneigens aus über Licht ein zwanzig sechstem achte dreieinhalbdas ist mein erster überraschend Weitreinheit gibt's auf dem Würfel nicht liebste drei und vier ?? es gibt keine dreieinhalb auf dem Würfelaber wenn sich dasist Programmbei medialen Würfel anguckenist die dreieinhalb?? desso häufigunter der dreieinhalb ?? über der dreieinhalbder Mittelwert vom Würfel kann nicht die drei seindas haut nicht hin offensichtlich dass es tatsächlich ein Heilwasser ?? kann seines Erwartungswertoder wird auch so üblicherweise seines Erwartungswert eine Zahl ist die gar nicht selbst als Wert vorkommtbei den diskreten Zufallsgrößenimmer etwas von gezielten Würfel erzählt wenn sie einen gezielten Würfel habenauf die Weise wie ich eben beschrieben habestünde hier danneineine ?? streichen hier stünde dann ein halbhier stünde ein Zehntelhier stünde ein Zehntel und so weiter das wäre viel dichter an der eins dran wies auch sein muss weil die Einzel viel häufigervorkommtPunkt das ist EDV Erwartungswertes gibt doch so technische Fußnoten eigentlich kann man nicht von jeder Zufallsgrößewenn sie unendlich viele abzählbar unendlich viele Werte hat Komma nicht von jeder Zufallsgrößedavon ausgehen dass in Erwartungswerthat es möglich das Erwartungswertam ?? explodiertoder dass er sich nicht einigen kannin der Praxishaben sie tatsächlich immer Erwartungswert