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21.02 lokale Minima und Maxima, Kriterien


CC-BY-NC-SA 3.0

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Vokal – Global – Extrema – letztes Mal hatte ich erzählt dass man aufpassen muss wenn man den größten und den kleinsten Wert einer Funktion sucht dass man aufpassen muss was an den Rändern passiert – wenn die Funktion aber – differenzierbar – ist – und man sucht nur nach werden die größer – sind oder größer gleich sind als alle in der Nachbarschaft oder wird die kleiner oder gleich sind als eine in der Nachbarschaft – lokale Maximalokale – minimal – dann aber plötzlich die Chance – mit den Ableitungen ran zu gehen hier scheint irgendwas mit den Ableitungen zu passieren die scheinen – eine horizontale Tangente hier Punkt Schein aus ?? Tangente zu haben – ?? Mittelableitung – dran anders als hier bei den Endpunkten – am Rand des Definitionsbereich – oder wenn die Funktion mehrere – auch mit Teilstücken definiert ist – ähm die Endpunkte sind bisschen unsäglich – da muss man bisschen genauer hingucken aber hier lokale maximal – Lokale mit immer – schön – mit Ableitungen – der Untätigkeit – gehen – Kriterien für lokale – extremer – war – das – ich hatte schon gedacht hatte das aller einfachste ist die gucken sich anno eine – ableitbar – Funktion eine differenzierbar – Funktion – da wo sie ein lokales – Minimum – hat muss die Tangente – horizontal – sein da wo sie lokales Maximum hat ob sie muss die Tangente horizontal sein immer noch lokales Maxon – muss horizontal sein wenn ich also – lokale Maxima minimal suche kann ich auf die Suche ?? Stellen – an denen die Ableitung gleich null ist – das ist leider nur – eine notwendige – Bedingung keine hinreichende – Bedingung also wenn ich weiß – wie's umgekehrt weiß F – ist an – oder schafft es also wenn F an der Stelle X – Eck hat einen – hat an X – ein lokales Extremum – haben – und dann folgt daraus dass die Ableitung – wenn er denn differenzierbar ist das die Ableitung an dieser Stelle gleich null ist – leider geht es nicht umgekehrt – wenn sie wissen dass die Ableitung null ist noch lange nicht dass die Funktionen lokales Minimum ?? lokales Maximum – will sagen – diese Bedingung hier – ist nur – notwendig – aber nicht hinreichend notwendig und hinreichend ganz am Anfang mal erzählt – dafür das die Funktion ein lokales Extremum hat ist es notwendig – dass die Ableitung gleich null ist – ohne dass die Ableitung gleich null ist – riesig ?? lokales – extrem wenn die Funktion – differenzierbar ist – in der Reihenfolge – also kann ich immerhin schon mal auf Suche nach – lokalen Maximalorgan – minimal gehen in dem ich mir angucken wo ist denn die Funktion in der Ableitung gleich null – nur solche Stellen können es sein – Komma vielleicht habe ich dann zu viele Stellen zu wenig ?? – Klammer zu dem notwendig – an – eine – Stelle – an der – die Ableitung ?? Nutzers nicht ganz gelungen eine Stelle an der die Ableitung null ist aber – die Funktion kein lokales – Minimum oder Maximum hat – diese Situation – die Tangente ist horizontal – Beistrich – an dieser Stelle ist null isoliert sein – die Ableitung an dieser Stelle ist null – aber das ist leider – Pech gehabt kein lokales Maxon kann ganz Minimum kann passieren – das – heißt dann auch eine Sattelstelle – das geht nach ?? im mehrdimensionalen – auch solche – Stellen – an denen man hoffen würde lokales Maximum in uns Minimum zu finden war die Ableitung gleich null ist aber Pech hat passenden Sattel stellen – deshalb ist das hier nur notwendig – aber nicht hinreichend – es reicht nicht hin wenn sie wissen dass die Ableitung gleich null ist wissen Sie noch nicht – ist mir das passieren – das sie lokales Minimum lokales Maximum habe – man es etwas schärfer haben will – kann man sich den Verlauf der Ableitung angucken – in strenges Kriterium zu haben – ?? – wachsen – die Frauen so das so meine Funktionseinheiten – sind nicht zufällig die Achse besonders – schick das um eine Funktion F sein – ich gucke mir obendrein die Ableitung kann – in – gewissen jetzt schon hier beim lokalen Minimum muss die Ableitung null sein ?? lokalen Maximum – muss die Ableitung nur sein – ist Komma lokales Maximum so gerade eben da muss die Ableitung null sein – wie sieht's mit der Ableitung dazwischen aus – ihr fehlt die Kurve Ableitung muss ✂ negativ sein – hier steigt die Kurve die Ableitung muss positiv sein wenn sich in den Tangenten gerade dran legen – kann dir nur – aufwärtsgehen – Ableitung muss positiv sein und hier kann sie nur abwärts ging Agenten gerade – prinzipiell – muss das also so aussehen – was die Ableitung angeht – keine exakte Geschichte die ?? veranstaltet habe ?? vom prinzipiellen Verlauf muss die Ableitung so aussehen ?? null Durchgänge – ?? lokalen Maximum Lokalminimum – das ist das Wesentliche was man hieran sieht – wenn sie ein – ein lokales Minimum haben muss die Kurve übergeben von Valentin steigend – die Ableitung muss von – Minus nach Plus gehen – zu müssen bisschen markieren also – die Kurve muss von – einem lokalen Minimum muss die Kurve von Valentin steigend – übergehen – das heißt die Ableitung muss von Minus – nach Plus übergehen – beim lokalen Maximum – muss die Kurve – von – steigend – nach fallend gehen – das heißt die Ableitung – steigend wäre bloß die Ableitung muss von Plus – nach Minus – wechseln – und dann hat man plötzlich – ein scharfes Kriterium – nicht hier wie bei – Ableitung gleich null das kann schiefgehen – an der Sattel stellen andere Stellen wieder schief – wenn sie sich – auch noch die Umgebung angucken – dann können Sie gewinnen wenn die Ableitung – von Minus nach Plus geht – ist da wo die Ableitung durch Null geht die Stelle eines lokalen – Minimum Sven die Ableitung von Plus nach Minus geht ein Nulldurchgang – von Plus nach Minus ist da wo die Ableitung null wird – zwangsläufig – ein lokales – Maximum – das ist ein Kriterium was ist sowohl hinreichend wie auch notwendig als ein wirklich scharfes Kriterium – schreibe das mal dazu – ?? immer tieferen X – erforderlich lokales Extremum – genauso wieder hin – Punkt – F hat eine Stelle X – nicht an der Stelle X – ein lokales Extremum – ein lokales – extrem – Momo und jetzt kommt genau dann wenn – eben stand dann nur daraus folgt dass die Ableitung null ist aber habe ich genau dann wenn die Ableitung – an X einen Nulldurchgang hat – dafür das hat irgendwie – die Ableitung hat an X – einen Nulldurchgang – das ist hinreichend und notwendig – beides – sogar wenn ich weiß dass die Ableitung einen Nulldurchgang hat – die Ableitung von Plus nach Minus geht oder von Minus nach Plus geht heißt das die Kurve geht von – äh – steigend nach fallend oder von fallen nach steigend – dann muss ich zwischendurch – ein Bergrheintal – gehabt haben das ist hinreichend – und notwendig das ist also hinreichend – und notwendig – es reicht eben – muss auf jeden Fall gegeben sein hinreichend – und nun nicht – eher das es keine Sekretärin die machomäßig typischerweise an gibt – das nächste hier ist – das was man schulmäßiger – schulmäßig angeht – ?? an das ist leider nur hinreichend und nicht notwendig – wenn – die nächste Ableitung angucken gesetzt den Fall dass auch auf die Nächstableitung – bilden kann die zweite Ableitung bilden kann – ?? sich – jede zweite Ableitung vor was wüssten sie hier über die zweite Ableitung ✂ also wenn die zweite Ableitung negativ – ist dann ist ganz sicher das die erste Ableitung – einen Nulldurchgang – hat wenn an dieser Stelle die zweite Ableitung negativ ist – musste er sich einen Nulldurchgang machen – wenn an dieser Stelle die zweite Ableitung Positivismus – die erste ebenfalls ein null ?? Komma das ist die – dies schulmäßig – Kriterium – waren – Nummer neun – Beistrich was ich geschrieben habe immer so ?? geschrieben F hat X lokales Extremum – F hat eine Stelle X – ein lokales – Extremum – wohnen – und jetzt der Files so rum – das weiß ich wenn – die Ableitung – von – der Funktion an der Stelle X gleich null ist heutzutage Tangente – und wenn ich weiß es die zweite Ableitung gesetzten Falles gibt ?? zweite Ableitung natürlich – wenn ich weiß das die zweite Ableitung – ungleich null ist – dann hat die Funktion keine Chance – keine andere Chance als sie wirklich einen Nulldurchgang zu machen sie hat ihr Tempo sozusagen die zweite Ableitung sagt das Tempo der ersten Ableitung – Sie gehen mit Tempo durch die – null durch es muss ein null Durchgang geben – das ist allerdings nur – hinreichend – es muss nicht in jedem Fall gegeben sein das hier ist nur hinreichend – wenn sie das wissen – ist klar – okay wir haben ein lokales Extremum – aber nicht jedes Lokal extrem muss das haben es muss immer das erst auf jeden Fall gelten bei ableitbar bei defensiver Funktion dass die ?? interessanter als das zweite muss aber nicht gelten – die können auch nämlich ein null Durchgang haben – ohne dass die zweite Ableitung – ungleich null ist das ?? vielleicht wirklich mal zeigen überhaupt – hierfür noch im Gegenbeispiel – will noch ?? gelassen im Lückentext – mein ein ein Gegenbeispiel dass das nicht notwendig ist – aber – warum ist das nicht – Punkt – wenn – nicht notwendig gucken Sie sich folgende Funktion – an – Y gleich X hoch vier – wie verläuft die ✂ mit Sofia also im Prinzip – die Madame der Normalparabel – aber zwischen null und eins schwieg sie sich schneller an die Achse – und jenseits der eins explodiert sie schneller als die Normalparabel – ?? sie nicht sich diesem bisschen mehr ins Knie – diese Funktion – hat offensichtlich – an der Stelle X gleich null ein lokales Minimum – ?? – richtest du diskutieren – der Wert null ist der kleinste sogar ist es über das globale – Minimum aber es ist auch offensichtlich ein lokales Minimum an der Stelle null – haben sie ein wird es kleiner gleich alle Werte in der Umgebung so verstrickt kleiner als alle Werte der Umgebung – erwähnt jetzt nachrechnen die erste Ableitung – also ich habe meine Funktion – ist X hoch vier dann haben Sie dass die erste Ableitung ist vier X hoch drei – okay – die erste Ableitung eine Stelle null ist – null – viermal nur noch drei einverstanden – die zweite Ableitung angucken ?? Gewicht zwölf – mal – X Quadrat – die drei noch vorne – drei nach vorne Mainz vermindern zwölf klein X Quadrat – die zweite Ableitung an der Stelle null ist ungeschickterweise – auch null – woran sie sehen – dass sie einen – ein lokales Minimum haben können – ohne dass die zweite Ableitung – ungleich null ist so langsam sagen sie können ein lokales Minimum haben – und zweite Ableitung der Funktion ist auch null – das kann passieren – wenn sich das angucken – müssen sie ganz sicher dass sie lokales Minimum ?? lokales Maximum haben – aber es gibt Fälle – in denen ist die zweite Ableitung null – auch die zweite Ableitung null nicht nur die erste Ableitung null und sie haben trotzdem lokales – Minimum – oder lokales Maximum diesem Fall sogar als Minimumsmann – Komma eine Geschichte Beistrich gerade – auch nicht erzählt – eine Geschichte noch wenn der – Nulldurchgang – der ersten Ableitung von Plus nach Minus ist – zwangsläufig ein lokales Maximum – das heißt die zweite Ableitung hier wenn überhaupt irgendwas ist negativ – also wenn Sie wissen das es Weiterleitungen – sicher negativ ist wissen Sie die erste macht ein Nulldurchgang von Plus nach Minus – und die Funktion selbst hat ein lokales – Maximum – das Gartenhaus noch ergänzen hier – wenn ich weiß das die zweite Ableitung – negativ – ist weiß ich sogar Essen lokales – Maximum – wenn ich weiß es die zweite Ableitung – positiv – ist weiß ich es lokales – Minimum – vor – dazu zu das zu den extrem arm