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04A.2 Mächtigkeit, 1. und 2. Cantorsches Diagonalverfahren, (Über-)Abzählbarkeit


CC-BY-NC-SA 3.0

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nochein weiterer Punkt zur mathematischenBildungnundie Kardinalitäteiner Menge die Mächtigkeitim ?? schon was gesagt von Kardinalzahlendass sie wann die Originalzeiterst zweites drittens viertens da die nasa die Mächtigkeit vonsieben Orangenwie viele habe ichdas bezeichnet man als Kardinal Zahlen die Kardinalitäteiner Menge sagt die Mächtigsishat sie achtundneunzig Elemente oder vierundfünfzigspannend sind dieunendlichen Mengen die mit unendlich vielen Elementen unendlicher Kardinalitätda gibt's einigeÜberraschungenstellenerste Überraschung es gibt genauso viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlengenauso vieleganzeZahlennatürliche Zahlenwie es natürliche Zahlen gibt egalnatürliche Zahlenauf Anhieb möchte man ja meinenganzen Zahlennun?? null minus eins minus zwei minus drei minus vier und so weiterund natürlich sein eins zwei drei vier fünfwenn das die ganzen Zahlen sind's dann die natürlichen Zahlen im Verhältnis dazuich immer die üblichen natürlichen Zahlenin der Mathematik üblichen Zahl endlos ab eins aufwärtsnullnull auf eins aufwärtsins die beiden so gegeneinander haltendie natürlichen Zahlen die ganzen Zahlenwas würden Sie dann sagen sich immer mehr ganze Zahlen sollte sein Licht jemals natürliche Zahlen gibtPunktoffensichtlich soll die Kinder die ganzen Zahlendoppelt so viele sein bis natürliche gibt und noch ein mehr andas absurde istleider nein es sind genauso vielegenauso viele ganze Zahlen natürliche Zahleneinemdenn ich kann diegegeneinander stellen wenn sie die ganzen Zahlenso hinschreibendass die natürlichen Zahlen mal anders hinschreibennämlich soeins zwei dreivier fünf sechssiebenacht neunzehndas sind die natürlichen Zahlen ab eins aufwärtsnur bisschen anders hingeschriebenwenn sie sie zu jeder ganzen Zahl gibt es genau einenatürliche Zahl und sie jeder natürlichen Zahl gibt es genau eine ganze Zeit liege die eins zu eins nebeneinander sie können die ganzen Zahlen natürlich ?? als Seins nebeneinander legensich drei Sachen habe verbreitet hervor ich habe drei Sachen ein Dreieck und ein Kringel und ein Rechteckund ich habe drei andere Sachen ein ein Sternchen und einenhierüber Kringel und unsein Witz Punktwarum sie das gleich viele in beidenweil ich die eins zu eins gegeneinander legen kann der Streik gegen den Winkel gegen den dasQuadrat gegen den kann und kommt doppelt vor allem Komfortdas heißt diese beiden Mengen sind gleich groß ?? Mengen sind dann gleich groß gleiche Mächtigkeitprofessionell gleiche Kardinalitätwenn sieeins zu eins aufeinander abbilden können sodass keine übrig bleibtund jeder nur einmal vor Punktdas gelingt mit dennatürlichen Zahlen und mit den ganzen Zahlensie können jeder natürlichen Zahl eine ganze Zahl zuordnenalle Türchenzahlen verwendenund keine ganze Zahl kommt zweimal vor alle ganzen Zahlenkomfortgenauso wie dieses ich muss nur bisschen umdenkenwie ich die gegeneinander legitimiertennatürlichen Zahlen und legen dann auf etwas schräge Weisedie ganzen Zahlen der dranneunKlammer zu gibt's dann für jede ganze Zahl eine natürliche und umgekehrt keine doppelt vorihr bekommt mindestens einmal vor?? mal fragen ob das angekommen ist wenn sie diegeraden Zahlen betrachtennull zweivier sechs achtsehen und so weiteralle geraden Zahlen bis ins unendlicheund das echt unendliche aberbeliebig groß endliche Zahlen und die vergleichen mit den natürlichen Zahlen einszweidrei vier fünf sechsOfen gibt's mehrauch das sind gleich viele sie können ja einfachihr habe sogar schon untereinander Komma das ist die Zuordnungsie haben so eine Zuordnung zu jeder natürliche Zahl finden Sie eine gerade Zahl und umgekehrt alle Komfort keine doppelt das heißt es gibt in diesem Sinne genauso viele gerade Zahlen wie natürliche Zahl was ziemlichbescheuert ist denn eigentlich sehe ich doch die geraden Zahlenkommen jedochvor allem bei den unendlichen Mengen kann man den Ärgerdass eine Teilmenge eine echte Teilmengegenauso groß sein kann wie das ganze Dingund das kommt auch nur bei unendlichen Mengen einen endlichen kann das nicht passierendass es sogarmirja eine definierende Eigenschaft und die endlichen Mengen eine unendliche Menge ist eine?? die genauso viele Elemente haben kann wie eine echte Teilmengeeiner endlichen Menge klappt das nie wenn sie meine endlichen Menge eine Teilmenge haben eine echte Teilmengekönnen Sie niemals diese Teilmenge auf alleseins zu eins abbildenwas verstanden hatkann man sich überlegen das es genauso vielerationaleZahlen genauso viele Brüche wie natürliche Zahlen gibt es gibtgenauso vielegenausoviel im Sinne dieser Mächtigkeitsoll ich das dann sagengenauso viele rationaleZahlenbrüchewienatürliche ZahlenBeistrich überraschendesein Viertelmacht sich neunzehn hundert drei vierzehntel minuszwei zwanzig sechsteals sie zusammengenommendas soll nicht mehr seinerzeit einfach Seeleein zwei drei vier fünfPatrick ist wiedergeschickt aufzulistendarf ist Herr Kantor gekommendas ist das erstekann dafürDiagonalverfahrendas zur Bildungmeinerstes Kantor schönesversus katholisches Diagonalverfahrenkurz vor neunzehn hundert ?? sich das ausgedacht dasDiagonalverfahrenund dabei die Relativitätstheorienoch nicht gefundenQuantentheoriemechanikwar alles noch nicht gefunden aberer kann dort schon angefangenfestzustellendass gewisse unendliche Mengen gleich groß sind und andere sind nicht gleich groß sind die Gleiche Mächtigkeitnicht die gleiche Mächtigkeit habenokay diese erste Diagonalverfahrenist ein Trick die rationalen Zahlen so hinzu schreibendass ich sie auflistenkannund zumal ich folgendes schreibeein Einzel?? ein halbein Drittelein viertelein fünftelund so weiterich schreibezwei eintezwei zweizweiDrittel zweiViertel zwei fünftel und so weiterCity zu durch drei vier fünfeine lesbare vierdrei vier fünfund so weiter in jede Richtung unendlich dreiich in die Richtung nach rechts unendlich und Unendlichomiswird sie auf einer eins einsdrei eins vier eins fünf eins drei zwei vier zweifünf dreidreivier dreifünf drei und so weiterSV das alleszu faul alle unendlichenund endlichen Einträge in zumalman das hinschreibenhat man allepositiven Brüche die null ist hier nicht der beiden ganzen Feld negative sind auch nicht dabeiaber jederpositive Bruchmuss hier auftauchenwenn sie haben dreiundneunzighundert Drittel dann müssen Sie okay sie gehenin dieeins zwei drei vier drei in eine ?? und die hundert dritte hier in die hundert drittes Spalte müssen Sie damit durch hundert drei geteilt und dann gehen sie in die dreiundneunzigsteZeile ein zwei drei vier zweiter zweiundneunzig denn etwa neunzehn zeilige dreiundneunziggeteilt ?? können sicher sein ist ein neunzehn hundert ?? irgendwo vorkommt in dieser Liste ist es gut in dieser Tabellewill die nach rechts und unten unendlich groß istdas gilt natürlich für alle anderen rationalen Zahlen auch positiven rationalen Zahlenalle positiven rationalen Zahlen kommen voreinige sogar doppeltNein alle sogar doppelt und dreifachund vierfach unendlich oftsehen siewahrscheinlich der Ärger ist wenn ich das so sagewas kommt zum Beispiel doppelt vorals wenn sie genau gucken sie indes kommt alles sogar mehrfach vor hätte die sogar unendlich oft in dieser Tabelle hier kommt jede positive rationale Zahl vordas sogar unendlich auf Java eins eins eins hier haben wir ein halbeinhalbähmVersicherer ?? was sie sie zwei noch mal viel durch zwei zwei zwei eins zweijede rationale Zahl kommt garantiert vorund zwar nicht nur einmal sondern unendlich oftbis dahin sie das noch nicht sotoll aus der Trick ist jetzt raffiniertzu zählendas istein Kantor eingefallen wie ich jetzt raffiniert zählen kann ich Gehirn Zickzack durch ??kann ich sicher sein Leben zu erreichen??jeden Eintrag werde ich in endlicher Zeit erreichen wenn ich hier im Zickzack durch dirauf diese Weiseschreibealle Zahlen auf die ich jetzt finde während ich dein Zickzack durchgehenund ?? hervor und immer das negative dazudas ihr sind allerationalen Zahlen die positiv sindunendlich oft sogarbis sie die nur Befehle die negativenwas mich jetzt noch dazu folgende Liste bautFang mit der null anjetzt fange ich da an einschreibe ich noch die minus eins dazu ?? auch die negativen habenMitarbeiterein halb damit die negativen habe minus ein halbihr zwei zwei durch eins also zwei für die negativen minus zweigibt's hier weiter dreiminus dreieinshat man schon mal Komma nichtein DrittelKlammer auf ??ein Drittel minus ein drittelund dann mach ich hier ein viertelminus ein viertelzwei Drittelminus zwei Dritteldrei halbe?? auch und so weiter und so weiter man lässt alle weg die man schon hattediesmal die vier halben Männern weglassendrei durch drei würden Rittersmannist allerdings die man schon hatteund zum Schluss hat man eine Liste aller rationalen Zahlen die null ist dabei die negativen sind dabei die positiv dabeikeine ?? hat eine Liste aller rationalen Zahlenund sie sehen an dieser Listeeins zwei drei vier fünfdas isteine Zuordnung zu den natürlichen Zahlenin die ?? ?? ordentlich wenn sie die ?? durch nummeriereneins zwei dreivier fünf sechs sieben acht die könne zum Beispiel sagen wo die achte rationale Zahldrei und die neunte rationale Zahl sie minus drei ?? die zehntes die ein Dritteldamit habe ich wieder diese beiden Mengen aneinander gelegtund damit kann man sehenweil ich diese beiden Mengen ?? kann ein zu einsohne doppelte und das was übrig ist Sexismus genauso viele rationale Zahlen geben natürliche Zahlengibt genauso viele Brüche im Sinne dieser Mächtigkeitgibt es genauso viele Brüchewie es ganz Normalzahlenein zwei drei vier fünf gibtwas ihr überraschendesdas letzte Stück Bildung für heutenoch ein zweiter Setnatürliche Zahl rationale Zahlen ganze Zahlendas sind alles genauso viele im Sinne dieser Mächtigkeitdessen genauso vieleunendlich zwar aber genauso viel unendlicheerim nächsten Schritt zu den reellen ZahlenData zum erster was anderes es gibt unendlich mal mehrere virtuelle Zahlen als es natürliche Zahlen oder ganze Zahlen oder rationale Zahlendas hat auch ?? Kantor herausgefunden?? von neunzehn hundert ?? was ist das zweitekann Diagonalverfahrensonun frischer Rest meines gibt das was ich zeigtePunkt es gibtmehraktuelle Zahlendasmir eine Zahlim Sinne dieser Mächtigkeitals natürliche Zahlenund rationale Zahlen?? Universityund wurde zwei ?? weiter zusammen nehmenam sie vielmehr als wenn sie ein halbein Drittel ?? Gesetzesnamennehmenander gut Herr Kantor sich das anders überlegt andersrum überlegtangenommenangenommendas zeigt sich nach Aarauheraus dieser Annahmeswaldangenommendie Zahlendie reellen Zahlen von null bis eins die reellen Zahlen und zwar einschließlich der null und ohne die einsZahlenwarennull kleiner gleich X klein A kleiner null kleiner Beistrich kleiner eins die reellen Zahlen von null bis einswerdengenauso vieleschrieben mich angenommen es gäbe sie schreiben es gebe genauso viele zum Schreibenangenommen es gäbegenausovielereelle Zahlen zwischen null und einsnunwie es natürliche Zahlen virtuelleZahlennull kleiner gleichX kleiner einsvisuelleZahlen gibt angenommen das wäre der FalldavonnatürlicheZahlen gibtangenommendas wäre der Fallüberlegt sich dannstimmt es gibt schon in diesem Intervallkann ich meine ganzen Zahlen schreibt schon in diesem Intervall von nullabgeschlossenbis eins offen schon in diesem Intervall gibt es mehrere Zahleninsgesamtan natürlichen Zahlen vertreibtdas über Licht und widerlegtdiese Annahme und eines Kleides insgesamt mit allen nehmen damit noch viel mehr seinals natürliche Zahlenguckt sich also nur die an Und-Zeichen mit denen kann es nicht funktionierenwenn das so wäre alle Zahlen von null einschließlichreellen Zahlen von null einschließlichbis eins ausschließlichwenn davon genauso viel gäbees natürliche Zahlen gibt was können Sie mit diesen reellen Zahlen machenwenn sie für jede reelle Zahleine natürliche Zahl genau eine natürliche Zahl angeben können ?? die quasi durchnummeriertdie erste die zweite die dritte die vierte reelle Zahlsie können zwar Sinnedie dreizehn Schreiben auf Platz eins liegt diese reelle Zahl auf Platz zwei jene reelle ZahlKomma sondern sie habendie können sagen was sie erst die zweite die dritte und so weiterreelle Zahl sind wenn die durchnummeriertsind oder wenn ich die eins zu einsabbilden kannauf die natürlichen Zahlen haben sie dieWartelisteangeordnetangenommenwerden das hingekriegt die erstedie erste reelle Zahl wäre vielleicht null Komma sechs null null nullund so weiter verdammt ordentlichen null Entschuldigungsunternehmendie zweite waren null Komma drei drei drei ein Drittel der Verschluss irgendwelchen Gründen die zweiteund die wird gleich dreiihreregal und so weiterso eine Liste wäre dann möglichwenndie DL Zahlen von null einschließlichbis eins ausschließlichgewähren wie es natürliche Zahlen gibt??dann können die Sonderliste bildendie erste die zweite die dritte die vierte und so weiterund jetzt kommt daszweite katholische Diagonalverfahrenbis oben mitZiffer oder mitaus ihr erste Ziffer wurden dann kompliziert das zweite kann durch Diagonalverfahrenwenn das ginge ich ?? ?? Komma eine Fantasiezahldazu wenn das ginge wenn ich die reellen Zahlen zwischen null einschließlich und eins ausschließlich auflisten könnte in so eineunendlich lange Liste wenn das möglich wäre damit noch mal irgendwasKomma siebenKommawenn ich diese auflisten könntedann sagt Herr Kantor okay uns hier mal die Diagonalean ganz anderer Artweiter um mit der null anzufangen ?? diese prickeln ähmsechs anfangen zubekommen und hier mal die Diagonaleanund schreiben eine Zahl auf die garantiert nicht in der Liste ist wenn sich an die erste Stelleeine null setzendas garantiert nicht die erste Zahl wenn sie eine zweite Stelle eine null Gesetzespaketist die zweite Zahl in der dritte Stelle an Null setzen skandierte ich die dritte Zahlist gemeint durch den Ärger passierendas hier irgendwoeinenull vorkommtdas es bisschen blödwas mache ich wenn jeder nur steht und bezahlt zu haben die garantiert nicht gleich der Zahl Nummer vier isteinschwarz-weiß ?? ganz dreist hineinziehenund so weiteralso überall wo obennicht null steht steht schreiben Sie und null hin oben Punkt oben null steht schreibt in einzelnen ?? und haben die unten garantiert eine Zahl die nicht vor Komma diese Zeile unten ist auf der ersten Dezimalstelleverschieden von der ersten bis auf der zweiten verschieden von der zweiten auf der dritten verschieden von der dritten und so weiter und sofortdiese Zahl unten ist nicht vorgekommendass es eine von unendlich vielen Zahlen die nicht vorgekommen sind die kalifornischeokay was passiert wenn ihr von fünf steht die vierteund so weiterHauptsache sie nehmen es anders als die sechses gibt unendlich viele Zahlen die alle nicht vorkommen es reicht eine ?? anzugeben?? zu konstruieren die dann nicht vorkommen kann wenn es so einen gäbestellt sie fest ?? es würden endlich viele Zahlen fehlen also gibt es diese Liste nicht diese Liste könnte niemals vollständig seindas es dannein Widerspruchsbeweis?? ich musste das korrektes muss sicher eine Sache anmerken den gerne vergessen wird?? wenn manDezimalzahlenhinschreibenist das leider nicht ganz einendeutlich was ist wenn Sie diese Zahl hier habendiese Zahl hier wie können Sie die anders schreibenSie das genau angucken diese Zahl kann sie schreiben als null Komma null null zwei neun neun neun und das dann besitzen endlich mit den neuendasselbePunkt das heißt man muss in diesem vorsichtig sein es gibt für jedearmseligeSachen für jedenendlichen Dezimalbruchfür jeden ehrlichen Dezimalbruch gibt es zwei Schreibweiseneine mit Nullen am Ende und eine mit neun ?? am Endenicht kennt kein Mensch es auf diesem neuen schreibt der Mathematik muss man an der Stelle streng seinich brauch jene eindeutige Darstellung also würde ich dann machen ?? als Fußnote schreibt es auch begreifen müsse irgendwo noch schreiben okayhier in dieser Liste gefälligstimmermit null schreiben und ich mit neuen Schreibenshiernach auch kein Ärger beim ersetzen des irgendwas schief gehen kanndas macht es dann mathematisch auch wirklichpräzise man sich sowas dann überlegt aber der Grundgedankeist sie könnenaus einer ListeZahl bauen die nicht in der Liste vorkommt indem sie einfachan der so zufrieden Stelle immer was anderes wählenist von allen Zahlen ?? haben verschiedendas zweite JahrhundertKantorund das zeigtdas schon in diesem Intervall die Zahl zwischen null und einzelnen den Intervall gibt es mehr reelle Zahlen als es insgesamt natürlichandie Profibegriffesind abzählbarund überabzählbarso nennt man das dannKommission bei den ganzen Zahlen schon also die heißenabzählbardie Menge der ganzen Zahlen ist abzählbarso heißt das danngenauso viel davon wie natürliche Zahlenkann sie eins zu eins gegeneinander legendamit gemeinte Mächtigkeitsetzt abzählbarcounty wird im englischenwardie rationalen Zahlen sind abzählbarQist ab selbereher das Konkurist absehbaraber die reellen Zahlensind mehr BWL Zahlen sind überabzählbarKantor lange überlegt ob dazwischen noch was gibtüberabzählbarwas ist ein Problem was wirklich nur die Mathematiker interessiertgibt es noch zwischen der Größe von er und der Größe der natürlichen Zahlen etwas dazwischenund es stellt sich herausdas hängt davon ab?? je nachdem wie man die Mathematik baut keine ?? dazwischen geben oder nichtwenn das Wetter nun wirklich haarsträubend dass es in der Mathematik wird sich Sachen gibt dieje nach Konstruktion der Mathematik stimmen oder nichtdass es in der Praxis kein großes Drama in der Praxis kommtwas was ab selber ist oder was weißüber erzähl was ich von zu dem runden ?? noch was sagendas weist einenin der Informatiksobald man mitEhrgeiz Komma Zahlen arbeiteten diversen billigen Taschenrechner auch schon erlebt haben wenn sie am billigen Taschenrechnereins durch drei rechnen klingt sie null Komma drei drei drei drei drei und das rechtordentlichnull Komma drei drei drei und so weiterund dann ?? sie das mal dreinull Komma drei drei drei und so weiter mal drei und kriegen offen den Taschenrechner raus Komma neun neun neun neun neunähmda sitzen Rundungsfehler bei tatsächlich seinem Mindest natürlich abbrichtganz vielen Eulen und gezügelt weiterund ist tatsächlicheinin der Mathematik wenn siewieder neu miteinander haben ist es tatsächlich sind diese Zahlen tatsächlich dieselbenammuss es im Hinterkopf haben Supervermittler Komma Zahlen rechnetder kleinste Rundungsfehlermacht aus der drei null null null null zwei null neunwirklich voralsoMorales gibt's mindestens zwei Sorten an Unendlichkeitdie Unendlichkeitder reellen Zahlenund die Lässigkeit der natürlichen Zahlenund die natürlichen Zahlen haben definitiv die kleine Unendlichkeitund die reellen Zahlen haben die größeredas führt zum Beispiel dazudass es für praktisch keine reelle Zahl eine Formel gibt es gibt Formeln an und wozu zwei Ziffer eine Zahl desNamenwarenWurzel zwei und Pi und der Sinus aus zweiundvierzig Graddas sind Namen für reelle Zahlen von diesem Namen kann es aber nur abzählbar viele gebenich überlegen was passiert eines der können Sie Zahlen unterschreibensie können Formen mit endlich vielen Formensymbolenhinschreibenvonreellen Zahlen die einen Namen haben gibt es höchstens ?? ist von den Eltern die Einnahmen haben gibt es abzählbar vieledas heißtfast alle Wellenzahlenhaben keinen Namen kann nicht sagen wie zahlreichkann noch keine Formel dafür hinschreiben gibt es einfach nichtweil es zu viele reelle Zahlenganz viel lieber überhaupt nie braucht und überhaupt im Leben kennenlernen ??kann nur ein Bruchteil der reellen Zahlen tatsächlich benutzen weil siein Formen zu schreiben?? Folgen hat das dann