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29.01_02 Statistik, Stichprobe, Grundgesamtheit, Schätzung des Erwartungswerts


CC-BY-NC-SA 3.0

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bisherwar das MinimalausstattunginStochastik WahrscheinlichkeitslehreWahrscheinlichkeitslehrewas sind Wahrscheinlichkeitenmathematischer seitsund wie rechne ich mit Ihnenwie kann ichWahrscheinlichkeitenvon bestimmten Ereignissen ausrechnenwas in Zufallsvariablenwie beschreibe ichäh die wahrscheinlich als Verteilungen von Zufallsvariablendass wir Stochastikdaneben gibt es die Statistikstatistikensie vielleicht aus demBüro man sammelt Datenmehr oder minder sinnlos undmacht lange Tabellen raus?? Statistik im Sinne der Mathematik ist etwas anderes Statistik im Sinne der Mathematik heißtich bestimmeWahrscheinlichkeitsverteilungendannwie bestimme ich denn aus einem Experimentdiese Kurveman kann einfach modellhaft sagen?? Jahrtausendmessungenüberlagertdann wird das irgendwie was sie Normalverteilungwerden?? will ich den andersrum Vorgehen vorwärts vorgehen ?? ich messe tausend malund versuche dann Sonne kurz rekonstruierenmir geht das das wäre ein Job der Statistikwas die Statistik zu den ganzen Tag machtmehr oder minder istmanmöchte Aussagen machen über eine GrundgesamtheitGrundgesamtheitzum BeispieldasWahlverhaltender Bürger der BundesrepublikamoderAussage darüber wie viel von den Solarzellen kaputt sind die sie typischerweise auf ein Dach verbauenKomma das ist in die Grundgesamtheitdas möchte man raus kriegen indem man eine Stichprobeeine viel kleinere Stichprobe untersuchtdas gerne von den Wahlumfragendie Leute suchen sich tausendPersonen raus hundert tausend Haushalte raus und rufen anund mache eine Stichprobeund möchte über die Grundgesamtheitdessen Fachbegriff eine Stelle dann lernensie hier messenbei der Stichprobe möchte ich messen sich nach zählenzu viele Experimente machenda messen Beistrich Probeam lesendenMalmessernsound auf die Grundgesamtheitmöchte ich schließen hier daraufschließendas ist der Job derStatistikwie kann ichden Würfel zehnmal werfen und dann feststellenwas die Wahrscheinlichkeitsverteilungist die sicher bin ich mir dann bei dem Ergebnis was ich habe also ?? oder auch Fehler rauszufindenin der Schätzung für wahrscheinlich Katsverteilungenoder wenn's ganz schlimm wird eben sowas wie Wahlumfragenschon richtig heftig an was man da alles berücksichtigen mussdas wäre Statistik aus einer StichprobeWahrscheinlichkeitsverteilungbestimmenPunktdavon will ich Ihnen nur das minimale mitgeben was sie wahrscheinlich sowieso die ganze Zeit in der Physik schon anwenden was auch im Fokus somit kam??an der einfachsten Sachen ist die Schätzung des Erwartungswertsich mache eine Stichprobefür mein Experimentfünfmal durch fünfzig mal durchund möchte wissen was der Erwartungswertist möchte den Erwartungswertschätzen also was der wahre Mittelwert ist der der Grundgesamtheitwenn das Experimentunendlich häufig machedas ist das allererste was man versuchen kann die Schätzung des Erwartungswertseiner ZufallsgrößeErwartungswertsim?? angenommen wir machenenden Messungenin zehn oderzwanzig oder hundertmache eine ?? bessere Schreiben machemacheschönsäkularmacheN Messungennahmen Ergebnisse?? Ergebnissesteht als TextErgebnisseX einsbisX ähmund Ergebnisse aus diesen in Messungen seinohne möchte ich mir überlegen was denn eigentlich der Erwartungswertsein solltewerfen den Würfel zehnmal sie messen die Temperaturfünfzig malsie Fragenmacht es keinen Sinn sie fragen mich Seeleute nach nach der Partei diese Werke sich Mittelwert fehlt natürlich alles nur numerische Sachen aus den ich Mittelwert bilden kannund ein Erwartungswert ?? kanndas nahe liegendedie nahe liegende Schätzungist derMittelwert der Stichprobedas dass das Video schon die ganze Zeit gemacht haben Mittelwert der Stichprobeals alle addieren und durch die Anzahlteilenist die nahe liegende Schätzungfür denErwartungswertwarenso stark beschreiben X quer ist dann schlicht und ergreifenddie Summe von allen denenvon X eins bis X N Aufsummen und durch eingeteiltdas ist nichts Neues das machen sie seit zwei Semesternwirklich mal von vermessen addieren und fünfterund dann hofft mandass man damitungefähran den Erwartungswert ordentlich dieses ungefähr muss gleich noch im bisschen besser werden aber man hofft damitungefähr Erwartungswertanzulegenangibt zwei Gründe warumdas keine schlechte Idee ist das so zu machender erste Grundbei diesem Textalso warumwarumder erste Grund istdieser Mittelwertwird gegen den Erwartungswert ich ?? mal wieder Möbel für den Erwartungswertdieser mit Mittelwerte Stichprobewird gegen den Erwartungswertden Mittelwert der Gesamtdes gesamten der Mittelwert der Grundgesamtheitwenn Sie wollen gehenfürimmer größere Zahl an Messungenwenn sie nicht zehnmal messen sondern wenn sie tausendmal messenbitte wohl schon dicht daran liegen wenn sie eine Million Mal messenbitte noch dichter dankenankann man mathematischerseitsvorführenmöchte ich nicht und das ganze nennt sich Gesetz der großen Zahlendieser Mittelwert wirdimmer dichter an Erwartungswert liegen je weiter sieje mehr Messungen sie machenSpann das einmal durchzurechnendann glaube es ist gab es nahe liegend dass das so sein muss das Rad auch die Vorstellung von Erwartungswertdie ForschungsabfallErwartungswert istunendlich oft zu messenund dann die Mittel dazu bilden was natürlich nicht gut geht unendlich viele Werte addieren und wichen endlich da aber das ist die Vorstellung von Erwartungswertdass ich das hierfür immer größere en macheinsofern kein Wunder das es dann auch mathematisch genauso funktioniertdas sogenannte Gesetz der großen Zahlenanund der zweite Grund weshalb das so gute Idee istdiesen Mittelwerte Stichprobezu nehmenist das der Erwartungswertdavon stimmtder Mittelwertestichprobewenn sie dasDing hier tausendmal bestimmenbisschenabstrakt wenn sie den Mittelwert tausendmal bestimmenund davon dann den Mittelwert bilden wir das natürlicherst rechthinkommenoder rein formalen geschrieben was ist wenn ich den Mittelwertmit alles welchen Erwartungswertvon den Mittelwert Bildermeine Zufallsvariableist jetzt also en Mal messendie Ergebnisseaddieren und durch enteilendass es meine Zufallsvariableeinmal messenBeistrich alsoerste Mal messenzweite Mal messendas Ente mal messendurch enteilenund davon sind nicht ErwartungswertErwartungswerteiner Summedurch die Konstante teilenKomma schon Erwartungswert verhält sich im Jahre Konstante haben als Faktor kann es raus es in Summe haben Erwartungswertund Erwartungswert in die Summe zerlegenan das macht also eins durch ähm mal den ErwartungswertvonX einsplus eins durch einmal den ErwartungswertvonXzwei Sowjets konsequent bei den großen X bleiben für Zufallsgrößen plus plus plus plus den Erwartungswertvon Punkt einzig entwederplus eins durch in meinen Erwartungswertvon XNCenter auch mal großes Nglaube ichKomma dass in großes NZurückendeein großes Ngroßes Nauch noch eins dass wir dann rausdurch die Linearität des Erwartungswerteinerder Erwartungswertvom ersten Mal messenist der Erwartungswert von einmal messen dass es nichts anderes als MühlErwartungswert vom zweiten Mal messenist MüllErwartungswertvom hundertsten Mal messen ist natürlich auch müde und dann zum Schluss haben sie einst durch einmal Müheneinzig in Malmö Punkt einzig in meinem ??aber in davon ineinander ein zweiten in davon hintereinandermachtmirauch keine große Überraschungandas sind aber zwei Sachen die man später allgemein haben möchte für Schätzungen?? ich möchte gerne dass die Schätzung gegen den Warenwertgehtje mehrElemente der Stichprobe sind je größer die Stichprobe sind wird desto mehr soll meine Schätzung auch dem Warenwert entsprechen das möchte ich gerneund ich möchte gernedas der Erwartungswertmeiner Schätzung als auch wenn ich nur drei nehme oder zweiarmenStichproben nehme dass der Erwartungswertder Schätzung in jedem Fall der richtige Wert ist das Helligkeitssensorzweiübliche Kriterien niemand verlangt von solchen Schätzungensehen das derMittelwerte Stichprobe beideKriterien erfülltals das übliche Drama Schätzung des gutaber wie weit bin ich wegmir schon häufiger?? überschätzen von integralenschätzen vonAbleitungenschätzen von Funktionswertenmit Lineal Ernährungjeder selber Phänomen wie weit ist denn der Mittelwertvon zehn Messungenvom richtigen Ergebnis weg vom wahrenErwartungswertweg kann ich dasschätzen kann ich den Fehler der Schätzung schätzen Projektwar es alsoschätzen eine Ebene weiter getrieben den Fehler hiervon schätzen die groß ist üblicherweiseder Fehler davondass es monströse Rechentechnik vorführen will komplette Zeit nur mal wenn ich den Mittelwert aus zweien bilde das sie sehen was die Zutaten sindMesse zweimaldavon den Mittelwertes messen zweite Messung durch zwei und frage mich okay wie weit bist das denn typischerweisevomErwartungswertweg nur mit zweinicht allgemein mit ähmsehrheftignunich brauche eine zusätzliche Annahme um das ausrechnen zu könneneine zusätzlicheAnnahmeman das nicht annimmt wird's ekligerdeutlich ekligerzusätzliche Annahmesteht im Text die zusätzliche Annahmezusätzliche Annahme ist das dieeinzelnen Messungen unabhängig voneinander sindkönnte man auch schwächer formulierenden Begriff unabhängig habe ich auch gar nicht offiziell gehabtdie Semesterdas was man so zusätzliche Annahme die einzelnen Messungen sind unabhängig?? die einzelnen?? die einzelnen Messungen sind unabhängigstädtischen Skript die einzelnenunabhängigals ob sie einen Würfel würfelnzehnmal miteinanderdann gehen sie auch davon aus das der zweite Wurf nicht mit dem ersten zu tun hat der Dritte nichts mit dem fünften oder zehnten zweiten zweitendie Einzelmessungensind unabhängig voneinander das kann man auchschön formulieren Gleichungen was das heißt unabhängig zu sein will ich ihn gar nicht antun die einzelnen Messungen sind unabhängigvoneinanderdas muss ich noch annehmendann kann ich das ganz dreist ausrechnen wie groß dennder typische Fehlerdes Mittelwerts der Stichprobe sein wirddie Nummer vierder typische Fehler des Mittelwerts der Stichprobe??ich Bilder also erste Messung zweite Messungshälftedas es meine neue Zufallsvariablezweimal messen und halbierenaddieren und halbierendavon sehe ich den Erwartungswertauf das sagt mir wie weit ich den weg bin von dem Erwartungswertwie weit ist meineneue Zufallsgrößezweimal Messensmittelnvom Erwartungswert weg das ist das hier ?? Vorzeichenund der übliche Trickan das Positive zu geringes Rauschen bei der Varianz Geselligkeit wieder das einfach Tanzes immer nur null oder positivund davon nehme ich den Erwartungswertdas gibt mir eine Ideewie weit ich dennvon dem richtigen Wert weg bin ?? wenn ich zweiMessungen mache und Mittler?? das ist derwenn sie wollen Punkt das ist wenn Sie wollen der mittlere FehlerErwartungswert der mittlere Fehler der quadratischenAbweichung vom Mittel genauso wie was bei der Varianz haben ein ist das hier wieder eine Varianzdie Abweichung nehmen vertrieben und davonErwartungswertder mittlere Fehlerder mittlere quadratische Fehler wieder karierte Quadrat weder gemittelte mittlere quadratische Fehlerdas kann ich jetzt noch vorsichtig ausrechnen mit dem was ich weißKommaman kann es Mühe mit auf dem Bruchstrich nehmenstellen sich vor der Stunden zwei mir halbe dichten sie hierzwei Mühe halbe hinnachzwei ?? gewann zwei ?? halbebringt das mit auf dem Bruchstrichkönnen Sie schreiben das ist X einsminus MühenplusX zwei minus MühenhalbeQuadratKlammer zustehen jetzt minus zwei Mühen auf dem BruchstrichEinigung noch einmal auf dem O Strich minus zwei ?? halbedas in die minus zwei ?? halbedas zusammengefasstdas hier direkt die Abweichung steht das was hier steht ist jetzt die Abweichung des erstenMal messen die Abwahl des zweiten Mal messenund davon das Mittelvertreten Erwartungswert muss dasselbe seinüber die zwei Gesichter vorgezogenesist also ein Viertel des Quartals ein Viertelder ErwartungswertvonX einsminus Mühlplus X zweiminus Müllquadratund jetzt dichte ich dasmit binomisch auf Formelbundhabenich dichte mir eine binomisch ?? Formel in dem ich dir klammerePunkt ist eine binomisch FormelA plus B Quadrat einfach in Erwartungswerteine Größe noch ?? Größe addieren ins Quadratinnen drinbinomisch Formenmacht ein viertelErwartungswertzu den ersten QuadrierenX eins minus MühlQuadrierenplus zweimal das Produkt der beidenX eins minus Mühl mal X zwei minus mühlplusden zweiten Quadrieren X zweiwar daswar einfach nur innen drinin ohmsche Formen angewendetPunktjetzt habe ich aberden Erwartungswertaußen noch der Erwartungswertakzeptiert aber die Summe mit dem Erwartungswert Summe stehtmöchte wissen was ist die Summe vonzu viel Sachen im Mittel Geiste dessen auch die Mittelwertebilden dann die Mittelwerte addierenSumme rausziehen ?? ganzen Faktor zwei raus das macht ein viertelmal den ErwartungswertvonX einsminus Mühlquadratsklosterskommt zwei durch vier macht ein halbmal den Erwartungswertdes ProduktsX eins minus MühenX zwei minus Mühlschickt das der letztlich in fast plusein viertel natürlich wieder ein viertel meinen ErwartungswertvonX zweiQuadratsowelche kennen wir davon schonRandnotiz nicht zum mitschreiben ?? das ?? schonan der Stelle müsste man sich jetzt dran erinnernwas folgendes warich als andersrum aufMesseziehe den Erwartungswertabdie Abweichung vom MittelQuadrieren dass die quadratische Abweichung vermittelnundbitte davon den Erwartungswertdie mittlerequadratische ?? beim Vermittler was ist dasdas ist die Varianzund dieses Ehe von X hier habe ich einfach nur genanntwenn sie sich hier einmal messenminus ErwartungswertQuadrat Erwartungswertist die Varianz hier steht die VarianzSigma Quadrathier steht noch mal die VarianzSigma Quadratdas zweite Mal messen minus den Erwartungswert QuadrierenErwartungswertdas ist das zweite Mal dass sie Bayerns stehtstehtähm dem ?? Wegsteht jetzt auch dieser der mirich hatte gesagtdas war die wesentlicheAnnahmediese Messungen hiererstes Mal zweite Mal die beiden Messungen sollen unabhängigvoneinander seines reicht sogar für Leute dieschon mehr wissen dass die unkorreliertsind ?? wenn ich sage dass die unabhängigvoneinander sein sollenwie den Würfel zweimal zu werfenwas kann ich über diesen Erwartungswertsagenkein anschaulichwenn ich bei den ersten Messung über den Mittelwert liegen beim Bund nicht bei der ersten Messung über dem Mittelwert liegehabe ich da was positiveswenn ich bei der zweiten Messung?? bis an Mittelwert Erwartungswertwenn ich bei der zweitenMessungüber den Mittelwert liegeist hier auch was positiveswenn ich bei der zweiten Messung unter dem Mittelwert liege ist hier was negativesund der Mittelwert ist ja gerade soder Wartung es gar sodass der Schwerpunktaller dieserMessungen istanim Endeffekthaben sie einmal plus mal plusplusaber sie werden mit dem selben Gewicht plus mein Minus haben ergibt minussiebten also vermuten was will man vermuten was herauskommen mussda das mussnull werden das habe ich nicht ausführlicherzählt wird mir auch zu weit führen einfach aus dem Bauchgefühl herauseine Messung minus ihren Erwartungswert mal eine andere Messung minus ihren minus den Erwartungswertdie Vorzeichenwerden nicht zum Schluss ausbalancierenplus ?? plus plusminus ?? oder wenn der erste mit minus kommt kommt der zweite mit bloß finde erst mit minus komplette zweite mit minusdass wir diesem Schluss ausbalancierteine andere Art das zu begründen wäre das ist die offizielle Art es dann zu begründen wäre das so ein??das so ein Produkt hierein Produkt zweier?? Zufallsgrößenim Erwartungswertdass sich dieses Produkt auseinandernehmenkannfinde ich nicht ganz so einleuchtendauf die schnelleMann dürfte das Produkt tatsächlich auseinandernehmenentsteht dann null mal nullzweiunabhängigenZufallsgrößenproduktauseinandernehmenwird dann null neun null ErwartungswertAbstands vom Erwartung des der Titelseite auf einem Erwartungswert muss null seinaber rein anschaulichwird sich das ausbalanciert das wird nur werden und dann habe ich hier stehen ein viertel maldie Varianz plus nichts plus ein viertel mal die Varianz sind zum Schluss ein halb mal die Varianzwenn ich also zweimal Messeund der Mittelwertbildungist meinmittlerer quadratischerFehlernur ein halb so groß wie wenn ich einmal messen wenn ich einmal Messe streut das Leertastedas ganze ja mit der Standardabweichungoder als Varianz eben Sigma Quadratwenn ich zweimal Messe wird es halbierenman kann es auch nachrechnenwie einen wie eklig das wird will ich ihm nicht antun man kann auf dieselbe Weise nachrechnen wenn sie dreimal messenwie die varianzgedrehteTDC Mal messen wir die varianzgezähmteArmsteht im Textalso was man analog zeigen kannwenn ich einmal messendann wird die Varianzdurch eingeteiltund das folgtdaraus folgt das mit der Standardabweichungpassiert wenn sie einmal messen die Standardabweichungals dem die Abweichung bestand dabei desMittelwerts der Stichprobevon dem Erwartungswert die Standardabweichungist die Wurzel hier draußendie Wurzel aus der Varianz die Varianz geht durch ähm das heißt die Standardabweichunggeht durch Wurzel inAbweichung durch Wurzelendenwill sagen wenn sie hundertmalmessen und dem Mittelwert bildenund die Messungenunabhängig oder mindestens unkorreliert sinddann geht die Varianz durch hundertund das was sie nach ?? Abweichung angeben plus minus soundsoviel Gedicht sehen die Wurzel draushabenwas man daraus lernt nebenbei ist dassoundsoviel mal messenund den Mittelwert zu bildennicht gerade ein gutes Verfahrens um die Genauigkeit zu verbessern wenn sie eine Stelle Genauigkeitmehr haben wollenwenn sie die Standardabweichungum den Faktor zehndrücken wollen Stammabweichungauf ein Zehntel drücken wollenals das sie müssen hundertmalmessenhundertmal messen gibt ?? eine Stelle mehr Genauigkeitin die zwei Stellgenauigkeithaben wollen hier also durchhundert haben wollen die Standardabweichungdurch hundertmüssen siezehn tausend Malmessenes ist nicht so richtig effizientes hilft bei kleinen Enz etwas?? durch Wurzel zwei durch Wurzel drei durch Wurzel vieraber es ist kein grandioses Verfahren um super genaue Messungen zu machenund alles immer unter der Voraussetzungdass meine Einzelmessungenzumindest unkorreliert sind vielleicht sogar unabhängig voneinanderwenn sie dieselben Fehler immer wieder machensystematische Fehler dann ?? die natürlich nicht den Mittelwert zu bildenKomma damit Damen die Idee für den Erwartungswertwie schätze ich den Erwartungswertnurden Erwartungswert setzt sich typischerweise als Mittelwertestichprobeschon so oft messenaddieren und durch die Anzahl der Messungen teilenund sie sehen hierwie groß der erwarteteFehler dabei ist wie weit ist wie groß ist die Abweichung ?? erwartewenn ich einmal Messedavon denMittelwert Bilder erwarte ich dass der Fehler durch Wurzelendenkleiner ist als bei der einzelnen ?? zugestanden Abweichung des MittelwertsSen Messungen ist dann ?? ich dann Abweichung einer einzelnen Messungdurch Wurzel ähmübliche Faustformel an der Stelle einmal messen wir dann Wurzelendenbesserdamit ?? wareine Ideewie man den Erwartungswertsetztdasletzte für die Semester ist dann wie man die Varianz schätzt beschäftigten die Streuung