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Krümmungsskalar, Volumen eines geodätischen Balls

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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noch eine Anwendung der Deviation Gleichung – ich schaue mir Geodäte Tische an – die alle am selben Punkt starten – und in alle möglichen Richtungen gehen – jede von diesen Geodäte schnell soll dieselbe Länge haben – was ich dann im Endeffekt kriege wenn ich alle diese Punkte zusammen nehme – ist ein jüdischer Ball – eine Art Vollkugel – auf meiner Mannigfaltigkeit – dessen Volumen – das eindimensionale – Volumen vorgemerkt – Komma nun Asymptote ich angeben – das Volumen – eines genetischen Balz – und diese Asymptote Entwicklung führt dann auf den sogenannten Krümmungsskalar – die Krümmung der Mannigfaltigkeit – zusammengefasst – in einer einzigen Zahl – der Krümmungsskalar ist dann auch in der allgemeinen Relativitätstheorie – wichtig – diese Bedeutung hier die lässt sich aber nicht so ganz leicht auf die allgemeine Relativitätstheorie – übertragen – ein genetischer Ball im Minkowskiraum – in sehr komisch an ich hab ja Richtungen – in die die Bogenlänge null ist welche Licht verfolge – dann ist die Bogenlänge null da gelangt bis ins unendliche – dann habe ich sogar Richtungen für die das Quadrat des Geschwindigkeitssektors – negativ ist was soll das sein – diese Konzeption hier für den der allgemeinen Relativitätstheorie – etwas heikel werden – was ich jetzt sage bezieht sich auf die normale Geometrie in der man den metrischen Tensor zu Kronecker-Delta – machen kann – um die Diversionsgleichung – anzuwenden guck ich mir erst mal hier so einen kleinen Ausschnitt an es geht im Prinzip hier in die Richtung V – und ich verfolge in Abweichungsvektoren – A eins von es hat zwei von S und so weiter – diese Abweichungsvektoren – die werden alle immer größer – je weiter ich nach draußen Komma – dass wir mit dem Volumen passieren – und nachher werde ich versuchen – diese ganzen Volumina auf zu addieren und dann auch noch einmal rundrum zu addieren und das Gesamtvolumen zu erhalten von diesem genetischen Ball – meine Abweichungsvektoren – erfüllen also dass sie zum Parameterwert – null – gleich null sind – da unten ist alles ganz winzig – am Start Punkt – Aldi sind null anders als bei der Herleitung des Ricci-Tensor – zwo gemerkt der Stadt mit Variante der Tischen – außerdem möchte ich jetzt noch Namen haben für die Geschwindigkeit – mit den diese Abweichungsvektoren – im Zentrum losgehen – die kovariante Ableitung – von eins – nach dem Parameter – an – den Parameter wird null als im Zentrum – denen ich B eins – von zwei – nenne ich B zwei – und so weiter – Disc ich vor wie beim Ricci-Tensor – dieses Volumen hier drück ich aus mithilfe der Determinante – der Skala Produkte – aller von diesen Abweichungen – wäre das dann durch eine Tellerreihe – als wie bei der Herleitung vom Ricci-Tensor – ich nehme mir die Abweichung vom Euro – zum Parameter wird es ich nehme die Abweichung nur Siegmar – zum Parameter wird es – und versuche das jetzt – nach Täler zu nähern – ist es erst mal der Wert von diesem Ausdruck an der stelle es gleich Null – dann kommt die Ableitung von diesem Ausdruck dazu – an der Stelle es gleich null mal es – plus – die zweite Ableitung – nach – es – stelle es gleich null mal es Quadrat halbe – so sah es auch bei der Herleitung des Ricci-Tensor saust – aber jetzt geht's noch weiter ?? ich brauch die dritte Ableitung – an der Stelle es gleich null mal es hoch drei durch drei Fakultät durch sechs also – und ich brauch noch die vierte Ableitung – an der Stelle es gleich null mal es so viel durch vier Fakultät also vierundzwanzig – plus Terme der Ordnung fünf oder höher – und jetzt rechne man diese fünf Werte aus – der Werteskala Produkts zum Zeitpunkt es gleich Null des netterweise sofort null weil diese Abweichung ja mit null Staaten – Innsbruck muss die erste Ableitung an Skalarprodukt – ableiten nach es das kam so schon alles beim Ricci-Tensor vor – ich leite den linken kovariant ab plus sicherte den rechten kovariant ab Produktregel – den linken kovariant ableiten – plus den rechten – kovariant ableiten – an der stelle es gleich Null sollen die Abweichungen aber null sein das heißt hier steht null an der Stelle es gleich null und hier steht null an der stelle es gleich Null mit anderen Worten die erste Ableitung an der Stelle es gleich nur genommen ist null auch dieser hier ist null – wieder männlich warum man hier so viele hohe Ordnungen drin haben muss es wird zu viel Weg am Anfang – jetzt kommt die zweite Ableitung – die kam ja auch schon bei der Herleitung des Ricci-Tensor zur – Patient Blau steht noch mal ableiten – als der vorne zweimal ableiten – entstehen lassen – plus – die ihn ableiten – habe ich Ableitung mal Ableitung – plus den ableitenden Abschied noch mal Ableitungen Ableitung also zweimal – Ableitung mal Ableitung – plus – den hinteren noch mal ableiten – hier steht wieder null wenn ich es gleich null Einsätze – ihr steht null – und hier steht das Produkt aus wie roh – und wie Siegmar – an der Stelle es gleich Null hatte ich einen Namen sehe für diese kovariante Ableitung – hier jeweils – zwei die erste Ableitung und die zweite Ableitung – jetzt kommt die dritte Ableitung – das geht weiter nach dem selben Muster – ich leite das Grüne ab – nach der Produktregel kriege ich dann hier vorne die dritte Ableitung – von Harro – plus – den Stehen lassen den ableiten also die zweite Ableitung links die erste Ableitung rechts – zweite Ableitung – links – die erste Ableitung – rechts – das war der erste jetzt mach ich hier weiter – links ableiten – versteht ?? die zweite Ableitung die erste Beistrich als zwei mal noch dazu – sind insgesamt drei von dieser Sorte – der Musik den linken stehen lassen und den rechten ableiten – in linken stehen lassen – und den rechten ableiten der kriegt jetzt also zwei Ableitungen – bisher habe ich zwei von dieser Sorte – jeglicher war noch ein in dem ich den linken ableitenden Rechten stehen lasse – also Faktor drei – plus das letzte was ich kriege ist die entstehen lassen den ableiten – die dritte Ableitung hiervon an – Siegmar – an der Stelle null steht hier der Nullvektor – hier steht der Nullvektor – der trugen sie die zweite Ableitung an – mithilfe der Deviation – Gleichung das ist minus – Krümmungstensor – irgendein Index oben – Wetterlander – Müll unten – ich gehe im wesentlichen in die Richtung V – also V Wetter – mit dem Lander – steht – die genetische Abweichung – also als sigma von null – oben lambda und mit dem Menü steht wieder unsere Richtung Formel – A Sigma von null ist aber null – also wieder diese Skalarprodukt – raus und genauso ?? sich diese Skalarprodukt – raus – die dritte Ableitung – wird also null an der Stelle es gleich null – noch mal zurück sondern Tellerpolynom – bei der zweiten Ableitung war wirklich was passiert bei der dritten Ableitung steht schon wieder null – und ich will noch die vierte Ableitung haben – diesen violetten Ausdruck muss ich jetzt also ableiten – vierte Ableitung – es – den hier vorne ableiten – links ableiten plus rechts ableiten – links ableiten – ist und die vierte Ableitung von Arho – rechts stehen lassen – plus – andersherum – links stehen lassen – und rechts ableiten – damit habe ich diese Skalarprodukt abgeleitet – jetzt kommt dieses – einmal links ableiten – einmal rechts ableiten wenn ich links ableite – ich dieses hier dreimal – dazu – Arbeit insgesamt vier von der Sorte – rechts ableiten gibt mir dreimal – Zweiter bei den Links zweite Ableitung rechts – plus – drei mal zweite Ableitung – links – zweite Ableitung rechts – damit habe ich diese Skalarprodukt – abgeleitet – es leidlich das hab ich links ableite zwei Tabletten links zweite Ableitung rechts habe ich drei – weitere drei von dieser Sorte an sich habe ich nicht drei von der Sorte sondern sechs von der Sorte – plus drei mal – links einmal ableiten rechts dreimal ableiten – drei mal – links einmal ableiten – rechts dreimal ableiten – plus – sich den letzten noch verarbeiten – den einmal links ableiten – Komma von der Sorte – hier steht also keine drei – vier – und den Stehen lassen den noch mal ableiten – ?? Ho – mal die vierte Ableitung von ?? sieht – so und jetzt gucken uns das an der Stelle es gleich Null an – der hier wird null an der Stelle gleich null – ?? sonst noch ein nacktes Ar stehen da unten aber nacktes Arsten das wird null an der Stelle es gleich null – der Thyssen inzwischen auch dass die zweite Ableitung – deswegen – null wird an der Stelle es gleich nur hier steht die zweite Ableitung der auch noch mal – aber einmal null reicht mir – was übrig bleibt sind diese beiden Terme mit den Dritten Ableitungen – jetzt versuche ich mal die Dritten Ableitung mithilfe der Deviation – Gleichung zu fassen – diesen Ausdruck hier die dritte Ableitung – von wovon es nach es – kovariant – mich leid also die zweite Ableitung – noch einmal ab wo könnte man das schreiben – die zweite Ableitung kenne ich aber von der Deviation Gleichung – hier steht also – kovariante Ableitung – und jetzt die zweite Ableitung von der Deviation Gleichung – minus – Krümmungstensor – mit irgendeinem Index oben – mit der Lander Mühl – jetzt kommt der Geschwindigkeitsvektor – einer zentralen – theoretischen – Abweichung – mit der Nummer pro – und davon die Lambdakomponente – und noch mal der Geschwindigkeitsvektor – ich will ja wissen dass dies an der Stelle es gleich null ist – wenn jede kovariante Ableitung – ausführe – nach Produktregel – den ersten anwenden – plus auf den zweiten anwenden plus auf den dritten Fluss auf den vierten anwenden – den wir dann es gleich Null nur ein einziger Term übrig bleiben – das sieht man so die kovariante Ableitung – auf den Krümmungstensor – anwenden – bei diesem Header steht eine Stelle null – mal A vierter steht eine Stelle null des aber null – muss nicht weiter nachdenken das Licht raus – die kohärente Ableitung anwenden auf diesen Geschwindigkeitsvektor – entsteht schon wieder Ader trennen was nur lässt das Licht raus – genauso wenig die Kuwait Ableitung auf den Händen anwende – dann bleibt er stehen – bleibt nur das einzige was übrig bleibt ist Krümmungstensor – Geschwindigkeit zwickte und diesen kovariant ableiten eine Stelle null – und wieder der Geschwindigkeitsvektor – das wird also – minus – Krümmungstensor – Betterlander – Mühe – dieser an der Stelle es gleich null ist V better – diesen korrekt ableiten an der Stelle es gleich null – ist wie Holander – und diesen an der stelle es gleich Null das ist Frau – jetzt was sie als was hier die dritte Ableitung ist an der Stelle es gleich Null – und Dinge kann ich auch angeben – an der Stelle es gleich null war der schlicht und ergreifend wie Sieg war – das kann man jetzt zusammen sortieren die vierte Ableitung – an der Stelle es gleich null ist also – nichts – plus vier mal – minus Krümmungstensor – VW – V – WI – plus nichts – plus vier mal – W – mal – minus Krümmungstensor – VW VW – Bus nichts – alles zusammen – vierte Ableitung meines Skalarprodukt – nach dem Parameter es an der Stelle es gleich null – ist – minus vier mal – dieser – Herr – das Obenwetterlander – Menü – V – Wetter wie Roland – RV – mal die erste Ableitung und das war für die sigma – und jetzt muss ich hier kontrahieren ich schreibe wie Siegmar – unten Alpha und hier oben an Alpha in – das wir der erste Term und dann gibt's noch den zweiten – minus vier Mal – in umgekehrter Reihenfolge ?? vorn steht für Aero Alpha und hinten steht er Alpha Betalander – Mühlfrau – Beta – wie Siegmarlander – V Müll – dieses Alpha unten Alpha oben mache ich mal zu Lander oben – Lander unten – und dieses Lander – mache ich zu Alpha oben – Alpha unten – jetzt benutze ich noch die Symmetrie beim Krümmungstensor – tausche hinten und vorne aus dann steht da oben Alpha – unten mühen die beiden hinteren – unten am Tag – unten Wetter – dieses Mühe geht mit dem V Mühe das Wetter geht mit dem V Peta ob ich jedes Medien schreiben oder das Wetter macht keinen unterschied – PC Version steht ist dasselbe wie das was da oben steht er oben Alpha unten Betterlander Mühl – das groß steht mit dem Lander oben – das Rohr steht mit dem Lander oben unter Sigma steht mit dem Alpha unten – ich kann also den zweiten ganz streichen und die oben eine acht draus machen – damit habe ich jetzt die Tellannäherung – zusammen – Hitzeentwicklung von diesem Skalarprodukt – ist also – die zweite Ableitung an der Stelle null Mannes Quadrat halbe – plus die vierte Ableitung an der Stelle es gleich Null ?? so vier vier Zwanzigstel – Plus Terme höherer Ordnung – die zweite Ableitung war zweimal – der Skalarprodukt – Velo für Sigma – und die vierte Ableitung hatten wir gerade – steht sie noch – also habe ich das Skalarprodukt – von Arhof von es mit einer sigma von es – ist gleich – der Beitrag vom quadratischen – Ausdruck – Skalarprodukt – von WO und wie sieht Mama zweimal – Quadrat halbe – Komma sofort kürzen – plus dem Beitrag mit es hoch vier – also minus – acht – Herr oben Alpha unten Wetterlandemühl – V Wetter – W numero – mit Lander oben – Frau Mühl – wie Nummer Sigma mit Alpha – unten – mal – es hoch vier vierundzwanzigste – Becken auch kürzen die acht und da bleibt ?? drei – plus Terme der Ordnung es hoch fünf und höher – und diese beiden Ausdrücke fasse jetzt zusammen – wie schon bei der Herleitung des Ricci-Tensor ?? – von MW Vektor mit der Nummer pro – nämlich – Lärm da oben von dem wir Vektor mit der Nummer sieht man nämlich Alpha unten – große Klammer – höherer Ordnung noch dazu am Ende – in der Klammer brauche ich jetzt etwas – um hier die Komponente mit der gleichen Nummer links und rechts raus zu picken – ich brauche Delta – oben Alpha Untenlander – man es Quadrat – minus – Esso vier Drittel – der Krümmungstensor – steht jetzt mit Weg Rohlander – wie Holander und W Sigma Alpha da muss ich also ganz besonders machen erhoben Alpha – Betalander – Mühl – V better Formel – diesem Ergebnis – kann ich jetzt einen Teil meines Volumens ausrechnen – ich geh noch mal ganz zurück – dieses Volumen hier in Abhängigkeit – vom Parameter S kann ich nun ausrechnen – das manchmal wollen es – ganz bei der Leitung von Ricci-Tensor – kriegt das Quadrat von diesem Volumen als Determinante – aus allen Skalaprodukten – zwischen diesen Abweichungsvektoren – das Quadrat vom Volumen – zum Parameter wird es – ist die Determinante – aus – dieser Matrix an Skalarprodukt – Tacho von es – Siegmar von ist – mit rund Sigma als Zeilenindex – und Spaltenindex – und das buchstäblich jetzt aus mithilfe der Tellernährung – hier steht auch die ted Annäherung – die Determinante – eines Produkts von Matrizen – ist das Produkt der Determinanten – der der Männer die hiervon mal die hier von Mali hiervon – die ersten beiden fass ich wieder zusammen – wie schon bei der Herleitung von Ricci-Tensor – und kriege die Determinante – von dieser Matrix aus Skalar Produkten – wie roh modifiziert mit Siegmar – andere und sie dadurch – mal die Determinante – hier steht jetzt erst quadratsmal die Einheitsmatrix – minus es hoch vier Drittel – mal – neueres komisches das hinten schreibe ich mal als – im – Wetter geht weg möget Weg den Ex Alpha und der Indexlander – die bleiben über eine Matrix ähm – mit diesen Einträgen hätte ich gerne – Lust am Hörerordnung – bei den muss man etwas vorsichtig sein – ich habe eine Matrix – in der jeder Eintrag – von der Ordnung Esso fünf oder größer ist und hier vorne habe ich eine Matrix in der jeder Eintrag von der Ordnung des Quadrat oder größer ist – nicht die beiden Gemische ist das beste was ich kriegen kann – sich vorn in N minus eins spalten das es Quadrat nehme – und hier noch in einer Spalte das es hoch fünf nehme – dann habe ich zum Schluss es Quadrat – hoch in minus eins – mal es hoch fünf – habe ich zusammen S hoch zwei N minus zwei – plus fünf – hier also – zwei N plus drei – dieser Determinante – kann ich aus jeder Spalte den Fakt US Quadratshaus – nehmen – in Spalten – einmal den Faktors Quadrat rausgenommen – und zum Schluss – es Quadrat hoch in S hoch zwei N ausgenommen – mal die Determinante – das SSS Quadratswerk – minus und hier habe ich noch es quadratische te so vier – S Quadratsdrittel – ähm – diese Situation gab schon mal bei der Leitung von Ricci-Tensor – die Determinante von – der Einheitsmatrix – mit einer Störung – das hier wird eins – minus – die Spur der Störung – Quadratsdrittel – die Spur – der Matrix ähm – plus Therme mindestens der Ordnung es hoch vier – die Spur dieser Matrix hier ich summieren am eins eins M zwei zwei M da drei – schreibe also alphaalpha – hin das es schlicht und ergreifend der Ricci-Tensor – kontrahiert mit Frau Bitter – und Formel – diese Spur ist der Ricci-Tensor – Termin mit Frau Beta – Formel – zwanzig festes Quadrat vom Volumen ist ich zieh die Wurzel – das Volumen selbst – ist also große Wurzel – diese Determinante – aller Skalar Produkte – zwischen den wie Vektoren – mal – zum William S hoch zwei – N – und dann der blaue Ausdruck – eins minus – es Quadratsdrittel – Richie VV – plus Terme der Ordnung S hoch zwei N plus vier – aber ich habe ich sowieso schon Terme der Ordnung SIO zwei plus drei – also Klammer zu plus Ordnung – S hoch zwei N plus drei – das versuche ich jetzt noch weiter auseinanderzunehmen – wenn diese Determinante hier vorne nicht null ist – könnte ich diesen Restterm – mit zu diesem Produkt nehme ich könnte mich hier Klammern vorstellen – so arbeite ich mal weiter – vier Klammern stünden – wenn ich ihn nämlich noch mal S hoch zwei N aus der grünen Klammer gleich rausnehmen – ich kriege also die Wurzel – aus der Determinante – von allen diesen Skalarprodukt – S hoch zwei N sich aus der Wurzel raus macht es hoch in ?? und in der Wurzel steht an dieser noch drinnen – eins minus es Quadratsdrittel – Richie – V – V – und diesen hier wie gesagt nämlich zu dem Produktreihen – S hoch zwei N habe ich schon weg hier steht noch wovon – es hoch drei – in der Wurzel – der letzte Faktor hier ist Wurzel aus eins – und eine Störung – auch das gab schon bei der Herleitung vom Ricci-Tensor – das nähere ich mit der Tangentengerade – eins Plus Störung unter der Wurzel wird eins Plus die Hälfte der Störung in der Nehrung – eins minus und nun es Quadratssechstel – die Hälfte – Richie – V V – und mehr hiervon die Hälfte bleibt wovon es hoch drei – dieses Volumen ist in ein kleines Stück von dem was ich eigentlich ausrechnen will – letztlich zurück zum gesamten theoretischen Ball – eigentlich will ich ja nicht dieses Volumen ausrechnen – sondern das Volumen des genetischen Balls ausrechnen – ich für dieses Volumen hier jetzt also auf so mir entlang dieser genetischen – und einmal rum – um alle Winkel – wenn ich dank der genetischen auch zu mir muss etwas vorsichtig sein nach außen wir dieses Volumen der Größe nach innen wird es kleiner – bei der Abweichung Vektor längs des Radius ja auch mit wächst – das gibt ein Faktor es zu vier – muss hier also vorsichtig muss er es hoch ähm minus eins benutzen – wenn ich integriere – und da muss ich noch über alle Winkel integrieren – wir kriegen also das Volumen vom Geo der Tischenball – mit Radius R – ist ein integral irgendwie über Winkel – Details sind egal – Wolke hier – auf jeden Fall kommt bei diesem Winkl integral raus welche Frau ich nehmen soll und welche wie ich nehmen soll – und ich kriege ein integral längs des Radios – also von null bis er – über den Parameter – es – von diesem Ausdruck hier die Determinante – von Feeprofis – Siegmar – Baron Sieg war wie gesagt geht es hoch ähm minus eins – und das Lungen immer größer wird – mal den blauen Ausdruck hier – eins minus es Quadratssechstel – Richie – V V ich schreibe sie Details nicht den plus Terme höherer Ordnung – im Endeffekt habe hier jetzt aber ein integral über einen ganz normalen flachen – Ball sozusagen – im athletischen Raum – ein Mehrfachintegral – über die Vollkugel – mit Radius R – in RN – um den Ursprung – der ?? noch ein Fax – zu diesem integral – würde das Winkl integral sondern auch hier das integral längst im Radius – dieses Volumen hier gehört dazu es N minus eins gehört dazu dieser blaue Teil hier – den muss ich noch hinschreiben – ?? eins minus S Quadrat – sechste – er – unten Wettermühl – V oben – Wetterradar VO mühlplus – Terme höherer Ordnung – S hoch drei – V hat die Richtung angezeigt – in die ich raus gehe aus dem zentral Punkt – es mal V – ist damit schlicht und ergreifend – der Radius Vektorstreiche – ein ist und dieses Fahrwetter und mache es zu X better – die Koordinate – X mit der Nummer dritter ich streiche noch ein Essen dieses Frauenhaus – zu X Mühen – und hinten das es Ultra ist also die Länge von X – hoch drei – jetzt mit sich aus das der Ricci-Tensor – symmetrisch – ist – ich kann die Koordinatenachsen – so wählen – dass dieser symmetrische – Tensor diagonal – wird – der Multi zierliche nicht mehr kreuz und querfeldein – sonnig habe noch eher eins eins mal X eins X eins – R zwei zwei mal X zwei X zwei – und so weiter – ich drehe mein Koordinatensystem – so das der diagonal – wird – dann krieg ich da dasselbe integral wie vorher – über die Vollkugel mit Radius R MR N und den Ursprung – entscheidet immerhin die X der Y DZ und so weiter – und was sich integrieren – wird werden eins minus – des Quadrat des Weg ein Sechstel – und nur die Diagonalelemente – eher eins eins mal X eins X eins als XXL – eins eins mal – X Quadrat – R zwei zweimal X zwei X zwei also – eher zwei zweimal – Y Quadrat – und so weiter – Kloster Möhre Ordnung – nämlich – die Länge des Rektors X hoch drei – und es rächte sich dass sich dieses X und das X nicht auseinander halten kann weil ich Unwetterfalle arbeite hier ich vergittertes – Konvektor Fall drüber – und über den auch ein Vektorfall – ich muss also wissen was passiert wenn ich über die Vollkugel – eins integriere – Beistrich das Volumen der Vollkugel – und was passiert wenn ich über die Vollkugel – X Quadrat integriere – entsprechend – wie das mit dem Quadrat und so weiter gehen und dann kann ich das zusammenbauen – ich will also Integrieren – über die Vollkugel – mit Radius R – um den Ursprung – im R – N – X Quadrat – TX – der Y – DZ – und so weiter – wenn ich mir das im dreidimensionalen – vorstelle – zerplatze – also die Vollkugel im Kreisscheiben – die Fläche jeder dieser Kreisschreiben – wird mit X Quadrat multipliziert – dies kann ich auch schreiben als – das integral von Minus Erbes plus er – verglich bei minus eher an ihr Plus eher auf – X läuft von Minus Erbes plus er – jetzt brauche ich die Fläche der Kreisscheibe – das ist also hier im allgemeinen Fall das Volumen – der Vollkugel – in N minus eins Dimensionen – mit dem passenden Radius – nach Pythagoras – also Wurzel eher Quadrat minus X Quadrat – dieses Volumen – das ist im dreidimensionalen – die Fläche dieser Kreisscheibe – und ich modifizieren mit sechs Quadrat – integriere über X – glücklicherweise ?? ich keine Formel für dieses Volumen der Vollkugel – hier für die Fläche der Kreisscheibe wenn N gleich drei ist in mindestens gleich zwei ist – es reich dass ich weiß dass dieses Volumen hier eine Konstante – mal – den Radius hoch N minus eins ist – und Radio so Renaissance – also Wurzel R Quadrat minus X fordert hoch N minus eins – Konstante IS mehr oder minder fürchterlichen hohen Dimension – ich muss sie gar nicht wissen stellt sich heraus – auf jeden Fall wird dieses Volumen einer Endes eins dimensional kugelproportional – sein zu ihrem Radius hochentminus eins – das heißt ich habe jetzt ein relativ schlichtes integral zu lösen – sind die Gral von Minus Erbes plus er – eine Konstante – mal Wurzel – R Quadrat – minus X Quadrat – hoch ähm minus eins mal – X Quadrat TX – ich arbeite mit Substitutionsseite – X ist er mal Sinus – einen Winkel – dann ist die X – gleich eher mal den Kosinus – vom Winkel – mal das Differenzial vom Winkel – und ich kriege meine Konstante – X soll von minus er bis plus er laufen – der Sinus also von minus eins bis plus eins laufen Fi soll also von Minuspier – halbe – bis plus vier laufen – hier steht jetzt die Wurzel aus er Quadratmeter – sechs Quadrat – als er Quadrat Sinusquadrant – hoch N minus eins – und X Quadrat ist der Quadrat – Sinusquadrat – und die X ist er Kosinus – die Fimo – nämlich ein paar Faktoren eher raus – aus der Wurzel – kann ich das eher Quadrat raus ziehen – dass er Quadrat – wird von der Wurzel zu R – hoch N minus eins – C mal eher hoch ähm minus eins hier kriege ich noch zwei Faktoren R und hier noch ein Faktor er also plus drei Exponenten – integral von minus vier bis plus vier halbe – jetzt steht ?? nur noch eins minus jedes Quadrat – die Wurzel auch in minus eins – Dienstgrad Kosinus – die Fi – eins minus Sinus Quadrat ist Kosinus Quadrat – Pythagoras – aus dem Sinus Quadrat hier – mache ich auch eins minus Kosinus Quadrat – und dann steht hier – das ist zehnmal – eher hoch ähm minus eins plus drei Integral von minus vier halbe bis halb ?? – die Wurzel aus Kosinus Quadrat – ist hier der Kosinus – I wird der Kosinus nicht negativ – also kein Ärger mit Betrag strichen die Wurzel aus dem großen Quadrat ist hier der Kosinus hoch N minus eins – und noch ein Faktor Kosinus dann habe ich den Kosinus hoch N – mal eins minus Kosinus Quadrat – die Fi – ist Integral hier mit dem Kosinus hoch N ist etwas ungemütlich – es kommt ein kleiner Trick – wenn ich allgemein das integral großen such ähm – lösen könnte – dann könnte ich dieses lösen Kurses noch einmal eins und auch dieses ?? lösen großes O N plus zwei – also versuche ich folgendes integral hinzukriegen – ich nenne das integral N plus zwei – das soll sein von minus Pia – whiskyhalber – der Kosinus – hoch N plus zwei von – Fi – das integral gehe ich jetzt mit partielle Integration – Ansage der großen such ein plus zwei ist der Kosinus hoch N plus eins von Fi – mal den Kosinus von Phi – den ersten Term kann ich hübsch ableiten – bla auch ein plus eins gibt endlos eins mal was da steht – hoch ähm – und mal in der Ableitung den Kurses ableiten gibt minus – Sinus – und hier den Kursus von dem brauche ich eine Stammfunktion – was leite ich ab ?? am einfachsten den Sinus – Beistrich den Kosinus – jetzt habe ich alles dafür die partielle Integration – in den eckigen Klammern – minus vier halbes plus Pi halbe – stehen die beiden nicht abgeleiteten – Funktion – Kosinus hoch N plus eins – mal Sinus – ist aber an beiden Enden null aus den eckigen Klammern kommt null raus – jetzt minus das integral mit vertauschten Rollen die beiden die unten stehen – noch mal ein Minus macht wieder plus – en plus eins – und das integral – von minus vier halbe bis plus vier halbe – großen such in Sinusquadrat – Sinus Quadrat ist aber schon wieder eins minus Kosinus ins Quadrat – ich hab schon wieder ein integral von dieser Form Kosinus hoch N – und Kursen zur N plus zwei – zusammengefasst – dieses integral – mit dem Exponenten N plus zwei vom Kosinus – wird also sein – N plus eins – mal – jetzt das integral nur mit dem Exponenten N – I N minus das integral mit dem Exponenten – N plus zwei beim Kosinus – das ist eine ganz billige Gleichung die ?? sich auf – ich bringe endlos eins – Yen plus zwei auf die linke Seite – dann habe ich hier N plus zwei EN plus zwei und anteilig durch ein plus zwei Kriege damit ihren plus zwei – ist gleich N plus eins – durch ein plus zwei Ihnen – mit dieser Kenntnis – gehe ich zurück zu meiner ursprünglichen Fragestellung – dieses integral ist also N – großen Sucheinmaleins – minus I – N plus zwei – großen such ähm Arkussinus Quadrat – mit ?? gelernt wie ich ihn plus zwei durch ihren ausdrücken kann – hier unten steht Ihnen – minus – ein plus eins durch endlos zwei PIN – das was ich noch zusammen wie viermal die habe ich – eins minus ein plus eins durch Einfluss zwei – also einst durch ein plus zwei – kommt raus wenn ich es geschickt weiter zusammen fasse – das ist meine Konstante – mal – ehrlich er hoch N plus zwei – im Endeffekt – eher hoch ähm – ins Quadrat – N plus zwei – Komma noch von dem – mal das integral EN also mal das integral von minus Pi halbe – plus Pi halbe – Kosinus – hoch N von Fidelfi – dieser hintere Teil ist jetzt aber das Volumen des eindimensionalen – Balz mit Radius R das sieht man hier oben – wenn ich ein Einschreiben würde statt des X Quadrat – für dich die Funktion eins über die Vollkugel integrieren hätte das Volumen der Vollkugel – der eindimensionalen – Vollkugel – ihr stünde eine eins – hier stünde eine eins hier stünde kein R Quadrat Sinus Quadrat – ich bekomme dieses integral – das ist das Volumen – der Vollkugel – mit Radius R im er in die eindimensionale – Vollkugel – Komma zusammengefasst – wenn ich X Quadrat über die Vollkugel – integriere – bekomme ich – Martins Quadrat – durch ähm zarte Dimensionen plus zwei – mal das Volumen der Vollkugel – dass er sich jetzt ein – hier steht das Volumen – dieser Vollkugeln – mal – eins – minus – ein sechstel R eins eins – und dieses X Quadrat haben wir gerade gesehen – wird zu Radius Quadrat – durch N plus zwei N gezahlte Dimension – dasselbe passiert mit dem – Y – und so weiter – die höheren Ordnung hier hinten gehen mindestens WR hoch drei – was sie jetzt aus dem Ricci-Tensor gebildet worden ist regelt also – wie sie das Volumen des genetischen Balls mit Radius er entwickelt – das hier null ist – bei wiso kein zweiter Ordnung gleicht dem Volumen im ungekrümmten Raum – das scheinbar Sommer zusammen – ich habe also das Volumen – vom Geo der Tischenball – mit – Radius R – das ist das Volumen von dollkritischen – Vollkugeln – ohne Krümmung heißt das mit Radius eher – mal und jetzt kommt die Korrektur – eins – Minusradius – Quadrat durch sechsmal – Entschluss zwei – und erscheint jetzt in unserem schönen Koordinatensystem – R null null vom Ricci-Tensor Plus eher eins eins plus – und so weiter – plus Terme höherer Ordnung – das ist natürlich ?? bisschen fadenscheinig – in einem schönen Koordinatensystem – stimmt das aber offensichtlich ist das hier nicht Basis unabhängig wie's da steht – ich Bilderbasis – unabhängig – eher oben null er und null plus aeroben eins er unten eins und so weiter – also wenn man so will den Ricci-Tensor – mit einem Indexmenü oben und ein Indexmenü – unten – oder mit dem metrischen Tensor geschrieben – der Ricci-Tensor mit Betamounten – konnte ?? mit dem metrischen Tensor – mit – Wetter Mühe oder Wetter – egal – oben – Bild also quasi die Spur der Spur – der Ricci-Tensor – schon eine Spur von Krümmungstensor – wird noch mal die Spur gebildet – das hier nennt sich der Krümmungsskalar – groß R dann nur noch Wohnindices – oder der Richie Skala – oder die Skalakrümmung – noch ein Name dafür – wir kriegen dann also das ist das Volumen – im kritischen Fall mal eins minus den Radius ins Quadrat durch sechs mal die Zahl der Dimensionen plus zwei – mal den Krümmungsskalar – plus Terme höherer – Ordnung – und man sieht wenn ich mit dem alles rückwärts gehen würde müsste selber rauskommen – hier kann einzig gar nichts stehen von der Ordnung R hoch drei – das muss hiermit er auch vier weitergeht