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geodätische Abweichung, Deviationsgleichung


CC-BY-NC-SA 3.0

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vom Krümmungstensor allmählich in Richtung der Physik zu kommen Punkt man sich an was mit benachbarten – Geodäte schon passiert – ja hier schon beim Äquivalenzprinzip – erklärt das man sich anguckt was passiert für mehrere benachbarte – Massenpunkte – freifallend – lässt – hierüber entsteht dann mit etwas Arbeit der Bezug zur Physik – der erste Schritt ist die sogenannte Deviation – Gleichung – oder die Gleichung der geometrischen – Abweichung – wenn hier beim Parameter wird es gleich Null bin hier beim Parameter wird es – auf der einen der Tischen und hier sagen wir auf der anderen beim Parameter Wert null und hier beim Parameter wird es guck ich mir die Abweichung an – dieser Abweichung gewinnt sich ein Vektorverhalten – wenn diese beiden Geodäte schon sehr nacheinander – sind – diese Abweichung hier in ?? nicht mal A – ein Vektorarias – A von null und da ist auch von es – und ich möchte es wissen wie sich diese Abweichung verändert – mit dem Parameter es – in das jeder Anfangsgeschwindigkeitsvektor – einer unteren genetischen ist tendierte ja parallel transportiert – mit der genetischen – das heißt hier – der Geschwindigkeitsvektor – ist der Paralleltransport – von diesem Geschwindigkeitsvektor – dasselbe passiert bei der oberen genetischen – der Anfangsgeschwindigkeitsvektor – wird entlang der genetischen – parallel transportiert – zu diesem Geschwindigkeitsvektor – diese beiden identischen soll benachbart sein auch in dem Sinne dass ihre Anfangsgeschwindigkeiten – hier benachbart sind – wenn ich es meinerseits sage der ursprünglich – als Vektor entsteht durch Paralleltransport – aus dem unteren – dann sieht es ja mählich nach dem Krümmungstensor – aus – in den Vektor V einmal oben herum transportiert – und nun nehme ich den Begriff auch noch einmal unten herum transportiert – also hier – hoch dahin transportiert – dann sollte ich hier – als Differenz – von Transport unten rum Minustransport – oben um etwas mit dem Krümmungstensor – entstehen – irgend einen X oben Betterlander – Menü – transportiert wurde der Vektor V – also V better – DS weckte in dessen Richtung transportiert wird für das Mühl hier – ist es mal V – es mal V – und der zweite Weg in dessen Richtung transportiert wird ist sowas wie Ar – die genetische Abweichung – war Lander für den mittleren Index – diese schwer danach aus als ob es minus – der Kette nach unten – die Ableitung – des Abweichungssektors – nach dem Parameter es ist – dann erwarte ich also für die zweite Ableitung – von der genetischen – Abweichung – nach dem Parameter – dass dieses Ester vorne weg fällt und ich kriege minus er oben Alpha Betalander – V Betterarlander – V Mühlen – rechts steht ein Tensor deshalb außer links an den so stehen deshalb ihr die kovariante Ableitung – nicht die übliche Ableitung mit dem klein D – mit der kovariante Ableitung – nach dem Parameter es meine ich die Koffer Einarbeitung in Richtung – des Geschwindigkeitssektors – meines Vaters – als aus dem Ärmel heraus würde man erwarten dass so eine Gleichung gilt das ist die Deviation – Gleichung – die zweite Ableitung – der Deviation – der geometrischen Abweichung hat was zu tun mit Krümmungstensor – mal in welche Richtung – meine Abweichung mal in welche Richtung und dazu müssen diese beiden genetischen nicht exakt in dieselbe Richtung laufen am Anfang – in die andere etwas zur Seite läuft dann ist dieses zusätzliche Wachstum hoffentlich ein Jahr und fällt bei der zweiten Ableitung raus – das leite ich jetzt mal streng her – und guckt sich eine Schar von Geodäte schnallen – auf jeder genetischen – Gips den Parameter S und diese Schar – soll noch einen weiteren Parameter haben den innig Haar – das heißt hier sein Punkt auf der genetischen – ist ein X abhängig vom Parameterwert – auf die jeweiligen theoretischen – und von diesem haarwelche – Geodäte Geschichte nehme – mir jede von diesen Kurven ist jetzt eine genetische muss also die Gleichung für die Gier der Schiffe – wenn ich die Koordinate – X alphaabhängig – von S und H – zweimal – nach dem es ableite – ich zwei – unabhängige drin dieser partielle Ableitung – zweimal nach dem es ableiten – muss sich also kriegen minus Christoffel – die Christoffel-Symbol – genommen an der Stelle X von S und H oben das Alpha und jetzt auch noch die Geschwindigkeitsvektoren – einmal X landen da nach dem Parameter auch wieder eine Stelle von S und H – und einmal kriegsmüde – und so weiter von S und H nach – S partiell abgeleitet – das ist meine Gleichung für diese einzelne – genetische – das Komma noch anders schreiben – diesem netten Symbol groß D – die kovariante Ableitung – in Richtung der Parameteränderung – von meinem Geschwindigkeitsvektor – ist null der Geschwindigkeitsvektor – wird parallel mit transportiert – nichts anders als diese gleich da oben – wie rechtlich diese kovariante Ableitung – aus – ich leite einmal ganz normal ab und korrigiere mit gamma – die rechte Seite kommt rüber – kommt raus – ich will hier die zweite Ableitung der Deviation – haben die Deviation – will ich jetzt aber nicht mehr Infinitisi – mal – als Differenzvektor – zwischen zwei und endlich nahm benachbarten – Geodäte schon sondern durch Ableitung – was etwas sauberer Hand zu haben ist ich leite ab X alpha nach H partiell – davon will ich wissen was die zweite kovariante Ableitung – nach dem Parameter ist – wir wissen schon es wird in Richtung Krümmungstensor gehen man erwartet dass diese Ableitung widerstehen ?? insgesamt drei Stück irgendwie durcheinandergewürfelt – werden müssen – fang mal so an – die kovariante Ableitung – dank dem Parameter – schreibe ich dieses Komma dahinter – Komma die Ableitung nach dem Parameter partielle Ableitung – nach Haar – das ist immer noch dasselbe was davon steht – sie immer die umgekehrte Reihenfolge ab die kovariante Ableitung – nach H – von – der partiellen Ableitung nach dem Parameter – also genau umgedreht wie es hiervon steht – ?? natürlich falsch was abgezogen – ich addiere was ich abgezogen habe die nach DS – kovariant – D nach DH – kovariant – und die partielle Ableitung – nach es – so ist alles wieder in Ordnung – Punkt jetzt hoffe ich das sich hier irgendwas basteln kann – und sie kovariante Ableitung – auf Drüse – vorne steht – erst um sich ganz normaler ?? es ableiten alle kriege ich die zweite Ableitung von X Alpha – erst nach ?? und danach ist – nun die Korrektur – durch die kovariante Ableitung – Plus – Komma Alphamenü – in welche Richtung leid ich hab – das ist die Richtung des Geschwindigkeitsvektor – und was ich ableiten soll TX – Menü – nach D – H – TX alpha nach DH euch den anderen Index – das ist der linke Termin und ich ziehe was ab – die zweite Ableitung partiell erst mal – nach Essen und danach war es aber dasselbe als ob ich erst nach ?? und dann ?? es ableite bei den partiellen Ableitungen – die ?? Terms derselbe – die Korrektur wird jetzt werden plus Kammer mal – und der Geschwindigkeitsvektor – in Richtung Haar – Dax nach DH und hinten steht der Geschwindigkeitswechsel – Richtung Ästhetik nach die erst – die Christoffel-Symbol – sind aber symmetrisch das war die Torsionsfreiheit – das heißt hier steht auch noch mal dasselbe – hier vorne in dieser Klammer steht schlicht und ergreifend null die beiden heben sich weg – es bleibt also nur noch dieser hintere Ausdruck – die kovariante Ableitung – nach dem Kurvenparameter – von der kovariante Ableitung – nach diesen Parameter quer – von – meinem Geschwindigkeitsvektor – und davon ziehe ich jetzt null ab wir wissen nämlich dieses hier der Geschwindigkeitsvektor – wird parallel transportiert – entlang jeder von den genetischen – also der Geschwindigkeitsvektor – jetzt mit Index Alpha – kovariant – abgeleitet – entlang der genetischen – das ist null – es bleibt null welches kovariant – ableiten nach Haar – und dann darf ich's auch einfach abziehen – nicht null abziehe – ist nichts kaputt – jetzt mich fast am Ziel hier stehen zwei kovariante Ableitung – in der ein Reihenfolge – hier stehen die beiden kovariante Ableitung – in der anderen Reihenfolge – wissen schon es entsteht der Krümmungstensor – und eine kovariante Ableitung – in Richtung Delhi Klammer auf – Krümmungstensor – er oben Alpha – wird ja der verbleibende Oberindex sein Wetterlander – Mühl – das Wetter geht mit dem Vektor – der abgeleitet wird als der Geschwindigkeitsvektor – entlang der Kurve – und Lander und Mühe stehen auch in dieser Reihenfolge – das Lander geht mit dem Geschwindigkeitsvektor – in Richtung S – und das my mit dem Geschicklichkeitsweg – in Richtung Haar – plus die kovariante Ableitung – in Richtung der Liebe Klammer auf – hier musste die Klammer rein – und hinten kommt die kovariante Ableitung – vom Geschwindigkeitsvektor – und den geht es ja hier in Richtung – Wetter zum Beispiel – und es kommt die Ki Klammer auf – ich leite den Geschirr nicht als Vektor von der ersten Ableitung die ich Bilder – nach der zweiten ab der Geschwindigkeitsvektor – in Richtung Haar wird sein die partielle Ableitung – von X better nach Haar – das soll ich in die Richtung von es ableiten – minus umgekehrt – also – den Geschwindigkeitsvektor – in Richtung – es – den üblichen Geschwindigkeitsvektor – also entlang der genetischen – abgeleitet nach Haar – und Überraschung – Komma Richtung kaableitenden – Richtung es minus umgekehrt hier steht schon wieder null – Diesel die Klammer ist null – Beistrich kann der oben auch schon mal vor – ?? – sind fast am Ziel hier steht schon der Krümmungstensor – aus ästhetischen Gründen hätte ich aber gerne ein Minus da vorne wie unser Gleichung ganz zu Beginn – ich kann hier ein Minus erreichen – in dem ich die beiden hinteren Indices austausche – Land dagegen will – man dagegen ?? auszutauschen – heißt Meyer hier leidlich nach Haar ab und da leidlich nach es ab dass es genau die Gleichung die der zu Beginn gestanden hat