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25A.3 Rotationskörper, Volumen, Mantelfläche, Kugelvolumen, Kugelfläche


CC-BY-NC-SA 3.0

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ganz – am Anfang was erzählt zur klassischen – Herleitung von Kugelvolumen – und Kugeloberfläche – man kann jetzt auch noch ganz andere Herleitung bauen über Rotation – Körper – wenn sich die Kugel so vorstellen – ?? Achse raus – wenn sich die Kugel so vorstellen – dass sie – dieses – Flächenstück – drehen – einmal um die – Achse drehen hier dieses Flächenstück einmal um die Achse drehen – dann ist die Kugel ein Rotation Körper – das aber Töpferscheibe entstanden ist und auf diese Weise könne auch noch mal die Kugeloberfläche – des Google Volumen berechnen – als ich gucke mir folgende Funktion an – geraden x-Achse – einfach als habe man nur die Kugel mit Radius eins – alles andere gegen sie selber hin Beistrich zu viel zu rechnen – an – als ich gucke mir folgendes – an folgende Funktion – eine Funktion die einen Halbkreis – beschreibt – und diese Funktion lass sich um die x-Achse drehen in 3D – sich irgendwie noch eine – weitere Achse vor und lassen – diese Kurve – einmal um die x-Achse – drehen – dann haben Sie eine Kugel mit Radius eins – und nun kann man sich – mithilfe des integral – tausend ?? zweiter Weg kann sich mithilfe des integral herleiten was denn die Kugeloberfläche – und was das Google Volumen ist – einfach ?? ist denke ich erst mal das Volumen – Komma das anfangen – müsse dass man diese Kurve hier beschreiben – wenn sich hier den Rat – den Dänenradius – meines Rotationskörpers – an der Stelle X – mit den wissen will wie lang ist das hier das hier ist X – Arm wie kriege ich das raus – was es eigentlich diese Kurve – in der Tat also dass es meine Funktion hier eins minus X Quadrat ✂ eins minus X Quadrat – Tilde von denen sie sich irritieren lassen das getan was andersrum im Manuskript eins Plus die Ableitung ins Quadrat – aber auch wieder – Pythagoras – der Radius soll eins sein – Ansehen siehe unten eine Kathete der Länge X dann hat diese Kathete die Länge – eins minus sechs Grad – diese Funktion – ?? – Wurzel einzelne sechs Quadrat soll seine Kurve dieser Funktion möchte ich um die x-Achse drehen lassen – und dann bestimmen was das Volumen – was die Oberfläche des Rotation Körpers ist der dann entsteht – erst war das Volumen schon angedroht – ?? – um eines Rotation – Körpers – Rotation Körpers – haben – versucht das mal perspektivisch – zumal dessen Herausforderung – es – mal gerade Linien ist eine Herausforderung – so – habe ich – irgendeine Kurve – dich – um eine Achse drehen will – Punkt das ist die Achse – dieser Abstand hier ist dann immer eher von X – der Trick ist – das ich das jetzt in Scheiben schneiden – ?? das Essen alter Trick kommt ständig vor und schneidet es in Scheiben – und stellt sich vor das man jetzt ganz viele Hunde Bierdeckel übereinander hat – er vorne habe ich – solche Bierdeckel – dann ?? das nach hinten weiter – und so weiter soweit sehen – wir denke – ich summieren diese ganzen – Bierdeckel auf die sich hier ergeben – wieder mit dem integral – von vorne bis hinten diese X Koordinate hinten Sackmann – sei A die – Koordinate – da vorne sei Behm – was ich jetzt auf summieren muss ist das – Volumen von Bierdeckel – alle haben die Dicke – die X – und eine bestimmte Fläche – hier schreibe ich die Fläche – des Bierdeckelsfläche – meine X ist das Volumen des Bierdeckel zu den Bierdeckel haben – diese Grundfläche – mal seine dicke – al X in der Dicke – ernannte das Volumen von Bierdeckel dann kommt der nächste dazu und der nächste und der nächste – und so weiter – wie groß ist diese Fläche – des jeweiligen Bierdeckel ✂ kenne den Radius abhängig von X – das ist der Radius von Bierdeckel – die Fläche von Bierdeckel ist Pi mal eher – Quadrat und dass er hängt von – X ab I nach X kriegt ein verschiedenen Rades TSP Komma noch rausnehmen ist also Pi mal – A bis B – mehr von X Quadrat TX – das rechnen Sie mal aus – für diese Funktion – zu hier ist der Radius eins minus X Quadrat ersten null – eins mindestens eins Quadrat ist der Stelle null eins ?? so Quadrat ist der eins – jene Stelle eins eins eins Quadrat ist er wieder null dass es mein Radius – die Stelle mir vor – dass das eben der Radius von lauter Bierdeckel Indizien habe ich kleine Bierdeckel – hier habe ich große Bierdeckel und hier vorne habe ich wieder kleine Bierdeckel und ich summieren das Volumen aller dieser Bierdeckel auf und habe damit – die Kugel berechnet – genauer gesagt das Volumen der Kugel berechnet – hier steht – das Volumen eines einzelnen Bierdeckel – die X ist seine Höhe – und die man eher Quadrat seine Grundfläche – das man aus für diese Funktion unternahmen noch mal – das Google Volumen auf andere Art ✂ sollte – relativ geradlinig – sein also das Kugelvolumen – war er gleich wahrscheinlich so gut um für den Radius eins für Radius eins – wäre also – ich integriere – von eins von minus eins bis eins – Pi mal – Quadrat meiner – Radius Funktion – Pi mal Integrieren von minus eins bis eins und ist das Quadrat – dieser Funktion vermisse ?? seit das Quadrat dieser Funktion ist es lustig ist aber nur einzelne sechs Quadrat – die Wurzel hier zu integrieren das Kosten bis in die Hirnschmalz – aber das ist hier das Quadrat der Wurzel eher Quadrat also eins minus X verraten zu integrieren – eher Quadrat – eins minus X Quadrat muss ich integrieren – macht Pi mal jetzt Stammfunktion – dazu X minus X hoch drei – Drittel – in den Grenzen von minus eins bis eins – macht Pi mal – eins minus ein drittel – minus – minus eins – minus – minus eins und drei minus eins minus – minus eins – Drittel – und dann habe ich das ist Pi mal – umgeschaut das hier mal eins minus ein drittel – ähm – mindestens eins Cent plus eins – plus eins minus – minus – minus sind minus ein Drittel – sind – Pi mal zwei – minus zwei drittel – Klima zwei minus zwei Drittel – zwei minus zwei Drittel – zwei sind – sechs Drittel minus zwei Drittel sind Überraschung wird Drittel – Pi mal vier Drittel – das Volumen – einer Kugel mit Radius eins sind schon vier Drittel Pi R hoch drei – insofern das klassische Resultat – das kann man auch natürlich machen Kugel mit Radius R Kostüm bisschen mehr – Rechenaufwandes – aber keine – Hexerei – ?? das ist die tausend zweite Art – des Google Volumen zu bestimmen über Rotation Körper – Arm – etwas – raffinierter – aber nicht wesentlich raffinierter ist die Kugeloberfläche – ich nehme die Kugel wieder als – Rotation – Körper jetzt interessiert mich aber nicht das Volumen quasi diese ganzen Bierdeckel auf summieren – mich interessiert – die Oberfläche – von der Kugel – Komma vorgeführt – genau das sollte soll dann die Mantelfläche – ohne die Decke – die Mantelfläche – die Kugel hat ja keine Decke – dann – diese Kurve nehmen und drehen – keine Decke – um Stunden drauf sofern es bei der Kugel – die man sicher die Oberfläche deiner selben – Mantelfläche – eines Rotationskörpers – im allgemeinen – eine Achse – aber eine – Uhr für – die mir das Profil an lebensabhängig – von der X Koordinate – den Radius – der zeichnerischen – Herausforderung – dann – jetzt interessiert mich die Oberfläche – die Oberfläche – ist dann – aus lauter Stücken von Kegeln zusammengesetzt – sämtliche so ein Stückchen nehmen hier – sind Teil eines Kegel zu diesem widerfuhr – von integriertes – und Teil – daraus jetzt die Oberfläche zusammengesetzt – näherungsweise – an – was ich also – auf summieren – von A bis B – müssen jetzt solche – Stückchen von Kegeln sein – und was ich mir überlege ist folgendes – dass er die Fläche von so einem Stückchen Kegel – ist – die – ist sein Umfang – nimmt sie diese Kurve hier was ist der Umfang – von dem mal – wie lang ist der hier übers Rückgrat sozusagen wie lang ist das Stückchen – das Recht nicht – um die Fläche von diesem Pegel zu kriegen die Mantelfläche von dem Kegelstücke zu kriegen – Arm – der Umfang – ist zwei Pi – mal – eher – denn der Radius ist hier eher damit ist der Umfang zwei Pi mal R – bisschen schwieriger wird jetzt hier – die Länge von diesem Rückgrat zu kriegen das ?? Nummer einmal anders zeichnen – das so nehmen ob sie – nehmen – Tiers meine Funktion – mich interessiert jetzt diese Länge hier – das ist diese rote Länge dar – womit hat diese rote Länge zu tun – dasselbe Stückchen kann nämlich eben schon vorbei der Bogenlänge einer Kurve der immer dasselbe Phänomen wie lang ist so eine Kurve – im kleinen Stückchen – dasselbe kam Angaben kam – oh je kam hier vor – das muss dasselbe Ding sein eins Plus die Ableitung Quadrat in der Wurzel – damit Küche dieses Stückchen – zurück – und zurück hier sind wir also – eins Plus die Ableitung Quadrat – unter der Wurzel – plus – an dieser Stelle bloß – wird kann ich die zwei Pi noch aus Sinnes zwei Pi von A bis B – den Radius – mal eins Plus Ableitungsquadrat – TX – und das jetzt – für den Halbkreis der hier gedreht wird er von X habe ich direkt – Beistrich ?? ausrechnen Quadrat muss man ausrechnen – dann kriegen wir die Oberfläche – der Kugel – als ich brauche die Ableitung der Funktion er – er er er wollte ihr Wurzel eins minus X Quadrat – die – Wurzel eins minus X Quadrat ableiten – ?? Kettenregel – erst mal die Wurzel ableiten eins durch zwei ?? die Wurzel von dem was drin steht eins mindestens verlassen jetzt kommt die innere Ableitung Einzelsitzquadrat – ableiten nach X – macht minus zwei X – als Ableitung null minus X verbleiben – minus zwei X die zwei kann ich kürzen – ist also minus X durch – Wurzel eins minus X Quadrat – so und damit habe ich jetzt die – Kugeloberfläche – war – Fläche – für Radius – eins – ist folgendes – das integral – ?? zwei Pi – mal das integral von minus eins bis eins – zwei Pi mal das integral von minus eins bis eins – Aktion eher von X alle diese Wurzel werden nur eben die Wurzel eins minus X Quadrat – R von X – und jetzt steht da noch – Wurzel – eins Plus die Ableitung ins Quadrat – die Wurzel eins Plus die Ableitung ins Quadrat X Quadrat durch – eins minus X Quadrat – TX – den hier Quadrieren – X Quadrat durch eins minus X Quadrat – verliert – jeden drin kann ich zusammenfassen – Beistrich – bringen eins minus X Quadrat entsteht da – eins minus X Quadrat – groß X Quadrat – das ist nett – dann hebt sich nämlich – das X Quadrat weg – und ich habe insgesamt das ist zwei Pi mal das integral – eins bis minus eins Wurzel eins minus X Quadratswurzel – eins durch eins minus X Quadrat – TX – als Heldin daran auf ✂ absurderweise – kann man das kürzen – das gegen das man kürzen – und dann bleibt das integral über die Funktion eins das ist zwei Pi mal das integral von minus eins bis eins über die Funktion eins – TX – das können ?? Stammfunktion – machen aber ich hoffe das es nicht nötig von minus eins bis eins die Funktion eins – wie groß ist das Integralfläche ✂ von zwei eins eins Fläche von zwei – ?? ohne Stammfunktion – vier Pi wie sich das gehört – offiziell war die Fläche der – Kugel die Oberfläche der Kugel ja vier Pierre Quadrat unserer eines Vereins wie kriegen wir hieraus – ist es allgemeiner hinschreiben – den Radius einbauen ?? sie natürlich auch vier Pierre Quadrat aus – diesem bisschen mehr Rechnerei – das man als billige Anwendungen – für Rotation – Körper – Beistrich da sowohl Oberfläche und Google Volumen auch mal so gerade eben ausgerechnet