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Fehler der Trapezregel für numerische Integration


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – Trapezregel – ist ja nettes Werkzeug um Integrale – zu schätzen – die Frage ist wie gut ist diese Schätzung herauskommt – kann ?? der Vertrauenschätzung – oder Siedlungswissen – genauer – rechnen – darum soll's gehen – Klammer zu ?? Trapezregel – starte mit einer Funktion von der ich wissen will – wie groß die Fläche – unter der Kurve ist – zwischen Grenzen – A und B – und – Stefans dumme – Einfall ist man – zerteilt diese Fläche in kleine Streifen – alle mit derselben Breite – klein H – und bildet dann in den Flächenpilze – verbinde immer die – linke – Seite oben hier mit der rechten Seite Punkt hiermit ?? die linke mit der rechten und hier wieder die linke mit der rechten – und dann kann ich – mit – einfacher Geometrie ausrechnen – wie viel Fläche – denn in diesen Kürbissen steckt – und es hoffentlich nicht so verschieden von der Fläche unter der Funktionskurve – sieht man schon Punkt – da es sie Trapez welche zu klein hier ist inzwischen zu groß – das wird – zwar nicht erstattet werden – sollte man sich überlegen – ob diese Rechnung die man erbracht brauchbar genau ist oder ob man sich was anderes überlegen muss – formelmäßig – gesucht ist das integral – von A bis B – meiner Funktion – dass sie jetzt eine Geometrie Ausrufezeichen ihre – ich eine Summe – über diese – ganzen Scheibchen – alle Mitarbeiterhaar – insofern kein Wunder ?? versteht Haar mal – irgendwas – ?? sprechen kann ist die Breite – mal die – mittlere Höhe und Fläche eines solchen Trapez auszurechnen – das kleinteilig darüber Klammer auf die linke Seite – die über das Sein das Mittel zwischen links und rechts – als König hier ein halb meine linken ein halb einen Rechten – für diese Höhe des Rechtes – ein halb mal – ?? halbe – einhalb mal den Rechten – der Rechte tritt aber auch in der nächsten Trapez auf von links ?? von rechts – also einmal den nächsten – ?? von Abschlusshaar – plus und so weiter und so weiter das gilt für alle hier – bis zum vorletzten – der kommt auch – in zwei Tapeten vor also mal zwei halbe – minus Haarstelle – von B – und ?? nach links – der allerletzte – braucht man ein Streifen auf also wieder nur ein halb von – wie – ?? – das ist die – Trapezregel – das gleiche Zeichen – von Gott – plus einen Fehler – muss ich dazu schreiben – denn – offensichtlich sind das nicht genau – so ist es ?? gezeichnet auch richtig – so groß viel zu schreiben – und – den möchte ich nun schätzen gibt es eine Chance den Fehler – brauchbar zu schätzen ?? Fehler ja sogar exakt ausrechnen ich nehme das integral – ich nehme die Nehrung durch Trapezregel – die beiden voneinander ab habe den Fehler – dass wir uns in Kürze nicht – ?? Benutzer – Trapezregel ?? und das integral zu schätzen ich möchte diese gar nicht ausrechnen – kann ich es nicht mal exakt ausrechnen – möchte ich für diesen Fehler ja auch – eine Schätzung haben nicht exaktes – des ?? wird seinen Fehler – so umzuschreiben dass man tatsächlich auch sehen kann man jetzt gemeinsam schätzen kann – das ?? mit einfacher ?? ist es nicht mit – X schreibt machen wir in diesem Fall – lieber weiter so wird eine ganz konkrete Situation angucken und das dann verallgemeinern – einfach folgendes – ich gucke mir – einen einzigen Streifen – und der geht von minus eins bis eins – ganz billig – Komma gut rechnen – diese – Situation – jetzt die Trapezregel mit einem Streifen anwende – Beistrich als diese Fläche hier – und möchte wissen – ob es mir hier oben von sogenannte Gral verloren gegangen oder wie viel habe ich zu viel ?? – möchte ich in dieser Situation wissen – und dann verallgemeinern ich das – also – dieses integral von minus eins bis eins – Funktion – schätze ich ja durch die – Trapezregel – Trapezregel – hier – den Wert links – den Wert rechts – beiden die Hälfte – mal die bereitet die S zwei – die Hälfte mal zwei also einfach – den Wert links – und rechts das Trapezregel – Plus den Fehler den ich nicht kenne bisher – versuche ich ja eine vernünftige Formel für diesen Fehler kriegen am besten mit Ableitungen – ?? integral – ?? von minus eins und unser Vereins – könnten auf diesen Gedanken Komma was ist mit der Funktion – eckige Klammer minus eins bis eins – das ist der Punkt und wird an der oberen Stelle minus der Funktionswert – an der – unteren Stelle die minus eins eingesetzt – sieht schon verdächtig ähnlich aus – minus dazwischen ich hätte gerne ?? muss Punkt sonst wird und – minus – und schön – artig sitzen wir den Schrein X mal – F von X – ist alles in Ordnung eins einsetzen und wieder einmal die Funktionen der Stelle ein Minus – jetzt minus eins ?? setzen also minus eins Male von minus eins minus eins ?? von – eins – schick – minus – minus vier plus – untersteht er von Einsplus – von minus eins genau das – was Trapezregel – sagt – ich habe jetzt in diesem Spezialfall – eine Möglichkeit gefunden – das Ergebnisse der Beträge – als einen sehr kompakten Ausdruck zu schreiben – versuche ich mit diesem Ausdruck – sinnvolles zu machen – ?? Funktion in eckigen Klammern das kennen wir – aus der Integralrechnung – hinschreiben welches Integral das ist – mit das herauskommt – Zertifikat – und Integralrechnung – ich suche mir um dieses integral auszurechnen – eine Funktion – wie sie hier – eine Stammfunktion des ?? eine Funktion – deren Ableitung – das ist was mit ?? steht – eine Funktion der Ableitung das ist Ableitung das ist was Beistrich genau das steht hier das nur so funktioniert – das mehr oder minder für das Prinzip dass das Integrieren das Arbeiten sich auf – diese Ableitung kann ich aber ausrechnen Produktregel X meine Fonic Sicherheit erstmalig ?? eins – einmal verwechselt beziehungsweise stehende Produktregel plus – X stehen lassen ?? verbreiten – stehen lassen ?? verbreiten X Beistrich von X – sind gar keine ?? zerlegen – ?? über elf – stromlos – das integral von X Beistrich – dass er sie kennen wir das Integralkenntnis – gut zu wissen das ist das integral meiner – Originalfunktion – das erstes gesuchte – das Geld – Punkt was kann es hinten sein – ?? gucken das gesuchte Integralplus – irgendwas ist das was Trapezregel rauskommt – ?? jetzt gefunden – wieder aus der Klinik in Klammern ?? den siebzehn – jährigen gern stehen die Trapezregel – liefert – das gesuchte Integralplus – irgendwas – hübsch – zurückdenken – das gesuchte integral ist Trapezregel Plus – irgendwas wahrgenommen wird geschrieben – das ist der Fehler – so rumsteht und hier ist minus der Fehler – das gesuchte ?? ?? Trapezregel plus den Fehler – sind Fehler gibt die Trapezregel – eine Formel für den Fehler – in Fehler ?? integral hingeschrieben in dieser Situation zumindest ein Streifen von minus eins bis eins – also – kann ich jetzt sagen jüngste Fehler – wie vielleicht das integral von minus eins bis eins X Beistrich – X – X – dieses Beistrich von X konstant wäre – es nicht aber wenn es das wäre – im Integral null raus der Exmann eine Konstante – für diese negativen X – bestimmt sind ?? für die positive Nix für mich dasselbe mit einer Verzeichnis wird sich weggeben was hier steht Wenders Beistrich – wäre – ist es leider allgemein nicht – aber ich kann – ein bisschen zu tun als ob ich schreiben mag Beistrich ist elf Strich von null – los – Beistrich von nichts – Beistrich von ?? das müsse plötzlich aus Beistrich dass Beistrich von null – ?? zu nehmen dann wieder wegnehmen und das zu kriegen was Original stand – Beistrich von null ist aber Konstante – wissen das Bindestrich Exmann Konstantin Integral – das das wegfällt und das Versenken steht – Beistrich von links Beistrich von null – darf ich das als kleines – Dessert steht gefälligst nicht weit von ?? Beistrich an der Stelle null – abweicht – besser noch – ersehen kann ich wieder mit am Integral schreiben – wieder der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung – eine Funktion an einer Stelle X minus eine Funktion an einer Stelle null – muss so ein Integral seine Stiche die nächste Ableitung der Ableitung dieser Funktion – Beistrich von – will sich dieses integrale Verbrechen will sich das integral – ich suche eine Funktion – der Ableitung das ist was hier drin steht – Beistrich – ?? Bindestrich – Beistrich – unerbittlichen diese besagte Funktion die Obergrenze einigten sie habe – die Unterverzeichnisse – so – ist Beistrich von null Matrix nicht in die Medical Register der zweite Teil aber über Beistrich insgesamt ist es entweder von minus ?? ist ein sehr X mal – diesen Teil ?? Klammer auf – null bis X – Beistrich von – Dax – zwei Fehler – Punkt das sieht fürchterlich aus und das ?? noch kein Mensch wirklich ausrechnen was versteht – der Trick ist jetzt – grob abzuschätzen – was das denn ?? werden wird und zwar relativ abzuschätzen – möchte so schätzen das ich sicher sein kann dass dieser Fehler kleiner gleich irgendwas ist ich möchte nicht dessen Größenordnung müssen sondern möchte wissen garantiert – keiner gleich irgendetwas ist – der Betrag des Fehlers interessiert mich veranlasst Beistrich egal ob positiv oder negativ ist im allgemeinen möchte Betrag des Fehlers wissen – abweichen Punkt unten egal in welche Richtung – soll – kleiner gleich irgendwas sein versuche diese Formel hier – umso wurde – der Betrag des Intervalls kann nur größer werden gleichbleibender – größeren – Nische über Betragstriche reinbaue – ?? von minus eins bis eins Betrag X Betrag von null bis X Betrag von ?? Beistrich – strich ihn – zu Dax – dadurch eine ?? etwas größer geworden sei deshalb studierten kleiner gleich das exakte Fehler davon den Betrag bilde – das rege Intro noch – zugebe – kann das ganze Ding allenfalls – größer werden – gleichbleibend – ist – Mittags wie das kleine durch dieses hier – Betrag der zweiten Ableitung – des auf jeden Fall – kleiner gleich dem Maximum vom Betrag der zweiten Ableitung – die Funktion an in den Bereich der hier – zur Debatte steht im Bereich Texte – sicher zu – intra – und ?? an was denn – der größte Wert ist vom Betrag der zweiten Ableitung ist dieses hier der Betrag der zweiten Ableitungen Beistrich oder der Zeit das Maximum – damit kann ich dieses innere integral abschätzen – dieses Maximum kann ich aus Sinus mit ihrer – Konstante – mal dieses integral ist eines von null bis X – die EU – hatte nämlich dieses hier plötzlich zu einer konstanten – Beistrich das Maximum ersetze – ganz ?? aus das ausgezogen – gratis integral übrig ist ?? hier ist natürlich ganz einfach Grafik – so – kleiner gleich – von eins bis eins Betrag X – mal – Maximum – von der Betrag der zweiten Ableitung Komma – Kriegsende – X – Tragiksbetrag – X ist X quadratshübsch – ?? – integral von minus eins bis eins Extra Radwegs – das Maximum – ist eine Konstante die sich davor – Maximumsbetrag – F zwei Strich ist gleich bitte jetzt natürlich auf – dieses integral ihr dieses integral was der rechts von dem kleinen ?? steht ?? gleich – diesem Ausdruck hier – ?? das gleiche hinten ist keine große Kunst Stammfunktion sechs Quadrat eine Stammfunktion sechs hundert wäre ich zu drei Drittel – von minus eins bis – eins – macht ein zwo drei Drittel minus – minus eins hoch drei Bettelmönch bei zwei Dritteln – war das Maximum – des Betrags der zweiten Ableitung – das ist eine Schande für den Betrag des Fehlers schlimmer wenn der Fehler nicht mehr – Betrag des Fehlers – ist garantiert kleiner gleich die ?? kann nicht schlimmer werden – das ist das Ergebnis so sittsam für einen Streifen – und eine Breite von zwei Dinge von minus eins bis plus – für einen Streifen im gleich eins – und die Breite von zwei – weiß ich jetzt also dass der Betrag des Fehlers – kleiner gleich zwei drittel – Maximum – der Rahmenbetrag – der zweiten Ableitung ist – die – nächsten Schritte wissen – was passiert – wenn ich Haar nicht mehr gleich zwei – weiterhin ein Streifen aber – weitere schreiben soll beliebig sein – das ?? von vorne durch rechnen wieder – etwas von ?? zu rechnen ist Gedankenstrich – dass aus – dieser – Eigenschaft herleiten kann ?? auf der linken Seite habe ich folgende Einheit – wie die Physiker rechnen – hier lediglich meine Funktion – war die X die Einheit der Funktion ?? von elf mal die Einheit von X aus einer von heißen wir selber Einheit wird man Haar – auf der Seite hier – merken das etwas faules habe ich die Einheit von – der zweiten Ableitung zwei Drittel kleine eine – besondere – ?? der einer der zweiten Ableitung – einer von elf zweimal geteilt durch die Einheit von Haar – und die Einheit von X – einen verschifft durch Haquadrat – das ist der Schlüssel mal Haar durch Hacker festzustellen wie das allgemeines Haus ?? muss – der Feder – eines Haar – zwei drittel mal Maximum – der – zweiten – den Betrag – dieser Seite ?? auch die eine Fülle von Haarmedizin – mit dem Fehler vergleichen kann – das ?? dieser Seite muss irgendwo noch ein H hoch drei dazu – damit das durch ?? Quadrat zu einem haben die brauche hier ein Halo drei – einheitstechnisch – aber nicht nackt ein Hauch Treiber zu schreiben Beistrich in dem ich hier zwei – ?? ?? zwei hoch drei ?? Beistrich ?? zwei ?? einem ?? das sollte stehen bleiben diese Gleichung und ?? wie sie mal war – ?? ?? – Punkt ?? ist das Wasser stehen muss bestimmte Einheit auch drei brauche ich damit aus dem ?? Quadrat – FRA wird von den Einheiten – und Na gleich zwei ist – zwei ist oder – nicht steht mal eins – zwei durch zwei hoch drei – eins Sauce sein ?? anders – gesagt Komma von vorne mal durchrechnen – und viel – Spaß – zusammenfassen – H hoch drei – durch acht – zwei – durch acht stürzen – ein viertel – H hoch drei zwölftem – das Maximum – des Betrags der zweiten Ableitung – so ?? Komma dass für H beliebig – ist der Schritt – beliebige Zahl an Streifen – beliebige – Breite – der Streifen – in Streifen – erweitert – ?? an das Integralis Additiv das heißt – ich rechne für jeden dieser in Streifen mit einem – eigenen Beitrag ähm all das was hier steht – auch drei – zwölftel – ?? das Maximum – des Betrags der zweiten Ableitung – ?? kurzerhand in – ?? ist er schlicht und ergreifend die Breite des Integrationsintervalls – durch Haar – ?? geht von – A bis B und ich habe in – Streifen von A bis B und jeder Streifen hat die breite Haar – ?? schreiben N ist gleich die weite Situation wird durch Haar – das haken sich gegen – auch drei – ?? Tag Quadrat – über – durch zwölf und Emil Sarstedt vorne – mal das Maximum – von den Betrag der zweiten Ableitung das ist die übliche Formel – für den Fehler – der Trapezregel – kann sicher sein dass dieser Fehler im Betrag – mich Richtung Hochkunden – sicher sein dass dieser Fehler allenfalls – die Breite des Integrationsintervalls – mal die Breitenstreifens – ins Quadrat durch zwölf mal das Maximum des Betrags der zweiten Ableitung ist – in der zweiten Ableitung – kann man sich auch ganz anders überlegen Ende wedelt – wenn man Originalfunktion – eine Gerade ist die zweite Ableitung null ist – dann stimmt die Trapezregel exakt – sollte sinnvollerweise dann für den Fehler als Schätzung null rauskommen – schätze mich sehr sinnvoll – und wenn die zweite Ableitung nicht null ist wenn meine Kurve gekrümmt ist dann habe ich offensichtlich – ein Fehler – der – Trapezregel trennen meine – Pilze sind nicht mehr identisch mit der Kurve – Komma dass sie auch anders überlegen dass jedes Heft Beistrich stehen ?? Quadrat B minus A – Einheiten hin – das einzige wozu ?? Beistrich machen Sie sie für die zwölf