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08B.1 dritte Wurzel von e^(5x) + 2 auflösen, Umkehrfunktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetztwollte ich mich allmählich mit Ihnen den UmkehrfunktionenUmkehrabbildungennähernkann ich folgendeRechenvorschrifthabe Yist gleichdie dritte WurzelausE hoch fünf X plus zweiwürde ich sie mal bitten dasumzuformensauber Schritt für Schritt umzuformenso das der zum Schluss steht X ist gleichbla, bla, blamit Yund jeden Schritt mal auszubuchenwas machen Sie in jedem einzelnen Schrittder Länder bisschen was über FunktionenUmkehrfunktionmal in kleinen Schrittenvorgeführtauf beiden Seiten will ich jetzt die dritte Potenz ich schreib malKlecks hoch dreiauf beiden Seiten die dritte Potenzdas isttatsächlich dann äquivalent umgeformtwenn Y die dritte Wurzel aus irgendwas ist eines Y hoch dreidas was unter der Wurzel stehtdasmuss ich noch mal irgendwo zeigendie dritte Wurzel aus achtist bekanntermaßenzweiund das aus dem Grundebei Nacht gleich zwei hoch drei istdie dritte wurzelsagtwelche Zahl muss ich hoch drei nehmendamit die Zahl unter der Wurzel rauskommtdas beantwortet die dritte Wurzeldie dritte Wurzel rechnet die dritte Potenz zurückwas wurde in die dritte Potenzgesetzdamit acht rauskommt zwei wurde die Potenzgesetzdamit acht aus Punkt das ist jedoch der dritten Wurzel die dritte Wurzel kehrtdie dritte Potenz unddas habe ich hier auf beiden Seiten angewendet?? jetzt endlicheine ziemlich billige Funktion auf beiden Seiten anwas es jetzt die nächste Funktion die Anwendergenau sagen minus zweite die Funktion ?? auf beiden Seiten anwende sehr streng genommen zwei abziehen das Wasser stehtund dann zwei abziehen?? was sie eigentlich Anwender die Funktionzweierauf beiden Seiten also nicht ihren Namen geben wollen würde dieser FunktionF oder H oderdie Römer oder zwei abziehendas sie wäre für mich die Funktionspotenzbilden und dass sie der für mich die Funktion zweier auf beiden Seiten zwei abziehenwenn?? noch drei gleich ihre fünf X plus zwei ist das genau der Fall dann der Fall wenn Y hoch drei minus zwei gleich die hoch fünf X istsoletztlich das E Hochweghaben das Geld mit den natürlichen LogarithmusNN auf beiden Seitenmein Schreibendann keine Panik die Potenzen und die Wurzeln und die Logarithmen kommen ja noch offiziellMitglieder bisschenunsicher sind was die angeht würde ich ihn empfehlen die nächste Woche intensiv zu nutzen für Potenzen Wurzeln und Logarithmenam?? zum Thema was mit zehn hoch mal vorderZehnerlogarithmusvon tausend?? ist wie vieldrei zur doppelten Zehnerlogarithmusim Schreiben der Szeneso der Zehnerlogarithmusoder LG kurz der Zehnerlogarithmusvon tausenddrei denntausend istzehn hoch dreidas ist dasselbewie bei der dritten Wurzel aus achtder Zehnerlogarithmussagtwomit denn zehn produziert worden ist damit tausend rauskommt??zehn ist mit drei potenziert worden alsotausend dreizehn hoch drei sagt dasselbe wie der Zehnerlogarithmusvon tausend ist gleich dreieinfach rückwärts geleseneine Umkehrfunktionder Zehnerlogarithmuskehrt zehn hoch umder natürlichen Logarithmus kehrt Egoumdas wenn ich auf beiden Seiten ander natürliche Logarithmusvon Y hoch drei minus zwei ist gleichund hier habe ich dann noch die fünf X stehenund jetztkrönender Abschlussfragenkommt auf beiden Seiten die Funktionmalein Fünftel oder durch fünf hundert und fünfbeiden Seiten Funktion die das durch fünf teilt was da stehtund dann habe ich zum Schluss ein Fünftelmal natürlichen Rhythmusdrangen zwei ist gleichX dann ist die Gleichung aufgelöstals was streng genommen passiertwenn ich mit Gleichung auflöseistdas sichUmkehrfunktionAnwender die ganze Zeit Umkehrfunktiondie Umkehrfunktionzur dritten Wurzelist hoch dreidie Unterfunktionzu zwei addieren ist zwei abziehen die UmkehrfunktionzuE hoch bilden ist natürliche Logarithmusund Lungenfunktion zu fünfmal ist Zwischensteindas passiert eigentlich wenn ich auflösendeGeschichte mit Umkehrfunktionund der Abbildung ist eigentlich nureinen fürchterliche Artdas auflösenzu formalisiertenjetzt normalisierenaber das wardas hier ist wieder so Ingenieurphysikmäßigman rechnetund freut das was rausgekriegt ?? die Mathematiker hätten gerne noch ein bisschengedanklichenÜberbaunicht nur die Formel hinschreibendiese Maschine sozusagen hinschreiben mit der gerechnet wirdsondernarmenisch aber wieder F eine Funktiondie alle reellen Zahlen nimmt'simmer etwas reinunddieseeine Zahl X abbildetaufVollmer gerade die dritte Wurzel aus iso fünf Xpluszweidass wir jetzt tarifvolleNotation in der Mathematik?? ich hätte gern eine Funktion ?? SF nenne ich hätte sie auch G oder H oder Ego nennen können ich hätte jetzt eher eine Funktion ich F nennedie nimmt jede Duelle Zahlmacht darausindustrielleZahlen zugleich müssen spezifischer werdenund wie die Funktion wirklich funktioniert was sie in den Tod istPlatzhalter Xkann sie für X auf irgendwas schreiben kann sie Uoder A oder BKomma sie wollensie nimmtirgend ein Ding aus den reellen Zahlenin den Platzhalter Xund rechne dann ausdritte Wurzel aus E hoch fünfmalPlatzhalter plus zweidas ist die Rechenvorschriftfür die Ingenieure und die Physiker ist das alles was die Funktion ausmacht nur die Rechenvorschriftam ?? in der Mathematik ist ein strenger und in der Informatik ist man auf strenger Mann sagt was rein gehtund man sagt was rauskommen kannwir wissen jetzt das man diese Funktion umkehrenkann??zumindest imingenieurmäßigenSinne und im physikalischen Sinneich kann rückwärts rechnenPunkt er waram?? wird hier war man in der Tier war Funktion eine umkehrbare Funktionich kann rückwärts Rechnung gegeben das Ergebnis komme ich wieder zurückzu dem X aus dem Y kann ich das X bestimmen es aber gerade durchgerechnetin der Mathematik muss man jetztetwas vorsichtiger sein um zu sagen dass die Funktion umkehrbarist was muss denn hierals Zielmenge stehenin der MathematikKomma was mit Fingern auf Malenähmeine Funktionvon einer Definitionsmengein eine Zielmenge schreibmal ganz klassisch wehenfür Werte sowiesovon einer Definitionsmengein eine Ziel ??eine FunktiondieChopper F dran um zu sagen wie solldie Summe aller dieser Fall hiersolles heißenKomma aber noch einen hinwäre dasim Sinne der Ingenieurwissenschaftenund der Physik wäre das eine umkehrbareFunktionwürde man in den Ingenieurwissenschaftender Physik sagen nein nicht umkehrbarweil sie von dem ein nicht zurückrechnen können von diesem Y hier können Sie nichtzurückrechnen was das X warsie kriegenMehrdeutigkeitrein wenn sie zurückrechnenist eine Funktionjeder einer Definitionsmengekriegt einen in der Zielmengedas wäre okaydas ist eine Funktion aber sie ist nicht umkehrbaroder ein Abbildung soll sagen weil wir keine Zahlen drinstehen sondern Punkteauf jeden Fall nicht umkehrbarweil ich hier nicht zurückkommen dass sie mir verbotensodie Mathematikersind noch strenger was kommt jetzt in der Mathematiknoch als Bedingungfür umkehrbareund das konnte der Mathematik dazu das ist verboten in der Mathematikalle in der Zielmenge müssen vorkommenzwei Bedingungen der Mathematikbeginnt der hübsche Namen dafür negativ und selektiv will ich in mich ANTUNan wichtig ist Idee mitgekriegt zu habenPunktich muss zurückrechnenkönnen eindeutig zurückrechnenkönnen und in der Mathematik muss obendrein als Zielmengedie Bildmengeangegeben sein ?? es dürfen nur die angegeben sein die auch wirklich rauskommendürfen nicht zu viele angegeben seinzwei Bedingungen in der Mathematikund das Häuser verwirklichenhier soll also jetztdie Bildmenge stehendann ist das Ding umkehrbar wenn sie zu viele reinschreibenist das Ding im Sinne der Mathematik um sie zu ärgern nicht umkehrbarhier genau die drinstehenals Zielmenge herauskommenZielmenge gleich der Bildmenge dann sind dieLeute aus der Mathematik zufriedenalso nächste Frage was ist die Bildmengewas kommt hieran Zahlen raus überlegen sich dasich wirklich versuchen es auf zu malen könnte auch aberist überflüssig ?? wird es anders rauszukriegenX sind alle reellen Zahlen was es fünfmal X was ihr fünfmal etwas ihr Vergleichspluszwei welche Mengen kommen jeweils raus decken sie so nach was ist dann die insgesamt die Bildmengealsovon innen nach außen einfach anfangenX durchläuft alle reellen Zahlenfünf X durchleuchten auch alle reellen Zahlennotfalls malen sie sich in Diagrammen auf X Yfünf Xdie gerade mit Steigung fünf durch die Ursprunges kommenalle reellen Zahlen rauswenn sie fünf X rechnenund für X alle reellen Zahlen einsetzenals hier weiß sichdas sind alle reellen Zahlen wieder rauskommenE hochsinnierte sicher einfacher geworden bin ich unterwegs kümmern E hoch alle reellen Zahlen fünf XSystem beliebige Duelle Zahl rauskommt alle werden angenommenE hochdie gesamte Menge der reellen Zahlen durch definiert da wichtige Funktion anes kommt nicht raus es kommen keine negativen Zahlen raus aber alle Zahlenpositiv sind kommen aus E hochalle möglichen reellen Zahlen sind die positivenZahlendas heißt dieses Ding hierschreiben ?? plusdas ist das Symbol das offizielle Symbol für alle positivenwenn sie eher null Plus Schreiben ist auf die null dabei R plus sind die positiven reellen Zahlen könnte aufschreiben das Intervall von nullausschließlichbis unendlich und so weiter und so weiterwir tausend Schreibweisen die kürzeste Plussoan sich einige Leute irritieren lassen hier von der plus zweiin die jetzt noch zwei addierenhaben's ja nicht die positiven reellen Zahlen sondern wenigerzweites Mal auf dem Zahlenstrahlhier ist die null dass sie einerseits die zwei letzten drei soich starte mit der Mengealler positiven reellen Zahlenjetzt?? gierig zu jeder zwei dazu die zwei hierzu vier die eins wird zur dreidie null dies gerade nicht dabei die Würde zur zwei werdendas es was sie kriegenwenn sie die Menge aller positivenreellen Zahlen nehmen und zu jeder zwei dazu zählensie kriegen alle ab zwei aufwärts aber nicht die zwei dabeidas heißt dieses hier Beistrich schreiben Sie das Intervall ab zweioffendie zwei nicht dabeiwissen endlich das kommt rauswenn sie zu jeder positiven reellen Zahl zwei addierensound jetzt möchte ich noch die dritte Wurzel habenPlatz schaffenso ungefähr sieht die dritte Wurzelfunktionaussoll symmetrisch sein ??jetzt setzt sich alle Zahlen ab zwei aufwärts aber nicht die zwei selbst einsowas setzt sich ein alle Zahlen zwei aufwärtszwei selbstgucke was raus kommtsind die Zeichnung ist überhaupt nicht brauchbar egalist immerhin brauchbar alsabschreckendes Beispielähm was rauskommt sind alle reellen Zahlen ab der dritten Wurzel von zwei aufwärts die zwei wird auf der dritten Wurzel landendies aber gerade nicht dabeialle danach sind dabei was rauskommt sind alle reellen Zahlen ab der dritten Wurzel von zwei aufwärtsdas ist dann die Lösungdas Intervall offen bei der dritten Wurzel aus zweiDisk nicht dabei aber da geht's los an dabei beliebig großdas wäre die Bildmengewieder tausend verschiedene Schreibweisensang sie die reellen ZahlenXgrößer alsdritte Wurzel zweiund so weiter und so weiterbuchstabiertdas wäre die Bildmengeum dieses föderalistischeKapitel abzuschließenmöchte ich Sie bitten jetzt die Umkehrfunktionmal hinzuschreibenmathematischer seits die Umkehrfunktionzu schreiben ?? ich schreib leichter machen soll Funktion in der ordnunghalberSorge nach Funktion namens F nahm alle reellen Zahlen Punktdamit sie umkehrbar war habe ich die Bildmenge geschriebendas Intervallvon der dritten Wurzel aus zwei bis unendlichgegenübersaßweil ich dabeiund die RechenvorschriftwarinWurzelausE hoch fünf X plus zweiRechenvorschriftjetzt schreiben Sie mal hinwie man in der Mathematik offizielldie UmkehrfunktionhinschreibenUmkehrabbildungUmkehrfunktionvier große Texte zum AusfüllenF hoch minus eins ist der offizielle Name für die Umkehrabbildungkönnen zum Beispiel sagenman sie erneut schocken wollender natürlichen Rhythmus ist die Ex Mensafunktionhoch minus einsEx ist der Name einer Funktion?? Expo minus eins ist der Name der Umkehrfunktionder Funktion wenn es sie gibt?? gibt es sie und der heißtnatürlichen Rhythmus diese Unterfunktion heißt natürlichen Rhythmusdamit hoch minus eins bei der Funktion man kann nicht nicht nicht im Keller zu bildenes geht gerne schief nicht den Kehrwert ist die Umkehrfunktiongemeintnächstes Semester sind noch was er nächster Matrizen ergibt dann Inverse Matrizen werden auch so geschriebendass es auchnicht wirklich der Kehrwert es ist eine Art Kirmes fühlt sich an einigen Stellen der Kehrwert andem sie das auch in diesem Sinneeine Metapher sozusagenein sprachliches Bild hoch minus eins wird sich wieder jemand anders ist nicht der Kirmes sondern der Name der Umkehrfunktionkann sie das mal ein was wäre jetzt die Definitionsmengedafür was wäre die Zielmenge der Umkehrfunktionbeschreibt die Rechenvorschrifthin für die Umkehrfunktiondas ist nicht tiefsinnig das es nur formaler Kramaber in der Mathematik schreibt man es eben formal so aufbesser möchte das istauch können??ich mal das noch mal auf die sich das mit denAbbildungen hin und zurück verhält?? mitdrei Elementensoeine umkehrbare Abbildungmuss eine seindiealles auf der rechten Seite abgegrastund zwar genau einmalWWFDefinitionsmengedeAbend Zielmenge nennt weiterhin mal WF eine umkehrbareFunktionsowie die funktioniertalle auf der rechten Seite kommen vorund zwar genau einmaldann sindalle glücklich was die Definition der Unfehlbarkeitangeht die Umkehrfunktionarbeitet rückwärtsdie nimmt die auf der rechten Seite und sagt über den hergekommensindin die Funktion in der Kommentarfunktionausrechnetmacht die Umkehrfunktionlogarithmischgesagt was wir den exponentiellhabe die hin Funktiondie dritte Potenz ausrechnetist die Umkehrfusion die dritte Wurzel gesagt was wir denn die dritte Potenzhaben als die Umkehrfunktionarbeitetrückwärtsdas SF hoch minus eins die Umkehrfunktionund das heißtdie Umkehrfunktionnimmtalles was vorher in der Zielmenge wardie erweitert die Bildmenge sein mussteunumkehrbar Funktionund liefert alles was in der alten Definitionsmengewarvon rechts nach links so arbeitet die Umkehrfunktionheißt das heißt das heißt wir können jetzt hier eintragensie nimmt alles was vorher rausgekommenalle die Y die vorher rausgekommen sindalso alle reellen Zahlen ab dritte Wurzel aus zwei aufwärtsohne diese dritte Wussow zwei selbstund sie liefertalle reellen Zahlenwas ich vorher eingesetzt habeeinfach rückwärtsvertauschen die Rollevon Definitionsmengeund Zielmengedie Umkehrfunktionarbeitetrückwärtsund die Rechenvorschriftist das was wir eben ausgerechnet habengegeben das Y die komme ich auf das X das ist die Rechenvorschriftquasija aber die Rechenvorschrifthergeleitetgegeben das Ywie kriege ich das X ein fünftel Rhythmusmerkenmitdas ist mein Rechenvorschriftdie aufgelöste Original Rechenvorschriftein bisschen was baden gegangen istein fünftelsoYso bitter sein?? lösen die RechenvorschriftaufYist Yund haben dann etwas in das Y einsetzen können und X rausdas macht die Umkehrfunktionin den das Y rechnet X ausObsessionY nennen oder ob sie das auch wieder X nennen oder ob sie das so nennen oder sonst wie ist egal Hauptsache linksgerichtetePlatzhalteres ist wahrscheinlich überraschend wenn er nicht Y steht deshalb ?? ich jetzt auch mal Ydas ist diemathematische Definition dann derUmkehrfunktionsie arbeitet rückwärtssie nimmt das Y was vorher rausgekommenist und liefert das X wieder zurück dafür ?? die gleichen aufgelöstin derIngenieurwissenschaftenin der Physikinteressiert man sich dann auch eigentlich wieder nurfür die Rechenvorschriftwie habe ich den rückwärts gerechnetin der Mathematik und in der Informatikist wie gesagt Vorsicht angesagt da schreibt man dazuwas den Wein geht und was rauskommtKomma in den meisten Programmiersprache schreibt man das dazu sind die meisten in Indienüblichen Programme sprachen?? man das dazu in Javascriptwahrscheinlich derzeitiger wisse Programmiersprachescheint es nicht dazu aber in den ??die man typischerweise erst ?? unterrichtet schreibt man dann tatsächlich dazu was rein geht was rauskommtals auch in der Informatik muss man ein bisschen aufpassennachherim wahrenLeben als Ingenieurin als Ingenieursind sie eher hier ein sehr Rechenvorschriftinteressiert die Formelder Funktionaber die Formel allein ist die Funktion auch die gesamte Angabe zu