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kovariante Ableitung, Dichten, Divergenz

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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jetzt wissen wir was Vektoren und Sensoren auf Mannigfaltigkeit – sind – und könnt uns den Ableitungen – widmen – die gute Nachricht Vinzenz Klarsfeld – habe – also eine Funktion die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit – einen Wert gibt – dann kann ich die partiellen Ableitungen bilden nach den Koordinaten – in einer Karte – und ich habe die Komponenten eines kooperierenden Vektorfeldes – das Rechnen mit schnell nach – was passiert in anderen Koordinaten – mit dieser Ableitung – ich leite nach den andern Koordinaten – ab X Strichmenü – die Funktion ein Skalar bleibt ursprüngliche Funktion – jetzt kommt die mehrdimensionale Kettenregel – ich leite erst mal nach X ab und dann leite ich X – nach X strich ab was ich jetzt hier als Faktor stehen habe – ist der nötige Basisvektor – der ursprünglichen Cobasis – angewendet auf den Mythenvektor – der neuen – Basisableitung – ist ja sowas wie ein Vektor – und des X da oben ist sowas wie ein Korrektor – das ist genau der Faktor den ich von kovariant des – Summationsverhalten – brauche – so weit so gut jetzt Probleme das mit einem Vektorfeld – F Menü – sollen die Komponenten – eines Kontra werdenden Vektorfeld sei – dann würden wir doch hoffen dass die Ableitung – nach der müden Koordinate – von F Menü – ja ein Tensor ist mit einem Index oben einen Index unten – leider nicht das ist kein Tensorfeld – das rechne man genauso schnell nach – nicht dieses jetzt in einem andern Koordinatensystem – aus Rechner – dieses Vektorfeld – in dem anderen Koordinatensystem – ableiten nach den – Koordinaten – in diesem einen Koordinatensystem – gibt das letzte wieder mehrdimensionale Kettenregel – ich leite ab nach X – von dem was da oben steht und mache weiter mit der Ableitung von X – nach X Strich – steht hier oben das muss ich jetzt transformieren – das es das Vektorfeld – im ungestrichenen – System – mit der richtigen Translationsmatrix – verziert – offensichtlich muss Alpha und stehen und Menü oben stehen – es ist ein kontravariant – erweckt ?? hier zu transformieren – also genau umgekehrt – Beistrich – von I – ich leite also nach den ungestrichenen – ab und oben stehen die gestrichenen Koordinaten – dass wir von dem ?? mit der Produktregel auseinander – den ersten ableiten – und als die zweite Ableitung von X strich nie – nach – X Alpha und dann nach X Lander – mal F alphamagnetenden – Schluss – den Stehen lassen den ableiten – also X Strichmenü – ableiten nach X Alpha – und jetzt elf Alpha ableiten – weil ihn der hinten – der zweite so manche gefällt mir – das ist die Ableitung – im ursprünglichen System verziert mit den richtigen Matrizen – für diese Transformation – von dem ein System ins andere – der erste Summer ist aber nervig der passt nicht ins Bild – wenn dieses Ergebnis hier die Komponenten eines Tänzers wären – dürftig da nicht den ersten sogenannten haben ich dürfte nur diesen Ausdruck haben – das Problem ist das wenn wir Vektoren ableiten – wir eigentlich Vektoren in verschiedenen Tangentialräumen – miteinander – vergleichen – das ist keine gute Idee – wie hängen diese Tangentialraum – zusammen das muss ich mir erst mal überlegen – braucht ein Zusammenhang – und so heißt das lustigerweise auch in der Mathematik man braucht einen Zusammenhang – zwischen den verschiedenen Tangentialräumen – kommen so ein Zusammenhang hat Komma tatsächlich dann die Vektoren an verschiedenen Punkten auf der Mannigfaltigkeit – vergleichen – und richtig kovariante Ableitung – die liefert in der Tat dann ein Tensorfeld – vom ?? zur kovariante Ableitung – kommt muss und sich erst überlegen in welche Richtungen man den ableitet – an der keine geraden Linien mehr entlang derer wir ableiten können wir haben Geodiäten – bisher ging ?? und die zeitartige – Geodäte – da konnte man nur physikalische Argumente finden – was den Testpartikel – veranstalten – sollen – bitte zeitartige Geodäte gab's ein Differentialgleichung – zweiter Ordnung – wenn ich meine Koordinaten zweimal nach der Eigenzeit ableite und dazu addiere – Christoffel – mal die Geschwindigkeitsvektoren – Geschwindigkeit Vierervektoren – bekomme ich null raus – und obendrein – müssen wir das dabei – dieses Produkt der Vierergeschwindigkeitsvektoren – mit sich selbst – im Sinne von Minkowski – sechzig Quadrat ist – die ganze Zeit – und dieses Tau ist dann überall die Eigenzeit – wenn ich dieses verallgemeinern – willen das es nicht nur zeitartige – Geräten gibt – muss sich als allererstes auf die Eigenzeit verzichten – für das Foton was durchs All fliegt vergeht zum Beispiel keine Eigenzeit – kann schlecht nach der Eigenzeit Parametrisierung – hat sich hier habe ich einen anderen Parameter nennt man Essen in – Land wird hier natürlich nicht mehr zwangsweise – Cequadrat herauskommen – muss an was diese Gleichung hier den allgemein bedeutet – wenn ich mich nicht mehr – auf zeitartige – Geräten beschränke – ich zeige erst mal dass dieser Ausdruck hier – das Kanaproduktes – in Anführungszeichen – Geschwindigkeitssektors – mit sich selbst – dann zwar vielleicht nicht deutlich Geschwindigkeit ins Quadrat ist aber konstant bleibt – dessen Ableitung ist also hoffentlich gleich Null gucken uns das an die Ableitung von diesem Ausdruck – ein Produkt dreier Faktoren ableiten – das geht mit Produktregel – den ersten ableiten macht die zweite Ableitung nach es – von Nixon die – anderen beiden stehen Gemini – X neu ableiten – plus – den mittleren ableiten – den ersten ?? stehen – hier gehe ich über X better – G Menü nach Experte ableiten – Komma die Ableitung von X Wetter – nach dem Parameter – mal den letzten hier – X Menü nach dem Parameter ableiten – plus – den letzten Faktor ableiten – die beiden ersten stehen lassen – macht hier die zweite Ableitung – bei den letzten – binnen ein bisschen um und das nach ?? besser zusammenfassen zu können mühen Ü männlichen Kammer – Komma – Mühlmühen – nicht Alpha alpha – mühen Lynne nicht Gamma Gamma – bemühen Innigkammer – Komma – kettet sich noch ein was ich in die zweiten Ableitungen weiß – kann man die Fenstergleichung – für die Geodäte diese zweite Ableitung – ist – minus – Christoffel – Mühl – unten zwei neue Indices Alpha Beta – und die ersten Ableitungen – analog hier bei dieser zweiten Ableitung – das ist minus – Christoffel – Menü oben – zwei neun DCS Alpha Beta – die Ableitung von Ex Alpha mal die Ableitung von X Betatests – und jetzt kann ich zusammenfassen – Nix Alpha nach Essex better nach Essex Komma nach es – Alpha – Beta Gamma – Alpha Beta Komma – die kann ich alle ausklammern – übrig bleibt – minus – Christoffel-Symbol – oben Mühl Alpha Beta mal die – unten müde Komma – diese metrische Tensor bringt aber nur das Menü nach unten und macht es zum Klammer auf das ist also minus Christoffel – Komma unten Alpha Beta – hier kommt – die Ableitung von G Alpha Komma – Beta – und hier wieder minus Christoffel – das geh unten German Ü bringt das nur nach unten – es wird Christoffel – gamma Alpha Beta – gab also zweimal – dasselbe Christoffel-Symbol – abzuziehen – und jetzt kann ich eckige Klammer ausbuchstabieren – minus zwei mal das Christoffel-Symbol – minus zwei – des Christoffel-Symbol – mit den Indices und meine ein halb mal – metrische Tensor – vorne das Komma – ?? Komma Floß in der Mitte – dieses Kammer Komma dahinter minus – hinten das Kammer abgeleitet danach – plus den hier – mit Tischer Dance Alpha gamma nach Bette abgeleitet – ?? Musik zu schreiben Alpha Beta – Alpha durch Kammer ersetzt also B nach Alpha ableiten – Alpha – Beta wird – hier zur Ableitung – hier steht Alpha Beta – Minus – einmal – die Alpha kann man nach bitte ableiten plus einmalige Alpha kann man nach bitteren Pleiten die beiden heben sich weg – und hier sieht man nicht hier gamma gegen Alpha austausche kriege ich den da hinten das heißt Ausdruck in der blauen Klammer ändert dabei sein Vorzeichen – wenn ich hier Alpha gegen Gamma austausche – bleibt das dasselbe – symmetrisch – mal antisymmetrisch – die heben sich weg – es kommt wie erhofft null raus insgesamt – ich lerne also dass dieses Produkt – konstant ist – wenn diese Differenzialgleichung – erfüllt ist – ausgehend von dieser Differenzialgleichung – sage ich jetzt was eine lichtartige – Geodäte sein soll – ?? soll diese Differenzialgleichung – gelten – und obendrein – möchte ich das dieses – Produktes – Und-Zeichen Geschwindigkeit – Vektor mit sich selbst – am Anfang – gleich null ist – weiß ich nämlich es ist immer gleich Null – gerade gesehen – das heißt diese Geschwindigkeitsvektor – ist immer lichtartig – wenn ich den nur in einer lichtartigen Richtung starte – so eine Geodäte beschreibt offensichtlich – die Bahnen eines Foton – als Testpartikel – im frei fallenden Bezugssystem – sieht man hier Lichtgeschwindigkeit – das sagt diese Gleichung – kann das auch als Grenzfall auffassen – von Testpartikeln – die immer schneller werden wie sie zum Schluss ganz ganz dicht an der Lichtgeschwindigkeit – sind – NS-Zeit – und lichtartig – reagiert werden gibt dann natürlich auch raumartige – Geodrähten – dafür muss diese Differenzialgleichungen – gelten – und ich starte – mit einem in ?? Und-Zeichen Geschwindigkeit – Vektoressen – Anführungszeichen oben – Quadrat – eine Zahl kleiner als null ist – dann weiß ich jetzt – dieses Quadrat bleibt immer gleich dieser Zahlen die kleiner ist als null – die raumartigen Gelehrten gibt's keine wirklich überzeugende – Anschauung – könnte versuchen sich die raumartige – Details gespannten Faden vorzustellen – was mache ich dann aber mit der Vergangenheit – dieses Fadens und mit der Zukunft dieses Fadens – und vor allen Dingen was ist hiermit der Gleichzeitigkeit – sind alle Punkte hier gleichzeitig bestimmt ist wahrscheinlich nicht wie kann ich in der gekrümmten Raumzeit von Gleichzeitigkeit – reden – ein anderer Weg ist über die Eigenlänge zu gehen – dass man sagt ich fange hier mit dem Parameterwert – A an und hier höre ich mit dem Parameterwert – B auf – kann ich eine Eigenlänge berechnen – wie ich vor einer Eigenzeit berechnet habe – also ein analoger Ausdruck zur Eigenzeit – jetzt mit einem Minus unter der Wurzel weil dir dieses – Skalarprodukt – ja negativ wird – kann ich immerhin sagen das dieser Eigenlänge – stationär – gegenüber Störungen ist – für eine raumartige – Geodäte – ist nicht – minimal – und sie ist nicht maximal – schon etwas traurig – aber immerhin ist die Stationär – gegenüber Störungen – es heißt sowas wie ein Sattelpunkt – erster Ordnung ist in den konstant gegenüber Störungen – in ?? zum Beispiel im normalen Minkowskiraum – ohne Krümmung und andere Sperren ziehen diese Verbindungslinie angucke dann ist das offensichtlich – eine raumartige – Geodäte – wenn ich in der ex Y Ebene – ein und ich gehe – dann wird die Eigenlänge offensichtlich größer – nicht immer mit dieser Verbindung vergleiche – in Richtung der Zeitachse rauf – und dann wieder runter – und wird die Eigenlänge – kleiner – Eigenlänge von diesem Stück kann ich praktisch nur machen indem ich dicht an eine Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit – rangehen und genauso kann ich diese Eingänge praktisch Null machen – diese blaue Verbindungslinie – kann also nicht die maximale – und auch nicht die minimale Eigenlänge haben – es raumartigen violetten sind also bisschen knifflig – Hause sind das geradelte – was in raumartige Richtung haben – gegeben eine Geodäte – auf der Mannigfaltigkeit – und gegeben ein Tangentialvektor – am Anfang der Geodäte – will ich nun sagen wie dieser Tangentialvektor – entlang der Geodäte – parallel transportiert – wird von einem Tangentialraum – zum nächsten – das rote hier soll eine Geodäte sein irgend eine Geodäte – mit einem Startvektor – W – statt Geschwindigkeitsvektor – W – in dieser Art wie kann zeitartig – nicht artig raumartig sein was auch immer – ich gucke mir nur noch eine zweite Geodäte an nämlich eine mit dem Startvektor – W plus H mal V – dieser Stadtvektor – aber noch ein bisschen das Haar so klein sein von diesem Vektor V dazu – diese Geodäte wird also abdriften – in diese Richtung V – wenn ich auf beiden Geodäte jetzt vom Parameter null bis zum Parameter es gehen kann ich diese Differenz hier als Vektor auffassen – und wenn alles mit rechten Dingen zugeht müsste dieses Stückchen hier sein – dieser Vektor V parallel transportiert – an unserer Kurve entlang – schreibe mal V transportiert – von es – mal Haar – und dann vergrößert – um die in Anführungszeichen Zeitdauer um die wir weitergegangen – sind wir fangen erst mit einer kleinen Differenz an und die wächst erst proportional zu es – ist natürlich alles mit den Hände federnd und ungenau – diese Betrachtung gilt umso besser je kleiner es ist – und je kleiner Haar ist – das Mineral wirklich interessiert ist mit welcher Geschwindigkeit – und in welche Richtung dieser Vektor V beim Paralleltransport – der kippt – wie dreht der sich – so wie ich den Paralleltransport – hier Bauer wird er metrisch sein – die Länge des Rektors bleibt erhalten – und so wieder ?? gebautes der Paralleltransport – ist er obendrein Torsion Freiversion – Verbindung hätte ich wenn der Vektor – beim Transport hier – so eine Bewegung machen würde – um die Geodäte rotieren würde – jetzt muss ich nur noch hinschreiben wie diese geotäten denn im Prinzip aussehen – wird die Differenz und dann weiß ich immer Paralleltransport – funktioniert – Komma das allgemein an eine Geodäte – mit Start Vektor ich minimal oben allgemein – die Differenzialgleichung – die zweite Ableitung – nach dem Parameter – plus – Christoffel – Komma die erste Ableitung – mal die erste Ableitung – ist null – das kann ich simpel umformulieren – die zweite Ableitung ist also – minus – Christoffel mal Ableitung mal Ableitung – jetzt verwende ich die Täler Entwicklung – wie sehen meine Koordinaten – auf der Geodäte – beim Wert es des Parameters – aus – sehen so aus wie am Anfang – plus – Parameter mal die erste Ableitung – am Anfang was ist die erste Ableitung am Anfang – der Startvektor oben also es Manulander – jetzt kommt plus – es Quadrat – halbe – Teile an die Schmiedeparabel – denken – es Quadrat habe mal die zweite Ableitung am Anfang – lese ich was die zweite Ableitung am Anfang sein wird – minus Christoffel – Erstableitung – erste Ableitung die erste Ableitung ist aber – also hier steht minus – Christoffel – mal U – plus Terme höherer Ordnung – ich mach das mal zum bisschen unseriös mit drei Punkten – streng mathematisch Mission der Zelle jetzt in Schreiben plus Ordnung von S hoch drei – und dann ganz lange nachdenken im folgenden – ich belasse es mal bei dieser etwas Handywellen hat – daraus dichte ich mir jetzt den Paralleltransport – zusammen – ich nehme die Geodäte mit Startvektor P plus Hammer V – minus die Geodäte mit Startvektor W – beide an Parameter wird es – der Wartung gefällt dieses hierzu haben es mal Haar mal die transportierte Version von unserem Vektor V – schreiben wir ähm es mal Harm mal die transportierte – Version von unserem Vektor V – ist also wieder mal ein unseriöses – Grundezeichen – ich fange an mit der Geräten mit Startvektor W plus H mal V für U setzt sich W plus H mal V ein – also X null – plus es mal wie an der Plus H mal faul an der – Wien SS Quadrat halbe Christoffelbwmühl – groß H mal V Mühe und dasselbe mit Mühe – das ist das Ergebnis auf der einen ihrer Diäten der gestörten geerdeten – minus – das Ergebnis auf der Original Geodäte hätten nur mit W nicht mit Hammerfrau – und ich hatte natürlich – Terme höherer Ordnung – ganz dreist ignoriert – Können zusammenfassen – Anfangskoordinaten – Anfangskoordinaten – die fliegen raus – des mal Wählern da es mal WLAN der Pflicht auch aus – und hierhin kann ich gleich ?? zusammenfassen – ich habe also – hierbleibt nur es mal H mal faul am Ende – wenn ich hier aus modifizierte W mal W gibt sich das mit dem erwähnten Weg – der nächste wird sein WE mal H mal V – und dann kriege ich auch noch einmal formal wie – bei die Christoffel-Symbol – symmetrisch sind kann ich die beiden zusammenfassen – macht also minus – es Quadrat halbe – zweimal – Christoffelfimühlarm – mal Faun – und denke ich noch Haar VHV – also – minus – es Quadrat halbe – Christoffel – Haarfrau – Minimalhaar – Braunmühl – plus Terme höherer Ordnung – jetzt kann ich ablesen was denn die transportierte Version von einem Vektor V ist – es mal Haar May transportierte Version – es mal Haar mal das Muster transportierten Version gehören – wenn ich aus dem Term hier es mal Haar ausklammere – muss das zur transportierten Version gehören – und hier und sieht man es Quadrat H Quadrat das verbuchen wir unter höherer Ordnung – mit um feste Stellen wie diese transportierte Version weg gibt – hier sieht man den Originalwert – und das hier muss das Weg kippen sein proportional – zu est je weiter ich rausgehe – kippe ich mehr und mehr weg – Christoffel Symbole – mal diesen Richtung Vektor W geben wir also eine Idee – wie ich weg kippe beim Paralleltransport – wir haben also – die Komponenten – des Wetters V wenn ich ihn parallel transportiere – einen Parameter wird es werden sein die Originalkomponenten – minus – es war Christoffel flammender Menü – Richtungsvektor – der Stadtwerke meiner genetischen – Frau Lügen – der Vektor den ich parallel transportieren will – plus Terme höherer Ordnung – die Christoffel-Symbol – regeln also nicht nur die Güte hätten – sie regeln auch den Paralleltransport – die kovariante Ableitung – ?? vergleicht den Transport rückwärts – nicht hin zum Parameter es Sonne zurück vom Parameter es zu null – ?? hinten dieses V – kann ich ja mit dieser selben Gleichung – schreiben als – von ?? transportiert – und diesen rüber bringen – plus es Komma mal irgendwas – und wenn ich das jetzt abverlangte auflöse – habe ich ?? Lander wird sein die transportierte – Fassung – und den ?? überbringen – plus es mal Christoffel – Startvektor – V Menü transportiert – plus es mal irgendwas plus höherer Ordnung – das verbuchen wir hier unter den drei Pünktchen – wieder mal ?? bisschen unseriös – so komm ich also zurück wenn ich einen Vektor habe an einer anderen Stelle entlang der Geodiäten – und wir wieder zurück kann ich so rechnen mit plus – Christoffel-Symbol – jetzt – haben wir alles parat für die kovariante Ableitung – heißt übrigens in der Mathematik – nicht verwirren lassen ?? wie Che wieder Zusammenhang – ich gucke mir wieder eine Geodäte an – mit Startvektor W – diene nicht X – und ich guck mir obendrein ein Vektorfeld – an das ist das Ding was abgeleitet werden soll gleich – diese soll das Vektorfeld – an X von null sein – das ist X von null – und dies soll das Vektorfeld – Annex von es sein – ist der Parameter es – und ich möchte jetzt dieses Vektorfeld – nach dem Parameter es ableiten – an dieser Stelle wie ändert sich das Vektorfeld – wenn sich der Parameter es ändert – sich mit es vernünftig ableiten ?? ich möchte den Paralleltransport – berücksichtigen – das nennt sich dann die kovariante Ableitung – von diesem Vektorfeld – in die Richtung wie an der Stelle X von null – ich werde den handelsüblichen – Differenzenquotient – und davon den Grenzwert – naiv würde man sagen ich nehme das Vektorfeld eine Stelle X von es – den hier minus den – das Vektorfeld an der Stelle X von null – diese Differenz durch es Grenzwert das ist die Ableitung – des ?? blödsinnig war diese beiden Vektoren nicht im selben System leben die kann ich nicht voneinander abziehen auf sinnvolle Weise – muss diesen Vektor zurück transportieren – von der Stelle X von es zur Stelle X von null – dann kann ich in Vergleich mitte von X von null – hier brauche ich also den Rücktransport – wie der Rücktransport geht müssen wir aber nun – ein Komponenten – ist das der Originalvektor – an der Stelle X von S plus – es mal gamma – statt Vektor der Prioritäten – und der Vektor den ich zurück transportieren will – plus höherer Ordnung – das X von es dank der Geodiäten ist X von null plus höherer Ordnung – die weiteren Termine kann ignorieren weil da schon in es davor steht und ich nach ?? die Ableitung nach es an der Stelle ?? ist gleich null Bilder – der vorne muss ich mir aufpassen – da steht X null – plus es mal den Startvektor – plus höherer Ordnung – manche der bei dem es Bilder an der Stelle es gleich Null muss mich nicht im S Quadrat – und so weiter kümmern – das heißt das Vektorfeld ihr vorne kann ich so schreiben – es ist das Vektorfeld – am Start Punkt – plus es mal die Ableitung in die Richtung – also partiell nach X Mühe ableiten zum Beispiel – mal wie Mühlen – plus Terme höherer Ordnung – Komma bisschen aufräumen – das Vektorfeld am Start Punkt das Vektorfeld am Start Punkt die beiden fliegen raus – es bleibt – dieses – durch es Grenzwert – also das – Plus – dieses – durch es Grenzwert also – das – ich kriege also die Koordinate – Nummer Lamm darf von der kovariante Ableitung – mit der ganz schlichten Ableitung – und dann kommt noch eine Korrektur – mit den Christoffel-Symbol – dazu – die kovariante Ableitung – meines Vektorfels – in Richtung W davon die Komponente Nummer lambda – wird also sein – die ganz normale Ableitung – kontrahiert mit dem Startvektor – plus – was sich aus dem Christoffel-Symbol – ?? bekomme – Christoffellander – Mühe – statt Vektor – unser – Vektorfeld – F null – an der Stelle X von null das sehen konnte ?? durch X von null ersetzen – kann ich netterweise noch das weben müde ausklammern – ihr also einfach die Ableitung – und dann kommt noch Christopher dazu – die kovariante Ableitung – ist also Linjahr – in diesem Richtung Vektor W – wenn ich ein Vielfaches davon nehme – ich das vielfachen der Ableitung – in eine Summe steht von zwei Richtung Vektor – kann ich die entsprechenden Komponentenableitungen – addieren – sich in den Klammern steht – ist die kovariante Ableitung – meines Vektorfelds – davon die Komponenten – mal lambda – abgeleitet – in die Richtung ihm Mühl – der mühte Basisvektor – mit dem Basisvektor ist abstrakt die Ableitung nach X mir – das schreiben die Physiker kurz als das Vektorfeldkomponente – Lambda – abgeleitet – nach der müden Koordinate – kovariant – abgeleitet nach dem müden Koordinaten – Semikolon – und Komma will heißen normale partielle Ableitung – dem Semikolon sagt man kovariant – abgeleitet – wird also ?? schreiben soll das heißen ?? flammender – kovariant – abgeleitet – nach der müden – Koordinate – das ist – die normale Ableitung – partielle Ableitung – Komma – Mühl – und dann kommt dazu – Christoffel – mal unser Vektorfeld – das ist die übliche Art wie man die kovariante Ableitung – hin schreibt – und das nette ist das sind die Komponenten – eines Tensor – dieses hier für sich sie nicht die Komponenten eines Tänzers die partielle Ableitung – Campbell gesehen fusioniert nicht – mit dem Christoffel-Symbol – hier das wird wohl auch nicht die Komponenten eines Tänzers werden aber schön ist diese Kombination – bringt es dann die Kombination – macht ein Tensor draus – man kann zwei din A vier Seiten füllen in dem man das nach rechnet wie Transfer mir das wie transformiert dass – das Essen bisschen müßig – nach der Konzeption liegt es nahe dass das ein Tensor sein muss – nicht nur das – im freifallend der lokalen Bezugssystem – sind die Christoffel Symbole null – und dort ist die kovariante Ableitung – die übliche partielle Ableitung – der Zunge natürlich nicht nur Vektorfelder – ableiten sondern auch kompliziertere Zensoren ableiten – und fordert einfach – das die kovariante Ableitung – die Produktregel – erfüllt – dann geht der Rest von selbst – fangen wir an mit einem skalierbaren Feld – da sag ich einfach von ihren Funktionen – kovariant – ableite nach der müden Koordinate – das soll nichts anders sein als dass ich sie ganz normal partieller Pleitefunktionen – ging ja nichts schief – wenn ich ein kontravariant – des Vektorfeld ableite – durch das was wir eben gesehen haben das Vektorfeld laminar Semikolon – kovariant abgeleitet nach der Koordinate – Nummer Mühsal sein die übliche Ableitung – Komma müde plus – Christoffellander – Menü – F null – nun ein kovariant – des Vektor fällt – da ?? würde ich mich jetzt mit der Produktregel – ich bilde folgendes – geh Untenlander – mal elf Obenlander – ein kovariant des Vektorfeld – kontrahiert mit einem kontravariant – Vektorfeld – das möchte ich kovariant ableiten nach der Koordinate Mühl dieses da drin ist aber ein Skalar – den leite ich ab indem ich ganz normal partiell ableite – für die partielle Ableitung – gilt die Produktregel das ist also die – Lander – nach ?? abgeleitet er flammender – Plus – Gel am da er flammender – nach der Koordinate Müll partiell abgeleitet – ich möchte das auch für die kovariante Ableitung – die Produktregel Geld – also habe ich hier auf der linken Seite gelangen da – kovariant – nach der Koordinatenummern – flammender plus – gelernter eher flammender – kovariant – nach der Koordinate nimmermüde abgeleitet – kontravariant – Vektorfelder kann ich aber schon kovariant ableiten hier steht also – die übliche Ableitung – Komma mühlplus – Christoffellander – Menü – helfen will – guck ich mir die beiden letzten Gleichungen an die sich hier ergeben – gelernter entflammte abgeleitet nach der müden Koordinate des Samba da schon – interessiert mich nicht – damit bleibt dieser hier – die lambda kovariant nach Mühl an dem ich noch nicht weiß was es werden soll – flammender – plus – gelernter – Christoffel – oben genannter unten Menü – öffnen Sie es gleich der hier – Gel am da partiell nach der müden Koordinate – eher flammender – ?? möchte ich im bisschen aufräumen – flammender – flammender F genügt es ungeschickt – aus Neodym mache ich Lander – normal an der damaligen ?? draus dann ist die Welt wieder in Ordnung – wenn das sehr gilt für alle Vektorfelder eher Flammen dar – dann muss auch gelten ohne dass das F Lander da steht – und damit habe ich das die kovariante Ableitung – dieses Covarianten – Vektorfels – sein wird – die partielle Ableitung – minus – den rüber bringen – minus – Christoffel oben Menü – unten Mühlander – die – Mühl – in kovariant das Vektorfeld ableitet ?? ich also minus – Christoffel ?? Contravarianten – Weiß plus – Christoph – im allgemeinen Fall wie das dann logischerweise so aus – ich möchte ein Tensorfeld – mit Indices Alpha und so weiter oben – und bitter und so weiter unten kovariant – ableiten – nach der Koordinate Nummerlander – dann kriege ich die übliche partielle Ableitung – dieser Komponenten – also Komma Lander – und für alle Contravarianten – in PCs kriege ich ein Plus – Christoffel – und für alle Covarianten – in DCS kriege ich ein Minus Christoffel – Abschluss – für die Covarianten – dieses Alpha damit jetzt oben los – anderweitig ab – und müssen über meine Komponenten summieren ?? Newman ?? Beistrich den neuen Index alt Beistrich – und es geht mit den anderen Indices oben weiter unten bleiben alle Indices – so stehen – das F in den Index – Alpha – das geht mit jedem Index oben so weiter – im Abschluss Christoffel – mit den Indices unten – analog zu dem hier Komponente nach der Pleite – steht unten – oben steht der Index über den ich summieren ?? nicht in mal – Wetterstrich – T – better Beistrich – alle übrigen – Indices an den Tee bleiben wie sie waren – und mir fehlt natürlich der Index Beta noch den Charme dahin – logischerweise – minus – entsprechend für jeden Index unten – und das sind natürlich wieder die Komponenten – eines Tensorfels – eins Sandy die Czech – gucken an einem einfachen Beispiel – ob auch nichts kaputt gegangen ist – was passiert wenn ich den metrischen Tensor – kovariant – ableite – das ist die übliche Ableitung – Komma Lambda – zwei kovariant Indices also minus Christoffel – minus Christoffel – jeweils mit diesen Tänzer dahinter – nach der Komponente Nummerlander leite ich ab dem weiter unten stehen – diese Milch über den ersten Index – informiere ich über den zweiten Index – Minuten muss ich noch unterbringen – da haben wir Mühe dann Vinyl – und Herren Vinyl unter anderem in – das wäre diese Regel angewendet – den ersten schreibe ich wieder hin Komma ?? nichts retten – minus – Christoffel-Symbol – magnetischer Tensor – das heißt sichtlich des Christoffel-Symbol – mit drei Indices unten Menülander – Mühl – das war ein halb – mythischer Tänzer ?? plus metrische Tensor minusmetrische – Tensor – dieses nie was davon steht Mühlandermühl – hier – dann in der Mitte – und dann Hintenlander – und müssen die beiden anderen Indices Mühlander – Sondermüll – an der Mil – analog hier – metrische Tensor ist asymmetrisch – sehe ich das sich einfach in diesem Ausdruck überall – Menü durch Mühe und mythischen Lehrsätze unterstrich den Ausdruck hier kommt also minus ein halb – die – Mühlmenü – nach Lander Plus Gelandermühl – nach menüminus – gehe an Daniel – Nachmühl – ?? gucken Ableitungen nach der Koordinate Nummer Lander am da Lander – die metrische Tensor symmetrisch unter Menü oder nehme steht ist egal – das minus ein halb davon minus ein halb davon – geben sich weg – Ableitung nach Mühl – minus ein halb plus minus ein halb minus die beiden heben sich Weg Ableitungen nach Menü – minus ein halb minus – minus ein halb plus – die beiden heben sich weg es kommt null heraus – die kovariante Ableitung – des metrischen Tensor ist null – das ist doch sehr schön – auf Mannigfaltigkeit – will ich natürlich nicht ableiten ich möchte auch integrieren – da kaum auf den Begriff der Dichter – den gab's auch schon in der speziellen Relativitätstheorie – Skalar Gedichte – das so ein Ding sein ein Tier auf der Mannigfaltigkeit – dass sich in jeder Karte integrieren kann und überall dasselbe raus bekomme – wenn diese Menge auf der Mannigfaltigkeit – in dieser Karte – Menge B ist und in dieser Karte die Menge Beistrich ist möchte ich gerne wenn ich hier integriere – über diese Menge meiner dichteabhängig – von Nix – dass ich dasselbe – rauskriege – als wenn ich das hier tue – wir ?? die Dichte jetzt aussieht – und diesen Koordinaten – schreibe elf Strich für die transformierte Dichte ich meine Beistrich nicht die Ableitung – ein mathematischer Salzgehalt diese beiden integral aber ineinander umformen – durch Jesu Flächenstückchen – die X Tipps dann auf summieren – summieren ich hier dann Parallelogramm – auf – die Fläche seines Parallelogramm – science – glücklich mit der Jacobi Determinante – X Strich ableiten nach X – X Strich ableiten nach Y – Y Strich ableiten nach X – Y Strich ableiten nach – Y – diese Fläche wird sein diese Determinante malte X – die Y – mit der Determinante rechtlich die Fläche eines Parallelogramm – aus dieses hier mal die X ist dieser vektorphysikalischer – Sicht – und dieses hier mal Y ist dieser Vektor aus physikalischer Sicht – dieses integral kann ich also aufschreiben – als das integral – über – die – elf Strich – nun von X – passend umgerechnet – mal diese Jacobi Determinante – D zwo X – in das für alle Integrationsgebiete – gelten soll – weiß ich wie sich eine Dichte transformieren – muss – muss ich so transformieren dass hier dasselbe steht wie hier das der beißintegral über das Gebiet B – das kann ich jetzt also als Gleichung für das Translationsverhalten – einer Dichte hinschreiben – eine Dichte muss so transformieren – die neue Dichte mal Jacobi Determinante – ist die alte Dichte will sagen die neue Dichte ist die alte Dichte durch die Jacobi Determinante – schreibt das mal Sonnen bisschen Handy werden so – alle Ableitungen bilden X Strich nach X – Punkten hier die Matrixherbergen – durch die Determinante einer Matrix ist aber mal die Determinante – der Umkehrmatrix – davon kenne ich die Umkehrmatrix – einfach andersrum ableiten – wieder Punkte für die Komponenten – die Determinanten wurde dann der die ganzen Komponenten durch – und gibt denselben Trick wegen der speziellen Relativitätstheorie – etwas zu bauen was diese Determinante ja von Summationsfaktor – hat – gucken uns die metrischen Tensor an wie transformierte – metrische Tensor – Beistrich – ist – die im Originalsystem – muss ich kovariant – transformieren – das heißt die ungestrichenen dualen Basisvektoren – und die gestrichenen – Basisvektoren – brauche ich – unten Menü – oben Alpha Beta – dieses hier kann ich auffassen als das Produkt dreier Matrizen – bin ich jetzt überall die Determinante Bilder weiß ich also die Determinanten von G strich – mit seinen beiden Indices – ist – die Determinante eines Produkts ?? Matrizen ist das Produkt der Determinanten – also die Determinante – von GE – mit seinen beiden PCs – mal die Determinante – der Ableitung von X nach X strich – mit ihren Indices – und noch mal dieselbe Determinante diese ins Quadrat – die Determinante des metrischen Tänzers als Matrix verstanden man gerne einfach die – hier habe ich dann demzufolge G strich – und sich aus dieser Gleichung die Wurzel – müssen vorsichtig sein G hat eine negative Determinante – das aber schon in der speziellen Relativitätstheorie – gesehen – also sich dann minus vor der ein Minus vor und sie dann die Wurzel – also ist die Wurzel aus minus ?? Beistrich – die Wurzel aus minus die Determinante Smith und Henderson gestrichene System – gleich die Wurzel aus minus gehe mal diese Determinante – die ist positiv wenn ich mal Raumzeit bei dieser Summation nicht um Stolpe – deshalb ja sein Ding gefunden was ich mit dieser Determinante – transformiert – das ist genau die Determinante die ich brauche für eine Dichte – und damit weiß ich wie ich beliebige Skalar dichten Bergen kann – ich bilde die Wurzel aus minus der Determinante des metrischen Tensor – mal ein Skala ausfällt – und kriege damit eine Skalar Dichte – diese Wurzel ihr sorgt dafür dass ich den richtigen Transmissionsfaktor – bekomme das Kellerfeld – ändert sich ja nicht – man kann dichten auch noch allgemeiner definieren – wo hier dann noch ein Exponent steht – aber diese Sorte an Dichte ist die die man üblicherweise braucht – nun eine Vektordichte – ich möchte das folgendes gilt wenn ich über irgendein Gebiet der Raumzeit integriere – eine Vektordichte – mal irgend ein Vektorfeld – dies ein beliebiges Vektorfeld – das soll dasselbe sein manchen beliebigen anderen Koordinatenrechner – da habe ich ein Gebiet Beistrich – Koordinaten heißen X strich – dabei transformierte Vektordichte – und ein Transfer mittels Vektorfeld – Komma das so aus buchstabiert wie eben ist klar – wie kriege ich eine Vektordichte – ich bitte die Wurzel aus minus der Determinante des metrischen Tensor mal ein Vektorfeld – und kriege – damit eine Vektordichte – diese Definition gibt's auch wieder mit einem Exponenten – hier – aber dass es erst mal das was man typischerweise braucht – nun die Divergenz auf Mannigfaltigkeit – die Quellendichte – die brauche ich auf Erhaltungssätze – klassischen dreidimensionalen – Divergenz eines Vektorfeldsjahr – X Komponente nach X ableiten – plus die Y Komponente nach Y ableiten – plus die Z Komponente – nach Z abgeleitet – und jetzt versucht das entsprechende zu machen in der vier dimensionalen Raumzeit – nehmen die Mühlkomponente – eines Vektorfels – ich leite kovariant ab – und kontrahieren und diese beiden Indices – also F null – kovariant abgeleitet nach null plus F eins kovariant abgeleitet nach eins – und so weiter – das ist von dieser Form – mit offensichtlich ist das eins Komma wie sich das gehört – das wird funktionieren – dieses ist die Verallgemeinerung – der Divergenz – man hätte auch Dinge probieren können – F Mühe partiell ableiten – und dann kontrahieren – Komma – das klappt aber im allgemeinen nicht – ich kann mir das Informationsverhalten – angucken was passiert wenn ich das in einem gestrichenen System aus Rechner – das Vektorfeld muss transformiert werden – ich muss nach den pensionierten Koordinaten – ableiten – es ableiten nach den konsumierten Koordinaten zerlegte ich ich leite erst mal das nicht transformierten – ab und dann artig die nicht transformierten ab nach den transformierten – das Vektorfeld muss ich transformieren – mich also die Komponenten des ursprünglichen Vektorfels – verziert – mit der Translationsmatrix – ihr Ex Strich abgeleitet nach X mit – das gibt mir sowas in dieser Mischung gesehen – den ?? stehen – den ersten ableiten also die zweite Ableitung von X strich Schnüre – nach X Mühe und danach X laminar – Mühl – plus den ersten stehen lassen – und den zweiten ableiten – den hier und den kann ich zusammenfassen – sodass ich dann hinten tatsächlich – F Mühl abgeleitet – nach X Mühe mit dieser Kontraktion habe – und der hier vorne ist einfach – Murks mit dem kann ich nichts anfangen – da es diese wird im allgemeinen nicht die richtige Art sein die Divergenz auszurechnen – es gibt aber tatsächlich noch einen anderen Weg die Divergenz auszurechnen – ?? ich nehme mein Vektorfeld – und das mache ich zu einer Vektordichte – mit der Wurzel aus minus der Determinante – des metrischen Tensor – hier steht dann eine Vektordichte – die Geometrie als in diese Dichte eingebaut – und dann kann ich lustigerweise – die ganz – naive Divergenz bilden mit der partiellen Ableitungskriege – eines Kanal Gedichte raus – und dieses klare Dichte kann ich wieder in ein Skalar verwandeln – mit eins durch wurzelminus – Determinante des metrischen Tensor – das gibt lustigerweise – dasselbe – wie das Wasser eben hatten F Mühe kovariante Ableitung – Müll – kurz nachgerechnet – auf dieser Seite steht – die übliche Ableitung – plus – Christoffel – mögen diese Index dann der Ableitungsindex – der ist müde und summiert über die Komponenten des Vektorfeldes – und ich weiß was die Christoffelsymbole – sind das ist ein halb mal – die – Mühe Alpha – G plus G minus gehen – das aber versteht erst vorne dann in der Mitte und dann hinten – Mühl habe ich noch als weiteren PCs nur müde – müde Menü – etwas genauer gucken – dass inverses metrischen Tensor ist symmetrisch – in mir und Alpha – und dieses hier ist antisymmetrisch – in mir und Alpha wenn ich hier my und Alpha austausche – klicken Minuszeichen – das muss ich zum Schluss weg eben – das war die rechte Seite so weit verarbeitet wie es geht – die linke Seite ist etwas komplizierter weil ich hier eine Determinante – ableiten muss die Wurzel von minus – eine Determinante ableiten muss – wie leitet man die Determinante ab dafür gibt's einen Trick wenn ich in dieser Situation die Determinante ausrechnen Einheitsmatrix – plus ein bisschen – irgend einer quadratischen Matrix – dann steht da ja sowas wie eins eins eins eins und so weiter – quer durch die Matrix stehen jetzt noch irgendwelche Störungen auch diese Einsen sind gestört – und wenn ich das jetzt entwickle – ich erst mal hier einmal einmal einmal eins – eins plus das kann ich gucken welche ausdrücklich habe mit Haar – ?? oben nämlich H mal den Eintrag aus der Matrix A mal eins mal eins mal eins und dann nämlich um die eins – und hier den Eintrag mit Haar – und wieder eins mal eins mal eins – dass wir zum Schluss sein Haar mal die Spur der Matrix A – die Summe der Diagonalelemente – der Matrix A und alles andere hat mindestens ein H Quadrat – ist höherer Ordnung – den Trick benutze ich unter Determinante abzuleiten die Determinante wird zur Spur werden – ich will also ausrechnen eins durch die Wurzel aus minus der Determinante des metrischen Tensor – partielle Ableitung – von – dieser Wurzel mal mein Vektorfeld – kontrahiert – das geht mit der Produktregel – eins durch die Wurzel bleibt stehen – mal den ersten ableiten – plus – eins durch die Wurzel – mal die Wurzel – mal die Ableitung von elf Mühlen – kontrahiert – hier brauche ich jetzt die Ableitung der Wurzel – Kettenregel – die äußere Ableitung ist eins durch zweimal die Wurzel – jetzt kommt die innere Ableitung – minus – die Ableitung von – G – mir mich jetzt also das Problem ich muss die Determinante – ableiten – ?? jetzt verstehen würde wie die Determinante von der Einheitsmatrix – plus eine kleine Störung – dann könnte ich die Idee von eben direkt anwenden und Determinante zur Spur machen – aber hier steht ja nicht die Einheitsmatrix plus eine kleine Störung da muss man noch bisschen nachhelfen – Beistrich nämlich die Ableitung – der Determinante – vom metrischen Tensor – Chopper wieder Punkte für die Indices – beginnen ja in der der dem Land Funktion weg – und jetzt schreibe ich hier was raffiniertes rein – das schreibe ich als die Ableitung von der Determinante – diese Matrix – der erste Index zweite Index den ich mal an da mal den inversen metrischen Tensor sondern – an meiner zentralen Stelle an der ich ableite fest – Chapman null dafür – mal den metrischen Tensormenü – andere Koordinate – der zweite Index meiner Matrix auch an dieser zentralen Stelle – dieses Produkt dahinten ist die Einheitsmatrix – schreibe einfach diese Matrix als sie selbst mal die Einheitsmatrix – dann kann ich über diese Determinante auseinandernehmen – ist die Determinante – des ersten Teils die ersten beiden Faktoren – mal die Determinante des zweiten Teils – und jetzt greift mein Trick mit der Spur hier steht jetzt – der Originalstelle – die Einheitsmatrix – hier steht eine Störung der Einheitsmatrix – für diese Ableitung – kriege ich also nun – die Spur – von der Ableitung dieser matrixmetrischen – Tensor ableiten nach der Mythenkoordinate – diese Matrix ist konstant – und diese Determinante brauche ich noch das ist natürlich klein G – an meine ursprünglich in Stelle – berechnet eine Spur aus ich summieren über diesen Index – oben und unten – in meinen müden Krieg gegen Lysander abgeleitet – nach Mühlgellander – Menü – dieser Index – an meiner ursprünglichen Stelle – mal die Determinante an der Sprechstelle – dort immer das war vorsichtig zusammen – was hatte ich eigentlich – einst durch die Wurzel noch mal die Wurzel gibt also eins durch minus G das Minuszeichen fällt weg – Komma einst durch zwei mal geh – mal den grünen Term – mal mein Vektorfeld – plus die naive Divergenz – einst durch zwei geh – mal diesen Grünkern – natürlichen alles an der spanischen Stelle genommen ?? nicht mehr hinschreiben – mal mein Vektorfeld – plus die naive Divergenz – G und das G Komma kürzen – jetzt kommt der spannende Moment – diesen hier ein halb gehen wie Lander Komma Milgelamenü – habe ich hoffentlich auf der rechten Seite auch – ursprünglich – Landeier – dieses hier die naive Divergenz – plus ein halb – Emil Alpha mit Alpha Komma Nicki – derselbe Ausdruck – nur die Indices müssen Rumänen – das heißt dies ?? tatsächlich in die kovariant Divergenz – kann ich alternativ – kriegen – in dem ich ein Vektorfeld – zu einer Vektordichte – mache – die übliche Divergenz der Vektordichte nehme und das Ergebnis seiner Alarme