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Viererstrom, Energie-Impuls-Tensor, Levi-Civita-Symbol


CC-BY-NC-SA 3.0

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in – der speziellen Relativitätstheorie – beschäftigt man sich erst mal mit Punkt Teilchen – die kann man schön mit Vektoren – und Zensoren – beschreiben – insbesondere – die Energie Impulserhaltung – wird so eine schöne Vektorgleichung – ich nehme den – Viererimpuls – des ersten Teilchens was eingeht plus den Viererimpuls – des zweiten Teils etwas eingefügt und kriege die Summe der Viererimpulse der Teilchen die raus kommen – später dann in der allgemeinen Relativitätstheorie – geht's um solche Geschichten – wie Gaswolken – die sich zu Sternenballen – mit irgendwelchen mehr oder minder komplizierten – Bewegungen – spätestens da muss man mit Tensorfeldern – arbeiten – will sagen Zensoren die von Ort und Zeit abhängen – ein ganz wichtiges Tensorfeld – wird der Energie-Impuls-Tensor – sein – ein Tensor zweiter Stufe ein Tensorfeld – eigentlich zweiter Stufe – ich schreib das von X diese Abhängigkeit mal nicht hin – und diese Energieimpulserhaltung – wird nun folgendes – wenn ich den Energie-Impuls-Tensor – nehme und ich leite ihn ab nach der Nöten Koordinate – und summieren dann über Menü – kriege ich null raus – das wird unsere Energieimpulserhaltung – nach ?? werden – hier wird es um Ströme gehen jeweils um dichten – von Teilchen gehen – der allererste Begriff und die man sich kümmern muss ist der des Volumens – wie funktioniert – Volumenberechnung – in 3D – und dann in vier die – befangen mal in 3D an das es leichter zu malen – drei Vektoren – im Raum egal welche – Spannung ein Volumen – auf – ein sogenanntes – Parallelität – was ein Schieferquader – und jeweils – vier Seiten – sind parallel – diese hier sind alle zu A parallel – die See sind alle zu C parallel – dieses Volumen nenn ich mal – voll – von den drei Vektoren ABC – meine private Notation – netterweise kann man dieses Volumen sofort schreiben als Determinante – dafür die Striche aus A eins A zwei – A drei – die Komponenten des ersten Sektors – B eins – B zwei B drei – C eins – C zwei – C drei – dass das sogenannte Sparprodukt – dieser drei Vektoren – Parallelgebet – heißt auch gerne einfach spart – das es dasselbe sein muss Komma sich leicht überlegen indem man sich die Eigenschaften – der Determinante – und die Eigenschaften dieses Produkts – anguckt – wenn ich einen Vektor vervielfachen – vervielfacht sich das Volumen – genauso – der Wert der Determinante – wenn ich eine Summe von Vektoren habe zum Beispiel statt A – kann ich die entsprechenden Determinanten addieren – gibt die Determinante mit der Summe trennen – und was sie noch gar nicht erzählt habe dieses Volumen ist mit Vorzeichen – zu verstehen – wenn das eine rechte Hand ist ABC – Daumen und Zeigefinger – Mittelfinger – dann soll dieser Wert positiv sein wenn das linke Hand ist soll dieser Wert negativ sein und dass es eben genau was Determinante schafft – ?? hier haben es mathematisch eine antisymmetrische – Multilinearform – Multilin Jahr mehrfach im Jahr – in jeden dieser drei Vektoren – ist dieser Ausdruck den Jahren – nicht in Summe habe oder das fifa eines Sektors – kann ich die Summen zerlegen und das vielfache raus ziehen dass es Multimedia – antisymmetrisch – wenn ich zwei von den vertausche egal welche – ändert sich das Vorzeichen – und für diese Determinante – gibt es nun eine kurze Schreibweise – die Determinante besteht helfen Sie ausreichend aus allen möglichen Produkten eine aus der ersten Spalte einer aus der zweiten Spalte einer aus der dritten Spalte – mit Vorzeichen plus oder minus – zum Beispiel – eins mal B zweimal C drei – plus – B eins mal C zweimal A drei plus – oder – minus – A dreimal B zweimal C eins – Produkte erst zweite dritte Spalte mit Vorzeichen – auf summiert das schreibt man hinein – aus der ersten Spalte eine aus der zweiten Spalte – eine aus der dritten Spalte – diese Produkte auf summieren – mit den richtigen Vorzeichen – diese Vorzeichen nennt man epsilon – hier jetzt I J K – das ist das sogenannte – Levi-Civita-Symbol – epsilon eins zwei drei – eins B zwei C drei soll eins sein – wenn ich zwei vertausche – zur minus eins rauskommen – zwo Zeichen ändern wenn ich noch mal zwei vertausche kommt wieder plus eins raus – und so weiter – wenn zwei von den gleich sind zu Beispiel epsilon eins eins zwei – dann ist Y null – A eins – B eins – C zwei – konnte nicht vor in der Determinante – ich brauch aus jeder Zeile genau einen Eintrag – in vier Dimensionen – für das ganze unübersichtlich – wird aber doch hoffentlich – genauso funktionieren – nicht auch eine vier mal vier Matrix von vier Vektoren – hier stehen vier Summen – und das Levi-Civita-Symbol – kriegt vier Indices – nun also das Volumen was von vier Vektoren aufgespannt – wird im vierdimensional – ein Parallelgebet – im vierdimensional – schreib mal wieder keine Vektorpfeile – Vierervektoren – soll sein – und dieses Volumen soll natürlich wie eben auch wieder mit Vorzeichen – genommen sein – Punkt ich sage ganz dreist schön wir bilden einfach eine Determinante – aus den Komponenten dieser vier Vektoren – der ersten Spalte das Arden kommt das B und so weiter – dann kommt das C und dann kommt das D und so weiter – dass wir natürlich überraschend wenn ich eine beliebige Basis nehmen kann und dass so funktioniert – ich verstehe ja hier – das dieser Vektorart – gleich arm Ü E Mühe ist und so weiter für die anderen für eine gegebene Basis – so komme ich auf diese an null eins eins A zwei A drei – die Komponenten – bezüglich – einer gegebenen Basis – ich sage sicherheitshalber – ich nehme mal einem Basis – die schön ist sozusagen – nämlich eine deren Basisvektoren – dieser Eigenschaft haben wenn ich die miteinander multipliziere – kommt minus eins oder plus eins oder null raus – wenn ich eh null mit sich selbst und Offiziere kommt eins raus – das Wattesymbol etwa – wenn ich E eins mit E eins multipliziere – kommt minus eins raus zwei zwei minus eins drei drei minus eins alle anderen Kombinationen geben null – das naht Verallgemeinerung – des Begriffs Orthonormalbasis – so eine Basis werde ich erst mal und schreibe diesen Ausdruck hin und gucke was in einer allgemeinen – Basis passiert – findet man nämlich man braucht noch eine kleine Zutat damit das umziehen kann – ?? nur mit einem Trick an nicht bilde das Produkt – dreier Matrizen – in der Mitte steht der metrische Tensor in der allgemeinen Basis – recht schreib die Komponenten meiner vier Vektoren in dieser allgemeinen Basis hin – links schreibe ich das transponiert – ?? davon ihn aus diesem Matrix gestürzt – und nun rechne ich mal aus was passiert dieses Produkt hier hinten – links oben steht – G null null Mala oben null G null eins Mala oben eins ?? null zwei Mala oben zwei G null drei Mala oben drei – das ist schlicht und ergreifend A und null – ich benutze den metrischen Tensor und den Index zu senken – in der ersten Spalte zweite Zeile – habe ich vornehmer den Index eins – mal diese Komponenten es wird aber unten eins werden A und zwei A und drei – und die anderen Spalten genetisch dann entsprechend B und null C und null – D und null und so weiter – jetzt muss ich noch diese Matrix mit der Multiplizieren – links oben steht aber oben null mal A und N null plus A oben eins mal aber unten eins groß A oben zweimal – ?? unten zwei obendrein – auch unten drei also mit anderen Worten Arm in Arm Mühe – das Produkt von Ar mit sich selbst – so schreibe ich das mal das Produkt von Ar mit sich selbst – da drunter B oben null – mal einer unten null – plus die oben eins mal A unten eins und so weiter und so weiter das wird werden das Produkt von B mit A – und dann kommt sie – und dann kommt D – Punkt in der nächsten Spalte wird natürlich mit B das Produkt werden – A mit B multipliziert – arme CA mit und so weiter – die Einträge in dieser Matrix sind jetzt lustigerweise unabhängig von der Basis – der Skalarprodukt – ist ja ein Skalar – besteht eine Matrix aus lauter – Kanaren – wenn ich von dieser Matrix die Determinante Bilder – habe ich wieder einen Skalar – was ist aber die Determinante – davon netterweise ist ja die Determinante – eines Matrizenprodukts – des Produkt der Determinanten – dieser Skala die Determinante – von dieser Matrix ist die Determinante von der mal die Determinante von der mal die Determinante von der – besser noch die erste Matrix hat dieselbe Determinante wie die letzte war die erste nur das transponiert ?? der letzten ist ich kriege also – die Determinante – des metrischen Sensors – mal – die Determinante dieser Matrix ins Quadrat – muss ein Skalar sein – schreibe das mal so die Determinante – von den metrischen Tensor – G null null – äh null eins – und so weiter – und nach unten G eins null und so weiter – ich bin faul – die Determinante von metrischen Tensor von dem hier – mal die Determinante – von dem hier ins Quadrat – hier stand mir einfach die Komponenten der vier Vektoren – A null B null und so weiter – und nach unten dann A eins und so weiter – ins Quadrat – ist ein Skalar – hängt also nicht von der Basis ab – dem ?? Ernte des metrischen Tensor aus denen man gerne klein G – dies offensichtlich kein Skalar sondern hängt von der Basis ab – und jetzt kommt der Kunstgriff – wenn ich nicht in einer beliebigen Basis bin sondern in einer schönen Basis – bei dem die Basisvektoren – diese erfüllen – zwei verschiedene Basisvektoren – ergeben im Skalarprodukt – null – das Grauprodukt eines Basisvektor mit sich selbst Mühlmühl – ergibt plus oder minus eins – dann weiß ich ja schon was hier steht – der metrische Tensor – ist dann eins null null null – minus eins minus eins minus eins gerade diese Matrix etwa – und hier steht – das Volumen – von CD ins Quadrat – Klammer zu Mitdenken dieses Produkt ist ein Skalar – hängt also nicht von der Basis ab – dann kann ich insbesondere – als Basis ja so eine schöne Basis nehmen und dieses hier der metrische Tensor ist wenn ich das tue steht hier hinten – das Volumen ins Quadrat – kann ich rückwärts sagen was denn das Volumen ist – in einer beliebigen Basis ausgedrückt ich löse nach dem Volumen auf und jedes Determinante ist natürlich offensichtlich – minus eins – das Volumen – ist also – ich muss diese minus eins auf die linke Seite bringen und dann die Wurzelziehen – macht also – die Wurzel aus minus – geh – mal die Determinante – der Komponenten – in einer beliebigen Basis – und G – ist die Determinante des metrischen Sensors in dieser beliebigen Basis – die Determinante – schreiben und wieder mit epsilon – gibt's das epsilon in vier Dimensionen – das Levi-Civita-Symbol – in vier Dimensionen – also vier in DCS ich sage mal total am Darmmenü – und die Komponenten – von diesen vier Vektoren – der Tallander – Menü und Isolation – ist ja bei griechischen Indices – inklusive – jetzt aber noch mal zu diesem Levi-Civita-Symbol – in vier Dimensionen – epsilon null eins zwei drei soll natürlich wieder eins sein wenn alle in der richtigen Reihenfolge stehen – wenn ich hier die Determinante der Einheitsmatrix – ausrechnen will – sobald zwei Indices gleich sind sagen wir eins eins zwei drei kommt null raus – natürlich auch wenn drei Indices gleich sind von mir aus zwei drei zwei zwei dann kommt auch nur raus – antisymmetrisch – wenn ich zwei Vertauschung sagen wir Y eins null zwei drei dann kommt minus eins raus – etwas überraschend ist wenn ich zyklisch durchtausche – epsilon – eins zwei drei null dann bekomme ich minus – eins dass es im vier dimensionalen anders als in dreidimensionalen – ?? miteinander ?? Determinanten zyklisch durch tauschen – und sie an denselben Wert im vierdimensional – gibt das Vorzeichen nicht zyklisch durch tausche – sich leicht überlegen wie komme ich von eins zwei drei null auf null eins zwei drei – ich tausche den ersten und den letzten – Sinn habe ich null zwei drei eins – ich tausche den zweiten – und den letzten dann habe ich null eins drei zwei und ?? genau diese beiden haben null eins zwei drei – drei Vertauschung – minus eins mal minus eins mal minus eins macht ein minus eins – das ist überraschend – ist aber so im vierdimensional – noch mal hingeschrieben – das Volumen – mit Vorzeichen – was in diesem vier dimensionalen – parallele – Gebet ist ist ja auch so ein vierdimensional – zu unklar – ist also die Wurzel aus minus der Determinante des metrischen Tensor – mal epsilon – Tetralander – Menü – und nun die Komponenten – von diesen vier Vektoren – der Tal am Darmöl – Mühe – dieses Volumen – ist eine feste Zahl gängig von der Wahl der Basis ab das ist also ein Skalar – diese vier Kandidaten hier sind alles ordentliche Vierervektoren – sogar beliebige – Vierervektoren – für die ich immer das Volumen jemals ausrechnen kann – kann man sich überlegen dass das hier ein Tensor sein muss – der erste Tensor vierter Stufe den wir sehen – das kein Tensor wäre – könnte das kein Skalar sein wenn ich hier tatsächlich beliebige Vierervektoren – einsetzen darf – solange ich nur mit schönen – Basenrechner – bei den der metrische Tensor immer eins minus eins minus eins minus eins diagonal ist – ist dieser Faktor hier nicht spannen dann bitte einfach eins – das hat man sehr oft in der speziellen Relativitätstheorie – in der allgemeinen Relativitätstheorie – kann man diesen Faktor hier nicht mehr ignorieren – ein Zimmer drum zu schreiben wie den Materie und Energie durch den Raum strömt – wie kann ich das angeben dass sie jetzt soundsoviel Kilogramm – in dieser oder jener Zeit mit dieser oder jener Geschwindigkeit – in eine bestimmte Richtung fließen – dazu brauche die Viererstrom – Dichte – in einem Internat ?? ?? eigentlich immer von Stromdichte – im vierdimensional – ist es gerne kurz aber nur Viererstrom – vorkommen und – in vier Dimensionen wird das ziemlich eklig deshalb betrachte jetzt erst mal zwei Raumdimensionen – eine Zeitdimension – und ein feststehendes – Fenster wie viele Teilchen – fliegen durch ein feststehendes – Fenster – wenn ich zwei Raumdimensionen – und eine Zeitdimension – habe wie kann ich das beschreiben – so sieht also meine Welt aus x-Achse y-Achse – zwei Raumdimension – und eine Zeitdimension – vor sich dieses ist nicht die Zeitachse – gerade – ein Fenster in einem zwei dimensionalen – Raum – ist nur eindimensional – so sehr das Fenster aus hier unten in der Ebene – T gleich null – ich sage zur Zeit T gleich Null soll das Fenster aufgehen – und nach einer bestimmten Zeit – sonst wieder zu gehen dass es aber das Fenster am Ende – im Moment zu dem es zugeht – für einen Zeitpunkt zwischendurch sind wir vielleicht hier – das ist also mein Fenster – nun hätte ich gerne einen homogenen – Teilchen Strom – im wahren Leben sind Teilchenströme natürlich nicht homogen – der Gedanke ist wenn ich mit der Lupe gucke – dann wird es schon halbwegs homogen werden – insofern beschränke ich mich jetzt hier mal auf einen homogenen Teilchenstrom – sein Leerzeichen was in der X Y Ebene startet – entwickelt sich hier in diesem Raum Zeit Diagramm – rechts so – fliegt also in diese Richtung – wenn man die Richtung in der Ex Y Ebene eintragen würde – und jetzt markiere ich welche Teilchen – durch das Fenster kommen – zwischen der Öffnung und dem Schließen – hier auf der siebzehn eben sitzt das Teilchen ist es gerade noch schafft – an diesem Ende durchs Fenster zu kommen und alle die zwischen diesen beiden Positionen – sitzen wenn es natürlich auch schaffen analog hier – auf dieser Seite – alle Teilchen die hier Staaten in der kritischen Ebene die werden es durchs Fenster schaffen – alle anderen – wenn es nicht schaffen – das heißt um die Zahl der Teilchen zu bestimmen – die durchs Fenster gehen – kann ich mir diese Fläche angucken – die Dichte der Teilchen mal diese Fläche – was wird die Anzahl sein sowohl die Anzahl in dieser Fläche wie auch die Anzahl von den die durchs Fenster kommen – diese Fläche – ist also proportional – zur Zahl der Teilchen – die durchs Fenster kommen – und jetzt Probleme denselben Trick mit ein Fenster das nicht fest steht – und sich öffnet schließt und sogar noch bewegt – das soll nun mein allgemeines – Fenster sein – in zwei Raumdimension – und einer Zeitdimension – des geht hier unten auf – ?? sagen – zu dieser Zeit – das es wieder die Zeitachse ja die Zeitachse – und die oben geht es zu – aber es geht langsam auf es fing das Punkt an und dann wird es immer länger – und irgendwann – wird's dann wieder – kürzer werden – ist es verschwunden ist – so sieht also mein Fenster aus – in zwei Raumdimensionen – des geht nicht nur auf uns zu sondern es bewegt sich ja auch noch während dessen ?? das beschrieben durch diese beiden Vektoren – und kann ich wieder gucken wie viele Teilchen – es denn schaffen durch dieses Fenster zu fliegen – derselbe Trick für eben ich markiere das in der X Y Ebene – Teilchen die in diesem Parallelogramm – liegen die werden es schaffen – dieses Teilchen geht hier durchs Fenster – will sagen – Falling zu dieser Zeit durchs Fenster und dieses Teilchen – ist später dran – solange ich den Teilchenstrom – nicht ändere – wird die Zahl der Teilchen durch Fenster kommen proportional – zu der Fläche unten sein wie eben – und das wird jetzt auf eine raffinierte Konstruktion – ich sage einfach die Zahl der Teilchen – die durchkommen – in Abhängigkeit – von diesen beiden Vektoren A und B – bei festem – Teilchenstrom – dasselbe physikalische Experiment – ich nehme nur andere Fenster – nicht mehr diese Zahl angucke – dann ist die bilineare – und sinnvollerweise – antisymmetrisch – in diesen beiden Vektoren – die Fläche unten überlegt man sich wieder leicht wenn ich BV Doppler verdoppelt sich die Fläche wenn ich Vektoren – summieren hier werde ich auch hier summieren und so weiter – die Anzahl ist ja in jedem Faktor – möchte wieder die Orientierung einrechnen – dieses Fenster soll eine Orientierung kamen die Teilchen in die richtige Richtung fliegen – ist die Zahl plus – die Teilchen die falsche Richtung fliegen ist die Zahl negativ – und das mache ich mit dieser Antisymmetrie – wie beim Volumen eben – diese Beobachtung – die kann man jetzt ins vierdimensional – übertragen die Zahl der Teilchen – die durch ein Fenster – gehen – soll gefälligst multiplen Jahr von den Kantenvektoren – abhängen und antisymmetrisch – ein in den Kantenvektoren – vierdimensional – will ich also folgendes – findet Teilchen Strom fest ist – soll die Anzahl der Teilchen die durchs Fenster gehen das hat dann drei Kantenvektoren – das Fenster – die Anzahl der Teilchen durch durchs Fenster gehen soll – Multilineartri – lineare Mann will sein – und antisymmetrisch – in diesen drei Vektoren – das können jetzt mit einer Basis hinschreiben – diese Anzahl – von drei Vektoren – den ersten ?? nicht mal A alpha – E alpha – mit einer Basis E den zweiten nämlich B Beta E Beta – und den dritten nämlich C Gamma E Gamma – dieser Ausdruck soll insbesondere – leben ja in jedem von diesen drei Vektoren sein das heißt ich kann diese Summen Alpha alpha raus ziehen und die Koeffizienten – raus ziehen – macht also – ?? Alphabet – better HC gamma – und nun – muss ich nur noch berechnen was passiert wenn hier eh Alpha – äh Beta – Gamma drinnen stehen – wie viel Teilchen kommen durch so ein Fenster durch ?? mit so schönen Abmessungen – das sehen Sie hierzu aus als ob man vier mal vier mal vier Zahlen ausrechnen müsste netterweise – nichts – weil das ganze hierher eben antisymmetrisch – ist insbesondere an die Fenster in vielen Fällen gar keine Fläche – zum Beispiel – eben null null null nehme – muss er natürlich nur rauskommen – wenn ich nehme null null eins – zwei gleiche Kanten schon wieder null – null null zwei fällt sowieso – und neun null drei – aus dem selben Grunde weg null eins null auch nicht null eins eins – schon wieder zwei gleiche bringt's nicht null eins zwei da habe zum ersten Mal was – spannend ist null eins da ist auch spannend – Komma weiter null zwei – null – zuwider zwei gleiche null zwei – eins – des nichts Neues ja bisher nur zwei vertauscht – das heißt wenn ich null eins zwei ausgerechnet Habenden – von E null E einzige zwei – nicht den mit Minuszeichen – und so weiter – da bleibt nicht viel übrig netterweise – wirklich angeben muss – vier Stück muss sich nur angeben und in den ich dort oben nur wird oben eins – wird oben zwei J oben drei – oben eins ist der einfachste – ?? sage ich das es dieser Anzahl N von – ihnen null E zwei – E drei – E eins – scheint zu fehlen da steht die einst und noch nicht ganz ich brauche – damit die Einheit nach schön sind noch die Lichtgeschwindigkeit – die tut er nicht viel zur Sache – und damit das ganz richtig konsumiert brauche ich noch die Wurzel aus minus G sind wir gleich warum dieser Ärger – ?? zwei wird analog hiermit – null – drei – eins – und J drei analog mit null eins zwei – die Nummer null es etwas überraschend – versteht dann E eins E zwei E drei drin aber mal minus eins und zu ärgern – ?? gleich sieht man warum dieses minus eins Sinn ergibt – und damit kann ich jetzt diese Zahl N anders schreiben – ich lasse – A oben alpha B oben Beta HC oben Gamma stehen und jetzt für N – eins durch die Lichtgeschwindigkeit – wurzeln minus Determinanten des metrischen Tensor – und nun Levi-Civita-Symbol – unten Alpha Beta Gammalander – und dieses J lambda – das ist mein neuer Ausdruck hier hinten für N – kann ein Beispiel wie man es prüfen kann wenn ich zum Beispiel habe Alpha gleich null Wetter gleich drei Kammer gleich eins – null – drei – eins – will ich ?? eben N von E null äh drei eins dahin stehen haben – das Levi-Civita-Symbol – ergibt null es sei denn ?? steht mit zwei – zog man sich an ob das plus oder minus eins sein soll – ich vertauschen die eins und die drei – Täter null eins drei zwei und dann vertauschte ich noch die hinteren beiden dann später null eins zwei drei zwei Vertauschung – zweimal Faktor minus eins dieses hier ist der Faktor plus eins – einzig Tschibo zu GC durch Vorzüge heben sich weg – es steht da was verstehen muss – die Anzahl der Teilchen die durch das Fenster kommen – muss ein Skalar sein – egal wer die ab zählt – der soll gefälligst dieselbe Anzahl rauskriegen – spannt für das schleichende – Quantenfeldtheorie – aber wenn uns die Teilchen hier wie Tischtennisbälle – vorstellen – kein Problem – das hier muss eine Skalar Größe sein – diese drei hier sind beliebige Vierervektoren – dieses hier weiß inzwischen ist ein Tensor – eins durch C macht nichts kaputt – dann muss unser J ein Vierervektor – sein – dieses J das ist der Viererstrom – der beschreibt in welche Richtung und mit welcher Dichte die Teilchen ließen – mit dem Gewicht raus wie viel Teilchen durchs Fenster kommen – egal welches Fenster das ist – jetzt kann man sich überlegen was denn in diesem Vektor J den eigentlich drinnen steht – in einer schönen Basis ich sage mal wieder dieses Produkt der Basisvektoren – im Menü – mit anderen Worten der metrische Tensor – soll etwa Menü sein also null oder plus oder minus eins – nehme mal zuerst folgendes Fenster – zehnmal eine Sekunde – null null null – dreizehn ersten Vektor – null ein Meter null null für den zweiten und null null ein Meter null für den Dritten – das Fenster das hier beschrieben wird – ist also ein Meter mal ein Meter in X und Y – und es ist offen für eine Sekunde – ähm gibt an – wie viele Teilchen denn während dieser einen Sekunde – durch diesen Quadratmeter – kommen – wir kriegen jetzt das ist – gemäß Formel eins durch C mal die Wurzel aus minus – der Determinante des metrischen Tensorsassen – minus minus eins – und nun die Determinante – von diesen drei Vektoren – und dem Viererstrom – also C mal eine Sekunde – ein Meter ein Meter und ?? entsteht der Viererstrom – J null eins zwei – drei und der Rest es mit Nullen gefüllt – und das macht wenn ich die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt – C mal eine Sekunde mal – diese drei ?? Determinante – die nach der ersten Spalte entwickeln ein Meter – und diese zwei Determinanten wickeln ein Meter mal J drei – wir haben also einst durch C – wird eins Volts aus minus minus eins mal – zehn mal eine Sekunde mal ein Meter mal ein Meter – Quadratmeter – mal J drei das soll dieser Anzahl seien – die Lichtgeschwindigkeit – verkürzen – das ja drei die letzte Komponente – des Viererstroms – ist also diese Anzahl – pro Sekunde – pro Quadratmeter – ?? drei ist also – die Z Komponente – der Stromdichte – wie man sie aus dem dreidimensionalen – kennt – Teilchen – pro Quadratmeter – und Sekunde – senkrecht durch diese Fläche durch den Z Richtung – heraus – uns selbst negativ – noch eine andere Anzahl ich nehme folgendes – für den ersten Vektor nämlich C mal eine Sekunde null null aber hier unten jetzt ein Zehntel – Lichtgeschwindigkeit – mal eine Sekunde ist ein Strecke – anderen beiden lass ich so – null ein Meter null null – null null ein Meter – null – in X Y habe ich jetzt also wieder so eine Fläche von ein Meter mal ein Meter – mit dem Vektor wird das spannender dieses Fenster ist für eine Sekunde offen – aber es bewegt sich – in Z Richtung – mit ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit – fangen da unten an – und kommen irgendwo – sehr weit weg an – nämlich – ein Zehntel – der Lichtgeschwindigkeit – mal eine Sekunde – aus dieser Achse ist doch sehr gestaucht – Ion geht das Fenster auf – die oben wie das Fenster zu – Rechner Schema F das ist eins durch die Lichtgeschwindigkeit – mal die Wurzel aus minus – der Determinante – des metrischen Tensor minus minus eins – und hier kommt jetzt unsere Firma vier Determinante wieder – diese drei Vektoren und hinten der Viererstrom – zehnmal ein Sekunde null null – eins zehntel – C mal eine Sekunde – hier der eine Indexrichtung – ein Metern null vier der Entwurfseinrichtung – ein Meter null und hier der Viererstrom – wird null J eins J zwei J drei – gleich – ich entwickle nach der ersten Spalte – gibt es wie eben C mal eine Sekunde mal ein Quadratmeter mal J drei eins durch C – eins klar – malt sie – mal eine Sekunde mal ein Quadratmeter – mal J drei – C können wir kürzen – kommt ?? zweiter Term – plus minus plus minus nach Schachbrettregel – dieser mit einem Minus – mal – diese obere dreimal drei Determinante – ein Meter mal ein Meter mal J null – minus – eins durch C – zu eins – ein zehntel C mal eine Sekunde mal ein Quadratmeter – mal oben J null – das einst durch C schreibe ich mal zu dem J null dazu – ein zehntel C mal eine Sekunde – das ist die Strecke – die das Fenster – zurücklegt – ein zehntel C mal eine Sekunde mal ein Quadratmeter – wird das Volumen sein – das von der Anfangsposition – des Fensters – zu seiner Entposition – reicht – Komma sich überlegen was denn dieser Ausdruck macht – das Fenster bewegt sich das Fenster wird hier ganz viele Teilchen überholen – die zwischendrin – liegen – dass die Teilchen in der falschen Richtung von oben nach unten durchs Fenster durchgehen war das Fenster von unten nach oben fliegt – das ist dieses minus – Teilchen gehen in der falschen Richtung durch das Fenster – hier steht das Volumen – dann muss hier hinten die Dichte stehen – was ist die Dichte der Teilchen – und der erste Term den Hammer weiterhin das ist derselbe wie eben – die Teilchen fliegen natürlich weiterhin auch noch in ihre eigene Richtung – damit habe die Bedeutung von J null J null ist die Lichtgeschwindigkeit – mal die Dichte – jetzt möchte ich formulieren was es bedeutet dass keine Teilchen – verloren gehen oder dazu kommen das es die sogenannte Kontinuitätsgleichung – ein Würfel entlang der Koordinatenachsen – alle Seitenlängen – innig groß L – und betrachte diesen Würfel über eine Zeitspanne – groß T – im Würfel sind groß N Teilchen – und guck ich mein wie viele Teilchen durch die einzelnen Seitenflächen – reingehen – oder rausgehen – diese Fläche – senkrecht zu X Richtung – die hat was mit J eins zu tun – die X Komponente des Stroms wenn ich das modifizieren – mit der Fläche – und der Zeit weiß ich wie viele Teilchen verloren gehen wie viele Teilchen gehen durch diese Fläche – analog nach oben – die es senkrecht zu Z – je gehen also J drei – mal – länger ins Quadrat mal Zeitteilchen – durch und nach hinten – gehen J zweimal – Länge ins Quadrat – mal Zeitintervallteilchen – durch – die Vorderfläche muss natürlich auch noch berücksichtigen – das gibt dann diese Bilanz die Zahl der Teilchen – nach der Zeitspanne – T – ist die Zahl der Teilchen die vorher drin waren im Volumen – minus die Idee nach rechts abgewandert sind – wobei ich jetzt diesen Strom an der rechten Seite ausrechnen muss sie schreiben ausdrücklich rechts dran Komma plus diejenigen die vor links reingekommen sind also plus – J eins – hier auf der linken Seite berechnet – mal L Quadrat T entsprechend für die anderen Seiten – Y Richtung nach hinten gehen – J zwei – hinten ausgewertet – ?? Quadrat T weg und von vorne kommen J zwei – vorne ausgewertet – ?? Quadrat T rein – und dasselbe mit oben und unten oben gehen J drei – R Quadrat T raus und unten kommen J drei – L Quadrat T rein – die Anzahl der Teilchen – vorher ist die Dichte die man vorher hat – mal die Länge hoch drei die dicht ist die Zahl pro Volumen – Malvolumen – gibt die Zahl und hier steht ?? natürlich analog die Dichte – nachher – mal – länger hoch drei – von diesen Faktoren – L Komma schon ganz viele wegnehmen – auf der rechten Seite nehme ich die Quadrate weg – dann bleiben links nur noch die ersten Potenzen – zwinge ich die Dichte vorher auf die linke Seite dann steht da die Differenz – die zeitliche Differenz der dichten – Mal die Länge – die bring ich auch alle auf die rechte Seite des Hasses ?? plus minus plusminus – also – los – die Differenz in X Richtung – rechts links – von J eins – war die Zeit – hier die Differenzen Y Richtung – von J zwei mal die Zeit – und hier die Differenz in Z Richtung – von J dreimal – die Zeit das muss Null sein weil ich alles auf die linke Seite gebracht habe – jetzt eilig doch durch Tee und durch L – I durch T Teil darf ich die Länge weg hierdurch – Tee teilen sich den Weg durch die Länge durch T durch die Länge – durch T durch die Länge – eine Ergänzung noch – oben – und unten schreibe ich den Faktor C dazu – erweitere den Bruch mit der Lichtgeschwindigkeit – was haben wir dann hier stets – Differenz in X Richtung durch die Länge die Differenz in X Richtung – durch die Strecke L das ist schlicht und ergreifend – die Ableitung – nach der Komponente Nummer eins nach der Exkoordinate – von J eins – hier steht die Ableitung – nach der Komponente Nummer zwei von J zwei – und hier – D drei – von J obendrein – und hier vorne C mal die Dichte ist J null – ich leite nach CT ab – macht den null – mit anderen Worten – nicht die alle zusammen nehme sehe ich die Mühe – J Müllsummation – ist null oder Kurt gefasst – wird Komma – möge – es gleich null Komma my soll der heißen Patient ableiten nach der Koordinate Nummer will das ist die Kontinuitätsgleichung – hinten steht die Dreierdivergenz – der Divergenz in drei – Dimensionen – und hier hab jetzt etwas wie die für ihre Divergenz die Vierer Divergenz dieses Tensorfels – in Viererstrom als Tensorfeld aufgefasst – von X – diese Viererdivergenz – ist null ?? sich die Herleitung noch mal genau anguckt – sieht man hier hinten steht eigentlich sowas wie zusätzliche – Teilchen wie viele Teilchen entstehen aus dem Nichts sozusagen wenden welche entstehen würden – Zahl der zusätzlichen Teilchen – pro – Volumen – und Zeit – das stetige hinten eigentlich – aber wenn die Zahl der Teilchen erhalten ist gibt's keine zusätzlichen Teilchen aus dem Nichts – des Gen auch keine Weg ins Nichts also steht der null – das hier kann man machen mit Tennisbällen – wenngleich Zahl der Teilchen – bei Tennisbällen – gilt hoffentlich in Erhaltungssatz – für die Zahl der Teilchen – für die Ladung ist das viel besser – wenn ich hier nicht Teilchenzähne – sondern Cologne zählen wie viel Ladung habe ich in einem Volumen die Verladung geht aus dem Volumen raus – das wird funktionieren – und – was jetzt am spannendsten ist es wird für die relativistisch – Energie – funktionieren – wie viel Energie ist in einem Volumen trennen – und fließt raus – und rein und es wird zum Beispiel – für die X Komponente – des relativistisch – Impulses gelten auch für die Epson DZ Komponente – wie viel Impuls fließt rein und raus – aus einem Volumen – und wie vieles drinnen – dafür wird es Kontinuitätsgleichung – geben von dieser Sorte – damit das J natürlich nicht mein Teilchen pro Quadratmeter – und Sekunde gemessen sondern in Cologne – pro Quadratmeter und Sekunde oder bei der Energie in Joule pro Quadratmeter und Sekunde – die sie hier die Korsetts genauer an und das wird der Energie-Impuls-Tensor – die Energie – und die Ex Komponente des Impulses und Y Komponente des Impulses und die Z Komponente des Impulses die müssen jeweils – eine Kontinuitätsgleichung – erfüllen – die engen aber auch ?? und einander zusammen Energieexkomponente – ?? company Z Komponente – sind der Bestandteil eines Vierervektor – also muss es zum Schluss so etwas geben einen Tensor – zweiter Stufe – in dem Alters kombiniert – ist und der Kontinuitätsgleichung – wird dann sein – ich leite nach der Mythenkomponente – ab vier steht die nette Komponente – des kommt null raus – für Müll gleich Null habe ich die Energieerhaltung – für mir gleich eins habe ich die Erhaltung der Ex Komponente des Impulses – und so weiter – dass sie unten auch wieder kurz gefasst – C Menü – Komma genügt es gleich null – was steht jetzt in diesem Tensor namens groß T – etwas genauer drin – die Zeile mit der Nummer eins die kümmert sich um die X Komponente des Impulses – dann muss das hier hinten – die Flussdichte – der X Komponente des Impulses sein – hier vorne stand jetzt sehe mal die Dichte – also C mal die Dichte des Impulses – analog für Y und Z – im Viererimpuls – steht oben ja nicht die Energie sondern die Energie durch die Lichtgeschwindigkeit – das heißt dieses hier muss die Flussdichte – von Energie durch C sein – ?? vorne muss widerstehen C mal eine Dichte – und zwar die Dichte von E durch C – verkürzt sich netterweise das C Weg – links oben – steht also die Energiedichte – ohne weitere Faktoren – der Lichtgeschwindigkeit – das sieht alles eher – unanschaulich – und unhandlich aus – noch eine Anmerkung zu der Kontinuitätsgleichung – steht auf der rechten Seite der Kontinuitätsgleichung – was aus dem Nichts dazu kommt oder was ins Nichts weggeht – ohne durch eine Wand zu gehen – und sich den Energie-Impuls-Tensor – anguckt steht hier dann auf der rechten Seite – die Dichte einer externen Kraft – nicht durch die Wände kommt – sondern ?? auf das Volumen wirkt – die darf es natürlich nicht geben – es darf Kraft nur durch die Wände vermittelt werden die Dach nicht aus dem Nichts plötzlich erscheinen – die heißt gerne F Mühl diese Kraftdichte – diese sechzehn Komponenten vom Energie-Impuls-Tensor – sind doch etwas unhandlich – oder schwer vorzustellen – deshalb mal am Beispiel – was passiert für ein ideales Gas – wenn ich dieses Gas quasi einfrieren – beim absoluten Nullpunkt betrachtet nichts bewegt sich jedes Teilchen sitzt irgendwo – im Raum an seiner Position – und ich gucke mir das im Ruhesystem – an alle Teilchen ruhen – in dem System in dem ich rechne dann ist das einfach – dann wird der Energie-Impuls-Tensor – ganz viele Nullen haben alles was mit Geschwindigkeit – und Impuls zu tun hat ist null – und transportiert – wird hier auch nicht das einzig spannende – ist links oben – die Energiedichte – und der glich aber von der Massendichte aus – Malcequadrat – mit Energiedichte sein das ist alles – der nächste Schritt – was passiert wenn alle diese Teilchen – in dieselbe Richtung fliegen mit derselben Geschwindigkeit – fliegen – alle mit einer festen Geschwindigkeit – V – kleines D Trick ich arbeite einfach mit einem Lorenz Brust mit minus V – ich nehme diese Situation – vor allem Ruhm – und transformieren ein System das sich mit geschwindigkeitsvektorminus – V relativ zu diesem bewegt dann habe ich diese Situation – einen Lorenz bewusst mit minus V das heißt die Lorenz Matrix – ist – oben steht Lorenz Faktor – zu diesem Geschwindigkeitsvektor – und hier uns Faktor mal transponiert – mich weniger Zweck zu durch Zählungsfaktor – mal Geschwindigkeitsvektor – durch C und hier unten rechts dreimal drei – etwas fürchterliches das man gar nicht wissen netterweise eine ganz viele Nullen haben – und nun transformierte ich diesen Tensor – mithilfe dieser Matrix – Ergebnis ist wenig überraschend – oben links steht Gamma Quadrat – mal dichte mal Lichtgeschwindigkeit – ins Quadrat – hier unten wird stehen – das Quadrat vom Lorenzfaktor – mal VO mal – dichte mal Lichtgeschwindigkeit – ?? oben steht das transponiert – Quadrat verloren Faktor V transponiert – dichte – nicht Geschwindigkeit – und auf diesen dreimal drei – Feldern steht – uns Faktor Quadrat – das Tensorprodukt – des Geschwindigkeitsvektor – mit sich selbst mal die Dichte – das ist natürlich immer noch kein Gas bei irgendeiner ernsthaften Temperatur – ich brauche einen Mix an Geschwindigkeiten – ich nehme mir also diesen – Energie-Impuls-Tensor – und überlagerte davon ganz viele Kopien – für die Geschwindigkeitsvektoren – die ich habe – das macht also – die oben eine Summe von Gamma Quadrat – die jeweilige Dichte – Malcequadrat – hier eine Summe hier und hier natürlich genauso – und nun kommt ein Kniff das hier möchte ich machen sodass makroskopisch – die Geschwindigkeit – null ist die mittlere Geschwindigkeit – soll Null sein von allen diesen Geschwindigkeiten – das Gas soll sozusagen – ruhen – was soll das heißen ?? der mittlere Geschwindigkeitsvektor – soll Null sein – entsteht hier – der Nullvektor – und hier oben – steht der Nullvektor transponiert – und dieses Tensorprodukt von V mit sich selbst muss man sich nur bisschen angucken – das ist ja die Matrix – V eins Quadrat V eins V zwei V eins – V drei – V zwei V eins – vor zwei Quadrat V zwei V drei – V drei – V eins – V drei – V zwei V drei Quadrat – wenn ich sage dass – Bewegung in X Richtung und die in Y Richtung nichts miteinander zu tun haben sollen – dann kann ich hier die Mittelwerte einzelnen bilden – das wir deshalb weg fliegen das wird und das wird und dass wir das und das wird alles null werden – es bleiben nur drei auf der Diagonalen – und die soll natürlich gleich sein dieses Gas soll – an dieser Trooper Mix von Geschwindigkeiten – sein die sollen gleich sein wenn ich die Mittel – es vielleicht überraschend das auf der Diagonalen tatsächlich noch was stehen bleibt – und könnte erst meinen dass sich alles in alle Richtungen schon irgendwie Wegmitteln wird – überraschenderweise – nicht auf der Diagonalen bleiben – Werte stehen – das kann man so sehen wenn durch diese Fläche – senkrecht zur Exrichtung ein Teilchen von links nach rechts durchgeht – dann ist J eins größer Null – Impuls links wird kleiner Tempus rechts wird größer – es wird Impuls von links nach rechts transportiert – wenn ein Teilchen rückwärts dadurch geht – gibt das nicht das erste Teilchen auf – ganz im Gegenteil – es wird ?? jetzt negativer – Impuls – von rechts entfernt – und negative Impulslinks – dazu gegeben – negativen Impuls dazu geben heißt – links wird der Impuls kleiner werden auch im unteren Fall – ist J eins größer als null die heben sich nicht gegenseitig auf – das ist der Effekt – dass sie auf der Diagonalen – also noch Therme stehen bleiben – für ein Gas in seinem makroskopischen – Ruhsystem weiß ich also – da steht nur null da steht nur da und da und nach und da auch noch hier Nullen – und auch noch ihr Nullen – das einzig spannende findet statt auf der Diagonalen – diese drei sind gleich – und hier oben gibt's noch ein – dass sie oben muss ja nach Definition – wieder die Energiedichte – sein hier oben steht also – die Dichte der relativistisch – en masse Malcequadrat – was diese drei hier sind muss man sich Nummer getrennt überlegen – dieser hier – der oberste von den drei grün – sagt wie der X Impuls in X Richtung fließt – wie viel Impuls – geht in der Zeitspanne – T durch die Fläche – L Quadrat durch das System – Pulsänderung – und sie ist eher Quadrat mal C mal – T eins eins – plus eine T steht jetzt für die Zeitspanne und das andere Tee für den Energie-Impuls-Tensor – dieses die Komponente einer Flussdichte – mal die Fläche des Fensters mal die Zeit – gibt die Filter durchfließt – eine Impulsänderung – eine Impulsänderung – pro Zeit – ist aber eine Kraft – L Quadrat mal T eins eins muss also eine Kraft sein – will sagen T eins eins ist eine Kraft pro Fläche – T eins eins ist – der Druck – hier steht also der Druck – so sieht der Energie-Impuls-Tensor – für ein ideales Gas aus in dessen makroskopischen – Ruhesystem – und der seine relativ einfach zu transformieren – wenn man in ein anderes System gehen will – was man hier schon sieht ist das der Energie-Impuls-Tensor – symmetrisches – oberhalb der Diagonalen und unterhalb der Diagonalen steht dasselbe in diesem Fall lauter Nullen besonders einfach aber das gilt allgemein – erst mal rein anschaulich warum musste Energie-Impuls-Tensor – symmetrisch – sein – Komma diese beiden Einträge ahnen warum die gleich sein müssen – der Orange hier gibt die Dichte – des – X Impulses an wie viel – von diesen Impuls – habe ich pro Volumen – der blaue ist die X Flussdichte – der Energie – wie für Energie fließt – in X Richtung – das wäre ja höchst überraschend wenn die beiden nichts miteinander zu tun haben – das einfachste ist das ein einzelnes Teilchen nachzurechnen dass die wirklich übereinstimmen – natürliches ?? mit den richtigen Faktoren C dazu gedichtet – bei den räumlichen Komponenten ist das nicht ganz so offensichtlich – warum die symmetrisch sein müssen – diese grüne Komponente hier ist von dem Y Impuls – die Flussdichte – NZ Richtung – wie viel Y Impuls fließt in Z Richtung – könnte man sich so veranschaulichen – Y Impuls fließt in Z Richtung – unten wird es weniger Y Impuls oben wird es mehr Y Impuls – das violette – ist der Flussfonds – setzt Impuls – in – Y Richtung – Z Impuls fließen Y Richtung also in positiver – Richtung habe ich mehr Z Impuls – in negative – Achsenrichtung – habe ich weniger – Z Impuls – so kann man sich das vorstellen – das führt offensichtlich zu einem Drehmoments – dieser violette Eintrag erzeugt so ein Drehmoment – und der grüne Eintrag – erzeugt – so ein Drehmoment – wenn diese beiden Drehmomente sich nicht aufheben wenn diese beiden Einträge nicht gleich sind entsteht hier ein Drehmoment aus dem Nichts das ist keine gute Idee – zu Komma sich anschaulich – vorstellen – warum der Energie-Impuls-Tensor – symmetrisch sein muss ?? das ist natürlich ziemlich – Hände während – ich für das jetzt mal rechnerisch vor – erst bei der Viererimpuls – eines ausgeschnitten – Stücks Materie – den kriege ich – in dem dich auf Zoom ihre – über die Dichte des Impulses – die Dichte des Impulses – steht aber im Energie-Impuls-Tensor – T alpha – null – an der jeweiligen Stelle X und das stimmt nicht ganz eins durch die Lichtgeschwindigkeit – muss noch davor – so kriege ich den Gesamtimpuls – ein Stückchen – Materie – schreibt das ein bisschen hübscher Komma das ist eine Menge namens groß V – dann integriere ich hier über diese Menge groß V das ist mein Materieklumpen – und X null – die Zeit dass ich fest – analog dazu der Drehimpuls – wieder ein ausgedehntes Stückchen Materie – irgendwo ist der Ursprung – irgendwo gibt's einen Ortsvektor – zu meinem – Stückchen Materie hin und – einen Impulsvektor – der Drehimpuls – ist ja nun ein Tensor – zweiter Stufe – analoge Rechnung einst durch Ce dreifaches integral über das Volumen von diesem Klumpen – D drei X hinten – und hier drinnen steht – Ort mal Impuls – minus vertauschte Rollen – Ortsvektor – X Alpha mal Impulstee – analog zu dem hier Beta null dann abhängig von X zu eng minus – mit vertauschten Rollen X – better HT alpha null – und wieder X null Fest lassen so bestimme ich den Drehimpuls – dieses Klumpen – für den normalen – linearen Impuls habe die Kontinuitätsgleichung – das klappt ja mit dem Energie-Impuls-Tensor – ich nehme T Alpha Beta abgeleitet – nach Wetter der Summe hier drin – und kriege die externe Kraftdichte raus und die ist gefälligst – null sonst entsteht Impuls – und Energie aus dem nicht oder verschwindet ins Nichts – so eine Angleichung will ich jetzt auch für den Drehimpuls – haben – man sieht was denn jetzt die Rolle von diesem Tee spielen muss – hier dieses innen drin muss ich so verallgemeinern – dass hier die Variante mit null steht – aber die Variante mit null – ein Tensor dritter Stufe Alpha Beta Gamma – Grundannahme der X Alpha TE Beta Gamma – minus – mit vertauschten Rollen X better C Alpha – gamma – ich nun eine Kontinuitätsgleichung – hin – wie sieht das aus ähm Alpha Beta Gamma abgeleitet – nach Kammer und summiert analog zu dem – wird das null oder nicht – das Komma jetzt zu Fuß ausrechnen – hier steht ein Produkt ich hatte den ersten ab – Ex Alpha abgeleitet nach Kammer – malt die Beta Gamma – plus den Stehen lassen den zweiten ableiten X alpha – C Beta Gamma abgeleitet nach Komma – dass wir behinderten den ersten ableitenden – minus – X – Wetter abgeleitet nach Kammertee – dazu stehen Alphakammer – und – den Hintern ableiten X better T – Alpha gamma Komma Gammalinie – kennen wir schon C Beta Gamma Komma gamma – das ist die äußere Kraftdichte – wenn es denn eine gibt es nicht geben sollte – und hier unten dasselbe – F Alpha – die Koordinate – Nummer Alpha – partiell ableiten nach der Koordinate Nummer Gamma – mindeste Silbe ist X ?? X arbeiten kommt eins raus wenn es was anderes ist X ?? kommt nur raus hier steht also nichts anderes als Kronecker-Delta – Alpha gamma und hier steht deshalb genauso – Kronecker-Delta – Beta Gamma – von dem bleibt – das Delta pickt das Gamma raus – das gleich Alpha ist hiervon bleibt also nur TE Beta – Alpha – von dem hierbleibt – X alpha – F better – hier liegt das Delta – das Kammer raus was gleich Beta ist also Städter nur noch Alpha – Beta – minus T Alpha Beta und hier haben wir minus – X – better – F alpha – fein das hier hinten ist das Drehmoment – was durch die äußere Kraftdichte erzeugt würde – die soll sowieso nur sein diese Kraftdichte – egal – das hier ist höchst ärgerlich – wenn der Energie-Impuls-Tensor – nicht symmetrisch ist steht hier nicht null – und ich habe ein Drehmoment aus dem Nichts – das ist keine gute Idee – das muss Null sein – das ist der rechnerische Grund warum der Energie-Impuls-Tensor – symmetrisch sein muss – sonst wird Drehimpuls – aus dem Nichts erzeugt oder geht es nicht Zweck