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K01 Ungleichung


CC-BY-NC-SA 3.0

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eineUngleichungwie sie vielleicht auch in der Klausur vorkommen könnteder Betrag von X minus einen Zoll größer sein als X minus zweisucht ist die Lösungsmenge dieser Ungleichungwelche ideellen Zahlen X erfüllen diese ungleiche ??lösen sie die sowie sie möchten aber lösen Sie diese Ungleichungwareneinige Leuteüberlegt noch überhaupt angeht wenn sie keine Idee haben wieder sowas dran geht dann versuchen Sie mal Zahlen einzusetzenwas passiert wenn X gleich fünf ist fünf minus eins vier im Betrag ist größer als fünf minus zwei dreifünf würde zum Beispiel drin seineine Ideehat Zahlen einzusetzen Idee zu kriegen was der Bau passierte andere Ideendiagrammzu machendie Funktion links mal auf zumal die Funktion rechts mal auf zu malen welche Kurven das sinddieauf deraußerdem noch einen anderen malen einseinsXYeinfach ist die Funktion hier auf der rechten Seitewie skizzieren die Funktion auf der rechten Seitegerade mit der Steigung eins einmal X um zwei nach unten verschiebender Epson Achsenabschnitt ist minus zwei wenn sie null einsetzen kriegen sie minus zwei rausminus zwei müssen wir durch die Achsewenn die zwei Einsätzen ist gleich zwei Einsätzenauch null raus also soso wird dierechte Seite aussehenSeitewie können Sie die linke Seite skizzierensie erinnern sich an Kompositionvon Funktionenes ist der Betraginnen drin steht aber nicht XBetragsfunktionwarder Hakenin drin steht aber nicht X sondern X minus einsvon X was abziehen heißt nach rechts verschieben die Betragsfunktioneins nach rechts verschobensosieht das aus das ist die linke Seiteähm wenn sich nicht erinnern ob links oder rechtswenn sie für X eins einsetzen?? das offensichtlich null X gleich eins muss der Scheitel von meinerBetragsfunktionsitzen ?? kommt da null Raussohnesvergleichen sie wo istdierote Funktionüber der grünen Funktion das es gefragt für welche X ist die rote Funktion über der grünen Funktionund sie stellen fest of für alle Xegal welche Sex sie nehmen es ist immer die roteKurveüber der grünenKurveungeradenalso ist die Lösungsmenge zwangsläufigdie Menge der reellen Zahlenübrigens nicht die Menge mit der Menge der reellen Zahlen das war ja ein Beutel und darin steckt ein Beutel von Zahlendie DL Zahlen sind ja schon eine Mengedie Lösungsmenge wäre die Einzeiler wenn es anders schreiben wollen das Offenintervallvonminus unendlich bis plus unendlicheine andere Schreibweisesodas heißt wenn sie den Weg gewählt hättenmeine Skizzen zu machen müssen sofortokay Lösungsmenge sind alle reellen Zahlenalternative Schreibweise hier wenn sie sagenalle ZahlenX Element eherlösen dieungleichen Fahrzeug das im Satz schreiben alle ZahlenX Element eherlösen die UngleichungSternchensoll darüber schreiben sodas man ungleichen böse Sternchenso kann es auch schreibenähmalso weit aufgezeichnet hätte wüsste man sofort was passiertkönnte es auch noch mal nach Schema F machenwas wäre das Rezepthier steht eine stückweisedefinierte Funktionender Betragistdefiniert in dem man sacht UG fürWordzahlab null aufwärts ist der Betrag das was drin steht und für negative Zahl ist der Betrag minus die Zahl drinalternative Definition für den Betrag wäre das mit der Wurzel aus dem Quadrat das geht natürlich auchBetrag ist die Wurzel aus dem Quadrataber ?? vergleichsweiseunschöne Funktionin dieser ungleichen drin würde ich nicht machenalsoder Betrageiner Zahl X soll seindie Zahl X wenndie Zahlnull oder größer ist minus X wenn die Zahlnegativ istder Betrag iststückweise definiert und das ist der Grundriss habe ich jetzt ?? Fallunterscheidunghier brauche wenn ich das ganz normal nach Schema F macheich brauche einmal den Fall des X minus eins größer gleich null ist dann ist der Betrag auf die eine Weise definiert und ich brauche den Fall dass X minus eins kleiner ist als Nulleines der Betrag auf die andere Weise definiertalso habe ich die Ungleichung von oben ist logisch äquivalent zuvergessenX minus Einstand im BetragX minus eins das was im Betrag steht es größer gleich nullund so weiteroder X minus eins ist kleiner nulldas sind mit meine beiden Fälle diese beiden Fälle hierim Betrag steht was ab null aufwärts oder was Negativesaufwärts oder negativin jedem der beiden Fälleund undmuss die Ungleichung geltenBetraggrößer als X minus zweiBetrag aus X minus einsgrößer alsX minus zwei und John genauso X minus eins im Betrag größer als sich zweidas nette ist nundas ich mit meiner Fallunterscheidungden Betrag hier loswerden kannwenn X minus eins größer gleich null ist dann stehtim Betragetwas ab null aufwärts so Wasser gerade gemacht also kann ich den BetragvergessenX minus eins ist diesem Fall eine Zahl größer gleich nullPunkt also könnte Beistrich loswerdenim zweiten Fall steht eine negativeZahl in den Betrag strichen also mache ich aus den Betrag zwischen Klammern und setze ein Minusdavor der Betrag ist minus das was drin stehtwenn sie das sie natürlich ausrechnenminus X plus einshaben sie einsminus X minus minus eins plus eins minus X das heißt man kann aber sagt Edwin von also Mann nieder stehen jeweils das Vorzeichen unsererseinund damit ist der Betrag weg das war der Sinn der Fallunterscheidungweil einige Leutegeradesich Frachten muss ich jetzt auf der linken Seite auch größer nur kleiner nun unterscheidendiese Unterscheidung größer gleich nur kleine null mache ich nur wegen des Betragsnatürlich noch mehr stückweise definierte Funktionen hier meine Ungleichung habewerde ich entsprechend viel mehr Fallunterscheidungnoch machen müssen ?? gibt nur eine einzigeund die werde ich jetzt los durch diese Fallunterscheidungund der Restdürftedürfte dürfte sagt man immer so dürfte keine großeÜberraschung seiner Gruppen KommaX minus eins größer gleich null das heißt X größer gleich einsbeiden Seiten einsortierenundsoihr steht jetzt X minus eins größer X minus zwei das schreibe ich glatt noch mal hin ist noch nicht fertig X minus eins größerX minus zweiwas halten Sie von demHerrnmal an einer Stelle gar die Frage kam der Besitzer blöd das kann ich nicht X auflösensie subtrahieren auf beiden Seiten Xdürfen sie mache mit einer Ungleichungwennzwanzig großes S dreizehnten ein ist auch vierzig größer als elfoder fünf vierzig größer als sechzehndie dürfen auf beiden Seiten einer Ungleichung agierende sehr weit ihre Mutter sindhier suggeriert beiden Seiten X also minus einsgrößer minus zwei?? habe ich jetzt endlich nach X aufgelösthochaberdie sehen was sie haben das es immer war minus eins ist immer größer als minus zweiklein X mehr drin das es eine wahre Aussagealso ist das was hier gestanden hatauch immer warund immer wahr ist in dem undmachen Sie mit einem Ding das immer war es in einem undgenau das können sie Weg streichenX größer gleich eins und außerdem so etwas passieren was immer wahr istkönnen Sie das was immer weiß aus dem und doch einfach weglassen Dinge können Sie ignorierenaber wahr oder falsch und wahrist immer der Wert des vorderenso das war der obere Teil oderX minus eins kleiner nullPunkt hier kann man jetzt tatsächlich danach X auf?? schreibe Komma hin was der Standundeins minus X einsminus X größer X minus zweistand ?? originalwas passiert wenn sie dasnach X auflösenkann den verschiedenen Reihenfolgen machen ich würd lieber als erstes dafür sorgen dass das X auf einer Seite steht und das haben sie wenn sie X addieren auf beiden Seiten dann ist es Linkswegins installieren und rechten Seite an die zweialso eins ist größer als zwei X minus zweiauf beiden Seiten X addiertund jetzt auf beiden Seiten zweiaddieren dann ist die zweirechts weg und links haben wir drei drei ist größer als zwei Xjetzt können Sie durch zwei Zeilenund haben drei halbe ist größer alsXanaddieren subtrahierenauf beiden Seiten eine Ungleichungsollte keine Aktion seinwenn das eine kleines als das andere und sie addieren wasernstes immer noch kleiner als das andere sie subtrahierenwas denn es ist immer noch kleiner als das anderebeim anderen zu bringen ?? nicht schief gehen auf beiden Seiten was ist mit den Teilen hier teile ich durch zweivorherGehäusesgröße?? auf der linken Seite steht was größeres alsrechts ich teile durch zweiokay dann ist dasauf der linken Seite immer noch größer als auf der rechten Seitewelchen Ärger kann ich aber beim Teilen habenalso genau Vorsicht beim Teilen wenn sie durch was Negatives zeitlich nur dürfen sie sowieso nicht haltenwenn sie durch was Negatives teilendurch minus zweiKicker negative Zahlen sehen sie aber auch dann ist es falsch Punkt wenn sie durch was Negatives teilen müssen ?? das Umleitungszeichenumdrehenaus dem größer werden kleiner aus dem größer gleich mit seiner ?? hier kein Problem ich teile durch das positiv sich Teile durch zweiändert das ungleich Anführungszeichen zuVista warnunsollte man die Bein zusammenfassendsehen hier soll ich auch noch sagen X ist kleiner alseinsso die beiden zusammenfassenX ist kleiner als eins undX ist kleiner alsdrei halbewas machen Sie daraus X ist kleiner als eins und X ist kleiner alsdrei halbeLeib X ist kleinerals eins ?? Beistrich dass Norma mit meinenZahlenstrahldiagrammenauf Maleneins und drei halbeX ist kleiner als eins heißtalles bis zu eins aber nicht die einsX ist kleiner alsdrei halbe oder drei halbes größer als X heißt alles bis zu drei halbe aber nicht drei halbedas undsucht alle die beides erfüllen alle Zahlen die hier liegen uns da liegen die Schnittmenge und sie sehen okaydas ist dann bis zur einsohne die einsdass wir das Ergebnis seinzusammen haben wir X ist größer gleich einsoderhier unten X ist kleiner als einsalle Zahlendie größer gleich eins sind oder kleiner als eins sind lösen diese Ungleichungder schöne sind alleBWL Zahlen sind entweder größer gleich eins oder kleiner einsdas ist eine wahre Aussagewas wir schon wusstenaus dem Diagramm diese Ungleichung stimmt immerich soll dir zu dem größer gleich noch was sagen was ich geradeeben gesehen hatte beim umgehenaber wenn Sie diese FallunterscheidungmachenVorsichtbeimBetrag steht hier größer gleichwas im Betrag steht kann ja auch null seinmanchmal ?? Fallunterscheidungwohl hier nun größer und kleiner steht zum Beispiel wenn's ums teilen gehtwenn ich an einer Weg holen will und weiß dass der sowieso nicht null sein kanndannreicht mir das größer?? bei den Betrag ?? und regelt das größer gleichgenau wissen der Definition der Funktion steht nämlichendlich das größer gleich hättendie Vorsitzenden ?? das größer dann zum Schlusswird in die Zahl eins fehlen und sie würden sagen okay alle Zahlen aber nicht die Zahl eins was offensichtlich nicht die richtige Lösung istvorsichtigüber diese feinen Unterschiedeführen schon zubedeutsamen Ergebnissen im Zweifelsfalldie Fallunterscheidung hier ist genau dieselbe wie in meiner Funktion größer gleichkleinereine Alternative wäre dass sie hier oben schreibengrößer und John kleiner gleich denken wir dieselbe Funktion rausminusnull ist gleich plus nullund hier schreiben größer oder kleiner gleich muss dasselbe Resultat werdenist aber eher ungewöhnlichmuss ich sagen ich würde die Betragsfunktiondoch lieber mit größer gleich und kleiner hinschreiben?? ganz manchmal geschickter sein hier um das größer zu haben besonders kleiner gleich zu habendenke ich eher selten an