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06E.1 Gaußsches Eliminationsverfahren am Beispiel; Sonderfälle

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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das – Gaußelimination – sofern ein Beispiel dafür – wenn Sie folgendes Gleichungssystem – haben X plus – Y – minus Z ist gleich – eins – zwei X plus – Y – ist gleich – zwei – und vier X – drei – setzt gleich drei ?? das mal streng lösen ✂ gar nicht so viel Intelligenz in bisschen an der Stelle wirklich strengt das Klaus Eliminationsverfahren – als Mensch sieht man was jetzt geschicktes was ungeschicktes – deshalb kennt sich wirklich vor – sie müssen ein Programm schreiben das tausend Gleichungen mit tausend Unbekannte – vereinzelt – und dann – sehen sie und ?? ihr Programm sieht auf Anhieb nicht was geschickt ist – das muss nach Schema F erst mal geht – ?? noch verbessern dass es nicht ganz viermal weshalb man muss etwas missverstehen wie den Schimmel F durchlaufen könnten wenn sie das als Rezept formulieren – als möglichst einfaches Rezept für eine Maschine die ?? rechnen kann – ?? nicht mit soviel Intelligenz sondern ein möglichst einfache Rezept – dann läuft das Rezept so – bei dem Carsten Eliminationsverfahren – das sagen nehme die erste gleich und versuche mit der ersten Gleichung den loszuwerden – und versuchen mit der ersten Gleichung den loszuwerden – dann steht da schon mal hübschen Unterstützung hübsch nur dann kann ich die zweite Gleichung nehmen – und analog weitermachen mit den gleichen Gedanken folgen versteht denn hier was – das kann ich dann loswerden – und so weiter und so weiter – am Ende des Tages für die Koeffizientenmatrix – aussehen – oberhalb der Diagonalen – steht dann irgendein Unsinn aber unter der Diagonalen stehen auf jeden Fall nur wenn sie das machen die erste Gleichung – wir vorne lauter Nullen hinzu kriegen sie benutzen die zweite Gleichung in der zweiten Spalte – unter der diagonal Laurent neu hinzukriegen und so weiter und so weiter – irgendwann kommen sie dann da an auch bei tausend Gleichungen – tausend Bekannten oder – gar ?? gucken wenn die Zahl der gleichen und kann nichtgleiches – ?? und wenn ich linke Spezialfälle eintreten wird in das Gelingen und das ist dann relativ einfach zu lösen – in der letzten Gleichung bundesweit ablesen – was passiert dann könnte die vorletzte Gleichung und so weiter – nach oben hin lösen – sodass es Eliminationsverfahren – hat zwei Teile im ersten Teil – im ersten Akt sozusagen ?? Theaterstück im ersten Akt fangen sie an Nullen unterhalb der Diagonale zu erzeugen – und erzeugen über nun unterhalb der Diagonalen und im zweiten Teil lösen sie dann von unten – nach oben – bis auf Spezialfälle – sollen ?? gucken – so sieht das normal durch an diesen drei Gleichungen – das strenge Verfahren ohne irgendwas in Intelligenz – übers Programmieren würde ✂ erst mal – kann es also offensichtlich nicht genug betonen – wirklich ein striktes Verfahren so wie man es möglichst einfach programmieren könnte – ?? nicht wie man es selbst als Mensch raffiniert ausführen würde – wir können nicht so gut rechnen – können aber dafür vielleicht Zusammenhänge – erkennen – der Computer kann gut rechnen uns – erst mal nicht so gut Zusammenhänge erkennen – die Hürden des Programmierern – stellt sich das wirklich vor – ganz strikt – was man macht es folgendes man schreibt hier gar nicht mehr die Gleichungen hin sondern schreibt nur die Zahlen in ein X ein Y minus eins setzt – gleich eins das erste Gleichung – zwei X ein Y null Z – gleich zwei zweite Gleichung – wird die Gleichung vier X null Y drei Z – gleich drei hundert diesen Zahlenblock Gewissen was es heißt – X Y Z – zum Zeichen dazwischen ist gleich – wir müssen ja was das heißt – so der erste Schritt ist jetzt – nicht gerne zwei stehen zu haben am Anfang der zweiten Zeile sondern eine Null stehen zu haben – das heißt sie nehmen von der ersten Zeile das Doppelte und ein wir und subtrahieren es von der zweiten Zeile ?? schreibt man mal minus zwei so die erste Zeile mal minus zwei nicht mal Minussetzungen – mal minus zwei so – auf die zweite Zeile addiert – das wird – zu – erste Zeile bleibt eins eins minus eins eins – zweite Zeile ändert sich gleich – dritte Zeile bleibt – vier – null drei – drei – Spalten einhalten zu jetzt man – die erste Gleichung mal zwei auf die zweite Gleichung – hier stand eigentlich mal ein X – mal Minus weisen minus zwei X hier stand mal zwei X die beiden zusammen sind null X das will ich ja gerade davon ?? die null hier stand mal ein Y – minus zwei sind minus zwei Y – das eine Y da – eine Y minus zwölftens ?? ?? siebte minus eins – das überlegt man sich natürlich nicht so sie rechnen direkt mit den Zahlen offensichtlich einmal minus zwei plus eins minus eins – minus eins mal minus zwei plus zwei und dann noch die null drauf bleibt plus zwei – einmal minus zwei sind minus zwei – plus zwei gibt null so davon habe ich die Null stehen – das macht mich schon mal – glücklich das geht jetzt so weiter hier vorne in der dritten Zeile will ich auch null haben als die erste Zeile mal minus vier auf die dritte Zeile – die Zeile Nummer eins bleibt wie sie war – die Zeile Nummer zwei bleibt für sie war – und jetzt in der dritten Zeile – einmal minus vier auf diese vier macht eine null – das Wort erst einmal – minus vier – auf diese Null addieren sind minus vier – minus einmal minus vier sind vier Bus diese drei sind sieben – einmal minus vierzig minus vier großes Ü dreißig minus eins – jetzt geht's weiter mit der zweiten Spalte – ich möchte hier keine minus vier haben sondern ?? null – wie gesagt das Ziel des unter der Diagonalen lauter Nullen zu haben eine obere Dreiecksmatrix – nennt sich das dann die Koeffizientenmatrix – soll eine obere Dreiecksmatrix – sein hier soll eine Null stehen das heißt ich nehme von der zweiten Zeile – das minus vierfache – zwo hundert von der zweiten Zeile – ?? klarmachen – hier vorne steht ja schon in null – aus dem ersten Schritt des ?? kann ich jetzt nicht ?? der zweiten Zeile ein Vielfaches nehme diese null davon nicht kaputtmachen – ist nämlich die zweite Zeile nicht die erste Zeile nehmen würde – durch die nuller vorne kaputt machen das schon geschickt in die zweite Zeile bei dir schon ?? null und baue damit hier null – dann sind wir bei erste Zeile bleibt eins eins mindestens eins zweite Zeile bleibt null eins zwei null und die dritte Zeile – wird – das minus vier V von null auf diese null bleibt nur diese null – ins unten – wird nicht ruiniert – minus eins mal minus vier sind vier auf diese vier gibt null das war das Ziel der Übung – diese zweimal minus vier sind minus acht auf diese sieben addiert ist minus eins – null ?? SIS null – Blatt minus eins stehen – mir circa ?? die Gleichungen wieder hinschreiben – das war also X plus Y minus Z ist gleich eins – unterschiedlichen minus Y plus zwei Z ist gleich null – Y plus zwei Z ist gleich null – und Ionen steht minus Z ist gleich minus eins – Cent ist gleich minus eins das kann man jetzt von unten nach oben lösen im Normalfall – Komma dass von unten nach oben lösen müssen leider meiner Spezialfällen – gucken – sehen Augen das Volk wunderbar hin sind Z ist gleich plus eins von unten anfangen – Z leicht plus eins ist minus Y plus zwei ist gleich null das heißt Y ist gleich zwei – was war das jetzt Y ist gleich zwei Z ist gleich eins – X – plus zwei minus eins ist gleich eins – ist gleich null – also zwei Schritte – der erste Schritt ist – ?? ich forme das nach Schema F so um dieses Gleichungssystem nach Schema F so um das die Koeffizientenmatrix – eine obere Dreiecksmatrix – wird hier aber das erreicht – das ist die Koeffizientenmatrix – ist ein Ober Dreiecksmatrix – ist die diagonale – Behauptung mal ?? und dann arbeite ich von unten nach oben und löse die Gleichungen – das geht auch mit tausend mal tausend Gleichungen und mit einer Million mal eine Million Gleichung das lässt sich relativ einfach programmieren – bis auf die Spezialfälle – der zum klarmachen – offensichtlich muss es schief gehen können – es hat er nicht jedes gleichen System mit drei Gleichungen – und drei Unbekannten auch genau eine Lösung – schreiben Sie mal – an ihren wöchentlich den sie gemacht haben ist jetzt analog sein – wenn sich nach chemisch gemacht haben müssen es auch nie Rechenweg sein an dem Rechenweg um sich man wo könnte denn das jetzt alles schief gegangen sein an welchen Stellen – muss ich vorsichtig sein wenn ich dieses Rezept Programmierer – es kann nicht immer funktionierendes – Rezept weil es gibt Gleichungssystem – mit drei Gleichungen ?? die keine Lösung haben oder unendlich viele Lösungen haben dies Rezept sieht jetzt so aus – als ob ich immer – genau eine Lösung rauskriege hier das kann nicht zu sein – irgendwelchen Stellen muss es schief gehen können ✂ muss – Komma was zur Schreibweise sagen – bevor ich was ?? Spezialfällen – schreiben – wenn sie Lösungsmenge – hinschreiben – dann bitte so die Lösungsmenge – ist ein geordnetes – Triebel – eine Menge Beistrich also die Lösungsmenge ist eine Menge also die Schweiz Klammer zu – ein Beutel in den Beutel ist etwas drin nämlich ein geordnetes triebe – an Punkt in drei dimensional – und der hat die Koordinaten – null zwei – eins – das wäre die offizielle Schreibweise der Lösungsmenge – es ist ein Punkt drin mit den Koordinaten – null zwei eins – in dieser Menge deshalb die schreibt Klammer auf – oder sie schreiben im Wechselgesang – gleichzeitig leicht geht genauso – aber bevor jetzt irgendwelche Freistil Formulierung mit der Lösungsmenge machen – wenn dies als Lösungsmenge schreiben wollen bitte so – erkannte – man könnte sagen ?? ist der Sitz Punkt oder sind das Inspektoren – alternativ – können Sie es aussagen im R drei – des Bundesinspektoren – können es auch Spalte schreiben oder – sagen okay eine Menge mit einem Spaltenvektor – ?? Spaltenvektor – null – zwei eins – je nachdem wie sie den R drei auffassen – als Menge an Punkten oder als Menge an Eckturm mit drei Einträgen – so ?? zurückziehen Spezialfällen – das Problem ist wie sie teilweise gemerkt haben das Teilen durch null – was ich gut funktioniert im allgemeinen – nicht ?? wenn – wenn hier eine Null gestanden hätte – an der Stelle links oben eine Null gestanden hätte – denn hätte ich sonst was machen können mit der ersten Gleichung ich hätte diese zwei nicht Gericht – gesteht ?? einzig kann das Doppelte der ersten Leichen von der zweiten abziehen – in der Runde zwei gestanden hätte – hätte ich die erste Gleichung von der zweiten abgezogen – und der Stunde Null wenn der oben ?? vier gestanden hätte und nicht alles in hier oben statt der eins eine null gestanden hätte er nicht tun können was ich will mit der ersten gleichen ich hätte Di in der zweiten Leichen keine Null erzwingen können muss er den Kern welche von dieser eins bilden sich in vier haben – ein viertel mal zwei – als Vielfaches abziehen – von der Einzeldecke wird gebildet – hinter die Kulissen aber nicht ausdrücklich hingeschrieben wenn eine Null gestanden hätte ?? nicht gut funktioniert nicht dass es eine Stelle anders zum Beispiel schief gegangen – sein könnte – ?? andere Stelle wäre – folgende – wenn ich hier – die minus vier weg haben will – in deinen nur gestanden hätte – nicht mehr minus eins sondern nur bestanden hätte ihm ein Vielfaches der zweiten Zeile – an die das auf die dritte Zeile um die minus vier wegzubekommen – wenn eine nur gestanden hätte wenn sie die minus wird niemals wegbekommen – das ist der Ärger beim ?? Eliminationsverfahren – sie können zufällig – sozusagen Nullen an den falschen Stellen haben und dann müssen sie aufpassen – insbesondere in der man das programmiert es das bisschen heikel – wird es nicht nur vielleicht ist es einfach nur zehn hoch minus zweiundvierzig – das natürlich genauso gefährlich – das heißt man muss ins untere Schranke haben – wir den Betrag – dieser Zahl – ihren jeweils der verrechnet wird – der Mann sagt sodass mir es aber zu heikel das ist mir zu dicht an null beteiligt nicht durch und dann muss man anders vorgehen – also wenn sie das das ?? programmieren sollten – sollten sich der programmieren ?? Bibliothek nehmen – zu gefährlich – wenn sie selbst programmieren sollten müssen sie drauf achten sind diese Zahlen ja an diesen Stellen sind die zu dicht bei null Betrag – was kann man tun wenn die zu dicht bei null sind in Betracht wie kann man sich raus lügen ✂ zur – Spalten vertauschen oder Zahlen vertauschen – wenn so etwas passiert eine überraschende null da muss man sehr möglichst einfaches Verfahren ausdenken wie man Spalten und Zeilen vertauschen kann wenn jene nur gestanden hätte in der zweiten Zeile – sicher sagen können Punkt nehme einfach statt der zweiten Gleichung die dritte Gleichung nach oben ich vertauschte – diese beiden Gleichungen – dann wäre die null nach unten rutscht ?? sogar schon fertig an der Stelle aus man vertauschte Gleichungen – oder man stellt die Unbekannten um und vertauscht spalten – das du dem gleichen System ja auch nichts an es ist dann nur wenn man es programmiert – die Schwierigkeit das uns als mitfliegen muss dass es Y jetzt ein ZS und das SZ ein Y ist aber von der oppositionellen – Herz das keine Aktion also wenn immer – komische Nullen auftretenden Stellen an denen sie nicht auftreten sollen fängt man an Spalten zu vertauschen sein zu vertauschen – was das Programmieren etwas eklig macht es sicherer machen und es kann ihm passieren – dass – all dieses vertauschen – keinen Erfolg hat das da weiterhin die Null steht weil in den Spalten ?? rein tauschen oder teilen Sie ?? die sie rein tauschen auch lauter Nullen stehen und dann kriegen sie eben den Fall – dass es keine Lösung gibt oder unendlich viele Lösungen gibt – so das es der Problem Punkt eins – schief gehen kann Nullen an unerwarteten Stellen – gibt es dieses – Gleichungssystem – was ich da habe aber – sehr speziell inwiefern ist das speziell und was könnte jetzt auch noch passieren lassen Eliminationsverfahren ✂ also – dieses vergleichen Systeme genauso viel Gleichungen die Unbekannten – der Normalfall ist es genau eine Lösung hat wenn die Zahl der Gleichungen die Zahl der Unbekannten nicht identisch ist dann erwarte ich dass das nicht der Fall ist ?? aber ich versuch das also nur bisschen mehr aufzuschreiben – ?? Sonderfälle – erster möglicher – Sonderfall – eine null an – störender Stelle was ich eben erzählt habe – und dann versucht man Spalten oder Zeilen – zu vertauschen – heißt nicht das es zum Erfolg führt – aber es wird oft zum Erfolg – wenn die Zahlen vertauschen – vertauschen sie Gleichungen das es relativ einfach ?? Spalten vertauschen vertauschen sie unbekannte Damm sind bisschen aufpassen das sie zum Schluss auch die Unbekannten wieder umbenennen – wenn sie die – Gibson Spaltung DZ Spalte vertauschen das sie dann zum Schluss auch – sich erinnern dass sie statt Z Y ausgerechnet haben ?? Y Z ausgerechnet haben Punkt das kann man mit diesem System machen – man kann versuchen die softe vertauschen und durch möglichst große Zahl teilt – jetzt nicht übertreiben – sowas wird dann typischerweise auch tatsächlich ?? programmiert – und der zweite Sonderfall – oder die zweite Art an Sonderfällen ist das die Zahl der Gleichungen nicht gleich der Zahl der Unbekannten ist das ganze Eliminationsverfahren – kann damit umgehen – aber es ist Handarbeit etwas überraschend – zahlt der GM schreibe ich einfach ungleich Zahl der – Unbekannten – was passiert denn wenn sie zum Beispiel – normal – drei Gleichungen – vier unbekannte – drei Gleichungen – vier unbekannte – Mann sich das Grab mathematisch auf was geht denn da wie schief bei drei Gleichungen vier Unbekannten dann kriegen sie nicht genau eine Lösung – wenn sie das Eliminationsverfahren ✂ durchziehen – nach Schema F – ?? – Maximalfingemate – das Aussehen ?? starte mit so einem gleichen System sonst immer Explosion zu Firma Y plus soundsoviel Mark Z Person zu Firma W ist gleich soundsoviel – drei Gleichungen von dieser Art – und so weiter und so weiter – und jetzt wird umgeformt – mit diesem ersten Teil des tausend Eliminationsverfahren – das man obere Dreiecksmatrix – Gericht okay wir kriegen eine Ober Dreiecksmatrix – also irgendwas – mal X – muss irgendwas mit Y plus irgendwas mal Z plus irgendwas mal W ist gleich irgendwas – in der zweiten Leichen steht dann der vorne einen null – null X ?? null X statt Nullen sowas klarer Schluss – irgendwas war Y Fluss – irgendwas Walls Z plus irgendwas mal wie – irgendwas – in der dritten Gleichung steht eine null und da eine Null – und bei DZ steht noch irgendwas bei dem besteht noch irgendwas – das passiert nach dem ersten Teil des Garten Eliminationsverfahren – sie haben – eine – obere Dreiecksmatrix – erzeugt – wenn sie bisher gebastelt haben vielleicht zufällig auftretenden – Nullen – aber – im Regelfall wird das gradlinig durchlaufen – das wird der erste Teil sein – Witz im zweiten Teil ist rückwärts zu lösen dann sehen sie und nahm sie eine Gleichung mit Z und W wird keine eindeutige Lösung sie können Z frei wählen oder wie Freiwerden – der Form halber wie man typischerweise – Fee als frei wählbar – hinschreiben – wähle ein Reh aus den reellen Zahlen – und dann wähle Z gleich soundsoviel mal W plus soundsoviel – ?? lösen die unter ?? auf nach Z – Viva frei wählbar Z haben sie angegeben wie es aus wem zu bestimmen ist und folgt aus der zweiten Leichen Y jetzt aus wie zu bestimmen ist – und in dem die Uhr die Obergleichung H fehlerfrei – wählbar Z haben sie aus W bestimmt Y Künstlers wie bestimmen können Sie mit hoher gleichen sein wie sie X aus B bestimmen – also – auch Wegsauswüchse – soundsoviel mal leblos irgendwas – keine eindeutige Lösung – das ist der Regelfall – dass sie hier keine eindeutige Lösung haben es könnte aber auch passieren dass sie gar keine Lösung haben wie könnte es bei dieser Sorte ein Gleichungssystem ✂ passieren dass sie gar keine Lösung haben – so – in der letzten Gleichung also null – null und rechts seine sozusagen wichtige Zahl dann Hansen Widerspruch – stellt sich vor hier stünde sozusagen zufällig eine nur darstellende zufällig eine null schon wieder diese zufälligen Nullen und da stünde nicht Null sondern hier stünde drei zwanzig natürlich hundert zweiundvierzig – in sie ein Widerspruch – kann passieren – wird normalerweise – nicht passieren dass da zwei null stehen ist ein bisschen komisch – aber es kann passieren – Punkt in der letzten Zeit wie ein Widerspruch – konstruiert und das ganze System ist nicht lösbar – normalerweise – wird es lösbar sein aber nicht eindeutig lösbar sein – können wie Freiwerden – Z frei wählen und dann alles mit W oder Z ausdrücken – ?? wenn sie dazu viele Nullen haben – und auf der rechten Seite keine null dann am Sinnproblem – ist ?? noch weitertreibt ?? auf der rechten Seite stünde auch noch ?? null was würde das denn bedeuten ?? null Z plus null W gleich ✂ null was will uns das sagen – das – ?? wieder normal hin wenn die letzte Gleichung sowas wäre – oder ganz zufällig schreibe ich mal – ganz zufällig – könnte der letzten Gleichung verstehen null mal selbst plus null mal W ist gleich null ✂ was lerne ich daraus – so das heißt für Z ist alles möglich und für sie ist alles möglich – im Regelfall – steht hier sowas wie siebenmal – Z plus dreizehn – mal W – dann kann man sagen werde W frei – und dann kann DZ aus wie berechnen oder umgekehrt – das ist der Normalfall – und bindet sie zufällig Nullen auftreten – passiert jeder Blödsinn insbesondere kann dieser Blödsinn – passieren dass der null Z plus null wie steht das heißt die können wir irgendwie wählen und Z irgendwie fehlt ja noch ?? Wildcard mehr gewonnen – kann man sich überlegen was das für ?? und Defekt vielleicht zu bedeuten hat wenn er zwei Nullen stehen