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16A.2 Cosinus vom Arcuscosinus und umgekehrt, Mehrdeutigkeiten bei den Winkelfunktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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folgendeetwas schräge Aufgabe zwei Funktionenskizzierennämlich einmal X wird abgebildetaufden KosinusvomArgus Kosinusvon Xeinmal die?? und einmal diese hierandersrumX wird abgebildet auf den Arcus KosinusvomKosinus von XHautmuss ich unnormalsagen wie denn der Argus Kosinus aussiehtman startet mit demKosinuskranY Achsestartet mit dem Kosinusbei zwei FiAlphaKosinuskurvedie natürliche weiterliebe ich auf der Höhe eins dabei minus einsund hier finde ich bei ??PiITdie Funktion ist nichtUmkehr war der Kursus ist nicht umkehrbarder Sinus unter dankend sind alle nicht umkehrbarinsbesondere deswegen nicht umkehrbar weiß periodische Funktionen sind derselbe Funktionswertkommt ja unendlich oft vorkommt sogar noch häufiger vorgesehen auf der Sand habe ich den sogar noch mal da sie noch maldas heißt keine Chance das kann keine unumkehrbar Funktion sei diese Funktion istnicht objektiv der Kosinus ist nicht in negative Sinus auch nicht in der damit auch nicht weil dieselben Funktionswertedieselben Y Wertemehrfach angenommen werdenman lügt sich rausin die man nicht die gesamteKosinus Funktion nimmt zu umkehren sondern nur einen Teilim Kosinus diesen Teil ihrvon null bis hundert achtzig Gradich blicke mir nur den Teil raus und kehre den umdas übliche Phänomen spiegeln an derWinkelhalbierendeheißt jadie Umkehrfunktionzu bildenfliege also eine Kurve dieBrust überlegen die muss hier startenDurchgang hier ist etwa bei eins Komma fünf bis etwa drei hier bin ich bei eins Komma fünf das muss hierhin gespiegelt werdenhier muss die eins Komma fünf seindas hieretwasgründlich geworden sowiedas hier wird die Kurve werden vomArgusKosinusder Argus Kosinusgibt mir den ersten sinnvollen Kosinus Wert zurücksie sagenwas denn aus dem Kosinus rauskommen sollder Akku Kosinusgibt in den ersten zurück das ist ein bisschen ungeschickt ich nehme an negativen Wert ?? ich möchte zum Beispiel wissenfür welchen Winkel ist der Kosinus minus ein halbwelchen Winkel kommt minus ein halb aus dem Kosinus rausder Argus Kosinus wird in den Winkel ?? liefern den ersten Winkel bei dem der Kosinus minus ein halb wirdwie die nicht den liefern wir die nicht ähnlich den LIEFERN ?? bieten auch keinennegativenLIEFERN das ist der Job vom Argus Kosinusdie Kurve dann bautsie nämlich rote Stückchen von der Kosinuskurveund spiegeln das an der Winkelhalbierendesind nicht ganz so gelungendas gibt dann dieKurve den Grafen vom Argus Kosinusso nach dieser Vormerkung zurückzur Aufgabewas istwenn ich Lieferkettewieder mal die Verkettung die Komposition von Funktionen was passiert wenn ich die verkehrteentweder eine weitere Verkettungund nicht nur was über den Arcus Kosinus was ist wenn ich erst in Argus Kosinus ausrichten und dann den Kosinuswas ist wenn ich umgekehrterst in Kosinus ausrechnenund dann den Arcus Kosinuswie werden die Kurven die Graphen aussehenin der einen Reihenfolge in der anderen Reihenfolge hier noch malKosinus und Arcus Kosinussehr wesentliche Bemerkung was geht denn überhaupt auf der x-Achsewenn sich die oberen hier anguckenwas auch immer als X hier rein kommtdas muss vom Argus Kosinus verdaut werden sonst gibt's was auf die Fingerder Definitionsbereichdieser Funktion hier oben kann maximalder von Markus Kosinus sein der Argus Kosinus meist muss man X verdauen könnenmit sich angucken was der Argus Kosinus verdauen kanndass hier keine Argus Kosinus verdauendie Werte die aus dem Kosinus rauskommenmüsste der Witz bei Markus Kosinusdas was aus dem Kosinus rauskommtmusste Arcus Kosinus verdauen den Bereich von minus eins bis eins das ist der Bereich von minus eins bis einsdas ist der Definitionsbereichvom Argus Kosinusdamit das X eingesetzt werden darf damit höchstens aus diesem Bereich seinIntervall von minus eins bis einsabgeschlossenund dann ist die Welt in Ordnung aus Markus Kosinus konnten irgendwie rauswie kann ich in den Kosinus einsetzenund es wird was passiertdas heißt wenn sie das Plattengangsowie Platzauf der x-Achse brauchen Sie nur die Strecke von minus einseins alles andere sowieso verbotenund Kommaweiter nachdenkenokay wenn ich hier mitnull reingehenArcus Kosinusvon nullbeantworte also die Frage für welchen Winkel der Kosinus null wirdfür welchen Winkel auf diesem roten Bereich der Kosinus null wirdneunzig Graddie halbealso wenn ich hier null Einsätze ist der Arcus Kosinusdie neunzig Grad oder die halbeund dann will ich den Kosinus davon von mein neues Radlobby halbe?? wieder nur raus damitals ich setze null ein und kriege nur raus damit Punkt da in der Mittedas muss natürlich so weitergehender Argus Kosinus sagt zu meinem X einen Winkel an ?? für das der Kosinusdieses Ergebnis hatdann rechtlich den Kosinus ausdas ist doch so wiedas mit dem Logarithmus und der E Funktion der Lunge Rhythmus sagt an was sich in die Funktion als Exponent einsetzen mussdamit genau das wieder rauskommt was sich im Rhythmus stehen habe genau das passiert hier oben in dieser Situationder Argus Kosinussagt mir welchen Winkel ich denn in den Kosinus einsetzen kannein von vielen welchen wirklich einsetzen kann damit das X rauskommtund er lädt sich den Winkel in den Kosinus ein da muss ich mich auch nicht wundern wenn es X heraus kommt das Ding hier oben ist schlicht und ergreifend gleich X Kosinus von Argus Kosinus ist nichts anders als X aber mit diesem eingeschränkten Definitionsbereichich darf nur Zahlen von minus eins bis eins einsetzen sonstgibt mir der Argus Kosinus I was auf die Finger der Argus Kosinus verarbeitet nur das Verfassen Kosinus rauskommen könntealso nur diesen Bereich vonminus eins bis eins das ist das hier die grüne Kurve der unsauber gezeigte grüne Kurve auf der x-Achse hat der Bereich von minus eins bis eins das darf ich in den Arcus groß einsetzenerster Teildas insofern einfach der Argus Kosinus liefert mir einen Winkelfür den der großes X istein von vier unendlich vielen Winkeln wird in der Kosinus klein X ist billig den Kosinus?? natürlich X raus schlicht und ergreifend dasder nächsteist Nummer heftigeraber ist das Manesse oben soweit einleuchtendokay das ist der erste Teil hier beim zweiten Teilabsetzenbeim zweiten Teil muss man ein bisschen vorsichtigerseinnunüberlegen sich leicht dass man den Definitionsbereichfür den zweiten Teil was darf ich hier ein X einsetzenund ich kann sie schon auf vorwarnenes wird irgendein Blödsinn passieren so leicht wird es nicht werdender Definitionsbereichder KosinusFrist jede reelle Zahlin den Kosinus können Sie einsetzen was sie wollen an reellen Zahlen negativ positiv dreißig war das Millionenminus vierzig fantastische und egal der Kosinus nimmt jede reelle Zahl Xkommt hier innen drinnendas raus was aus dem Kosinus eben rauskommtZahlen von minus eins bis eins einschließlich der Grenzen ?? kommen wir in Hausund okay egal welche dieser Zahlen das war der Argus Kosinuswitz fressenArgus Kosinus bearbeitet Zahlen von minus eins bis einsbefasst es kann nichts schiefgehender Definitionsbereichdie Definitionsmengeist komplett die Menge der reellen ZahlenSinn ergibt erscheint schon ein Unterschied zu der anderen Richtungder Kosinus hat als Definitionsbereichdie Menge der reellen Zahlenund liefert Wertevon minus eins bis plus eins der Arcus Kosinus verdaut Zahlen von minus eins plus eins überhaupt kein Problem DefinitionsmengeQuelle zahlenwas hier rauskommtkann aber nicht diese Funktion seindas vor so hiertausendtausendtausendminus tausend minus tausend?? das kanns nicht seinWahrungeinfacher Grund warum es nicht das einfach sein kann ich aber wieder X sein kannwas steht dem entgegenwas aus dem Arcus Kosinus rauskommtdas läuft nicht von minus unendlich bis plus unendlich der Arcus Kosinus liefert solche Werte nichtwir wissen was der Arcus Kosinus liefert der Argus Kosinus liefert Werte von null bis Pi was sie auf der x-Achsevorkommt?? der rote Bereich von Kosinus umgekehrtalso liefert der Arguskursuswertevon null bis Pimit sich dieses Diagramm hier anguckenkann nicht sein weil ich Werte weit über Pi und Werte unter null habe das kann nicht sein das Kind niemals aus dem Argus Kosinus raus der Argus Kosinus macht nur Werte von null bis Beatalso weiß ich jetzt schonegal wie schlimm diese Kurve aussieht??sie kann auf der y-Achse nur von null bis Pi leben ummalmeistensKlammer auf von null bis Piwas man so wie es Fideinullzwei P teils bei Pi und hier ist minus Pialso auf der x-Achse ist alles erlaubt jeder XL ist erlaubtund ich weiß jetzt schon was auf der y-Achse rauskommenkann ist höchstensder Bereich von null bis Pi die Kurve musshier liegen und nirgendwo andersdas kann nichtgleich X seinmüsste hier ausbrechendas muss raffinierter sein als einfach gleich Xjetzt aber noch mal der Arcus Kosinusliefert nur Werte von null bis Pi nur Werte die ich in den Kosinus von null bis Pi nur bis hundert achtzig Grad eingesetzt hättenur von null bis achtzig Grad Kompass aus dem Arcus Kosinus aus der Argus Kosinus die letzte Funktiondas heißthier kann niemalswas auch immer fünf rauskommen oder minus zwanzig rauskommen bei der Argus Kosinus zuletzt angewendet wirdes können nur Werte von null bis drei Komma noch was rauskommenbis dahin ist man schon und weiß es aus und komme nur in dem die Funktion?? Korridor in die Funktion leben muss in dem der Graf leben muss?? weiter darüber nach wie das denn aussehen kann?? ein paar Beispielwertedurch Rechnungzu verstehen was da passiertwenn ich null Einsätzeder Kosinusvon nullbis eins der Kosinus von null ?? einsund jetzt möchte ich vom Argus Kosinus wissenwas setzt sich zwischen null und hundert achtzig Grad eindamit der Kosinus gleich eins wirdnull okay das war jetzt nicht so überraschendnurfürden hierPiwenn ich hier Pi Einsätzeder Kosinus von Pi sie sehen auch minus eins aus dem Kosinus kommt minus eins raus für Piund nun frage ich den Arcus Kosinusgib mir noch mal einen Winkel zwischennull Gradund hundert achtzig Grad für den der Kosinusminus eins isthundert achtzig Grad Pibekommt hierausund offensichtlichfür alle dazwischen?? die halbeKanne nicht schief gehen wenn sie ihr Pi halber haben Kosinus von Pi halber wird nullArcus Kosinus soll mir sagenwo auf diesem Bereich der Kosinus null wird bald die halbedie halbe eingesetztensie die halbe rausdas Gewicht bei allen Winkeln zwischen hundert achtzig Grad sobis dahin keine Überraschungkommt die Überraschung wies weitergeht ??es kann ja nicht geradlinig weitergehende serbischen Garten vorgeführtwird ist höchstensPies kann nicht mehr als die werden also das hier ist verbotenhabenPunkt oder einfach mal hier das fern?? die ??zwei habe die vier ?? die drei ?? die ich guck mir an was bei drei habe die passiertdrei halbedieihrder Kosinusist nullwelche Antwort gibt mir jetzt der Argus Kosinusder Arcus Kosinussagt mir für welchenWinkel zwischen null und die zwischen null und hundert achtzig Grad der Kosinus gleich null istdie halbe?? kann mir nicht ?? dahinter liefen liefern denn im Winter vorne Pi halber also für den herkömmlichenPi halbe rausinteressant interessantwar Kommanahmund nun gucken wir mal hier bei zwei Piich setze zwei Pi ein?? den Kosinus von zwei Pi das ist einsund nun frage ich denArcus KosinusArcus Kosinus von einsfür welchenWinkel zwischen null und hundert achtzig Grad kommteins aus dem Kosinus raus null liefert mir nicht in der hinten drei hundert sechzigsten in den vier nullund wenn Sie das ein bisschen weitermachen ist auch nicht klar wie das jetzt zu überlegen wäre kriegen sie das rausund eine Zwischenpositionpassiert auch genau das was eine Zwischenpositionpassieren sollso eine Welle kommt raus eine Dreieckswellewenn die sichallerdings periodischmit der Periode zwei Piaber Dreiecks förmlichan Zeit normal erklären diese Kuchenform zustande kommtinnen drin steht hier der Kosinusin den steht ja der Kosinusaußen steht der Arcus Kosinusdiese Kurve hier muss die Symmetrie vom Kosinus erbensich die Symmetrie vom Kosinus anguckenergeht runter und dann wieder genauso wieder rauf und dann wieder runter und dann wieder genauso wieder raufund das schieben sie durch diese grüne Kurve durchrunter rauf runter raufdiese grüne Kurve kehrt das umwasrunter war wir drauf und was rauf verwirrt runter dieser Flanke runterwird danach ?? Flanke rauf diese Flanke genau rückwärts exakt symmetrisch Rückwärtsmusterdeshalb die Flanke genau ?? wird seine ?? eben hattendiesemuss aussehen wie die erste Flankenach vornediese muss aussehen wie die zweite Flankeund so weiter das wird passierenalso ganz anders als man das vonder E Funktion und den natürlichen Rhythmus kenntdie hoch natürlichen Rhythmusist Xund umgekehrt also ?? eh hoch in den Xist X und Ellen von E ?? X ist X ohne wenn und aber vorsichtig sein das Wiki keine negative ?? circa null einsetzen?? das sind wirklich Funktionen Umkehrfunktionist die Umkehrfunktionzum natürlichen Rhythmus der natürliche Rhythmus ist in der Funktion zu Ebei dem Ding kommt wieder X rausund das sie sind keine echten Umkehrfunktionder Kosinus verliert Informationbeim Kosinus wissen sie nicht mehr was ein Winkel zwischennull und Pioder war es ein Winkel zwischen von mir aus zwei Pi und drei Pi oder ein Winkel zwischen drei Pi und vier Pi der Kursus ist vergessliche Funktiondas heißt wenn der Kosinus hier innen stehthabe ich hier Informationweggeschmissenhier kann nicht mehr das rauskommen was mich mal erwartet war nicht mehr die gerade Epson gleich X die ganz Nichtseindas sind so die Ärgernisse die mir mit den Arcus Funktionen hat bei Markus Sinus ähnlich bei Markus Tangens sieht noch schlimmer ausdas immer im Hinterkopf behaltender Kosinus vom Argus Kosinus entsprechen bei den anderen ist immer das was sie eingesetzt habenPunkt aber wenn die üblichen trigonometrisch Fusionen innen stehenund der Arcusaußen steht anhand seines Problemkriegen niemals den kompletten Winkel wieder das schafft Arcus Kosinus der Kosinus derArcus dann jetzt die schaffen das nicht Winkel wieder zu kriegendie Mini Idee aber nicht alles