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Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, nochmals Geodäten

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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wir wissen nun dass die Raumzeit – in sich gekrümmt sein muss – und suchen ein mathematisches Modell dafür – das – Modell der Wahl nennt sich differenziert bare Mannigfaltigkeit – differenzierbar – weil wir Ableitungen bilden können – ein billiges Beispiel einer differenzierteren Mannigfaltigkeit – ist hier so ein fliegender Teppich eine gekrümmte Fläche – das wäre eine zweidimensionale – differenzierbar Mannigfaltigkeit – die hat zwei Dimensionen – eine Ameise ja auf der Oberfläche – kann ein zwei dimensionales – Koordinatensystem – auf die Oberfläche mein Lokal zumindest – diese Idee benutzt man zur mathematischen Definition – ich möchte das zumindest kleine Teile – dieser Mannigfaltigkeit – sich plattbiegen – lassen – wie gesagt die soll zweidimensional – sein hier als gekrümmte Fläche – ich möchte dass sie sich in eine Ebene zweidimensionale – Fläche – biegen lassen – Beistrich hier gibt es weit zum Beispiel – ein Stückchen – reicht so – das ich so – plattbiegen lässt – es gibt also eine Abbildung – von einem Teil der Mannigfaltigkeit – auf zum Beispiel ein plattes Rechteck – so eine Abbildung nennt sich – nicht sehr überraschenderweise – ?? Karte – diese Karte nämlich im mal groß Fi – das funktioniert wie eine ganz normale Landkarte – wieder Punkt hier – soll genau ein Punkt hier auf der Karte entsprechen – und umgekehrt jeder Punkt auf der Karte genau einem Punkt auf der Mannigfaltigkeit – und das ganze auch stetig – wenn hier – einen kleinen Weg habe – auf der Mannigfaltigkeit – hätte ich gerne – auch einen Weg in der Karte und nicht zwei – zerstückelte – Teile – oder Staub – und umgekehrt in beide Richtungen – für eine zwei dimensionale Mannigfaltigkeit – ist die Karte zweidimensional – später wird sie dann natürlich vierdimensional – für die vier dimensionale Raumzeit – wenn ich eine weitere Karte habe – deren Bereich sich mit der ersten Karte überlappt – Denver die mal Karte – groß Psi – wenn die ein Überlappungsbereich – mit der ersten Karte hat – habe ich also einen Ausschnitt hier in der ersten Karte – der in der zweiten vorkommt – und einen Ausschnitt der zweiten Karte – der in der ersten vorkommt – diese beiden Ausschnitte hier die muss ich jetzt auch wieder eins zu eins miteinander – identifizieren – können ?? ein Punkt hier muss ein bestimmter Punkt – auf der Mannigfaltigkeit – sein – muss ein bestimmter Punkt hier sein – und umgekehrt – der Bahlsen Abbildung zwischen diesen beiden gemeinsamen Stückchen – ich gehe die Karte Vieh – rückwärts – wie hoch minus eins – zur Mannigfaltigkeit – und dann wendig Psi an und lande hier – diese Abbildung ist jetzt also eine Abbildung – von einer Teilmenge des R zwei – auf eine Teilmenge des R zwei – ein eindeutig – und – das macht jetzt den Begriff differenzierbar – Mannigfaltigkeit – aus – die soll so oft differenzierbar sein wie es nötig ist – das ist die Grundidee hinter Mannigfaltigkeit – lokal – muss ich sie plattbiegen – können – natürlich wird sich dabei alles möglich verzerren – aber ich muss sie eins zu eins stetig Blatt biegen können – und wenn ich Karten habe die dasselbe Gebiet abdecken dann muss der Wechsel zwischen den Karten – differenzierbar sein – es habe ich hier so schön – eine gekrümmte Oberfläche hin gemalt – hier diese gekrümmte Fläche lebt im R drei – offensichtlich – wo soll denn die Raumzeit leben ich habe so eine Einbettung – nicht – diese Einbettung ist nicht Bestandteil von dem Begriff Mannigfaltigkeit – mal so eine Einbettung hat Redmond von unter Mannigfaltigkeit – ?? – damit aber in der Physik für die Raumzeit – zumindest erst mal keine solche Einbettung – müssen die Einbettung vergessen – dann handwerklich als den Begriff der Mannigfaltigkeit – es gibt eine Menge von Punkten – einfach nur eine Menge an Punkten – ich habe Karten – die die Mannigfaltigkeit – abdecken – und da wo die Karten gemeinsame Gebiete haben – ist der Kartenwechsel – ein eindeutig – objektiv – und hinreichend auf differenzierbar – aber ich weiß nicht wie das Ding wirklich aussieht – ich habe keine Einbettung – für die Begriffe die gleich noch kommen malig auch – meist erst so eine Einbettung hin und werde dann die Einbettung wieder vergessen – diese Einbettung hat man erst ?? gute Idee was man denn da eigentlich tut aber der Trick ist dann diese Einbettung zu vergessen ist ohne die Einbettung zu machen – nicht eine Kurve innerhalb der Mannigfaltigkeit – habe – ?? hier ist der Kurvenparameter – minus eins – sank ?? hier ist er null – sagen wir hier ist er eins – nicht so eine Kurve habe – kann ich nach dem Parameter ableiten an dieser Stelle es gleich null – und kriege ein Geschwindigkeitsvektor – der Geschwindigkeitsvektor – ist ein Tangentialvektor – ?? ist an dieser Stelle tangential – zu meiner gekrümmten Fläche – mit den Fälligkeitsdatum – mal V – ohne Vektorfall – ich fand die gar nicht mit weggefallen an und für das ganz konfus ich mach das mal nach Art der Mathematiker – ohne Vektorpfeile – jetzt überlege ich mir wie ich den ausdrücken kann was so ein Tangentialvektor – ist – ohne dass sich diese Einbettung habe – das System mathematische Herausforderung – Schweiß von der Raumzeit nachher nicht ob und wie sie irgendwie eingebettet ist ich hab mich schon schönes Bild aber trotzdem sagen was denn der Initialvektoren – sein soll – ich muss also über eine Karte gehen – ?? die Karte Großvieh – lebt hier in der Umgebung – kann ich meine Kurve ja auch in der Karte einzeichnen – das hier wäre Punkt der – es gleich minus eins entspricht – dieser Punkt hier würde es gleich Null entsprechen – und dieser Punkt hier würde es gleich eins entsprechen – ihr mich meine Bahn in Koordinaten – gegeben – sein wir mal es wird abgebildet – auf – X – von es wenn – in diesem System hier seine Karte hatte ein Koordinatensystem – wenn dieses System hier einfach X heißt – meine Kurve beschreiben in diesem Koordinatensystem – der Karte – und versuche jetzt was über VO den Tangentialvektor – rauszukriegen – dazu bin ich meine Kurve – mit der Karte – den inversen Descartes ich muss ja andersrum – auf die Mannigfaltigkeit – also sowas wie Vieh hoch minus eins – von der Kurve – und nun interessiert mich der Geschwindigkeitsvektor – also dieses ableiten nach dem Parameter – an der Stelle es gleich Null – so bekomme ich mein der Initialvektor – jetzt kann ich hier aber die mehrdimensionale – Kettenregel anwenden oder – was dasselbe ist das totale Differenzial anwenden eine Funktion einer Funktion – ableiten – das macht – ich leite meine Funktion – vier minus eins – nach der Koordinate Nummer K ab – an dieser Stelle X von null – und leitet die Karte Koordinate – von X – der Bahn – das manche zieh mit diesem X nach SAP an der Stelle es gleich null konsumiere über alle K – das wäre diese Ableitung hier auf getröstet indem ich über meine Koordinaten – X KG – die Koordinaten – dieser Karte – diese beiden Termine haben lustigerweise – eine anschauliche Bedeutung – gucken uns den ersten an – der erste sagt was passiert wenn ich ein Stückchen in Richtung X K gehe – in den X Koordinaten – gehe ich ein Stückchen in Richtung X kann zum Beispiel – in Richtung X eins – was passiert wenn ich ein Stückchen in Richtung X eins gehe – dann kriege ich ein Tangentialvektor – der diesem hier entspricht – wenn ich ein Stückchen in Richtung X zwei gehen – zwei Koordinaten – München Stücken in Richtung X zwei gehe – ich ein Tangentialvektor – der eben lokal – diesem X zwei entspricht – hier vorne steht – eine Basis – für – die gesamte Tangentialebene – oder allgemein gesagt für den Tangentialraum – bei der zwei dimensionalen – Mannigfaltigkeit – ist es eine Tangentialebene – wir haben danach vier Dimensionen – der Nissan vierdimensional – ?? Tangentialraum – dieses Kar – durchläuft – die Werte null eins zwei drei statt hier eins und zwei – ?? Elemente so einer Basis hatten schon Bezeichnungen – E und K so wies das seinerzeit – bei den Sensoren in der speziellen Relativitätstheorie – habe ich hier so eine Summe – ein Weg zur – Basisvektor – mal – eine Zahl – X K ist eine Zahl abgeleitet nach einer Zahl ist eine Zahl – somit über alle K das hier sind – Komponenten – in den ich einfach mal V oben K – Komponenten – eines Contravarianten – Victors – summiert über K – Basisvektor – mal – Komponente – den Vektor – eine der möglichen Tricks um jetzt diese Einbettung zu vergessen – ist – das ich mir nur diese Komponenten hier angucke – und mir angucke wie die sich transformieren – sowas hatten wir auch bei den Zensoren in der speziellen Relativitätstheorie – wie transformieren sich die Komponenten eines Sensors – das man jetzt genauso – wie transformieren – die sich hier – wenn ich in diesem Fall zu einer andern Karte gehen – und damit kann ich dann beschreiben – ohne Einbettung beschreiben – was tendenziell Vektoren sein sollen diese ist der kritische Teil – hier kommt der CD dieser Einbettung vor diesen Teil will ich ignorieren ich möchte meinen Initialvektoren – ohne die Einbettung beschreiben – also guck ich meine zweite Karte an und das dann Summationsverhalten – zu studieren – ?? immer wieder groß sie – dort sieht die Kurve irgendwie anders aus – ich nenne die Koordinaten – hier in der Karte Psi – mal X Strich das ?? ist ja wieder Bildung ist der Parameter der Kurve wird abgewählt auf X Strich – von es – und jetzt will ich wissen was hiermit ?? sie und vereinigen mit X Strich – passiert – und das gibt mir dann die Komponenten – von diesem Tangentialvektor – bezüglich dieser Karte bezüglich dieser Koordinaten – also die Komponenten – des Initialrektors – V – bezüglich – dieser Karte dieser Koordinaten – Beistrich L – wie kriege ich die – ich leite ab – die X strich – dieses – nach der es – an der Stelle es gleich Null – jetzt kann ich X Strich aber ausdrücken mithilfe von X – nämlich X Strich bekomme ich in dem ich mit X starte – dann mit vier hoch minus eins zur Mannigfaltigkeit – gehen – und dann von der Mannigfaltigkeit – mit Psi – zwecks Strich gehen – das ist also – die Ableitung nach es an der Stelle es gleich Null – von folgendem Ding – Psi nach – Fi hoch minus eins – von – der Kurve jetzt in den X Koordinaten – an der Stelle ist – davon hätte ich gerne die ältere Koordinate – schreibt das mal so – das kann jetzt wieder auseinandernehmen – mit der mehrdimensionalen – Kettenregel oder den totalen Differenzial – eine Funktion – einer Funktion – den ersten ableiten – Punkt seit dessen Kältekoordinate – ableiten – ob sie nach vier hoch minus eins – davon die ältere Koordinate – ableiten – nach der Kartenkoordinate – von X – an der Stelle an der weder die ganze Zeit sitzen X von null – mal – den ?? ableiten – dessen Karte Koordinate – ableiten – und was mach ich ?? vorne eigentlich – ?? sie nach wie hoch minus eins sie nach Johannes eins großes X strich – hier steht schlicht und ergreifend – die Ableitung von X Strich L – nach – X Car – an der Stelle X – von null – und hier steht – was wir schon kennengelernt haben als die Karte Komponente von V – im X System – und damit sich wie die Komponenten von Tangentialvektoren – transformieren – das sind die Komponenten im alten System – das sind die Komponenten im neuen System – scheinbar besser mal in – die Komponenten im neuen System kriege ich – als Summe über alle Koordinatenableitung – der neun – X nach den alten X – an der Stelle an der für das Setzen – mal die alten Komponenten – jetzt kann man diese Einbettung über Bord schmeißen – bis anschauliche Bild der gekrümmten Fläche und soweit über Bord schmeißen – und sagen okay an den Initialvektor – ist ein Ding – dessen Komponenten sich so transformieren – genauer gesagt ein Tangentialvektor – an X null – im X System – an Tangentialvektor – an dieser Stelle – ist ein Objekt dessen Komponenten sich so transformieren – man kann sich zurück erinnern an die Vektoren und allgemeiner die Zensoren aus der speziellen Relativitätstheorie – darf das – Komponenten – eines Kontravariantenrektors – transformieren – sich als – die neue duale Basis – angewendet – auf die alte – Basis – mal die alten Komponenten – was war das kontravariant – Informationsverhalten – ich merke mir das umgekehrt über die Basis – die Basis – konsumiert kovariant – das Elternelement – der neuen Basis – kriege ich – in dem ich dieses E strichel – nach den alten Basiselementen – zerlegen wir – die Obencar – von E Beistrich L – E und K – was in dieser Reihenfolge des kovariant – Tanks ist andersrum – kontravariant – man hier in offensichtlicher Analogie – dieses ist also nun in unserem neuen Spiel – dasselbe wie das – ?? haben also – E Strich – oben L – von E und K – ist nichts anderes als die Ableitung – der neuen Koordinate – Nummer L nach der alten Koordinate Nummer K – an der Stelle an der weder unsere – Initialvektoren – angucken – das heißt es gibt folgende Analogie – der Karte – Basisvektor – ist anscheinend so etwas wie die Ableitung – nach der Kartenkoordinate – und der älteste Basisvektor der dualen Basis – nicht hier für ?? Beistrich aber mal äh wieder Einsätze – dasselbe System nehme – ist dann so etwas wie – die Koordinatenfunktion – XL – allerdings interessiert mich von dieser Koordinatenfunktion – ja nur das Verhalten unmittelbar – in der Umgebung von X null – nicht die gesamte Koordinatenfunktion – das wir dann über die das genau anguckt eine Differenzialform – eine eins Form genauer gesagt die XL – Differenzial – der älteren Koordinate – also die Basisvektoren – sind sowas wie Ableitungen – und – die Basisvektoren – der dualen Basis sind sowas wie Differential – an dieser Stelle setzen die Mathematiker – ein – und definieren dann ?? Und-Zeichen richtig was denken Tangentialvektoren – sind – dieses hier ist den Physikern oft zu abstrakt – und kommt auch ohne das zurande – aber ein Begriff sollte noch haben – ich bitte die Basisvektoren – aus den Koordinaten – das müsste ich natürlich nicht tun könnte die Basisvektoren – auch quer legen – Komma das so tut – hat man eine Rollo Nomen Basispolynom – hast du was sie ganz gesetzlich – dieser Begriff hat eine etwas verwirrende Herkunft – typischerweise – verwendet man nur solche Basenbasen – die aus den Koordinaten – stammen – man könnte auch andere nehmen – wenn ich nur eine Mannigfaltigkeit – habe – sie mal ähm – darauf – Punkte – drei Punkte vielleicht – in den pico – und er – dann kann ich für jeden dieser Punkte – ein Tangentialebene – an Tangentialraum – im allgemeinen – angeben – die Menge der jeweiligen Tangentialvektoren – und diese Mengen haben nichts miteinander zu tun – diesen Tangentialraum hier an dem Punkt P wird man den Tee – unten – PIM – den hier den Tangentialraum – an der Stelle eher ähm und hier den Tangentialraum – Kuh ähm – an jeden Punkt der Mannigfaltigkeit – ist damit zu ein Tangentialraum – geheftet – in der speziellen Relativitätstheorie – gab so ein einzigen Tangentialraum – bei die Raumzeit – nicht gekrümmt ist – in der allgemeinen Relativitätstheorie – Fertigkrümmung – haben und damit kann ich nicht mehr mit einem einzigen Tangentialraum – arbeiten – ich werde an jeder Stelle – einen eigenen Tangentialraum – bilden müssen – auf jedem dieser Tangentialräume – kann ich für üblich Zensoren bilden – wie die Vektoren – an verschiedenen Punkten lassen sich damit auch die Zensoren an verschiedenen Punkten erst man nicht miteinander vergleichen – das heißt ich muss insbesondere auch bei Ableitungen vorsichtig sein – wenn ich zur Seite gehe – und will Werte vergleichen – das heikel werden – mit dem allgemeinen was schief gehen ich habe erst mal nur Vektoren – und Sensoren – jeweils – an einem Punkt – meiner Mannigfaltigkeit – ein Vektorfeld – heißt dann ?? ich gebe für jeden Punkt – meiner Mannigfaltigkeit – ein Tangentialvektor – das wichtigste Tensorfeld ist der metrische – Tensor – denken wir im Prinzip ja auch schon aus der speziellen Relativitätstheorie – jetzt wird er eben ein Tensorfeld – auf der Raumzeit – guck ein Punkt an auf meiner Mannigfaltigkeit – die – drei Tangentialvektoren – an dem Punkt – wenn wir sie A und B – versucht das mal klarzumachen dass die tangential laufen – mit der Schatten darunter – A und B sollen aus dem Tangentialraum – an der Stelle P an die Mannigfaltigkeit – sein – und jetzt möchte der Skalarprodukt – dieser beiden Initialvektoren – bestimmen oder in der Relativitätstheorie – das Minkowski – Produkt dieser beiden Vektoren bestimmen – einmal B – und ich möchte es wieder mal bestimmen ohne von irgend eine Einbettung zu reden ich möchte das also nur aus den Komponenten – bestimmen – ich gucke mir also eine Karte an – wieder Großvieh – genannt – und hat dieser Punkt irgend eine Entsprechung – die beiden Vektoren haben auch irgend eine Entsprechung – was Arkabbeltekomponenten – dieser beiden Tangentialvektoren – bezüglich dieses Koordinatensystems – dieser Karte – dann kann ich jetzt den Vektorhaar – ausbuchstabieren – das ist die Summe über alle K – die Komponenten von A in diesem System – AK – mal die entsprechenden Basisvektoren – die Daniel ihr Leben – dasselbe – für B – BL EL te – Skalarprodukt – und das Minkowski Produkt sind aber Bilin ja ich kann die Summen ausziehen – ich kann diese Komponenten – gerne Zahlen raus ziehen und damit habe ich – das wieder so sein die Summe über K die Summe über L – A K – PL – und nun das Skalarprodukt – oder Minkowskiprodukt – von – den Basisvektoren – dass es eigentlich nichts Neues genau so stand es da schon – bei der speziellen Relativitätstheorie – und dieses hier wenn ich jetzt – wie vorher schon – den metrischen Tensorkomponenten – des mythischen Tänzers G und K L – nicht diesen metrischen Tensor habe an dieser Stelle – kann ich mithilfe der Komponenten ausrechnen was das Skalarprodukt ist oder das Minkowski Produkt ist ohne von der Einbettung zu reden – die metrischen Tensor kann ich nun etwas über die Bogenlänge – die Länge einer Kurve sagen immer kritischen Fall – oder in der Relativitätstheorie – zu Minkowski geht – Lichtgeschwindigkeit – mal Eigenzeit – zu einer Kurve gegeben – von – Parameter gleich habe Parameter gleich B – wüsste ich gerne was deren Länge in Anführungszeichen – ist – jetzt wirklich die Länge gemeint und hier ist Cemal Eigenzeit gemeint – dazu gehe ich wieder in eine Karte – gucke mir die Kurve da an – und frage mich wie lang ist denn so ein kleines Stückchen hier auf der Kurve – sagen wir von X von S bis X von S plus – delta es wie lang ist denn dieses kleine Stückchen ungefähr – auf der Mannigfaltigkeit – und dann summiert sich über diese kleinen Stückchen – dessen Länge kriege ich mit dem metrischen Tensor raus – ich Bilder Skalarprodukt von diesem Vektor mit sich selbst und ziehe dann die Wurzel – der Skalarprodukt – von dem Vektor mit sich selbst bildlich mithilfe – des metrischen Tensor – steht also – X von S plus delta es minus X von S – X von S plus delta es minus X von es – und hier steht der metrische Tensor ?? zwischendurch also mit Indices versehen – ?? Kacarcarell – und der metrische Tensor an unserer – gewünschten Stelle X von es – und summieren über K und L – das sind bisschen gelogen ich kann die Punkte nicht voneinander abziehen und kriege ein Tangentialvektor – aber es fühlt sich an – wie ein Tangentialvektor – was hier vorne steht ist ja dann – ungefähr – die Ableitung – von X Car von ist – nach es mal Delta es – wie ändert sich X K wenn ich ein Stückchen gelte es weitergehen – das bekomme ich so und das hier hinten ist ungefähr – die XL – nach DS – mal Details – habe ich hier Details Details – mangelte es ins Quadrat – kann ich aus der Wurzel ziehen – und in der Wurzel steht dann noch wenn ich dieses es dieses Essen das Exxon es weglasse weil selbs verständlich ist – die Summe über K und L – die Ableitung der Kartenkoordinate – nach es – mit den so KL – die Ableitung der Elton Koordinaten – ist – und wenn ich jetzt über die gesamte Kurve summieren – dieses hier über die gesamte Kurve summieren – und teilte es gegen null gehen lasse – muss das exakt werden – das – ist dann die Formel – für die Bogenlänge und für mal die Eigenzeit – von A bis B integrieren – als über die gesamte Kurve – Wurzel aus diesen Ausdruck hier ebenso mit KL die Karte Komponente ableiten – G KL an der jeweiligen Stelle – und die ältere Komponente ableiten – ?? muss angucken was denn eine zeitartige – Geodäte in der allgemeinen Relativitätstheorie – ist – zeitartig – sowie der speziellen Relativitätstheorie – heißen dass wenn ich die Ableitung nach dem Parameter Bilder – davon das Skalarprodukt – mit sich selbst – Minkowski Skalarprodukt – mit sich selbst das ich dann eine Zahl größer als null Kriege – nicht gleich Null nicht kleiner als null – das heißt insbesondere dass die Wurzel – in dem Ausdruck eben für die Längenberechnung – klar geht unter der Wurzel steht etwas Positives – aus der speziellen Relativitätstheorie – weiß ich wie schnell die Eigenzeit verstreicht – das geht ja gerade mit der Wurzel – von diesem Ausdruck – dieses – Mal – das Intervall um das sich im Parameter weitergehen – gibt – in immer besserer Ernährung Lichtgeschwindigkeit – mal Änderung der Eigenzeit – wenn ich also als Parameter – nicht irgend einen nehme sondern die Eigenzeit selbst nehme – dieses es ist gleich dem Tau – dann muss die Wurzel – gleich der Lichtgeschwindigkeit – werden – ich habe also – wenn ich nach der Eigenzeit ableite – ?? nach irgend ein Parameter – das hier – Cequadrat – auskommen muss man die Wurzel gleich C ist – das ist die übliche Parametrisierung – für zeitartige – Geo werden – die Parametrisierung – sie einfach nach der Eigenzeit – dann ist dieser Ausdruck konstant Gleichcequadrat – ein Ziel ist jetzt eine Gleichung für zeitartige – Geodäte zu kriegen und zwar aus dem metrischen Tensor eine Gleichung für zeitartige – Diäten zu kriegen – ich sage Maltau wird abgebildet auf X von Tau – eine zeitartige – Geodäte sein – Parametrisierung – ?? nach der Eigenzeit – starte mit der Eigenzeit null – CDU auf null zurück – und ende mit Eigenzeit – groß T – den Anfangspunkt – lass ich fest – und diesen Endpunkt hier – bei X von groß T denn das sich auch fest – und ich gucke mir an – was passiert wenn ich diese Bahn etwas verbiegen ?? etwas stören – müssen ja zeitartige – Geodäte – wenn diese Band lokal etwas stören muss die Eigenzeit kürzer werden – irgend eine Störung – die Vektoren die ich hier drangemalt – habe die sollen – Y heißen – Tau wird abgebildet auf Y von Tau das soll eine lokale Störung sein irgend eine lokale Störung – eine beliebige lokale Störung – was mich interessiert ist wenn ich zu meiner Originalkurve – der Geodiäten – der roten Kurve – einen kleinen Teil dieser Störung addieren – darf die Eigenzeit ja nur kürzer werden – ?? sieht also die Bahn – X von Tau und epsilon ein kleines bisschen von der Störung – für sehr kleine epsilon immer kleiner Y – jetzt habe diese gestörte Kurve die wir natürlich nicht nach der Eigenzeit Parametrisierung – zeigt die Originalkurve – soll nach der Eigenzeit Parametrisierung – sein – die sicher wird es nicht mehr sein im allgemeinen – die wird ja nicht die Gesamt Eigenzeit groß T haben sondern wird eine kleinere Eigenzeit haben – da sieht man schon das dieses Tauf für diese Kurve hier nicht die Eigenzeit sein kann – schreibe ich in was zehnmal die Eigenzeit dieser gestörten Bahn ist – das integral – der Wurzel – nehmen dieses hier – die Müdekoordinate – Tower ableiten – die – Mühlmühl – an dieser Stelle X plus epsilon – Y – und die Nötekoordinate – nach Tau ableiten – ?? selbst angleichen und es soll dies hier maximal – sein – wenn Epson noch ein kleines bisschen von null abweicht positiv oder negativ – soll das hier kürzer werden – mit anderen Worten die Ableitung nach epsilon an der Stelle Y gleich null davon muss Null sein – das buchstabiert man jetzt aus und kriegt eine Gleichung – für diese Geodäte – mithilfe des metrischen Tensor – die Ableitung darf ich in das integral ziehen – mich die Wurzel ableiten und sich die Kettenregel das wird also eins durch zweimal die Wurzel – an der Stelle zum gleich Null genommen – mal die Ableitung von dem was in der Wurzel steht an der Stelle Apps Und-Zeichen folgender – versteht in der Wurzelverletzung – gleich null X ableiten – G von X – mal X – Cequadrat – die Geodäte sollte ja nach der Eigenzeit Parametrisierung – sein unter der Wurzel steht sie Quadrat – hier – das heißt die Wurzel ist gleich zehn – das kann ich aus dem integral Aussehen einst durch zwei C Komma vorne mal das integral – die Ableitung von dem Kern unter der Wurzel – dieses Mal dieses Mal dieses – Produktregel – mit drei Faktoren – mit drei so manchen – den ersten ableiten nach epsilon – steht der nur Y Mühe abgeleitet nach Tau – hier sitzt er zum gleich Null ein – da seziert schon gleich null ein – G Menü – von X schreibe ich nicht hinweg mir zu eng und hindert – X stehen – für den zweiten so manchen muss ich den mittleren ableiten – den vorne – gleich Null nehmen nur X den Händen selbst gleich Null nehmen auch nur X und – den mittleren ableiten – ?? steht X – hinten steht X – und in der Mitte muss ich ableiten – ?? epsilon – das Komma gleich ausführlicher – für den dritten so manchen – eilig den letzten ab vierzig je Gibson gleich null da epsilon gleich Null – macht – X abgeleitet – GM mühen Höhe von X schreibe ich nicht hin – und – Y – abgeleitet – groß Grad den mittleren an – ich will also ableiten – G Menü von X plus epsilon Y – nach – epsilon – an der Stelle selbst ungleich null – das wieder mit dem Mehrdimensional Kettenregel – ich leite AG Menü – nach der Koordinate Exlander ab und dann Leitfixlander – nach epsilon ab – das Listigslander – ich werde Y unterkriegen – stellt sich gleich als raffiniert heraus wenn ich in allen diesen Ausdrücken – ein Y Lander übrig habe Y Bayer unsere Störung unsere beliebige Störung – ich versuche es hinzukriegen das in allen diesen sogenannten Y Lamm der einzelnen dabei steht – bei dem ersten Krieg der Sinn in dem ich diese Ableitung – über wälze – partielle Integration – das geht ganz harmlos – weil der Rand am gleich Null ersichtliche irgend ein Rand der mit Y mal und so weiter aber Y – so eine lokale Störung sein bei Null und bei groß T ist Y gleich Null – und hinten mach ich dasselbe – partielle Integration – ich wälze diese Ableitung über auf die beiden anderen – ein steter – eins durch zwei C – das integral – durch die partielle Integration kriegte einen Minuszeichen – Y Mühlstädter nun nackt – und dass die nach der Tau ist auf die beiden anderen hinten angewendet – zweiten Term schreibe ich Ihnen was ich hier schon hatte – X ableiten X nur ableiten – G nach X ableiten und Y Ander – und jetzt wieder die partielle Integration – ein Minuszeichen – für die partielle Integration – Y überwinden – alleine stehen – und die beiden da vorne muss ich ableiten – also die Ex Mühe – nachdem Tau – die – Mühe die beiden ableiten – diese Klammer wieder zu – den Taupo – ich wollte überall Y Lamm der einzelnen haben hier bei dem mittleren habe ich Epson Namen der einzelnen – SIS Y Mühl – aber das ist einfach nur ein Summationsindex – müde – ist nach außen nicht sichtbar – ich kann dieses Müll auch einfach Lander nennen sich das Muellerunternehmen – und nichts ist passiert – selber mache ich hier das nicht Landerlander – steht wirklich überall – Y Lander – einzeln in jedem dieser drei Summen – ganz am Anfang der Gleichungskette stand ja null gleich null ist gleich eins durch zwei C also ist es gesamte integral gleich null – das integral ist von der Form Y nahm da – mal – etwas fürchterliches – was einander drin hat – die Tau – dieser violette Kasten umfasst – dieses Minus und diese Ableitung – diese beiden – und dieses inklusive des minus – Gibson war aber eine beliebige lokale Störung – und daraus kann jetzt netterweise folgern – dass dieser violette Kasten null sein muss – kann sich leicht überlegen – wenn zum Beispiel dieser violette Kasten für den Index Lambda gleich zwei so aussehen – nicht null wäre sondern so aussehen – abhängig von Tau – Beistrich Y zwei – so wählen – und die übrigen Y Komponenten hübscher nutzen als Y drei gleich Null wählen – wir das Produkt ausrechnen – bleibt Y zweimal – den hier – das Produkt wird an dieser Stelle ungleich null sein das integral wird um gleich null sein das kann nicht sein – sobald das was in dem Kasten steht ungleich null ist werde ich am liebsten angeben können sodass auch das hier ungleich null ist – Mathematiker wenn es sowas über Stetigkeit voraussetzen wollen aber anschaulich ist es für die Physiker soweit in Ordnung – das heißt dass dieses immer gleich null ist für jede Störung – kann nur funktionieren – wenn in diesem Kasten immer null steht – ich weiß also – nur ?? ist gleich das was im Kasten steht – und wenn und aber – steht in dem Kasten das war minus – die Ableitung nach Tau – von – gelandern – Ü – D X nötig nach Tettau – plus GMX – Mühe nach Detau – Ziel – Gemini – nach GX Lambda – und dann noch die Ableitung von Texten nach Zittau – minus – zwei die andere partielle Integration – hier – X – Mühe nach Tower gleiten – die – Lambda – dieses X eine nach der Eigenzeit parameterbasierte – Geodäte ist – muss das hier null sein – da sieht man schon ein Ausdruck – nur mit X – und die metrischen Tensor wunderbar – das versuchen wir jetzt ein bisschen hübscher zu machen – Beistrich einfach mal diese Ableitungen aus Produktregel – AG – an der Stelle X von Tau – war das ja ableiten nach Tau – der kompletten Kettenregel – ich leite erst mal – G nach X Mühe ab und gucke mir dann einen Wegsmüll – von Tau abhängt – bald in der hinten – den ersten abgeleiteten – sich den zweiten ableiten – Gel am Daniel bleibt stehen und den muss ich ableiten das wird also die zweite Ableitung – von X nach Taudieners – stehen – und den hinteren Buchstaben durchaus mit der Produktregel – im ersten ableiten – wird also die zweite Ableitung von X Mühl – nach Taumagiemühl – am Darm – minus – vierzehn ersten stehen lassen den zweiten ableiten – Ex Minotaurpleiten – den zweiten ableiten wird es eben hatten erstmals – die – Lampe ableiten nach irgendeinem XT Index Menüs gerade noch frei – und dann gucken wie sich nun entwickelt – ihr mich die zweite Ableitung von X nach Town hier habe ich die zweite Ableitung von exakt auf die beiden möchte zusammenfassend – da steht nun wieder steht Mühe das ist nicht so lustig – bin ich bisschen um Menümenü – ?? Alpha Alphamythen – habe ich auch Alpha – alpha dann kann ich dir – besser zusammenfassen – da steht also nun – hier die zweite Ableitung von X hier die zweite Ableitung von X – metrischen Tensor ist symmetrisch – kann ein verdammter austauschen – als ob ich da minus – zwei – G Lambda Alpha – die zweite Ableitung von X Alpha nach – Tau – die übrigen Ausgaben es alle Ableitung von X Mühl nach Tau Nixon ?? nach Tau – X Minotaur Exminister – Exminister – X ?? nach Tau – was ich mal so zusammen das der minus zwei halbe davor steht dass er weiß sich gleich als hilfreich – also minus eins davor steht – ?? mit dem an dieses Minus – mich da schon – da habe ich also – ich hab das bei der Kurzfassung – gelanderen – ?? abgeleitet – nach der Mythenkoordinate – zieht man mir nicht warum diese Kurzschreibweisen – entstanden sind ?? es wird viel weniger Schreibarbeit – dieser hier – das Minus schon erledigt – Gemütslande – abgeleitet nach der Newtonkoordinate – bleibt noch dieser hier mit einem Plus – minus – minus – geben Menü – abgeleitet nach der Lambdakoordinate – und was sie jetzt steht – mit dem ein halb davor – nennt man – Kammer – Untenlander – Mühlmenü – eine zweite soll dann Christoffel-Symbol – wir hatten schon Christoffel-Symbol – mit Klamm da oben irgendwas unten unten – stand oben mal null ist gleich – diese minus zwei kann ich rausnehmen – dann habe ich null ist gleich – G Lambda Alpha die zweite Ableitung von X Alpha nach Tau – plus – diese Sorte an Christoffel-Symbol – mal diese Ableitung – möchte gerne nach der zweiten Ableitung hier auflösen deshalb multipliziere ich alles mit dem inversen – des metrischen Tensor – das und zündet genauso wie vorher in der speziellen Relativitätstheorie – das Inverse des metrischen Tänzers ist einfach die kontravariant Version davon – beschreibt die hier vorbei – davor – kontrahieren – über das lambda – entsteht hier – inverse Matrix mal Matrix – einfach – Kronecker-Delta – oben Wetter unten Alpha – und damit habe ich den insgesamt null ist gleich – dieses Kronecker-Delta – liegt das All voraus was gleich bitter ist – also die zweite Ableitung von X Beta – nach – Tau – plus G – Betalander – Komma unten Lander Menü – diese Ableitungen – von X Mühl – und X null – diese Gleichung muss für die zeitartige – Geodäte gelten – und wir hatten dieselbe Gleichung vorher schon – dabei stand hier – das Christoffel-Symbol – mit Wetter oben – Müll nur – teilweise zwei Arten um zu dieser Gleichung für die Geodäte zu kommen – einmal steht hier – was was aus einem frei fallenden lokalen – Bezugssystem – ausgerechnet worden ist – und jetzt das ist der neue Weg steht hier etwas – was mithilfe des metrischen Tensor berechnet worden ist Punkt – beide Resultate müssen zu den selben Christoffel-Symbol – für – das kann man so sehen wenn ich sage groß Delta – oben Beta und Menü – sollte Differenz sein zwischen der alternde Neuenade Christoffel-Symbol – auszurechnen – nicht das modifizieren – mit X Mühe – abgeleitet nach Tau und X Menü abgeleitet nach Tau für die zeitartige – Geodäte – drittens null rauskommen – denn Verkehr beides mal dieselbe Beschleunigung – es ist dieselbe Geodäte – als abstrakt habe ich folgende Situation – dieses groß Täter die Differenz – mal V Menü V – Menü – ist gleich null für alle zeitartigen – Vektoren V – ich kann mir einen beliebigen Anfangs Vektor einsetzen der zeitartig – ist – muss sie sehr beschleunigt raus kriegen – nicht nur zeitartig muss er sein weil ich nach der Eigenzeit ableitet muss das Minkowskiprodukt – von diesem Vektor mit sich selbst gleich zig vertraut sein – in dieses hier gilt – für alle diese Vektoren – dann gilt es auch wenn die nicht so normiert sind – wenn ich das dreifache ?? des minus neun -fach eines solchen Rektors nämlich keinen Faktor herausziehen – und sich wieder null das jetzt also überflüssig – das zu fordern – dieses hier muss gelten für alle zeitartigen – Vektoren V – wenn ich aber habe das V zeitartig – ist – dann ist V plus ein kleines bisschen von W auch zeitartig – für einen beliebigen Vektor W – G nur ein kleines Stückchen zur Seite nicht epsilon hinreichend klein mache – wird farblos epsilon wie auch zeitartig – sein – also muss für V plus epsilon W dasselbe gelten wenn Y den Betrag klein genug ist – dieses Delta mal V plus epsilon W – Komponente – und jetzt Komma die neue Komponente – muss also null sein wenn der Betrag von epsilon – hinreichend klein ist – das Gemüt aber ausmultiplizieren – das hier ist – delta – mal V mal V – Plus – delta Y DVO – delta V Y W also zwei epsilon – Delta – Frau – W ich benutze dabei das System asymmetrisch – ist ?? und müde die alte und die neue Ade Christoffel-Symbol – auszurechnen – asymmetrischen – ?? und Mütter stellte wird auch symmetrisch eine Prämie zusammenfassen – plus – letzte – Epson Quadrat von den dem – Delta Wettermenü – ähm – Menü – das muss Null sein wenn epsilon klein genug ist – hier steht eine Parabel in epsilon – das kann nur dann konstant null werden wenn alle diese drei Ausdrücke konstant null sind das erste null ist es nichts Neues wussten schon V ist zeitartig – das sie muss Null sein – was Neues ist das dieser hier Null sein muss und dieser hier Null sein muss – das Eis ich kann hier einen beliebigen Vektor W nehmen W war ja beliebig ich kann einen beliebigen Vektor W so nehmen – mit Delta – modifizieren – kontrahieren – und das muss Null sein – Klassen spannt ?? dieselbe Argumentation – unnormal machen kann statt eines zeitartigen – Sektors nämlich nun einen – beliebigen Vektor – und hier muss dann wieder neu rauskommen – insbesondere muss das dann wohl sein – und ich sehe dann zum Schluss – das folgendes gelten muss das Delta better Menü – mal – Fee eins minimal W zweien – Ü gleich null sein muss für alle – Vektoren – B eins W zwei – insbesondere könnte hier die Basen durchgehen – und mir dann genau die einzelnen Elemente herauspicken – aus diesem Delta – das geht nur dann wenn das Delta gleich null ist – das ist die sehr kurz gefasste formale Begründung dafür – warum die alte und die neue Art diese Christoffel-Symbol – ausreichendes – Silberergebnis – liefern müssen – die wesentliche Zutat über etwas versteckt die wesentliche Zutat ist – das – die Christoffel-Symbol – symmetrische – my sind in der alten Art zu rechnen wie auch in der neuen Art zu rechnen – Komma das als Ergebnis normal hin – die Christoffel-Symbol – in der neuen Art sie auszurechnen – sind also ein halb mal – das Inverse des metrischen Tensorski – miteinander – und dann kommt da ?? die Lampe anonym abgeleitet – nach der Mythenkoordinate – plus die Mühllander – abgeleitet nach der Newtonkoordinate – minus G Menü abgeleitet – nach der Koordinate Nummer lambda – Komma sich am einfachsten merken dieses hier von sich anguckt was mit dem Index passiert – taucht hier auf und hier auf und hier auf – also erst auf der als Index des metrischen Sensors auf und zum Schluss wird nach dem hier abgeleiteten – Tag richten minus – die beiden ersten ?? stammten aus dem partielle Integration – und der hier stammte aus dem mittleren Term – und – diese zwei stammte daher – das ich die zweiten Ableitungen – zweimal hatte und zusammenfassen konnte – ganz wichtig diese sind nicht die Komponenten – eines Tensor – das sieht von der Schreibweise Herr so aus – davon darf man sich aber nicht irreführen lassen – ?? einfache Begründung wenn ich ein freifallendes – lokales System habe – mal das gestrichene System wieder als dieses System – dann gilt darin – für die zeitartige – Geodäte – dass die zweite Ableitung – von den Koordinaten nach der Eigenzeit – gleich null ist zumindest – in der Mitte des Systems – an der richtigen – Stelle und keine Gezeitenkräfte – habe wenn aber die zweite Ableitung – nach der Eigenzeit gleich null ist Komma so argumentieren wir eben – ?? Klammer auf man kann diese Argumentation – hier nachmachen – und daraus folgern – dass die Christoffel-Symbol – null sein müssen in diesem System – in diesem gestrichenen System dem frei fallenden lokalen System – müssen an dieser Stelle zumindest – die Christoffel-Symbol – null sein – wenn die Christoffel-Symbol – die Komponenten eines Tänzers wären – dann müsste ich die Komponenten – in einem anderen jetzt ungestrichenen System so ausrechnen können Komma Alpha oben – pro und wie unten – nehme die Komponenten – gestrichenen System Beta oben – Menü unten – da Komitee die ganzen Koeffizienten – für die Transformation – Beta ist ein kontravariant – der Index – da steht dann also – die Strich Alpha – dieses Alpha von die – Betamühl – ist ein kovariant der Index da steht – die – Mühle – von äh Strich – roh – dasselbe schöne – Menü – von – ?? Beistrich Pi – in gestrichen Systems in die Christoffel-Symbol – aber null drin steht null – das heißt in dem ungestrichene System – sind sie auch null in jedem System wären sie null – das wäre höchst komisch – die einzige Chance ist Christoffel-Symbol – Komponenten eines Tensor sind ist das sie überall null sind es endlich ein Beispiel wo sie nicht null sind – also können sie keine Komponenten eines Tänzers sein – dass die Christoffelsymbole – keine Sensoren sind es weit überraschend man diese Gleichung sieht – das ist ein Vektor das hier ist ein Vektor – mit dass sie auch ein Vektor ist müsste da ein Tensor stehen der Witz ist das hier vorne ist kein Vektor – die erste Ableitung gibt ein Vektor die zweite Ableitung gibt typischerweise – keinen Vektor – es ist neu gegenüber der speziellen Relativitätstheorie – aber eigentlich ganz nahe liegend – nicht mehr so eine gekrümmte Fläche angucke – und darauf eine Kurve – und natürlich die zweite Ableitung – die zweite Ableitung – wird nicht tangential – sein – zu der Mannigfaltigkeit – wird kein Tangentenvektor – sein – es wäre also höchst überraschend in das sie ein Vektor im Sinne der Mannigfaltigkeit – ist – ein billiges Beispiel für die Christoffel-Symbol – der er zwei mit Polarkoordinaten – also keine Krümmung – nur zwei Dimensionen – und selbst da hat man schon massiv ?? zu rechnen – in zwei Dimensionen habe ich ja nur zweimal zwei mal zwei macht acht Einträge in die Christoffel-Symbol – in der Raumzeit habe ich vier mal vier – mal – vier Einträge – in die Christoffelsymbole – sind vierundsechzig – wegen dieser Symmetrie – ist nicht ganz so schlimm aber trotzdem schon eine Menge Holz – zu hacken an der Stelle – in zwei Dimensionen wird erträglicher das gucken was es mal an – ich nehme den er zwei – irgendwo liegt der Ursprung – und als Karte – nehme ich das was ich durch Polarkoordinatenkriege – die eine Achse ist also – X eins – ist einfach der Radius die Entfernung vom Ursprung und die andere Achse X zwei ist der Winkel – der Winkel zur positiven x-Achse – ganz angucken was hier aus einem kleinen Quadrat wird – hier an der unteren Kante laufe ich – bei konstantem Winkel – dem Radius – konstantem Winkel – laufe ich mit dem Rad sich entferne – mich vom Ursprung – bei konstanten Winkel – hier ändere ich den Winkel bei konstantem – Radiusradius – konstant ich ändere den Winkel – laufen herum und den Ursprung – hier ändere ich den Radius – bei diesem Winkel – die auf der rechten Seite – laufe ich wieder zurück – schreiben wir es mit den metrischen Tensor in – Indices J und K – was ist der metrische Tensor – DJK – Ka ist eins oder zwei Einzelradius – zwei für Winkel – dort kann ein Einssein oder zwei sein – vier Einträge in den metrischen Tensor – der eins eins Eintrag – was passiert wenn ich in Radius Richtung rausgehen – diese Kante ist das – es passiert nichts mit der Länge – ändert sich nichts – ?? Eintrag ist eins – wenn es spannend ist hier zwar zwei was passiert – beim Winkel – diese Kante – da sieht man oder passiert was in der Länge – bei der ich draußen bin umso länger wird das werden – das gibt mit Faktor – R Quadrat – vier Wissen bei metrischen Tensor wenn ich hier ein Vektor habe – bringe den auf die Mannigfaltigkeit – als Tangentialvektor – was passiert mit der Länge des Wetters ins Quadrat – als Produkt des Pächters mit sich selbst – das geht – mal R Quadrat – diesem Fall – solche was gemischtes – was passiert – mit dem Skalarprodukt – dieser beiden – dieser Vektor – dieser Vektor wird das auf der Mannigfaltigkeit – sein – die bleiben senkrecht – feste Skalarprodukt wird null werden – und das ist natürlich symmetrisch – da muss auch null stehen – damit haben bei den metrischen Tensor – ?? das Inverse des metrischen Tensorstoßes – hier besonders einfach – heute mindestens eine Diagonalmatrix – ist – eins null null er Quadrat das Inverse zu einer Matrix – kriege ich in dem ich einfach auf der Diagonalen der inversen Bilder – versteht also eins null null – eins durch ?? Quadrat – jetzt kommen die Zutaten für die Christoffel-Symbol – ich brauchte drei Indices – und möchten diese diversen Ableitungen ausrechnen – gehe ich J – L – nach K – GEK – J nach L und die – KL – nach J – das Gewicht dann gleich – gamma unten J K L – und zum Schluss gamma – oben J unten KL – elmach – ich abwechselnd eins zwei eins zwei eins zwei eins zwei müssen acht Fälle werden zweimal zwei mal zwei – K – eins eins zwei zwei – eins eins zwei zwei und J ist eins eins eins eins – zwei zwei zwei zwei – jetzt will ich ableiten – gehe J L nach K – G eins – eins – nach dem Radius – K gleich eins ableitenden – G eins eins – nach dem Rades ableiten ?? Konstante kommt wohl aus – der nächste – G – eins – zwei – abgeleitet – nach eins nach dem Radius eins zwei abgeleitet nach dem Radius – Null ableiten passiert nichts – und so weiter und so weiter muss ?? sind Teil angucken müssen bisschen langweilig – hier passiert zum ersten Mal was zwei eins zwei – die – J zwei – zwei abgeleitet – nach – dem Radius – der – nach dem alles abgeleitet ist zwei eher – der Rest wird wieder null werden – der nächste der den Christoffel-Symbol – steht hier einfach nur die Reihenfolge vertauscht das was ich kriege weiterhin sieben Nullen und einmal zwei er – versteht jetzt einer anderen Stelle – zwei zwei – eins – untersteht zwei – zwei zwei eins – K gleich zwei J gleich zwei – L gleich eins – K gleich zwei J gleich zwei L gleich eins der zweite von unten da muss ihr zwei er stehen und der Rest ist null – dasselbe Spiel mit dem – zwei zwei eins war das einzige wo was passierte – kann gleich zwei er gleich zwei J gleich eins – K gleich zwei gleich zwei gleich eins der vierte von oben – steht wieder zwei er – vor drei null und dahinter vier null – jetzt kann ich die Christoffel-Symbol – ausrechnen mit den Indices unten das war einfach ein halb dieser und dieser minus der – Dame null drei null dann wohl ein halb – dieser und dieser minus der also – minus – er – steht null – ein halb dieser und dieser minus der also eher – gekommen Komma leer – und hier kommt null – das sind die Christoffel-Symbol – mit Index unten jetzt will die Christoffel-Symbol – mit Index oben dazu muss ich die inverse Matrix anwenden – wenn ?? gleich eins ist – passiert nichts – wenn ?? gleich zwei Listen sich durch ein Quadratsteil – aus ihr steht null null null – minus Ernte passiert nichts null aber jetzt muss sich – gleich zwei – durch eher Quadratzahl – einst durch er – einst durch R – null – das sind die Christoffel-Symbol – jetzt die Gleichung für die Geodäte – null es gleich – die zweite Ableitung der X eins Koordinate – des Radius – nach der Länge – jetzt nicht Eigenzeit – nach der Länge – plus was sich aus den Christoffel-Symbol – rausholen – mal die ersten Ableitungen nach der Länge – ich brauche das Christoffel Symbol mit der eins oben es geht um die – Ableitung der ersten Koordinate – ihrer Rechte mit der eins oben das ist der einzige Beitrag minus er – zwei zwei es geht um die Winkelkoordinate – die Fi – nach DL – Define – nach DL – erste Gleichung zweite Gleichung – null ist gleich die zweite Ableitung der zweiten Koordinate – wie nach der Länge – plus was aus den Christoffel-Symbol – kommt jetzt die mit zwei oben – lassen die beiden ihr einst durch er – das sieht man Adobe jetzt diese gemischten Ausdrücke – die Ableitung von er – nach der Länge und die Ableitung von Phi nach der Länge – das kommt gleich zweimal – so müsste eine Geodäte im R zwei aussehen – wir wissen natürlich für die aussieht dass es eine gerade – das hier muss also verklausuliert – die Gleichung einer geraden sein – einer nach ihrer Länge Parametrisierungsgraden – obendrein – das Prüfer noch ist das die Gleichung einer geraden – die üblichen Koordinaten X Y Dessert zwei kriege ich als er mal – Kosinuswinkel – Sinuswinkel – und Gummi nun den Geschwindigkeitsvektor – an von dieser Bewegung – mit der Geschwindigkeitsvektor – konstant – ist Beistrich es muss eine gerade sein – ich leite das also nach der Länge ab – das macht erst mal den Radius ableiten nach der Länge – Vektor hinten – plus den Radius stehen lassen und dieses ableiten nach der Länge – das gibt minus Sinus – unten den – Kosinus – und ich muss noch die innere Ableitung haben also die Ableitung vom Winkel nach der Länge – und jetzt will ich wissen ob das konstant ist – dazu will ich noch mal die Ableitung – und setzt die Gleichungen eigentlich eben hatte – ich prüf also einfach auf die Ableitung – von diesem hier nach der Länge null ist – wirklich null null raus wenn ich bilde – die Ableitung hiervon – nach der Länge – und das kann ich so machen – Dinge willig ableiten oder die es mit den ersten ab das ist die zweite Ableitung von er nach der Länge – mal diesen Weg – jetzt muss ich den ableiten – das bleibt stehen – der hier wird zu minus Sinus Kosinus – ich kriege aber noch die innere Ableitung vom Vieh – damit habe ich den ersten erledigt – Lindner bestreite aber – ich fang an er abzuleiten – er nach ?? ableiten vier Pleiten – minus Sinus Kosinus das haben wir lustigerweise – schon – zweimal – diesen Ausdruck – dann hatte ich den hier ab er mal zweite Ableitung von Vieh – es ?? sich den Händen ableiten – gibt mir minus Kosinus – minus Sinus – mal die Ableitung von Vieh – als in Ableitung – alles Negative hiervon – minus – er mal die Fi – nach DL und jetzt noch mal von der inneren Ableitung die vielen RTL – des Kung uns die beiden Gleichungen an die wir über die Christoffel-Symbol – gefunden haben – die erste sagt – die zweite Ableitung – von er nach der Länge ist er mal – die Ableitung nach der Länge vom Winkel – verziert – na super – die erste Gleichung sagt dieses ist null – und hier unten – Überraschung die zweite Gleichung sagt – dass sie unten ist null schaut also wirklich hin wir haben die Gleichung einer geraden gefunden – auf etwas publizierte Art – witziges aber nun dass diese Formalismus auch im vier dimensionalen – geht der gekrümmten Raumzeit