[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

Krümmungstensor = 0


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

es heißt das nun dass der Krümmungstensor gleich null ist für eine Mannigfaltigkeit – kann ich zum Beispiel – diesen ganz simplen Fall haben – eine zweite minimale Mannigfaltigkeit – die wie ein flaches Stück Papier ist – offensichtlich gibt's da nichts an Krümmung wenn ich einen – Vektor nehme – und hin und her parallel transportiere – dann bleibt er so wie er ist – vielleicht schon etwas überraschender ist folgendes – wenn ich dieses Blatt Papier nehme – und – wenn ich mache – so in dieser Form – ich mache das Papier fällig ohne dass ich es Diener – oder gar zerreiße – dann muss weiterhin – der Krümmungstensor – überall – für dieses Blatt Papier – gleich Null sein – Krümmungstensor ergibt sich aus Messungen – innerhalb des Papiere sozusagen – nicht auf ein Original Papier eine Figur Male – kann ich auch dieses Original Papier so wellig machen – Papier dann die Figur – und in dem Papier selbst – kann ich nicht unterscheiden – ob das Papier denn so gewählt ist – oder Platte ist – Messungen die ich mache – in der Mannigfaltigkeit – müssen dieselben Ergebnisse haben – ich kann diese beiden Fälle nicht auseinanderhalten – es geht noch schlimmer – ?? nicht ein Kegel stumpf angucke – genauer gesagt die Mantelfläche – eines Kegelsturms – äußere Teil – an hat auch diese Mannigfaltigkeit – in Krümmungstensor – null überall den Krümmungstensor – null – ?? diese Mantelfläche des Kegelsturms – kann ich ?? in die Ebene abwickeln – so habe ich ein Plattestück Papier – schneidig aus – Klee bis hier zusammen – dann habe ich meinen Kegel stumpf – und was ich hier auf dem platten Papier veranstalte – sich dann genauso – auf meinem Kegelstumpf – mit einem Körnchen Salz den Vergleich man aber ganz rum geht ist das was anderes was hier lokal passiert – nicht zu weit weg gehe – ist bei beiden dasselbe – in allen diesen Fällen ist der Krümmungstensor – überall gleich Null – Fußnote ich muss den metrischen Tensor – ist die Menü so bauen – sie das Gelaber zwei Tangentialvektoren – als das Skalarprodukt – diese Vektoren im Raum – ganze Lichter im Raum ausrechnen hier genauso wenn ich hier ein Tangentialvektor – habe der dann auch tangential zu dieser Welle ist und noch ein habe dann bestimme ich deren Skalarprodukt – mithilfe des Skalarprodukt im Raum und so weiter – aber das wird man logischerweise – so machen – eine mathematische – Fußnote – bei der Krümmung hier geht es also um die innere Krümmung – es geht nicht darum wie meine Mannigfaltigkeit – irgendwie gefällt – oder schlimmer – in eine andere – Umgebung eingebettete sie in den er drei eingebettete ist sondern es geht um innere Eigenschaften – dieser Mannigfaltigkeit – und spannt es dort dass wir ein Tensor haben – wenn ein Tensor in ein Koordinatensystem – null ist dann ist in allen Koordinatensystemen – null – muss mich nicht bemühen ihr irgend ein schönes Koordinatensystem – rein zulegen – egal welches ich nehme das kann auch fies aussehen man bisschen vorsichtig ist mit umkehrbare – und der Finanzierbarkeit – auch in so einem fiesen goldenen System muss der Krümmungstensor – null sein – hier in der Ebene ist vielleicht klar einen von Zeichen wie Scott in ein System ich nehmen soll – hier auf dem Kegelstumpf – könnte man schon auf fiese Ideen kommen aber egal – welches Kardinals dem ich nehme der Krümmungstensor wird null sein – ich greife mir mal einen Punkt heraus – auf der Mannigfaltigkeit – klein P nennt den – angenommen in einer Umgebung dieses Punktes ist es egal – wie ich einen Vektor – parallel transportieren – ob ich ihn von da nach da transportieren – über diesen Fahrt oder so rum transportiere oder Sohn transportiert egal – es soll immer derselbe Vektor rauskommen als Ergebnis das parallel Transport – in das der Fall ist – also in einer Umgebung – von Pi ist der Paralleltransport – nicht Vater abhängig – dann weiß ich auf jeden Fall – daraus folgt – dass der Krümmungstensor – überall – in dieser Umgebung null sein muss – Komma sind ?? langsam ein Paralleltransport – um ein unendlich kleines – sozusagen – Parallelogramm – in der Paralleltransport – aber insgesamt schon nicht weit abhängig ist dann ist auch nicht abhängig von der Wahl dieses Parallelogramm – also weiß sich in einer Umgebung – in diesem Fall derselben Umgebung – von P ist der Krümmungstensor – eher oben Alpha unten Betterlander – Mühe – überall gleich Null – also genau gesagt ist die Komponente erhoben Alpha unten Wetterlander Müll überall – gleich Null – also auch der denn so als solcher der Nulltensor – in dieser Richtung ist das offensichtlich – das folgt aus der Definition des Krümmungstensor – ist aber jetzt geht das interessanterweise auch andersrum – wenn der Krümmungstensor – in eine Umgebung – meines Punktes überall der Nulltensor ist – dann – weiß ich auch es gibt eine Umgebung sodass der Paralleltransport – nicht weiter abhängig ist das also auch wirklich im nicht allzu großen – egal ist über welchen Pfad ich transportiere Hauptsache Anfangs und Endpunkt sind dieselben – das kann man so sehen – ich möchte also einen Vektor transportieren – von einem Punkt zu einem anderen Punkt – auf der Mannigfaltigkeit – parallel transportieren – genauer gesagt – unter vielleicht so an – Vorsicht – sie zitieren das soll ein Tangentialvektor – sein zu dieser gekrümmten Fläche der soll nicht in den Raum hinaus blicken – und wenn ich einen anderen Pfad nehme – es meine Hoffnung – dass derselbe Weg zur hinten rauskommt – das möchte ich zeigen – unter der Annahme dass der Krümmungstensor – überall gleich Null ist – in der Umgebung – statt dass ihr zu zeigen – dass unabhängig vom Fahrt immer das Ergebnis rauskommt es viel einfacher sich zu überlegen – das man nur zeigen muss dass wenn man einmal rum geht egal – wie in welcher Schleife ich gehe von einem Punkt ausgeheinmal – irgendwie rum kommen wieder zurück – dass dann jeder Vektor wieder zum selben Vektor werden muss – der Transport um geschlossene – Kurven – muss immer wieder dasselbe Ergebnis geben den Originalvektor – das zeige stattdessen – für diesen Ausdruck – die Alphakomponente – des transportierten – Rektors – an dem Ende meines Vaters SEE minus die Alphakomponente – des asphaltierten Wetters am Anfang – diesen Ausdruck gab's ja ein integral – bei der Herleitung des Krümmungstensor – das irgendwie minus – integral von null bis – SEE – von Gammalageschwindigkeitsvektor – und der transportierte Vektor – irgend so ein Integral gab es da – jetzt überlege ich mir was mit diesem integral passiert – wenn der Krümmungstensor – hier überall in dieser Gegend null ist – hier ich also in integral entlang einer geschlossenen Kurve – starte – gehe einmal rum – und Ent am selben Punkt an dem ich gestartet bin – jetzt kann ich sagen – das Komma ?? Nummer kommt die Zither machen ich könnte hier abzweigen – also vom Staat Punkt bis dahin laufen nicht hier abzweigen – zum Beispiel die Hälfte so abtrennen – ?? unten genau auf der Kurve wieder zurücklaufen zum Startpunkt – und wieder hin – zu dieser Strecke – darauf – und so all das hier soll exakt aufeinander liegen bin jetzt voll des integral ausrechne vom Staat Punkt bis dahin den grünen wich zurück – zum Startpunkt und wieder vorwärts in grünlich bis dahin und weiter – muss es Integral dasselbe werden was es vorher war – nicht hier mein Vektor nehme und parallel transportiere – zum Startpunkt und dann wieder zurück – ?? sich gegenseitig aufheben – kann man ihn transportieren – einmal zurück transportieren über den selben Pfad gibt sich weg – dass dieser Ausdruck hier macht keinen Unterschied im Ergebnis – könnte auch noch hier zum Ausflug machen – all das soll exakt auf derselben – Position jeweils liegen – so schwer zu sehen deshalb mal wissen bisschen schief – mach ich schon Ausflug – hier kann ich an unseren Ausdruck machen wenn ich hier angekommen bin gehe ich einmal zum Zentrum – nie unten rum und wieder zurück und da gehe ich weiter bis zum Start Punkt – dass es sich weitertreiben – wenn ich hier angekommen bin – kann ich so zurückgehen zum Startpunkt – und wieder dahin da oben weitermachen – wenn ich hier angekommen bin – kann ich an der Abzweigung – eine Abzweigung machen zurückgeht zum Startpunkt – und wieder zurück und hier mit der Abzweigung weitermachen – und wenn ich hier angekommen wenn man meine Abzweigung – kann ich so eine Abzweigung machen wieder zum Startpunkt und wieder zurück – und so weiter mit den ganzen anderen in beliebig tiefer – Verschachtelung – wenn ich mir jetzt eine von diesen Figuren raus greife sie die so aus – ich gehe vom Staat Punkt – irgend ein Stückchen in die Gegend – und dann habe ich ein – mehr oder minder – Parallelogramm – das sich einmal um laufe – und dann kehre ich wieder zurück zum Start Punkt eigentlich habe ich meine Figur jetzt aus solchen Teilfiguren – zusammengebaut – die oben habe ich zum Beispiel so eine Figur – das anguckt – aus dem Startpunkt – hier obenhin – einmal rum so rum – und so – und wieder zum Start Punkt – da konnte ich schon mal vor – ihr kommt diese Figur vor aus dem Startpunkt – hier obenhin – einmal rum da hin und wieder zurück zum Startpunkt – zum Schluss ist diese ganze Fläche aufgefasst – und in solche Figuren – Punkt jeweils komm ich hiermit irgend einem Vektor am Start Punkt an von einer der vorherigen Schlaufen – transportiere den hier an den Anfang von diesem quasi Parallelogramm – transportiere ihn einmal rum um dieses quasi Parallelogramm – und transportiere ihn wieder zurück zum Start Punkt – das passiert – im Prinzip in jeder von diesen Schlaufen – jetzt guck ich mir an was passiert wenn ich diese Schlaufenflächen – ganz ganz klein mache wenn ich diese Unterteilung – hier ganz ganz klein machen ich sage mal diese Abmessung der längste Schlaufe sei von der Ordnung groß O – klein H – diese Abmessung hier quer dazu – die soll auch von der Ordnung O von H sein – diese Differenz hier nachher minus vorher – um dieses kleine quasi Parallelogramm – das wird jetzt was von Ordnung K hoch drei – sein – wenn ich ein Krümmungstensor – hätte der ungleich null ist dann wäre das irgendwas mit Krümmungstensor mal – H mal H also Ordnung H Quadrat – der Krümmungstensor es aber null – das muss schneller gegen null gehen als H Quadratsortung – auch drei wenn alles schön differenzierbar ist – und jetzt nehme ich diese Differenz parallel verschoben nach vorne zum Start Punkt – dann ist das auch hier O von A hoch drei – ich hab meine Originalkurve – als zerlegt in sehr viele sehr kleine Schlaufen – für jede Schlaufe die ich mache wandert man parallel transportierte Vektor – maximal – um Ordnung von H hoch drei zur Seite Finesseschlaufe – Komma Stückchen weiter nochmals Stückchen weiter – und das mir ich jetzt auf – diese ursprüngliche – Kurve einmal rum setzt sich durch ganz viele – relativ kleine Schlaufen – ich kenne den Beitrag – einer solchen Schlaufe – zumindest von der Größenordnung – her und ich überlege mir wie viele Schlaufen das hier sind – jede Schlaufe – hat sozusagen die breite Haar und die Hörhaar – größenordnungsmäßig – um diese Fläche auszufüllen – brauche ich einst durch Haar mal eins durch Haar von der Ordnung her einst durch Haarschlaufen – in der Breite und als sich Herrschlaufen – in der Höhe – also Ordnung von einst durch H Quadratsschlaufen – habe ich – damit weiß ich was mit dieser Differenz passieren muss – dass es von der Ordnung her die Zahl der Schlaufen – mal den Beitrag einer Schlaufe – geht sieht man der Beitrag einer Schlaufe geht stärker gegen Null als die Zahl der Schlaufen gegen endlich geht – insgesamt – steht dir was von of von auch drei durch H Quadrat – also von Haar – und wenn ich ein sehr kleines H einsetze ist offensichtlich – das geht gegen Null – in diesem Ausdruck ist gar nicht die Rede von Haar – dann weiß ich nichts davon ob ich jetzt hier in kleinen oder in großen Schlaufen durchgehe – ich hab dir erst mal nur mit der ganz großen äußeren Kurve gearbeitet die hängt nicht von hab – und jetzt sehe ich wenn ich Haar ganz klein mache und dass ich mich von Haar ab muss null rauskommen – dieses muss also sowieso nur gewesen sein – also wenn ich um eine geschlossene Kurve transportiere – ich den Vektor raus mit dem ich gestartet bin – das reicht jetzt also wirklich dass – die Nummer zurück – wie auch der rote Fall gilt – wenn in einer Umgebung eines Punktes – der – Krümmungstensor – überall gleich Null ist dann gibt es auch eine Umgebung in der der Paralleltransport – nicht Fahrt abhängig ist – das Wörtchen Umgebung ist dabei aber richtig – gucken uns noch mal den Kegel an die Mantelfläche – des Kegelstumpf – genauer gesagt – den kann ich ja aufschneiden – und in die Ebene drücken – Beistrich hier ist Nahtstelle – diese beiden Seiten sind aneinandergeklebt – jetzt guck ich mir eine Kurve an die einmal – um den Kegel rum dreht er hintenrum irgendwie – kommt sie wieder über die Nahtstelle da kommt sie an – die sie dann wenn ich das als Stück Papiernehmer – auseinanderschneide – so aus – hier fängt meine Kurve an Sie geht einmal rum dahin – über die Nahtstelle da kommt sie wieder an – und jetzt guck ich mein Vektor an den ich parallel transportieren – will sangen wir den Vektor – für die Herden also – etwa so liegen – den parallel transportieren – ?? ja in der Ebene klar wie das geht so wird er natürlich parallel transportiert – anders kann es nicht sein ?? – kommt hier so an auf dieser Seite also parallel zur Kurve – scheint also immer flacher zu werden – irgendwann geht der durch die Kurve durch die auf der Rückseite – scheint sogar unter der Kurve zu liegen ?? nach unten zu zeigen – und dann richtete sich allmählich wieder auf aber in der falschen Richtung – und dann hier zum Schluss nach hinten zu zeigen von da nach da so zeigt er jetzt über die Nahtstelle drüber – hier ist der tangential zu meiner Kurve dann muss ich natürlich auch tangential zu meiner Kurve sein – und so wird dann weiter transportiert – diesen Vektor parallel transportierenden – Zeichner so bekommt ihr also so an und wird dann – so parallel weiter transportiert – und hier sieht man das knirscht – der Vektor der ankommt – ab dem paralleltransporteinmal – rum ist ein ganz anderer Vektor als der mit dem ich gestartet bin – das mit dem Paralleltransport – klappt wenn ich nur einen kleinen Ausflug mache – aber es klappt nicht wenn ich einmal – um dieses doch sozusagen herumgehe – es klappt nur in einer Umgebung – es muss nicht global klappen das kann schiefgehen – sieht man an diesem Kegel – ?? Person Komma noch weiter treiben – wenn der Krümmungstensor – überall in einer Umgebung null ist dann sollte die Mannigfaltigkeit – in irgendeinem Sinne flach sein und sie ist in dem Sinne flach – das es Koordinaten – gibt in einer Umgebung – von P – für die der metrische Tensor – G Menü – gleich dem Kronecker-Delta – ist das wäre der geometrische Fall oder in der allgemeinen Relativitätstheorie – dann eben das Klettermenü – ich kann Koordinaten – so wählen dass der metrische Tensor – ganz simpel wird und kritisch wird – Deltamenü – Kronecker-Delta – oder – Minkowski wird etwa Menü – die Schlussfolgerung von unten nach oben die ist klar – wenn ich solche Koordinaten habe – rechne ich die Christoffel-Symbol – aus – diesen dann offensichtlich null und aus dem Christoffel-Symbol – rechne ich den Krümmungstensor aus es erst recht null – wunderbar – in dieser Umgebung – ist der Krümmungstensor – überall gleich Null diese Richtung ist also klar – trickreich ist die Schlussfolgerung – von oben nach unten – wenn der Krümmungstensor – in einer Umgebung überall null ist warum kann ich dann auch wirklich in einer Umgebung – zu wählen dass die metrische Tensor – billig wird – das kann man sich in vier Schritten überlegen – Schritt Nummer eins – an dieser Stelle will ich eine schöne Basis – ich nenne mal die Basisvektoren – B eins B zwei und so weiter – der mühte Basisvektor – mal den Mythen – Basisvektor in Skalarprodukt – soll sein – Delta – Menü im athletischen Fall beziehungsweise – in der allgemeinen Relativitätstheorie – etwa – mühen ?? – das lässt sich immer machen – ich fürchte irgend ein Vektor als ersten – Berichten auf die richtige Länge dass er mal sich selbst gleich eins ist damit habe ich B eins dann wirklich irgend einen anderen Vektor – und sorge dafür das ich wenn ich den mit B eins kombiniere – bisschen hin und her – dass der Skalarprodukt – zwischen diesen beiden – Null ist und dann bring ich den noch auf die richtige Länge und so weiter und so weiter das wird man hinkriegen – bei der Krümmungstensor – aber überall null sein soll kann ich jetzt diese Basis nehmen – und sie in die Umgebung transportieren – ohne das was schlimmes passiert – das ist der Schritt zwei – diese Basis – in die Umgebung – parallel transportieren – und in dieser Umgebung wenn die klein genug ist kommt es nicht darauf an entlang welcher Kurve ich diese Basis dann zum jeweiligen Bestimmungsort – bringen ob ich so gehe oder so gehe oder so gehen bei der Krümmung Tensor gleich Null ist – jetzt haben wir in der Umgebung hier Basisvektoren – ?? wir noch keine Koordinate dass das Wesentliche – ich behaupte ja ich kann schöne Koordinaten finden – das es Schritt drei ich baue jetzt Koordinaten – ?? sicherlich irgend ein Punkt Q – und irgendeine Kurve von P nach Q und ich möchte jetzt Kugelkoordinaten – geben – Schritt Nummer drei – ich wähle – Fahrt – X – mit X von null ist gleich – P ein zentraler Punkt und – X von eins ist gleich Q Punkt in dem ich Enten will Einfahrt der nicht zu weit aus schweift – aber eben gesehen bei dem Kegel – also vorsichtig sein an der Stelle – wird sage ich was soll die Koordinaten – für Kuh sein Dankes ja ich möchte zu den Punkten in der Umgebungskoordinaten – haben schöne Koordinaten haben – ich definiere Coolander – die Landerkoordinate – dieses Punkt cool – soll sein das integral – entlang von dem Pfad – und nun kommt meine Basisvektoren – ins Spiel zu dieser Basis nämlich die dualen – Basisvektoren – schreiben die Obenlander – diese Basisvektoren – hänge vom jeweiligen Punkt ab wo leben wir gerade also – muss ich irgendwie noch dran schreiben an der Stelle X von es – den Vektornummerlander – aus der dualen Basis an der Stelle X von es – zu ein du aller Basisvektor war eine Linearform – schon länger her – Linearformepoche – ein Argument sich brauche ein Tangentialvektor – welchen nämlich – die Ableitung meines Falles nach es – so sieht das aus – im Endeffekt zu mir ich einfach auf was sagt dieser duale Basisvektor – zu meinem Geschwindigkeitsvektor – mit dem Stern entlang der Chor von da nach da gehen – was sich hier ausrechnen darf natürlich nicht von dem Pfad abhängen sollte dich Blödsinn veranstaltet – ich will einen Pfad um P und Q zu verbinden – und damit möchte ich die Koordinaten – die neuen Koordinaten von Q ausrechnen – diese neuen Koordinaten sollten nicht von dem Vater abhängen – das ist also eine wichtige Geschichte das was da rauskommt ist Fahrt unabhängig – es sei denn wieder mal man geht zu weit raus um irgendwelche Löcher und so weiter – bin ich nicht zu weit rausgeht ist das Fahrt unabhängig – ähnliche Begründung für eben – um zu zeigen dass das Fahrt unabhängig ist überlege ich mir das Null rauskommt – gleich sehen – wenn ich um einen geschlossenen Fahrt gehe – ich aber wieder null für den Anfangswert des Parameters und SE für den Entwert des Parameters – wenn ich um eingeschlossenen – Fahrt gehen – sollen dabei nur rauskommen behaupte ich Komma steht dann ihr das Muttermal ausbuchstabieren – der Geschwindigkeitsvektor – in irgend einem Koordinatensystem – was ich habe ausgedrückt – wäre TX – Mühl – von S nach DS – und dieser Basisvektor – duale – Basisvektor hat irgendwelche Koordinaten – also von Beelander – an der Stelle X von S – habe ich irgendwelche Koordinaten – Müll – so würdig dass das ehrlich dann ausreichend und DS Komma noch – ist es Koordinaten unabhängig geschrieben – und ist jetzt mit Koordinaten geschrieben in irgend einem System – so eingeschlossenen – Fahrt – kann ich mir wieder ganz kleine Teile unterteilt vorstellen – müssen jetzt nicht ganz so schlimm werden wie vorhin – könnte sie zum Beispiel – parallel zu den Koordinatenachsen – wählen – zwei dimensional so leicht im dreidimensionalen – müssen jetzt Anfangsstufen zu bilden und so weiter – Komma sie so ein kleines Stückchen an ?? könnte vielleicht in Richtung X Alpha – so gehen und dann geht es ein Stück in Richtung Ex Beta – so – und wieder zurück – auf diese Weise – wenn ich dieses integral jetzt für so ein kleines – Quadrat aus führe – ich auf der rechten Seite etwas proportional – zu – delta mit Betafen – Beta gleich diesem Mist – tut sich was bei dem Geschwindigkeitsvektor – hier wenn Wetter nicht gleich die Mühe ist glaub ich quer und das wird nur werden – und ihr vorne – habe ich den Wert auf der rechten Seite – dasselbe hier mache ich den negativen Geschwindigkeitsvektor – und von dem den Wert auf der linken Seite ja zum Schluss also dieses – Mal – den rechts – minus dieses Mal den links – die Differenz von dem ihr Rechtsminus – links rechts minus links das ist einfach – von – diesem Lander – Basisvektor – die Müllkomponente – abgeleitet – nach alpha – das ist ja sowas wie rechts minus links – dieses Ding – von dem Vektor B Lander – Komponente – die partielle Ableitung – in Richtung X Alpha das es sowas wie rechts minus links hier dann habe ich die rechte Seite ich hab die linke Seite und es kommt nach oben und unten für oben ist der Geschwindigkeitsvektor – sowas wie Delta – Alpha – gehe ich in Richtung X Alpha – mit meinem ?? aber falsche Raum minus – und ich bitte die Differenz – B oben minus B unten weil ich unten richtig rumgehe – mit ?? Geschwindigkeitsvektor – hier steht dann also von dem Lander – Basisvektor – die Müdekomponente – nach Wetter abgeleitet – oben minus unten hat mit Beta zu tun – das kann ich jetzt zusammenfassen – Kronecker-Delta – Beta müde – ich beginne das Müll raus was gleich Beta ist nur dann ist Delta – mit Beta gleich eins – Millimeters Müll raus was gleich Beta ist davon muss ich einsetzen – also – der – Vektornummerlander – aus der dualen Basis – jetzt die Betakomponente – Müll wird hierzu Beta – abgeleitet – nach X Alpha – minus und jetzt offensichtlich umgekehrt vorn steht ein Alpha – der Weg zur Nummer lambda aus der dualen Basis Alpha Komma Beta – diese Vektoren begehen die sollten aber auf der Mannigfaltigkeit – parallel verschoben sein ich wollte in der mit ihr anfangen und die Vektoren B überall – her in die Umgebung zumindest bringen – durch Parallelverschiebung – das heißt – dieses hier muss mit Christoffel sein wegen der Parallelverschiebung – minus – Christoffel an der zentralen Stelle schreibe ich nicht hin – mal B an der zentralen Stelle – mir Freitagsindex – Sigma – hier oben brauche ich dann ein sigma abgeleitet in die Richtung Alpha – und ich will die Betakomponente – haben – dieses hier ist entsprechend – minus Christoffel – Siegmar – Siegmar – B Lander dahinten – abgeleitet in Richtung Beta – und ich finde die Alphakomponente – haben – nun ist der Witz bei den Christoffel-Symbol – dass sie symmetrisch sind dies ist dasselbe wie das wegen der Person Freiheit – deshalb sind die symmetrischen – diesen beiden Indices – es kommt also tatsächlich null raus – den Beitrag für so ein kleines Quadrat ist null – plus höherer Ordnung so zu sagen und wenn man das wieder hübsch auf somit stellt man fest in der Tat das hier muss Null sein – wenn ich nicht zu weit rausgehe – ist diese Koordinatefahrt – unabhängig – das war der Schritt Nummer drei jetzt habe ich tatsächlich Koordinaten – Komma von vorn ich führe eine Basis ein an den zentral Punkt diese Basis transportiere – ich mithilfe von Paralleltransport – der wenn ich nicht so weit gehe Fahrt unabhängig ist und dann erzeuge ich mithilfe der dualen Basis – und irgend einem Fahrt – auf den Sound richtig ankommt Koordinaten für die Punkte in der Umgebung – letzter Schritt jetzt muss sich noch zeigen – dass diese neuen Koordinaten dichter generiert habe – zu dieser Basis B passen – wenn ich in Richtung der Koordinaten – gehe – laufe ich wirklich in Richtung dieser Basisvektor – also wenn ich jetzt aus den Koordinaten – eine Basis bestimmen würde die autonome Basis zu diesen Koordinaten Q bestimmen würde ich wirklich diese Basis also – eine Basis mit den richtigen Skalarprodukt – und ich haben will ?? Kronecker-Delta – oder Minkowski – das ist der vierte Schritt was passiert wenn ich ein bisschen hin und her gehe gehe ich in Richtung der Basisvektor – ich habe meinen zentralen Punkt P irgendwo daneben ein Punkt X – und ich möchte jetzt wissen was in meinen Kuhkoordinaten – von diesem Punkt X passiert – wenn ich ein Stückchen Richtung meines Basisvektor – Bimühl – gehe – also was ist meine Koordinate – mit der Nummer ?? Lander – von – diesem X und ich gehe ein Stückchen – in Richtung von meinem neuen Basisvektor – bemühen – minus was hatte ich vorher – die Koordinate – mit der Nummer lambda von X selbst – dass er vorn habe ich mit einem integral beschrieben – das da hinten habe ich mit einem integral beschrieben – irgendwas – hier vorne brauche ich einen Fahrt – von P – zu X und ein bisschen in Richtung BMI – also so ein Fahrrad – das ist der vordere – und was ich abziehe – ist – was ich für X Kriege – dafür habe ich so ein Fahrrad – diese beiden integral sich voneinander ab – ich kriege also folgendes integral – ich marschiere von dem X – entlang der Orangenkurve – zurück zu PE und dann entlang der roten Kurve – zu – X plus H mal Menü – dieses integral ist aber Fahrt unabhängig wenn ich nicht zu weit draußen bin – also – kann ich auch schlicht und ergreifend den direkten Weg nehmen – ich kann direkt so marschieren – den geraden Weg nehmen – selber in den Rand schreibe ich den Immigranten endlich mal hin ich nehme also mein dualen Basisvektor – mit der Nummerlander – an der Stelle X von es und wendet den dass es an Linearform – diesen vektordualen – Basisvektor – wende ich an – auf den Geschwindigkeitsvektor – der Geschwindigkeitsvektor – ist H mal – bemühen wenn ich hier von null bis eins integrieren – dieses Stückchen hier – ist – Infiniti Si mal kurz das heißt ihr vorne steht schlicht und ergreifend – der – Vektor – an der Stelle X – und hier steht auch im Endeffekt der Vektor an der Stelle X – der festen Stelle – und die duale Basis – ist gerade dadurch definiert das wenn ich Billlander auf dem Müll anwende – Deltalander – Müll raus kommt – innen drin im integral steht Deltaandermühl – die duale Basis ist so gebaut das wenn ich den ersten Vektor der dualen Basis auf den ersten Wechsel der Originalbasis – anwende – das eins rauskommt – und wenn ich den zweiten Vektor der dualen Basis auf B eins anwenden Null rauskommt und so weiter – du ging das mal das heißt – was aus diesem integral herauskommt – ist schlicht und ergreifend – H mal – Deltaandermüll – ich gehe tatsächlich in die richtige Richtung – wenn ich von einem Punkt X in die Richtung die Mühe gehe – Haar mal – den Basisvektor – mit der Nummer mühen – dann macht die Landerkoordinate – nichts – wenn Lander nicht gleich Menüs und die Landerkoordinate – geht um Haar weiter wenn dann der gleich mir ist das als die Koordinaten sicher gebaut habe diese Kuhkoordinaten – funktionieren wirklich korrekt mit den Bimühlvektoren – zusammen – das waren die vier Schritte von diesem in Anführungszeichen – Beweis ich starte mit einer Basis an zentralen Punkt transportiere – die Basis in die Umgebung – bauen damit – Koordinaten – und zum Schluss zeige ich Schritt vier dass diese Koordinaten auch wirklich zu der Basis passen – und deshalb – diese Eigenschaft haben in diesen Kuhkoordinaten – habe ich tatsächlich dass der metrische Tensor der Mittel ?? ist ja der Skalarprodukt – der Basisvektoren – das symmetrische Tensor Kronecker-Delta – oder Minkowski ist