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24A.2 Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung


CC-BY-NC-SA 3.0

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esgibt zwar Folge integraler auszurechnendas integralvon zwei bis dreiüber Wurzelvier X plus fünfdanndas integral von zwei bis dreiX mal WurzelPunkt WurzelX mal die WurzelX plus einsund dann das integral von zwei bis dreizwei bis dreiX mal E hochminusX Quadratmoderner schau ich mal hierhindas integral voneins bisvierX Quadrat plus einstue ichX quadratsminus?? umminus drei Xund das integralvoneins biszweivon dem selben Mixquadratplus eins X QuadratXXsollte mit diesen Regelnalles funktionierenam ?? letztes Mal habe ich schonlang und breit erzähltdass sich Integraleeinfach wieder mit üblichen Funktionen lösen lassenist eher Zufalldie ganzen Aufgaben der Schule und im ersten Semester sind so gemacht das man Integrale dann tatsächlich mit den üblichen Funktionen lösen kann dass man Stammfunktion finden kann anin der Warenwelt ist dasbeim besten Willen nicht so ?? Bar in der Warenwelt ist das Zufall wenn sie schaffen solche Integraleam tatsächlichen Stand geschaffen zu mir mit üblichen FunktionenhinzuschreibenWarenwelt muss man sie häufig numerisch integrieren und hat keineanalytischen Lösungen aberKomma dass es erst mal so anmit diesen drei Regeln sollte das funktionierenkann sie vorne an eins zwei drei vier fünfalsodas erste schreit nach Substitutioneine Funktioneiner anderen Funktion soll integriertwerdenzwei bis drei hätte ich gerne vier X plusfünfXdas sieht doch so auswiezwei bis dreiinnen drin stehtU von Xund die Wurzel ist mein Feine Funktion einer anderen Funktiondas ungeschickte ist jetzt aber dass die Substitutionsregelmit diesemF vonrosa nicht möglich ist die Substitutionsregelwill auch die Ableitung drin stehen haben zurück zurUnion dadie Substitutionsregelwenn ich ?? von ?? haben die Substitutionsregelwill die Ableitung habenaber das ist keine große Kunstdas Komma uns dichtenhaben die Ableitungist nämlich einfach vier wenn sie viermal X plus fünf nach X ableiten ist die Ableitung einfach vierich dichte mir dassodas wäre die Form nicht haben will hier steht jetzt auch die innere Ableitung öffentlich nicht leichtaber das kann ich gleich machen indem ich noch ein Viertel der vorschreibebitte mal vier macht nichts kaputt aber jetzt steht hier tatsächlichmeine Funktionenvon U von Xmaldie Ableitungvon U O Strich von Xda steht jetztim integraldie Wurzel ist FU ist für X plus fünf und hier steht O Strichund jetzt geht Substitutionsregeldas ist alsoein Viertelunumgänglich substituieren?? es steht dann nur nochF von wo also die Wurzel von U Demodie Wurzelhier dieses unter der Wurzel ist man von X die EUin den Grenzen jetzt vorsichtig von zwei bis drei sondern von U von zweibis U von dreihatte man zwei Körnchen Salz denken ich brauche die Ableitungund ich muss die Grenzen ändernKommadas ist ein Viertel dieses Buchherkomme ausrechnen U von zweivier mal zwei acht plus fünf hundert dreizehnund hier U von drei zwölfplus fünfzehn siebzehn??über die Wurzel des es ja netterweisehoch ein halb die EU dafür können eine Stammfunktionfür hoch ein halbLeben funktioniertalso hierhoch drei halbeableitenkommt drei ?? nach vorne ich will aber kein treibender vorne alle schreibe ich hier noch zwei Drittelin den Grenzen von dreizehnbis siebzehn ?? jetzt aber noch mal Probe ableiten die hier nachMystifikationsvariablenU ableitendrei halbe Komma zwote nach vorne zwei drittel Mark ?? eins und drei mit einem als verminderteinhaltenmacht also insgesamtentweder nicht verfügbar sind ein viertel mal das hier ein viertel malUppsala zwei drittelmalsiebzehn hoch drei halbeminus dreizehn hochdrei ??also rausdasser jetzt dieSubstitutionsregeltotal streng angewendetman wird dasim ingenieurmäßigenAlltagbisschen laxer handhabendes Abheben schon angesagtähm im Alltagmacht man einfach diesen Trick mit dem Kürzenwilligt sich in der Mathematikdas funktioniert schönoder muss ich mir gar nicht den ganzenAufwand machen dann kürzlich eben einfach wenn ich kürzen darfso würde das dann aus sie noch mal dasselbe integral jetzt ingenieurmäßigeher Wurzel vier X plus fünfingenieurmäßigoderphysikermäßigdie Physiker sind dennoch ?? nur gnadenloser glaube ich als Ingenieurwohl zu viel X plus fünfvon zwei bis dreisoSubstitutionheißt das hier wirdU werdendas ist die Substitutionmit ziemlich Substitutionsobstdie Funktiondannund dann sagen sich diePhysiker Weiden und Physiker sagen sich dann da die X ist es ungeschickter Stätten Ueffiziente X das nervt mich aber ich möchte hier auch in die EU haben wie hängen die X und die EU zusammenKomma schnell überlegener die U nach TXtäte einfach dannäh das heißt also viermal X plus fünfableitennach dem ?? ist vierund das darf man dannzumindest in der Physikundim Ingenieurwesendarf man das dann ganz schräg lesen was man sagt groß ist also die EU müssen das auch ist die EU also gleich viermal die Xoderdie X ist gleich ein viertel EUwenn sie das auflösendie EU nach die X ist gleich vierdie Mathematiker kriegengraue Haare an der Stelle aber wenn sie sich das ganz formal angucken die EU nach der X ist gleich vier und das auflösendas auflösendie vier nach links rüber bringen ein viertel EU dass die X auf die andere Seite überbringen sie die X ist ein viertel EUdas wäre ingenieurmäßigeRechnung ich bestimme die Ableitungund löse dann auf die Uno ist soundsoviel mal die X oder die X ist soundsoviel mal die EU das Königshausund das etliche oben einGemeinde XLeerzeichenIntegralwurzel?? und dass die X wird werdenein viertel EUGemeinde X ist mutiert zu einem viertel EU und jetzt muss ich natürlich die Grenzen einsetzen dass davon auch hier nicht vergessenfür X gleich zwei und U für X gleichdreiund die Rechnung dieselbe lieber vorher hatten die Landwirte nicht in das Viertel ausam?? ist ein Viertel hat man eben auchauf etwas andere WeiseKomma dass ein Vetter das Rechenergebnisfür dasselbe seindas wäre dasetwaslaxere Vorgehen wenn man einmal weiß das Substitutionsregelfunktioniertund dass sie im Endeffekt nichts anderes bedeutet als das man diese Differenzial kürzen kanndann kann man auch so vorgehen dass man Sachen ohne stete FunktionU unter der Wurzelich baue mir eine neue Funktionin das unter der Wurzeles ist aber blöde das X meine Integrationsvariableistich würde gerne um meine neue Funktion zu einer Variablen machen also bestimme ich den Zusammenhang zwischen X durch die Ableitung und ersetze ihr dann die X ist gleich in diesem Fall ein viertel EUundbin bei dem ihr genau dasselbe was eben auch hattendannselbes Resultatdie die Rechnung istaus Sicht der Mathematik fragwürdigführt aber zum richtigen Resultat bei denstrengen mathematischen Rechen ?? dasselbe rauskriegenanaber der wesentlicheträgt an dieser Stelle ist dieses hier das man sagtdieses die X möchte ich gerne meine neuen VariablenU ausdrückenund das mit der Ableitung nach die Monate X kann ich ausrechnenund dann kriege ich die Xausgedrücktwird die EU den hier rein schreibe ich dahinten in diesem Fall ein viertel EUsoweit sie das typischerweise sehenSie mir bitte ?? manchmal ausdrücklich mehrgekürztnoch andere Weise eingebautaußerhalb der Mathematikzum Ingenieurkunst geht und um Physik geht sehen Siedie Substitutionsregelgenauso und nicht anders und das geht natürlich dann auch in der Klausur ?? das Ergebnis ja stimmt netterweisedie Begründung istnicht ganz?? soll sagen ?? nicht ganz unzweifelhaftdas ?? sagt die U nach TX ist vier dann ist also die X gleich ein viertel EUdiese Begründung ist eher zweifelhaft man kann die mit Leben füllen nach zwei weiteren Semestern Mathematik kann man sowas eher selten hinschreiben?? aber erstmals die Begründung zweifelhaftaber das Ergebnis ist richtigund netterweiserechnet einfach jeder so dürfen sie auch in der Klausur so rechnendass er eben ist nur der strenge Weg gewesen und zu zeigenwie man offiziellin der Mathematik auf das Resultat kommtim wahren Lebenrechnet man dann einfach mit diesen Differenzialso als ob nichts gewesen wäre die X ist gleichsoundsoviel maldie UX mal Wurzel X plus einsvon zwei bis drei X mal die Wurzel X plus einsist ein Produkt X mal Wurzeldas könntenach verschiedenen Sachen schreien einmal könnte das nach Substitutionsregelschreiben ?? zum Beispiel X Quadrat unter der Wurzel stünde den hätte ich hier was was wie die Ableitung aussiehtvon dem X Quadratin völlig Substitutionsregelprobierendas hierwürde ich aber eherdie Original Aufgaben für dich ihr mit partieller Integrationversuchender Gedanke ist wenn ich X ableitewird es einfacherin der Musik ?? Stammfunktionfür die Wurzel angeben das kriegt man noch hinvorgemerkt X ableiten damit es einfacher wird es ?? vereinigen sie sehendass sie die Wurzel abgeleitet haben das Wetter eher schlimm eins durch zweimal die Wurzel und eine Stammfunktionfür X angeben müssenX Quadrat halbedas ?? das ganze schlimmerals überlegen sich bei der partiellen Integrationwelche abgeleitet werden soll damit einfacher wird hier sollte der erste abgeleitet werdenund den zweitenvon dem griechischen Stammfunktionnotfalls mit Substitutionaber eigentlich auch zu Fuß man sich überlegenwelche Funktion leite ich ab das Wurzel X plus eins rauskommt wenn sie erst mal nur den nehmen welche Fusion leider das die Wurzel rauskommt das hatten wir gerade schon zwei drittelmal X hochdrei halbedann habe ich nur die Wurzel und für das plus eins Probleme doch einfach malden hiermit Ideen probeweise ableiten die drei halbe komm nach vorne kürzen die zwei Drittelunterkommen und ?? Ableitung dazu Natur ist einfach eins die drei halbe werden Mainz verringert haut ihnan dieses Plus eins verschiebt ?? einfach meine Funktionentlang der x-Achsedas heißt das macht nichts Schlimmes mit Ableitungenoder mit integralso möchte das Anwenden das heißt in meiner Regel die ich eben hattesie in der Regel die ich eben sehensie nicht drumnunich starte mit elf Strich mal gehenin dieser RegelBeistrich wird integriertes Eis dieses hier muss elf Strich seinund dieses hier muss Gesell und sie zu editierenvon je bildlicher die Ableitung Beistrich von X von elf Strich brauche ich eine StammfunktionF von Xso muss das sein ?? den ?? integrierenBeistrich und den hier ableiten das es also gehensowas bin ich dann jetzt kriege ichF mal Gdie beiden nicht abgeleitetenFunktionenin diesen Grenzen zwei bis dreinicht abgeleitetalso X für das Gundfür das F die zweidrittel Expresseinzug drei halbe zwei DrittelX plus eins hoch drei halbedas wäre dieser Rand hereine Stammfunktion zu elf Strichund das X wie es da gestanden hat beide nicht abgeleiteten Funktion so merke ich mir das hier die nicht abgeleitete Funktion und hier die nicht abgeleitete Funktionminusdas ganze Ding mit vertauschten Rollenstatt GG strichden ersten ableitenmalund vonelf Strich eine StammfunktionF zwei DrittelX plus einshoch drei halbeTX hier steht jetzt alsodie Beistrich von Xund hier steht er von Xvertauschte Rollen ein ableiten von einem benimm an eine Stammfunktionwie sie das bis dahin ausich privat und die das immer ihr somit den Feilenweiß nicht wenn's ihnen hilft?? bald auch mit solchen Fall anden möchte ich ableiten und von dem suche ich eine Stammfunktionbei dem Rand ?? nehme ich dann die beidennicht abgeleitetenFunktionentauchen hier auf und bei dem integral was übrig bleibtmit dem Minusnehme ichdie beiden anderen Kandidaten also einen abgeleitet und vom anderen Stammfunktionentauchen dahinten auf ??schreibe ich mir das aufsodas ist jetztschon fastlösbar was er übrig istweiterdas ist alsodie die drei Einsätzen zwei drittelmalso vierdrei Pluszeichenvier hoch drei halbemaldreiund die zwei Einsätzenminuszwei ?? setzen zwei drittel mal zwei plus eins hoch drei halbe Mal zweizwei drittel mal zwei plus eins dreihoch drei halbe Malzwei das ist der erste Termminusjetzt kann ich hier die eins sowieso vergessenzwei Drittel aus dem integral ziehen zwei Drittel das integral von zwei bis dreiX plus eins hoch drei halbeTXSeitezwei drittel aus dem integral gezogen die eins sowieso vergessenwie gehen Sie an dieses integralgenau nach dem selben Schema wie ebenanich suche eine Funktion deren Ableitung X plus eins hoch drei halbe istein Probleme doch einfach mal ganz dumm X plus eins hoch fünf halbe?? beim ableiten denn aus den fünf halben minus eins drei halbe wunderschönes kommt aber Faktor fünf habe davor kann ich aberrückgängig machenzwei Fünfteldes ist die Welt in Ordnung wenn sie das ableiten nach Xkommen fünf Arbeitstakte dafürkürzlich fünf haben wir zu drei halbe Mal die in der AbleitungX plus eins in Ableitung aber einsdas eine Stammfunktion die nämlich jetzt in den passenden Grenzen von zwei bis dreidann wird das ganze Uni monströskann solche vorne stehtwahrscheinlich sich in das ganze Wasser vorne steht minus zwei drittelmal zweiFünftelmalWasser mit hier vier hoch fünf halbe vier hoch ?? Farbe minusdrei hoch fünf halbewird etwas wirkliches werdenaber der Stress ohneTaschenrechner ziemlich feierabendgossenbisschen auf Anhieb vier fünf halbe nein das vermittelte noch hinkriegenindas nette?? aufgefallennebenbei vier auf fünf halbedas würde sogar noch ohne Taschenrechner hinkriegenwürde dich verlangen dass das jemand und Aschenbecher hin schreibt aber nicht die Skalen nur was es vier hoch fünf halbe Unterzeichnereiner als zwei ?? dreißigäh ihr Weg war jetzthier hoch fünf halbe ist vier hoch zweiplus ein halbfünf halbe zwei ?? zwei plus ein halb ist also vier hoch zwei malbessermal vier hoch Einhaltvier hoch zwei sechzehnvier ein halb Wurzel aus vier S zwei ist zwei ?? dreißignahmich ?? anders angegangen ich hätte vier hoch ein halb gerechnetist zwei hoch fünfzwei ?? dreißigviele Wege führen nach Romalso einige von diesen Zahlen Komma tatsächlich noch ausreichend ?? entwickeln sich das nicht ?? wenn das da steht somit das Erreichenwesentliche Geschichte istwehleidigab damit es einfacher wirdund was für Terme treten dann auf bei derpartiellen Integrationähmdas sie sind gerne Sachen bei denen man sichhöllisch verrechnen kann durch auch regelmäßig ??muss dann ebenMassivprobe rechnen an der stellenbeziehungsweiseehrlich gesagtim wahren Lebenwürde ich das dann doch einfach in Wolfram Alpha eintippenist und es in D haben was denn hinter diesen ganzenIntegrationsoperationstecktim wahren Leben macht man heute sehr wenig von diesen Integration wirklich zu Fuß Komma die Software dahinterhabendas aber so vorzwanzig dreißig Jahren wesentliche Bestandteil des Studiums noch das man alle möglichen schrägen Integrale ?? irgendwienoch gerade so ausrechnen kannvölliger Wahnsinn aus heutiger Sicht weil das kann der Computer viel besserselbst wenn Funktionen gefragt sind ?? zum BeispielAlphadann geht'ssinniger Fragen gibtPunktalso die Frage warum lösen wir das hier nicht mit Substitutionanich würde ganz einfach sagenweil ich VW würde ich das mit Substitution lösen das könnte manandererseitskann man auch direkt gestaffelt zu schreiben hoffe dass sie endlich einmal gesehen haben ist das einfach klar das es nicht davon ?? man könnte Substitutionmachen die in Ableitung ist einses sich dann nicht zu vielmit Substitutionin der Tat also wenn sie das ja einmal gesehen habenwie das funktioniert?? auch keine Probleme mit einfach entwickelter vorschreibendiese Funktion hier wird viermal so schnell durchlaufen wie die Originalfunktionensich das vorstellen das ist den Busses natürlich Anrufung zu irgend eine Funktionmit vier X trennen wird viermal so schnell durchlaufenwenn sie die Fläche bestimmen unter der Funktion die viermal so schnell durchlaufen wird er sinnvollerweise ein viertel von der welche die Vorhalt unterwarfandas Gericht natürlich auchanders hin als mit Substitutiondas ist die billigste Substitution?? man sich überhaupt vorstellen kann wenn wir jetzt X Quadrat stünde oder Firma der Sinus dann wieder ganz fieser bei denjenigen Konstantestehenan insofern war das hier wirklich eine sehreinfache Fingerübung für Substitutiondafür die auch sagen irgendwannist man dann in der Lage und klammert einfach das ein Viertel ausund es gut man schreibt kann ich die Einzelteile inder nächste X Mario minus X Quadrat integrierenauch wieder vonzwei bis drei X mal E hochminusXQuadratDax und jetzt von der Reihenfolgemeint erst verlierenund dann eh hochso liest man dasso das diese Aufgabeweilman das so auf Anhieb sieht möchte man meinen abendliche vorne ableitedann ist die Welt noch in Ordnung aus dem X wird nach eins Unterbau von dem ?? hinten ?? Stammfunktiondas Wetter nicht schlecht für partielle Integration der Ärger ist von dem kann man in Normalfunktionkann Stammfunktion angebenwenn sie dasNiveau von Alphaversuchenkriegen sie irgendwas mit RA Fang schon soundsoviel von ein paar Faktoren drin und davoranes gibtfür dieses hier keine Stammfunktionenlieber mit üblichen Funktion hinschreiben kann dass es ärgerlicham insofern komme ich mit partieller Integration nicht weiterhabe er mitIntegration durch Substitution?? Citys X angucken dieses X hat was mit der Ableitung der inneren Funktion zu tunderen Ableitung hier ist minus zwei Xdas passt wunderbar mit dem X zusammendas ist eine Situation der Substitutionsregelist die innere Ableitung als Faktor noch dabei stehtwas soll das maljetzt hier in der ingenieursmäßigenFormbauenSubstitutionwäre alsodie wäre hier also U ist gleich minus X Quadratmeine innere Funktionanich muss wissen wie die EU und die X Zusammenhängendie Ruhe nach der X ist wenn sie einfach ableiten minus zwei Xüber das auflösen ??ich möchte die X wissen die X bin ich nach rechtsund das heißt ich muss durch minus zwei X teilendann steht da das ist die U durch minus zwei X ist also minus eins durch zwei X maldie Udas setzt manda einund hat nun das integralX mal E hochUminus X Quadrat ist nundie X steht hier die X istminus eins ?? zwei Xmal minus eins durch zwei X die nundie X ist minus Einzel zweigt die U dass es dieseingenieurmäßigeErsetzungund jetzt freut man sich das man kürzen kanndieses X und das Xund dann kriegtminus ein halb das kann jetzt das mittig herausholtminus ein halbaufwändiger als dicker Sammler vergessenihre Rudinundie Grenzenjetzt muss ich natürlich die Grenzen fürU haben nicht mehr die Grenzen für Xalso hier steht minus zwei Quadrat und da steht minus drei Quadratwas sich für U einderAnfangswertfür U ist minus zwei Quadrat und der Entwert für U ist minus drei Quadratalso hier geht das von minusvier bis minus neuneine Stammfunktionsowie hochmütigeHits geschenktohne mich minus ein halb jetzt meine Stammfunktionihr EUvon minus vier bis minus neunsehen was hier aber witziges passiertdie obere Grenzeist links von der unteren Grenzeminus neun nicht auf der linken Seite integrierennicht wieüblich von links nach rechts integriere falsch rum von minus vier nach minus neun?? falsch rumaber sie sehen das geht ohne großen Schaden durchandas es minus ein halbgesetzlich oben ein E hoch minus neun E hoch minus neunminus ich setze unten ein Ehebruch minus vierdas integral falsch rum heißt für mich einfach nur das Vorzeichen zu ändernziehe von demVersagenvon dervon dem Endesich den Anfangswert ab wenn die beiden vertauscht sind grimmig einfach negatives Vorzeichensodas macht also insgesamt wenn ich dieses ein Halbstaffelnoch so nett unterschreibeminusminus E hoch minus vierminusminus neunso sieht das außen wird es auch positive ZahlEhebruch minus neunist kleiner als eo minus vierdie umstrittene positive Zahl durch zwei tatsächlich eine positive Zahldas käme daraus also man darf sich nicht ins Boxhorn jagen lassen Punktam einigeIntegrale sehen aus wieProduktregelabergehen leider gar nicht mit Produktregel sondern in diesem Fall mitSubstitutionundwie schon gesagt Komma ich oft genug sagen wenn sie irgend ein echtesintegral habenaus dem wahren Lebengeht wahrscheinlich sowieso keine von den ganzen Regelnund das Ding lässt sich nur numerisch lösendieses Integralwirkungsgradmal zusammen aneinemFeldweg an dem integral was auchan dem ihrjegliche Problemeähmwenn ich mir die Polstellen der Funktion ?? angucke wenn ich null in denen Einsätze?? Quadraten ist Komma nur der Koppel rausund wenn ich drei Einsätze drei Quadrat minus drei mal drei kommt nur rausbei diesen wirklich Polstellenbin ich um null Einsätze null Quadrat plus einsdas nicht nur wenn ich drei Einsätze drei Charakters als auch nicht nur ich habe zwei Polstelleneine bei null und eine bei dreiund was sagt mir dasund das heißt das kann ich fusionieren von eins bis vier kann ich dieses Ding nicht integrierendas Licht mir um die Ohrenan weil ich an der Stelle drei eine Polstelle habe die ist im Integrationsbereichich kann von eins bis zwei integriereneine Stelle nun habe ich ein Pol einer Stelle drei habe ich einen Pool von eins bis zwei kann ich integrieren damit kann ich von eins bis vier über die Polstelle integrieren also wer kann schon nicht funktionierensie Netzen aneins biszweiX Quadrat plus eins durchX Quadrat minusdrei X die X der wird funktionierenweil ich keine Polstelle in diesem Bereich habe dem Integrationsbereichhabeund die Regel dafür ist natürlich selbs verständlich Partialbruchzerlegunghier stehteine rationale Funktiondas fällt dann sinnvollerweise mit Partialbruchzerlegungmachendannerste Schritt dabei ist festzustellenob ich den Polynomdivisionmachen muss oder nichtwie stets damit Musik Polynomdivisionmachen oder nichthier muss ich gerade noch Polynomdivisionmachen wenn der Zählergradgleich den Nenner gratis ist gerade noch Polynomdivisionmöglichkriegen konstant herausamEx Quadrat plus einsdurchX Quadratminus drei XPolynomdivisionSinix war warte X Fahrrad macht eins der komplette ?? noch was raus bei der Polynomdivisionsich geradeüberragend was da rauskommt aber es kommt nicht nur das Ergebnis eins kommt die als Ergebnis X war dadurch X fördert macht eins?? oben nur X gestanden hätte mich X Quadrat in Unix gestanden hätte dann hätte ich keine Polynomdivisionmachen müssen oder wenn unten X hoch drei gestandso eins und wie geht es jetztweiterzurück multiplizierenist X Quadrat minus drei Xzehn X fördert sechs hundert siebzig wegdann bleiben hier drei X minus minusdrei Xplus einsund das ist natürlich mein Rest hier Untendreiecksköniglich männliche Quadrat geteiltdas heißt hier rechne ich das integral von eins bis zwei von Einsplusund jetzt hier den Restdrei X plus einsdurch X QuadratXdie Xnunweiterer das integral über die einsKönig geschenkt unterbleibt das integral ?? stehenzwei ??geht das jetzt weiterwas ist das integral über die eins?? ich kriege das integral von eins bis zwei über die eins und ich kriege das integral von eins bis zwei über diesen Bruch?? vergessen habeBikes plus eins durch X fordert Minister XX plus eins durch X verratenXXist integral hier vornevon eins bis zwei die Funktion integrieren die eins hoch istwahrscheinlich keine Stammfunktion hindern das ist einfach direkt ab das muss eins sein diese Fläche jetzt eins eins breiter als hochbleibt das hier hinten das geht jetzt mit Partialbruchzerlegungfür Dental?? ich möchte gerne das drei X plus einszerlegen das interessiert mich die Polstelledie hat man gerade schonden Nenner kann ich zerlegen X mal X minus dreiund wir wissen schon das tatsächlichX gleich null und X gleich drei Polstellen sind es schongekürztes gibt nicht wohl stellen die wegfallen oder niedriger Ordnung haben wir schonso weit gekürzt wie'sgehtdas heißt was ist der Ansatz für die PartialbruchzerlegungPolstelleerster Ordnung bei ist gleich null Aristides schreibe ich in Polstelle erster Ordnung bei X gleich dreiB durchX minus drei Schweinchendas wäre der Ansatz wenn ich wohl stellen höherer Ordnung mehrfache Polstellen haben sich noch weitere Therme habenKomma Leerschritt ist das schon klar ist A und B könnte man jetzt schon mäßig bestimmen oder einfach ablesengesehenwenn sie nur einsetzen was passiert wenn X null wird steht obeneins und hier stehtminus drei das heißt dieses wares schlicht und ergreifend?? gucken oben steht wenn ich null Einsätze steht oben eins unten steht minus drei heißt also minus ein drittelund Bwenn ich drei Einsätzeentsteht oben neun plus eins sind zehn durch drei bis zehn Drittelkann man auch den Wassereinbruch Strichpunkt und so weiter unsinnigwarenund jetzt sind aber integral insgesamtdas integral ist alsoeinsplus das integral von eins bis zweieins plus das integral von eins bis zweijetzt habe ich diese Woche anders geschriebenminuseins durch dreimal Xder erstepluszehn drittel mal eins durch X minus dreider Effekt der Partialbruchzerlegungvorn habe ich ein sehr einfaches Polynom abgespaltenund den zertifiziertenPartialbrüchedas heißt es hintere integral wird jetztdieses hier und das kann ich mit üblichen Funktionen lösenhier brauche ich jetzt Stammfunktioneine Stammfunktion zu minus eins durch drei X was halten Sie davoneins durch X Datenstammfunktionder Lunge Rhythmus besser noch ?? gerittenerEllen von Betragdas gebe eins durch X aber ich will ja minusein drittel also minus ein drittel vom Logarithmusund hier dasmuss ja sein der Logarithmusverschoben zehn Drittel als Faktor bleibt und sie muss ich den Rhythmus einfach verschieben um drei also steht jeder Rhythmus von Betrag X minusdreidass es in den Grenzen von eins bis zweidas ?? Außenseiterinbesser aus ist also einsPlus durchsetzen ?? zwei einteureres Plus nicht zweite zwar ein minus ein drittel den Rhythmus von zweiplus zehn dritteMal den Rhythmus des rhythmusnatürlichenRhythmusbetragvon zwei minus dreizwei Minister ist minus eins Betrag als ?? drittens einsminusjetzt die eins einsetzen und abziehenminus ein drittel mal den Logarithmusbetrageins ist einsplus zehn Drittelmal den Rhythmus eins minus drei ist minus zwei jährigen Rhythmus etwa zweikann man das noch vereinfachenwomit potenziert sich die Zahl wieder mit eins rauskommt mit null ?? drittens eins ist nullund der ist auch nullunternahm insgesamt das istmir insgesamtdamit das waseinsminus ein drittel Logarithmus zweiminuszehn Drittel Logarithmus zweirichtig minus ein bis zwei minus zehn Rhythmus zwei also eins minus elf DrittelLogarithmusaus zweidass wir das werdenein einfaches Beispiel fürverzerrte Zerlegung zur Integration