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19F.1 Sinus und Logarithmen ausrechnen: CORDIC und BKM


CC-BY-NC-SA 3.0

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kann man jetzt den Sinus und diversen Logarithmenausrechnen ist besonders gleich der Logarithmus ausrechnen und es gibt zwei klassischeVerfahren VTechund BKMmöchte ich mit Ihnensprechen, wie die im Prinzip funktionieren,dass er zum Schluss, dass er dich sogar bestehen,sie nie die kriegen, was dann in der Informatik stattfinden wird in der Informatik Veranstaltungfür meinenauseinandernimmt,könnte der Taschenrechner machen,es tut oder nicht ist Geheimnis der Hersteller, was könnte der Taschenrechner machen, wenn sie auf die Siegerstraße oder die loadrite Maustastebeiden Algorithmen wären erste Kandidatin.gehtauch noch zur Bildung und das mathematische Fachgebiete der Numeriknumerische Mathematikanderen Worten,kann man etwas in Zahlen ausrechnen, darumgeht es in der Numerik.Rechenoperationenund Rechenoperationen, was ist arithmetik und wenn es dann schlimmer wird,kann man Sinus Untergriff Bus ausrechnen, wie kann man Ninja Gleichungssystemelösen, wie kann man Differentialgleichungen lösen, das ist danndich in Zahlen ausrechnen, ichhabe ja hin und wieder auch schon Wolfram Alpha vorgeführtwird Kamal verarbeitet jasymbolisch,wenn Sie bei Wolfram Alpha sagen, leite mir mal den Sinus ab, dann rechnet er ja nicht.Zahlen, sondern er weiß die Ableitung von Sinus ist der Cosinus erkennt Regelndas ist nicht nur mäßig, das ist noch was anderes. BeiNumerik wird wirklich knallhart mit Zahlen gerechnet.Funktionen dann wie Sinus und Logarithmus, die zählen dann den anfangen. Der Numerikist wird ein viel schlimmer noch dann gleich sehen ist es gar nicht so schlimm, wenn man glauben möchte Sinus Untergrund mussauszurechnenerste Möglichkeitindem man den Sinus eine erste Möglichkeit wäreund die wird es dann typischerweise nicht eine erste Möglichkeit wärePotenzreihenzu nehmen.genauso für den Logarithmus, aber das will ich jetzt nicht, wo finde ich muss aber nur Team Sinus vorführen, warum das vielleicht keine gute Möglichkeitist eine Potenzreihe.fange mit Isofix an. Komme gleich zum Sinus diePotenzreihe für E hoch XEeins plus SticksX Quadrat halbe+ xhoch3durch 3 Fakultät, also6 plus xu4 durch 4 Fakultät für Garden 24 + x55Fakultät120 + und so weiter.kommt da kein Grenzwert eben vor Mann guckt sich eine folge an Zahl 1 und dann die Zahl 1 + X mitgegebenenX und dann die Zahl 1 + X + X Quadrat halbe und so weiter und so weiter immer weiter das in die Folgenglieder.diese Folge wirdwir gehene hoch. IX das war die Potenzreihe für IOXkam früher mal vor will ich jetzt nicht vorbeten. Ist ja nicht so dramatisch die Herleitungzur Erinnerung,sowas wieX1000tausend und dann ist der Trick, dass ich die Eriks Tausendstel Ninja näheresder nämlich 1 +Evo X Tausendstel ist, nur für Alko 6000 zu hoch tausenddann gib mit binomi weiter die Nominierten auch schon und dann steht dann lustigerweise da diese Potenzreihe,ich jetzt nicht weiter ausbreiten ist soll nachher andere Algorithmen gehen, ich bin nur wieder Potenzreihe bringen, dass sie sehen, dass es vielleicht keine gute Möglichkeitder Potenzreihe.ihrem Ex für dich den Sinus bildenSinus von X.an sich doch ein letztes Mal wie kommen sie an den Sinus, weil sie nicht die aus Sinus von einemWinkel kommen sie an den Sinus von einem Winkel, wenn sie eh hoch X ausrechnen könnenmit der Eulerschen FormelTrick ist e hoch i PI zu bilden, dann habe ich ja Cosinus plus Sinus,will nur den Sinus habendann ging das jadass mankonjugierte abziehthaben Sie Cosinus plus Sinus undhier haben Sie Cosinus minusSinusvon Winkelminus Cosinus mal Sinusimaginos nach zweimaliger Sinus, der Code ist weg die Teilen durch 2 ekriegen sie die Sinus rausda kann man jetzt die Potenzreihe einsetzen, das ist der Trick. Also, diesePotenzreihe setzen sie anden beiden Stellen ein. Eiimaginärwerden scheiße.sie kriegen nach einige Rechnung raus, das kam ja schon vor-4^ 36 in drei Fakultät plus 4 hoch 5 durch 120+ geht es dann immer weiter,ungeraden Potenzenkommt man auf die Potenzreihe für den Sinus.Prinzipman nicht so ausrechnen gibt auch diversean denen man ist das herrlich so ausreichend,sie sich von ihrem tan Winkel im Bogenmaß haben wollen.Sie die Winkel - dritte Potenz von Winkel durch 65 die Potenz von den Winkel durch 120 und so weiter undauch immer die 20. Potenz durch 20 Fakultät irgendwann müsse, natürlich auch hören, wir sind ja nicht in der Lage hiermit unendlicherweiterzuführen. Eigentlichwäre der Grenzwert gefragt,es bis ins Unendliche läuft,kann man durch praktisch nicht ausrechnen.wäre eine Art jemanden Sinus ausrechnen könnte,jeden Fall nicht so ausrechnen,wann wird diese Formel umformen fällt Ihnen hier sofort was ein wie das effizienter gingeFormel.Klammern einmal vier aus wie x 1- 4 Quadrat Sechstel4hoch 420minus Plus und so weiterjetzt müsst ihn auch sagen, dass der trägt noch mal geht nicht ganz so gut, aber geht schon bald,daman viel Quadrat aus, also hier haben Sie dann das ist Viehmarkt- und jetzt kann man sie viel Quadrat aus soll, ich hab x plus B Quadrat x16B Quadrat 120minusPlus undweiter, wir können ja einmal guckenVieh haben wir drin.hoch 3 mal minus ein Sechstel haben wir drin, das ist derund ChimaChi Quadrat in Free hoch 34 hoch 3 mal t Quadrat sind 4 520,den haben wir auch drin.das sieht nicht mehr ganz so schlimm aus und macht man das natürlich weiter und so weiter,ist das Horner Schema, das kann man bei denvor,die Ware Anwendung für das Horner-Schemazur Nullstellenbestimmungund PolynomeauszurechnenKlammernman aus dass mich nicht die Potenzen drinnen hat. Das nervt. Ja und dann wird man an dieser Stelle sogar noch das Vieh Quadrat vor Erbrechen ist viel Quadrat kommt immer wieder vor, das rechnet man einmal vorher aussetzt das Zwischenergebniseinkommt, der noch mäßigan, dass das Ergebnis genau genug sein musst. Du das muss effizient bestimmtwerden schnell bestimmt werden,Stromverbrauch soll falls auch noch klein sein. Die Rechenwerke, die man benutzt sollen simpel werden, dass man nicht so viel auf seinem Chip braucht,Geschichten kommen vor.wäre eine alte Mini Sinus ausrechnen kann mit der Formel, wenn sie es weiter treiben, können Sie tatsächlich die Sinus ausrechnen,ist eineArt.manwird zu vermeiden,es effizient sein soll. Das Problem ist, dass diesehierhinten kommen ja noch welcheviele Multiplikation,die sehr unschön sind,mal dazu aufwendige Multiplikation.geht relativ schnellMultiplikation sind eklig, das kennen sie vom schriftlichen multiplizieren schriftlich multiplizieren ist viel nerviger als schriftliches addierendividierenist die völlige Katastrophe, aber kommt hier nicht vorMultiplikationen,die möchte manaufwendigen Multiplikationob ich das angezeigt mit der Potenzreihe, dass wir dem Gedanken das wäre ein Wegdiesen Gedanken weiter kommen. Okay, was macht man denn jetztman versucht diese Multiplikation zu verhindern, hier wird ein WinkelQuadrat mal was fürchterlichesund hier vorne dieser denke mal was fürchterlich ist es ein ziemlich allgemeine Modifikation, siewissen nicht genau, was da multipliziert wird ausbauen,Sie eine allgemeine Multiplikation gebaut haben. Die kostet so eine allgemeine Multiplikation,man gerne hätte an Multiplikation ist was anderes,sind aufwendige Multiplikation und ich habe mal dazuwelchen Zahlen würde man gerne multiplizieren wollen, damit es nicht so schlimm wird.das versucht man ihn zu basteln.sie fehlen dürften, mit welcher Zahl würden sie multiplizieren?den Menschen also mal 1 mal 0 ist natürlich langweilig. Das lassen wir weg, aber mal mal 100 mal 1000 durch 10 und so weiter, dass wir uns für den Menschenfür alle Leute, dieBeziehung gelernt haben, also x 1 und x 10und x 100 und so weiter mal Zehnerpotenzenaber auch durch Zehnerpotenzenmal ein Zehntel100 undweiter. Das wären schönedas ist total Banane Makita Vaters, an. Die richtige Stelle muss gar nicht rechnen,ist das Zieldiesen Algorithmen gleichmal 10100 und weiter, sondern was natürlich dannden binärrechner also die Zweierpotenzenmal 1 natürlich 280 klar,nicht mal sehen, sondern mal zwei geht gut die Rutschen das ganze um ein Bit zur Seite oder versetzen daswenn Sie binärbruch haben sowas.binär nur 1 und 1 und 1 + 2 + keine4 + 8 + einhalb plus ein Viertel kein 8 kein 16 + 1 32760mitdem mit 2 multiplizieren wollen, dann schieben das, einfach als zur Seite genau, als ob sie mir Dezimalzahlen mit 10 multiplizieren.binärrechner schön mal zwei zu rechnen mal vier zu rechnen mal 8 mal 16 mal 32 undeinzur anderen Seite mal ein Zettelund so weiter, das ist das Ziel von diesen Algorithmus. Mal sehen, sondern mal zweiPotenzen multiplizieren,das ist ganz simpelauch keinsdafür den binärrechner sowieso nichtEinmaleins ist er ziemlich banaleins ist eins na toll undmal eins ist immer nurist das Zielmöchte Modifikationenhabenschönen Zahlen einhalb ein Viertel und so weiter, die bei uns gleich werden.als VorgeplänkelZiel ist, wie gesagt Rückblende,das Ziel war Dinos unterdrückt. Musst mal auszurechnen undeben mit möglich sind der Multiplikation,man möchte mitund 2er Potenzen multiplizieren.geht los. Mit dem Logarithmus ist ein der Weise einfach zu haben, der natürliche Logarithmus mit dem BKM Verfahren.bastelt den natürlichenLogarithmus z.b.Man kann auch anders verwenden, aber typischerweise erstmal den natürlichen Logarithmus zusammenmit Multiplikationenmit solchenZweierpotenzenVerfahren BKM Algorithmus RechenverfahrenAlgorithmusden natürlichen Begriff, sie schreibt nurkm kommt von den994ist gar nicht so alt.jünger, als gerade gestellt habe gerade. Die Schwierigkeit ist erstmal hier dieserAlgorithmus für den natürlichen Logarithmusihm maggi.de stellen sich vor. Sie hätten eine Zahl von der sie den Rhythmus wolltenvor die hätten sie gegeben als Produkt 1 + einhalbx 1 + neues Beispiel jetzt+ 116.1 plus 1z.b.was an den Beispiel einmal durch diskutiertdas wäreZahl von der sienatürlichen Logarithmus haben wollen, sie sind die Produkteein 16932,sind Zahl, die man gut multiplizieren kann und mal eins kommt dann ja auch noch vorbei, wie das jetzt hier aus modifiziertem Arzt blah x 13 x 1 32,sind schönefühle ich den natürlichen Logarithmus davonhaben undpassiert, dannLogarithmus eines Produktes wird die Summe der Logarithmen, also dann natürlich Joghurt muss aus 1 plus einhalbnatürlich Logarithmus aus 1 + 1 16+der natürliche Logarithmus.1 + 1Kern von diesem Verfahren, also, wenn sie hinkriegen, dass die Zahl aus der der Logarithmus gebildet werden soll, dass die also ein Produkt da steht 1+.Potenzen von 2multipliziert,wird er Logarithmus natürlicheinfach die Summe der Logarithmen seinder Trick ist jetzt das sind ja immer wieder dieselbendie hier vorkommen,sie sich merken was das ist, was ist der Logarithmus aus 1 plus einhalb, was ist der Logarithmus was 1 + 1 Vettel 1 + 1 8L 1 + 11 + 32,merken sich ein paar Dutzend zahlen, diese Ergebnisse merken sich.Sie sichsie so zu setzen sie so essen sie in Silizium rein, diese Zahlen merken Sie sich einmal vor abgerechnet, dann müsst ihr nur noch nachgucken und die Zahlen addieren,ist der Trick.die vorabundist Silizium ätzen.für allemal vorberechnenin der Tabelle ablegendann ich eben nachgucken. Ok einhalb kommtals Faktor vor, dann brauche ich dir nur Grid muss aus 1. Plus einhalb gucke ich nicht Tabelle nach+ 1 und 32 kommt aus Faktor vor, also brauche ich den Logarithmus was 1 + 1 32 steht. In der Tabelle gucke ich nach und dann addiereist billig.geht das dann auch allgemein funktioniert das mal versucht die Zahl die man hat es nicht nur sondern schafft es auch mir dazu,zähle ich die Zahl, die man hat in so ein Produkt,die einzelnen Begriffen sind,man vorher in der Tabelle reingeschriebensimpel kann zu werden.das mal jetzt, was haben wir noch nie gesehen, ich das mal als Algorithmus hinzuschreibenin einer der üblichen Programmiersprache.Man verwendet dann für die Algorithmen gerne Eurocode,wie das heißt.ist so nichtfrei erfunden Programmiersprache, es gibt so ein paarmal gleich aussieht, aber Eurocode ist sosagen. Ich erfinde eine Programmiersprachedass ich schnell verstehen kann, was du jetzt endlich programmiert werden muss.gibt den Witzschreibt bisschen zu Eurocode hin speichert es als Datei und dann nennt man die Datei. PYverpassendann hat man schon einig in Peißen Programmich auch mal den vonin den ersten Wochen so das würde man jetzt programmierenals Rezept,die Zahl so zerlegt. Wäre mit diesen drei Faktoren zufällig ok, dann suche ich die Tastaturgridman aus der Tabelle raus. Addiere sie fertig,ist der Job des in ein Rezept zu verwandeln, sowas kommt, dann in der Informatik dranTeil der Informatik insbesondereAlgorithmenRechenverfahren, wieich jetzt beim Rechenverfahren ein Rezept dazuum den Weihnachts Kuchen zu backen, sondern ein Rezept rumden Begriff muss zu berechnen.geben eine Zahl x1oschreibe ich das mal eingabe. Zahlix und Schluss kommt Ausgabe.hoffe, der Rest passt dazwischengleich.ist der Rest lustigerweise gar nicht. wird irgendwas ausgegeben. Eine Zahl Epsilonman direkt in Peißen so Doppelkreuz als Kommentar dahinter dieses yder natürlicheLogarithmusden Menschen gibst dann ausgegeben wird ist der natürliche Logarithmus von Xhier noch da kommt noch ein paar Zeilen dazwischen,ich auch ein bisschen mehr Platz auch.will jetzt diedurchgeben.+/ 1 wäre ich auch schon nicht schlecht 1 + 1 / 21// 816 und so weiter, ich will die Zweierpotenzendurchgehend das schreit nach einer Schleifeim englischen die Volksbank auf Deutsch fürzwardem N. Hier möchte ich jetzt durchnummerierenwievielte Schleifendurchgang das ist für n = 0 bisBeispiel 50man nehmen,man hier bei.hoch 0hoch1/2 - 222-- 5 bis 255, dassich das so weit auseinanderman eine Schleife Wert und alles was da jetzt ein Grill stehtin dieser Schleife Stadt, ein 50 Durchgänge ersten Durchgang ist Zahl n = 0 die Variable n = 0zieh 123 an und dann bis 50ich gucke hier, weil es nachher eben Durchgangichplus eins durch 2 hochkriege ich das rein als Faktor oderals Faktorist jetzt ein bisschen raffinierter wieman das hinkriegt, ichmit ner Hilfsvariable= 1deine 1 davorist leichter zu verstehen.starte mit Z = 1 oder muss ich beziehe ich immer dran umsonst, so fehlt mir Schrittmotor Zürich 1 +hoch minusdranan das Ergebnis Mode PC ich dann 12 hoch minus Kendra so weiter, das istSet dieses Set wird zum Schlusswerdenguter Näherung X werden, aber ich muss eben mit startenDBZ gleich 1.dann teste ich olabilir nicht hier. H, ich teste mal, was wird jetzt passieren,habe hier schon soviel x bisher.versuche ich den nächsten dran zu modifizieren Z mal,im üblich Programmiersprachen ist, das Maya ein Sternchen an dieser Stelle im Zoo Doku dürft immer noch einmal schreiben, ich habe bitterlich mal allesmalMalzeichen, setz mal den nächsten Faktor 1 + 1 / 2wäre ein Versuch ist der nächste Faktor drinnen, oder ist der nächste Faktor nicht drin?gucke ich nach ob dasdie Zahl die da rauskommt, das Adie jetztnoch kleiner gleichEx ist.multipliziert jetzt muss ich die sehe ich den nächsten drangucke ok ist das immer noch kleiner gleich X dann ist der Faktor drin, wenn dieser Faktor drinnen ist,ich mir dann tatsächlich dieses Jahr.neues z.muss ich demnächst mit dem Ganzen wieder multiplizieren,es mir zum gleich gemalt, also das was in dem A drin ist jetzt bitte in das Z schreiben,dass man es auch so schreiben, was in den AS bittedas Z kopieren, aber das wird mir jetzt zu schlimm, ich war gerade mit dem gleich wie sind übliche Programmiersprachen aussieht,merke ich mir und ich muss merken das jetzt in der Summe noch was dabei ist Epsilon =.dann brauche ich auch rausgegeben werden soll Epsilon starte ich mit null da Sumire ich jetzt drin y = das was du liebst, dann drinnen warnatürlichen Rhythmus ausdurch 2 hoch.mit dem wen soll ich bald auch noch was eingerückt markieren sodieser Faktor wirklich hinten dran kommt, merke ich mir die neue Zahl alsZwischenergebnis, sovielhabe ich jetzt auch modifiziertxmuss ich im Ergebnis natürlich noch denTherme mitnehmen.dieses Set merkteich das Zwischenergebnis, wieist das Produkt, was ichgesammelt habe angefangen mit der 1. = 1.ich mit Null anfangen und das Produkt die ganze Zeit nur ich fange an mit Z gleich ein,gucke ich für jeden Faktor derFaktor mit der Nummerz.b. Das ist ein Halbbruder der Faktor hier mit der Nummer in gleich vier, das ist das mit einem 16. Istdieser Faktor drinnen.dieser Faktor drinnen ist,ich mir das entsprechendeeinschließlichdieses Faktors und ich muss dann den Logarithmus unten addieren, während des 1. + 116 als Faktor drinnen ist brauche ich im ErgebnisLogarithmus dazu. Sywird man Ergebnis ich starte mit nur und ich addiere immer den ProGrid muss dazu,sprechende Faktormeiner Zahl X drinnen ist, ich den brauchen meine Zahl Xist im Prinzip, wasdieser Algorithmus sagtdann könnte man jetzt nehmen und in einerbeliebigen Programmiersprache dann den Rechner füttern.dieser Zahl könnte man das ja im Geiste durchexerzieren.fangen hier mit n = 0 an wenn n = 0 ist probiereichx 1 + 1 / 2 Grenadier steht 2 =dann gucke ich ist 2 kleiner gleich.hier nee, das ist nicht kleiner gleich wenn wird nicht betreten, wenn n gleich 0 ist wird dieses wenn nicht betreten,n gleich 1 ist.ich hier 1 + einhalb stehen+ einhalb und ich gucke ist+ einhalb kleiner gleichwas hinter ja, das ist der Fall dieses wenn wird betretenich merke mir jetzt 1 mal 1 + einhalb.dahinich addiere zum Ergebnis, den du gehört muss aus 1 plus einhalb, den ersten addiere ich zum Hörgerät muss das ist wenn in gleich 1 ist,geht es weiter mit N. = 2,hätte das doch passend hätte ich vor unsdie dass man die Zwischenergebnisse sehen kann, für das niemand ernsthaft in Peißen hinschreiben, weilmuss ja nachher aufEbene im Silizium laufensin= 2fehlte ja eins plus ein Viertel vier oben, ja?rauskriegen du mich jedes Rechnen 1 +ich habe Set bis dahin eingesammelt,ich multipliziere mit 1 + 1 Vettel, das ist zuviel deswird nicht betreten, was a ist größer, als ich das in wird nicht betreten bei= 3 mit 1. Achte genau so erst wieder bei endlich 116 wird dieses wenn betreten undZwischenergebnis dann dem y Nadiakeine schlechte Idee das einmal Papier und Bleistiftzu Nudeln, was da passieren wird in diesem Algorithmus.steckt jetzt hier die Effizienzwirddurch 2 hoch innen ausgerechnet. Hier wird er Logarithmus der ausgebildet, warum ist das jetzt plötzlich effizient, ich möchte doch einfach nur noch geradeaus haben.hier oben wird mit zweixausmultiplizieren Z plusmal 1 durch 2 hoch n, das ist noch einfacher.das ist eine total simple Multiplikationhier bei dir steht I / II kennen sie schieben, das ja Sie einfach das, an die richtige Stelle, also diese Multiplikation istrechnende Multiplikation.hatte ich jaDarum geht esMensch würde man mal 10 oder durch 10 oder durch 1000 rechnen wollen hier für den Computer haben wir mal 1 Zdann plus.Z. Mal 1 durch hoch n, ich schiebe die bin ja,hinstellen zur Seite, das ist eine total simpel Multiplikationhat das hat jeden gesagt, die stehen in einer Tabelle, ich hätte diese Logarithmendu es als durch zwei Wochen nicht mehr von jeder Zahl die Logarithmen, sondern 1 + 1 durchfahren, z.b.50 Stück werden, dass er hier ein 50 Logarithmen während des hier paar Dutzend zugeritten schreibt man in Tabelle rein, soviel schon mal gebraucht für die nötigekommen aus einer Tabelle.sind ein für allemal vorher berechnet worden, das muss ich der arme kleineCent my Controller machen, das hat Mannheimer vorher gemacht auf dem dicken Rechner.wird es effizient.könnte man das machen.du angedeutet, das geht nicht mit jeder Zahl X?Dieser AlgorithmusGrenzen.nur fürgrößer gleich waskriegen wir auch noch ein kleinerExcel kann ich einsetzen?Zahl an jetzt sicher mehr und mehr dem X. Ich ein Faktor nach dem anderen dazudie sind z. Mal 1 plus irgendwas. Die Zahlart fängt mit 1 an,können nicht unter 1also eins ist das kleinste was geht undnach obenhin.natürlich das Produkt von diesen ganzen komischen zahlen, die war der haben also 1 plus 1 / 1x 1+ 1 /x 1 + 1 durch 4 und so weiter,ungewöhnlich ist. Ein Grenzwert eines Produktes. Sie modifizieren das auf bis ins Unendliche.Bezieht sich jetzt auf geht's nur fürich auf Fakultätdem Bereich kann man nix einsetzen und wenn man nicht in den Bereich ist, muss ein bisschen vorsichtig sein.Gesetze, was würde man machen?hier können wir schätzen.Begriff muss davon zumindest ihn ja nicht mal eben.wir mal gerade den natürlichen Logarithmus von der maximalenZahlmaximal ist auch ein falscher Ausdruck gesehen, ich habe ausdrücklich kleiner geschrieben nicht kleiner gleich, also deruhrenschrank gemischtem ansagen.das was ich einsetzen kann,sie mal deren Logarithmuskönnen direkt hier einsetzen Logarithmus ausProdukt istSumme der Logarithmen 1 + 1 + der natürliche Logarithmus aus.erste Produkt, dass ich mal zusammen stehen? Dann ist eszu rechnen, ich lass das erste Produkt mal zusammenstehen. Ist aufgefallen, als ich Hause mal gerechnet habe vorabmachen wir weiter, das ist dann der Logarithmus von+ 1 Viertelplus der Logarithmus aus 1. + 1++ 116nicht oben gar nicht hatte und so weiter. Man schreibt das professionell natürlich mit dem Summenzeichen und hier mit dem produktzeichenabersind nicht ganz filetieren.wäre dervon diesermgeht das überhauptden drei Pünktchen,habe hier.unendlich lange so mehr da oben habe ich ein unendlich langes Produkt, warum geht das überhaupt,darf ich logarithmengesetzejetzt plötzlichetwas unendlich langes anwenden?hier reinkommt ist die Stetigkeit ist natürlich nur geradeaus.steht ja einen Grenzwerterste FaktorFolgengliedFaktoren hintereinander II. Folgen geht's III Forum geht und so weiter und so weiter, dass ein Grenzwert diesem ist ein Grenzwert,setze einen Grenzwert in den Logarithmus einder Trick ist habe hier stehtan Limes von irgendwas fürchterlichen einem Produktder Witz ist diesen Grenzwert, den will ich jetzt vor der Logarithmus habenSumme Willich rausziehen undist Stetigkeit, wenn Sie einen Grenzwert aus der Funktion raus ziehen dürfendas was mit Stetigkeit zu tun stetige Funktionen sind mit Grenzwerten kompatibelwäre das allererste.sie den Grenzwert davordann habe ich ihm nur gerade muss unendlichestehen und für die kann ich dasmit den üblichen Rechenregelnjetzt muss ich erstmal ausrechnen. Hiersteht zweimal drei halbeder Logarithmus 3.Sie die anderen mal gerade wie geht das jetzt weiter, wie können Sie dieraus kriegen, die weiterenhaben wir zum SchlussnatürlicheLogarithmus hatte,du einen Verlauf,habe mit Y =hier ist die eins, da ist die einst soein Stück knapp hinter der eins und möchte den Wert vomRhythmus haben.1plus einist das Ergebnis?Näherungdie Tangenten gerade an die natürlichen Logarithmus an der Stelle 1die Steigung 1,die Ableitung ist 1 durch Xder gerade gucken wir danach,gehen ein Achtel von der ICE nach rechts, das heißt wir gehen um ein Achtel nach oben auf dergerade die sehen der Logarithmus ist ein bisschen dadrunter. Der wird hier ist etwasein Achtel nicht viel und danach klappt etwas unter 18 und so geht das weiter 116bis ungefähr1 bis 116 Entwicklung und muss ungefähr 16 = plus ein Vierteldann schon deutlich unter einem Viertel, abermal Daumen und weiter.so weiter das wäre die Anwendung der Aach lineare Näherung gewesen, die dahinten kann manbis genau schätzen, die ersten habe ich zusammengefasst, weil die den Jahren Ehe unter nicht mehr ordentlich passt.nachgucken.Ist ja schon ziemlich daneben,habe ich die ersten da rausgenommen.kannman auch zusammenfassen.Viertel + ein Achtel + 160 + und so weiter bis ins Unendlichewas?wird einhalb werdenman sich halbwegs plastisch vorstellen ein Vierteldann ein Achtel undein 16dann 132dann ein 64was übrig bleibt, Sie ein Viertel haben, oder ich habe noch einhalb so das ist einhalbsehen was übrig bleibt, wenn ich ein Viertel nehmen das Innviertel übrig, dann leben sie noch ein Achtel dazu, dann bleibt der Nacht übrig sie mir mal 16 dazu, dann bleibt ein 16 übrig und sie nehmen als Mann 30 dazu, dann bleibt ein 32 übrig.immer gerade das übrig, was ich zuletzt agiert haben, du bist ein Fan 60 addiert habenhier hinten ein 460 noch übrig zu geht gegen Null, ein Viertel + ein 8er wecken um.einhalbist ja wie 0,99999,wenn man so will 0,9999x 0,1 11.11.100 + 100 und so weiter?wissen das ist ein Neuntel geht auf ähnliche Art. Simon ist zum Essen noch ausführlicher geometrische Reiheauf jeden Fallraus Grenzwertbis unendlich ein Viertel + 1/8 + 1/16, okayund dann steht hiervorne bis hintenLogarithmus aus 3einhalb.Ungefähr undDokus aus 3 ist ungefähr wasungefähr 1er praktisch e Artikel über Trassee 2,73er war ungefähr 1. Das heißt es ist ungefähr 1,5 Grad wird es bewusst mit Dezimalzahlenwar das ja ein ungefährer Wert ist es ist nicht genau 1,5indas ist Elend von ähm,natürliche Logarithmus derund Hanke von dem was man einsetzen kann, ist ungefähr was bei 1,5und dann kann man jetzt was m sein muss also ungefähr e hoch 1,5drei Mal die Wurzel aus knapp dreibei 5sie können Zahlen voneins bis irgendwas5in den Algorithmus und darüber hinaus wird nicht funktionieren, weil die Produkte einfach nicht weiterkommen.ihr noch 1 ++ 4 zu weiter davor nehmen? Dann wird es funktionieren, aber dasman typischerweise nicht, also so wie es da steht. Istbei 5 Feierabendbezahlen. Bei 5 Uhr ist Feierabend.bist jetzt also wir können nicht alleX einsetzenBereich von 1 biskönnen wir einsetzen.Frage ist, was tut man, wennBegriffen Gesetzewennnicht in den Bereich ist?können Sie das umformen. LN von X, sie können SieLogarithmus von X umformenden Logarithmusdiesem Bereich 1 bis5 Uhr zu bilden, was kann man den Logarithmus antun?lieber ein Beispielvor, das wäre zu berechnen der natürlichen Logarithmus vongarantiert nicht dem Bereich können wird nicht funktionieren mit dem Algorithmus,lügen sie sich raus und da bin trotzdem diesen Algorithmus64 werden guter Faktor für den Computer für den binärrechner soll ich sagen,100 schreiben Sie als 64 x 164dann haben wir das ist der Logarithmus ausLogarithmusaus 100.60. Das ist okay. der gehtPreis, den ich bezahlen muss, ist der Logarithmus aus 64,können sie mit dem machen den Begriff muss auf 6464ist 2 hoch 6 S ist ja bewusst als Zweierpotenz gewähltjetzt kommen die doch geritten und setze das ist sechsmal den LN von 2was ich also machen werde ist ich nehme meine Tabelle auch noch den aufnatürlichen Gebisses feiere,sage dir nämlich auf der ist er schon drin,Sie bin ich ja n = 0 ist natürliche Logarithmus aus 1 + 1, den haben wir schon in der Tabelle.kann man sich dann raus lügen,der Wert zu hoch ist, wenn der Wert zu klein ist, machst du das natürlich mit 1460oder 128und so weiter undden Algorithmus wieder da stehtwird die Zahl im richtigen Bereich. Okay, das ist derSache soll ich gerade noch sagen abschließen zudem wnk Algorithmus.haben wir gerade was gesehen.Viertel ein Achtel 116 und so weiter. Das nähert sich immer besser an, wie weit ist die gehen?28970soweitZahlen, die dazu kommen, die sind immer genauermit einem einzigen bit ein Sechzehntel ist ja die Binärzahl 0,00siebeneinhalbein Viertel ein Achtel 116ist diese Binärzahl,Sie den Rhythmus Ausfluss ein Sechzehntel haben, naja, ist das nicht ganz 0,001,so ungefähr je weiter sie nach hinten raus kommen, die haben die Zahl praktisch nur noch ein Bit gesetzt.das auch gerne bit Algorithmus,Sie nachAlgorithmus, erliefert Ihnen, nächste bitte.ein Bit Algorithmus, es gibt auch noch andere.mit Bindestrich Algorithmus und das klarzumachender ein praktisch immer das nächste Bild liefert. Zumindest schon mal irgendwer 10 11 12 R 7/15 ist man im nächsten Durchgang immer das nächste Bild, weil die Zahlen die herauskommennur aus den eingesetzten mit bestehen.du mir Inka so könnte man den natürlichen Logarithmusnoch einmalwas ist bisher geschehen?hatte ich kurz den Sinus erwähnt mit der Potenzreihe für den Sinus,wir uns überlegen, dass die Potenzreihen vielleicht nicht das effizientesteDing der Welt sind,der BKMAlgorithmus für den natürlichenLogarithmuseinfacher ist alsKackwurst jemanden für den Sinus Kosinus verwendet jetzt so aus, dass sie dich um Hintergrund ist von den Sinus KosinusIdeen hier mit 1 + 116 und so weiter. Diese Ideen verwendet man jetzt auch für Sinus und Cosinus.wird dann einen Schlenker komplizierter lustigerweise ist vorher erfunden worden mehr cordic Algorithmus ist deutlichälter.oder hinter was ist ausführlich heißtRotationdigitalcomputer,alle kennen den nur als cordic.nicht in dem Sinne derMaschine, sondernder etwas ausrechnet.er stammtaus dem Jahr 1959,das ist schon richtig antikin der Informatik,kompliziertere algorithmuses lustigerweise älter, als der einfacher Algorithmus und Kordic verwendet man typischerweise für Sinus undGedanken dieselben Tricksauch wieder.einem ansich vorhaben einen Winkel den sie als Summe Dreier Winkel schreiben könnendem Wege möchte ich gerne Sinus haben kriegen obendrein noch den Kursen ausgeschenkt, also kriegen den Silos gar nicht allein, die kriegen so obendrein effizientin Posen es noch geschenktunser Winkel so eine Summe von drei Winkelnvier Winkel sein oderWinkeln angenommen. Unser Winkel ist die Summe drei Winkeln.wir über vorgesetzt,was aussagenCosinus von diesem Winkel pluski mal der Sinus von diesem Winkel,können Sie dazu sagen 40.1. Komplexe Zahlen Weisemacht man dieses Verfahren Cornetto Täschchen mit Vektorenhatman noch nicht so richtig offiziellMäuschen mit komplexen Zahlen sind auch ein bisschen zu schreiben,können Sie jetzt darüber sagen, ich hätte gerne den Cosinus von diesem Winkel zum mit Ralf Winkler Tussi mal den Sinus von diesem Winkel, was wissen sie darüber.der schreibt natürlich nach Euler, das ist e hoch i mal Viehsoll verlegt sein, vielleicht muss mal wieder basteln, dass man so eine Zerlegung hinkriegt,der Algorithmus automatisch schon Zerlegung hinkriegt so dahin sind, wie hoch die mal Alpha + Beta + Gammadas ist was.Summe Exponenten wird ein ProduktTheorieAlpha mal e hoch i better mal e hoch i Gamma und jetzt können wir wieder alle anwenden, das ist also CosinusAlpha plus Sinusvon AlphavonSinus vonmalvon Gamma plus die Sinusvon Gamma, das hätte man mit den additionstheoremzu Fuß hin schreiben können wird aber graue Haare kriegenkomplexen Zahlen oder alternativ mit rotationsmatrizendas mal auf die Schnelle so großesBussi mal Sinusich dann also wenn man wickelt seine ich beißenoch gleich in welche teilwinkel offensichtlicher wasder Winkel Celle ich weiß kann ichBussi mal Sinus schreiben als Produkt.überall Cosinus Kosinus Sinus Kosinus Sinuspassiert, wenn Sie den Cosinusausklammern Cosinus Alpha mal Cosinus Betamal CosinusGammableibt dann hinten übrig überall den Cosinus ausklammern sie sehen das geht ja gar nicht oder doch, was tun sie?Alpha steht schon vorne 1+ und da steht die mal der Tangensder Tangens vonTangens ist SinusCosinus.ich großes mal Cosinus ist bleibtmit Demi davor und bei den anderen Faktoren genausomal den Tangens von bitter und 1plusi mal den Tangens vonso gut. Und nun ist die Frage, wann ist das gut zu rechnen?müssen wir zwischenverinnerlicht haben.wäre dieses Produkt gut auszurechnen für den binären Rechner?dieser Tangens hier der sollte was von wegen 141 / 16, also ich 32dass ich ja habe 1plusi malein Viertel und so weiter und so weiter hier vorne ihren Weg gleich unter denTeppich,jetzt weiß man immer diese Winkel wählen muss im Westerwinkel möchte ich meinen originalWinkel zerlegen.zerlegeinwinkelschraube ich Wahlzettel,dir der Tangens schön wird, nämlich0 soll sein der Arcus TangensAlpha 1 soll sein der Arcus Tangenseinhalbund Alpha2 soll seinArcus Tangens.einund so weiter.Winkel sollenzu Arcus Tangens aus den negativen Zweierpotenzenseinsteht hier 1plusimaljetzt aus dem August eines 1plusimal 1 mal 1 plus, die mal einhalb und so weiter wunderschönbinärrechner auszuwerten.ärgerliche istist jetzt für ein einer von denen ausfällt, ich muss ja irgendwieWinkel drin haben oder nicht drin haben,ich einen von denen weglasse, möchte ich vorne auch den Kursus weglassen. Das nervt total.man machendabei sehr umständlich, also stellen sich vor der zweite wäre nicht dabei, da müsste diesen FAK durchstreichen den großen vorne streichen, wird es mit dem unter den Teppich kehren nicht klappt,Trick ist, dass man diese Winkel mit positivenund Vorzeichen nimmt, ich nehme Alpha 0oder rückwärts Alpha1 vorwärts über rückwärts der Kursus behält sein Vorzeichender Tank ist ändert sein Vorzeichen, das ist die Komplikationzu eben beim Logarithmus.hier geht's nicht drum. Faktor ist dabei oder nicht dabei, sondern ich habe ich plus oder minus, jeweils dabei diese Winkel vorwärts oder rückwärts die Cosinus Hüttmann alle gleichFunktionkriege ich dann plus minus hier, weißt du es - Tangens von dem Winkelauch plusminus.deWinkel.malsind das für Winkel in welchem Größenordnung bewegen sich diese Winkel natürlich bleiben wir dann auch wieder irgendeiner Tabelle genau dasselbe, welcheGrößenordnung bewegen sich diese Winkel und sie sind der maximale Winkel, die man gleich kriegenjetzt schon mal erledigen der maximalen Enkel Thema gleich kriegen kann ich die Summe aller von denenDieobere Schranke solltees auch wieder nennen, weit kann ich raus mit an einem Winkel das können Sie auch mal gerade schätzen, wenn Sie das bis jetzt unendlichen machen,viel wird das sein? War sogar gerade die Winkeleisen schätzen ihn gerade,wir die Summe dieser Winkel sein Grad.soll ich gerade noch nachtragen CD gefielen plusminus, diese pinkelt immer gleich, das hatte ich auch angesagtDiese denke musst mir nur Alpha 0 Alpha1 jeweilsdenktjetzt eins heißt natürlich nicht ungefähr so ein heißt genau 45°Ankatheteist 1. Dann haben sie 45°,einhalbwar nicht ganz 30 Grad, aber so über den breiten Daumen ungefähr 30° 15°darauf nur noch mal dieNäherung.der Arcus Tangens,hat die TangentensteigungüberraschungsliedAgent Steigung 1 im Ursprungden Akkustand jetzt kleinesVerhältnis einsetzen 0,01in den Akkustand ist einsetzen kriegen sienatürlich in Bogenmaß und kann man ein radiant raus.dichdie ist dann auch wieder als Winkel im Bogenmaß raus. August dann jetzt hat auch diedurch den Ursprung geht jetzt muss natürlich umrechnen von Bogenmaß.Gradmaßinnerhalb istden breiten Daumen einhalbein halber radiant, habe Radianten halt mal ungefähr 60 gratis Top30 gartenviertel Radian60° durch 4 und weiter. So bin ich 30 Grad 15 Grad und so weiter gekommen,du die alle aufsummieren 540gerade 30° 15° siebeneinhalb grad,erwarten SieGrenze daneben auch für den Algorithmus, der gleich rauskommtwelchem Winkel veranstaltetder AlgorithmusUnsinn, wenn Sie alle addierenkriegen sie rausals ich hier unten wieder den geometrische Reihe, wenn sie da weitermachen 30° dann erst noch mal drauf Heft noch mal drauf und so weiter und weiblich Zeichen bei 30°15° draufGrad drauf und so weiter.werdenGrad in der Summees ja auch alles nur ungefähr Zahlen waren, das die 30°. Dannbleiben noch.Graddu denn 60 Grad?nehme ich 15 Grad drauf,bleiben noch 15°bis zu den 60°. Dann nehme ich die sieben halbgerade drauf.Grad drauf7,5 Grad sehen, das was übrig bleibt geht gegen Null,haben Konvergenz gegen 60°.muss in rauskommen, das heißt zum Schluss bin ich bei irgendwas bei 105Grad, das war jetzt eh aber den beiden Daumen, ich hatte mir irgendwo das richtige Resultat aufgeschrieben.100 Gradmehr als 90 Grad,eigentlichkriegenbis100 Grad vorwärts und natürlich genauso, dann ging das Minuszeichen100°mit diesem Algorithmus erledigt.weiß man an dieser Stelle schonwir den mal irgendwiezu schreiben.waren gerade die 45° mit dem Arcus Tangens, wenn sie sich den arcustangens vorstellen,der geht Steigung 1 durch den UrsprungTangens,ich beschrifte mal die Achse nicht und voller Mensch.sie eins einsetzen kriegen sie ja nicht mehrraus, sondernGrad, sie kriegt nur noch 45 Grad raus und wie finde ich die Akkus dann jetzt an dieser Stelle schonderliegt nicht mehr auf der Tangentengerade genau für tankenrade wäre würden sie ein radiant ungefähr 60° rauskriegen, aberliegen nicht mehr da, sondernarcustangens ich abgebogen von der Tangenten gerade und ist oft wenigerDichter sie an den Ursprung kommen. Umso besser passt das wird auch wieder Nachrichten. Ich kann nicht wussten auch dass es wieder ein Bit Algorithmus in dem Sinne Arcus Tangens aus ein Viertel ist ungefähr ein Viertelgerechnet. Ein Achtel ist ein Achtung soweit auch, dass es wieder in dem Sinne ein Bild Algorithmus zum Schlussman da mit den einzigen Witz.und der Bereichminus 100 Grad ungefähr vistus 100 Gradin dem Bereich geht das?Cosinus Produkt können wir auch gerade nochich verwende diese Winkel hier1 Akku songs anhört und so weiter mit positiven oder negativen Vorzeichen, das heißt hier der Tangens den das Vorzeichen ja mit minuswird es hier hinten werden, aber der Cosinus gerade Funktionist eine Gerade Funktion, bei dem ist das Vorzeichen egal, das heißt der Faktor die hier vorne steht ist immer derselbeKursus aus dem August an jetzt eins war den Kursus aus dem und so weiter und so weiter denken, was sind dann mal angucken,Faktor das wirdman das weiter treibt hier dieser Faktor da vorne.von ArcusTangens1vonvon einhalb mal der Cosinus von arcustangens vonViertel dreiPunkte krieg ich auch nicht noch hin auch das wird ein professionell wieder mit zum Produkt schreiben.mit der Faktorkann ich das ausrechne mal reden wir gerade den Kursus von arcustangens einhalbSie das mal übersichtlicher undüberlegen wir uns was wieder Faktor da vorne pi mal Daumen werden muss und Impaktor programmiert man dann auch wieder fest, also dieWinkelwertehier wird man ins Siliziumrein etzen fest richtigausrechnen bis aufviel Stellen nach dem Komma 15 vielleichtSilizium ÄrztinFaktor davor, den wird man einmal ausrechnen und es gibt sie die zujetzt mal gab bei den Faktor davorCosinus von Akkus dann jetzt einhalbfunction and roses von Akkus dann getan. Hatte das ausgerechnetTaschenrechner.mir mal ein rechtwinkligesDreieck.Tangensauf das was aus dem Tangens rauskommt,Tangens Gegenkathete durch Ankathete, wennSie ein rechtwinkliges Dreieckbei dem die Gegenkathete 1 lang ist und die Ankathete 2 lang ist recht sowasist dervon diesem Winkel hierist das ja der Tangens vonWinkel ist 1 durchdann jetzt von Hulk ist dieser Winkel der Winkel ist jaBereich für den Arcus Tangensjetzt suche ich aber den Cosinus von diesem Winkelder Cosinus ist diedurch Hypotenuse, ich brauche die Länge der Hypotenuse die Längeist alsoQuadrat plus 1 Quadrat5. und das heißt der CosinusAnkatheteHypotenuse 2 durch Wurzel 5der nächsteein Viertel,kriegen sie aus dem rausdas wird alsound dannder potenuse Wurzeltiefe ratlos als waldwurzel 17muss wird werdendurch Wurzelwas ist ja schon fast 1 Wurzel 17 ist ein Token mehr als Wurzel 16wir schon sehr dicht an 13,heißtIst ja jetztman das hier schätzen wollen würde auch den 1. März auch gar nichtarcustangensich dasselbe VerfahrenDreieck hiermit 45°und Hypotenuse süßwurzel 2 lang undistdurch Wurzel 2.So bis ins Unendliche genommenwird das dann also ungefähr sein sind es wird mehr und mehr 1.wird wohl was wert, wie 1 durch Wurzel 2 mal 2 durch Wurzelx 4 durch 17. Wird schon eklig 4 durch Wurzel 17Bei denen warman die Wurzel hieroben wegnehmen 2 ist Wurzel 2 mal Wurzel 2. Hier steht dann also das ist irgendwas bei Wurzel 25Wurzel 25Dezimalzahl0,4,multiplizierenSie mit sich selbst da mit 0,460,6=in der Größenordnung 0,6was kommt dabei raus, also die Zahl wieder vorne vor steht das Produkt von den ganzenarcustangens, dannirgendwas bei 0,6 das hast Du man einmal richtig aus auf 15 Stellen nach dem Kommaverbindedas danndie nächsten 10 Jahre fest in seinem Chip drin dieses Produkt hier vorne wird irgendwas bei 0,6 werden, baut man fest einnur irgendwas hinschreiben undwie funktioniertBerechnung von Sinus nicht durch Sinus haben sie gesehen, sie kriegen den Kursus noch geschenkt.Etwas effizienter als man das mit sport ins reinmachen würde deutlich effizientergebe einen Winkel einwas initialisiert werden sehen wir gleich, was du Anita lisiert werden muss eine for Schleife wieder.geheShoppingtour durch, den ich dazufürn = 0, z.b.Wieder bis 50 das jetzt im Endeffekt dann nachherum die 50 51 Bits dann tatsächlich.gucke mir an, welcherWinkelnächste sein soll,hole den aus der Tabelle House easyao guckt einfach nach dem Winkel der Tabelle arcustangens vondurch 2 hoch, ingucke ich in einer Tabelle nach also diese Akkus danke IIwieder fest auf dem Chip.daneben aus Tabellevorher berechnenjetzt muss ich gucken, ob dieser Winkel reingehörtpositiven oder negativen Vorzeichen, was ist ein bisschen lustigerste45 Grad muss ich fragen Sie die 540 Grad drinnen oder sind die -45°drin? Der nächste Wegeventil 30°ich jetzt noch mal die 30° drauf oder muss ich die 30° Unternehmenund dann kann 15 Grad muss ich die 15 Grad drauf rechnen und 15° Unternehmen, ich muss jeweils das Vorzeichen von dem Winkel habendas geht dann so, ich gucke mehr an,winke den ich zum Anfang gehabt habe fängt mit V an, der Winkel, den ich zum Anfang gehabt habe, wenn der größer gleich Null ist.ich Winkel, den ich da gerade habe ab dann sage ich dir winke.nicht mehr da original Winkel, sondern fi - den Winkel, den ich da gerade aus der Tabelle geholt habe und das Ergebnis ich heute bisschen Liebe zwiderndann gleich eins,= y maldie1 durch 2 hochfür den Computer den binärrechner nicht für mich, aber für den binär rechnen ist das einfach zu rechnender kommaverschiebung hier,mache ich Wendewinkel dir nicht das Recht. Habe größer ist als nun und ansonsten LC Fels,ansonstenich das Gegenteil.den Winkel, den ich da aus der Tabelle geholt habe undich ihrnegative Vorzeichenmal 1 -1 durch 2 hoch nweiß schon, das ist die istGift11 Uhr noch da drinne.dann sind wir fertig.dann kommt die Ausgabe.Was ich jetzt ausgebe istySitzung ist nicht direkt Cosinus mal Sinus,derdrinnen, also0,6irgendwas, was wir gerade eben.haben, die muss man auch noch rausnehmen oder zum Schluss ziehen Sie durch das Null komma irgendwas 6.habe ich das ja nicht groß uns und Sinus. So sieht kordick aussehen,das ist eine Nummer ekliger,ich mit Vorzeichen überlegen muss. Es ist nicht ich den TA Bestandteil drinnen ist oder nicht, sondern ich muss mir überlegen, mit welchemist dieser Winkel der beiden 50° drin oder 45°drin,plus 540 Grad drin sind, sind dann noch mal oben 33°dabei oder sind -30°obendrein noch dabei so weiter. Man tastet sich plus minus hin,wie ist der Winkel der jetzt noch übrig bleibt, das ist wichtig.starte mit der Eingabe. Fifi ist der Winkel der noch übrigbleibt. Ich ändere dieses Vieh immer,ich Akkus Tangens von 1 durchin gleich null, wenn ich den arcustangens von 1 durch 1 erledigt habe.von meinem Winkelauf das Ergebnis dann drauf multipliziertich mir mit dem neuen Ergebnis an das neue fi,um 5 Uhr 40° reduziertich jetzt noch größer gleich null habe ich jetzt noch mehr. Wenn ich dann zu wenig habe,mich ein kleiner Michel dann wieder da drauf undfeuchte mal gerade zurück, das ist wirklich etwaszu verstehen.zerlege jetzt den Winkel der gegeben messdienst Winkel zerlege ich ins schöne Winkel nämlich Winkelschönen Tangens habendie Winkel selbst sind nicht die Zweierpotenzen,sondern die Winkel habendir und zwei Potenzen, weil hier gleich der Tangens vorkommen möchte.zweier Potenzen multiplizieren Platte2er Potenzen multiplizieren,ist der Job von dem Algorithmus.soll den Winkel zerlegen,gegeben ist den Winkel zerlegendieserwinke, die dann in einer Tabellemachen wir dass wir gucken nach ob der Winkel der gegeben ist?ist überhaupt positiv ist, wenn der positiv ist. Okay, dann ziehen wir 45°abmerken uns den ersten Wochen mit plus,das ErgebnisWinkel den wir haben - die 45°,wenn das Ergebnis dann immer noch positiv istwer die 30° abuns für den zweiten plus,Ergebnis negativ gewesen wäre, bei über 30° draufgeben und damit minus rechnen,man tastet sich schon plusminus ans Zielder Winkel der Mann hat ist er positivdann ziehen wir 45°abErgebnis ist negativ.addiere ich beim nächsten Mal 30° drauf.mich dann wieder positiv und sie aber was könnte auch passieren, dass ich dann knapp noch unter der Achsel liege. Da muss ich beim nächsten Mal noch die 15°drauf reagieren. Muss immer hin und her undden Winkel zum Schluss raus kommt beim 0 zu halten ebenhatten wir das Phänomendem Logarithmus,die eine Variable sich mehr mehr dem X genähert hatte. Ich geh noch mal zurück zum Logarithmus hier.Variable Z hat sich mehr und mehr dem X genähert, wann multipliziert einen nach dem anderen dran einen nach dem andern dran darf wurdemultipliziert man eine Größe, die sich mehr und mehr dem X nähertjetzt ist das anders. Es nähert sich eine Größe mehr und mehr den 0.finde ichbrutal. Die Variable ist eigentlich nicht schön zum programmieren, aberman dann gerne so, ich stehe brutal die Variable in der die Eingabe Größe steht, diese Variableund da ziehe ich jetzt Winkel ab und addiere Winkel drauf und sorge dafür, dass es was rauskommt dicht bei Null ist,positiv ist nur dann ziehe ich im ersten Schritt45°ab.ist ja nicht viel drin, etwas negativ.Typischerweise negativestypischerweise steht dann da drin, es sei denn der Wege war wirklichgroß gewesen, mit dem ich gestartetsteht da was Negatives drin, jetzt gucke ich im nächsten Schritteins,ich da habe in dem Winkel, das ist jetzt mein neuer Winkel FI ist das positiv oder nicht? Nein, es ist negativ,also wird im nächsten Schritt ein Winkel drauf bei dir, die 30° werden drauf addiert undmerke mir auch immer dann im Ergebnis, was der Faktordas Ergebnis ist hier weiß da war jaE-Mail- immer den Tangens Sägebeides nach den Winkelder Eingabeich nach Ergebnis y fliege ich nach.Schluss. Wenn alles funktioniert hat istVariable finullich habe dann addiertpassendorferimmer die Winkel aus der Tabelle addiertund subtrahiertlos ist nur rausgekommenich habedie Produkte gebildet und diese Produkte bilden jaBussi Sinus Euler0,6 muss natürlich noch echten das Produkt x 0,6Dir das Produkt der CosinusTherme die ganze Reihe runter hat ich rausgehe aus dem Algorithmus ist großes Bussi Sinus xwas man dann genauer haben müsste auf 15 Dezimalstellen oder was richtet man einmal vernünftig ausfunktioniert cardigwird hier mit komplexen Zahlen gerechnet. Ich sage zu y = 1, hier sehen Sie da steht nie drin, da steht nie drinSchluss kriege ich was mit ihr aus?hat man normalerweise natürlich nicht.Rechenwerk das mit komplexen Zahlen arbeitetnicht auf den billigenist hier jetzt eigentlich gemeintfür mit komplexen Zahlen gerechnet wird,muss ich eigentlich tun?programmieren, dass du natürlich mit Realteil und Imaginärteil undso als ob der überhaupt nichts komplexes drinnen war, das mal vielleicht gerade noch mal abschließend als Wiederholung zu den komplexen Zahl.Zahlen.passiert da eigentlich, wiekann ich das den Rechner beibringennatürlich nicht die Variante mit Länge und Winkel,ist hier nicht gefragt, sondern die Variante mit.und Imaginärteil, wennsie so eine komplexe Zahl haben, aber + B Mileyandere komplexe Zahl C + D Marie ab und c und d alles reell.muss der Rechner wissendamit umgehen soll UPS dann wird eine komplexe Zahl jetzt oder öfter mit der anderen komplexen sehr einfachen für den Rechner ein Binärsystem komplexenZahlen multiplizieren,gibt welche komplexe Zahl.+are mymal CWE mal dedas kann man durch zusammenfassen, das ist ACBd.die ausklammern aus den beiden hier aus den beiden Klammern Siggi aus,haben sie ARDBCund das können sie dem Rechner beibringen, wenn der Rechner undUSA + Beamer niemalseplus.de Marie können Sie berechne das beibringen. Ok, du hast vier Zahlenaus den vier Zahlen machst du folgende beiden Zahlenund Imaginärteil Ergebniscalciumrechner beibringen, wenn das hier zu modifizieren ist, Artus bierma licetus dem Walli, wir haben vier Zahlendein Ergebnis folgendes?DBCImaginärteilman trennt Realteil und Imaginärteil dermuss nichts von imaginärenbeauduc ist insofern etwas komplizierterzu berechnen, aber es ist einfach nur eineder eins dann noch original Zahl wie sie da war undsehen sie vertauschen, Imaginärteil und Realteil mit dem EN der noch ein Vorzeichenverschieben das ganze das ist relativzu programmieren,Sie das im Prinziphinkriegen KordicLaufen kriegen.