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19F.1 Sinus und Logarithmen ausrechnen: CORDIC und BKM
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kann man jetzt den Sinus und diversen Logarithmen – ausrechnen ist besonders gleich der Logarithmus ausrechnen und es gibt zwei klassische – Verfahren VTech – und BKM – möchte ich mit Ihnen – sprechen, wie die im Prinzip funktionieren, – dass er zum Schluss, dass er dich sogar bestehen, – sie nie die kriegen, was dann in der Informatik stattfinden wird in der Informatik Veranstaltung – für meinen – auseinandernimmt, – könnte der Taschenrechner machen, – es tut oder nicht ist Geheimnis der Hersteller, was könnte der Taschenrechner machen, wenn sie auf die Siegerstraße oder die loadrite Maustaste – beiden Algorithmen wären erste Kandidatin. – geht – auch noch zur Bildung und das mathematische Fachgebiete der Numerik – numerische Mathematik – anderen Worten, – kann man etwas in Zahlen ausrechnen, darum – geht es in der Numerik. – Rechenoperationen – und Rechenoperationen, was ist arithmetik und wenn es dann schlimmer wird, – kann man Sinus Untergriff Bus ausrechnen, wie kann man Ninja Gleichungssysteme – lösen, wie kann man Differentialgleichungen lösen, das ist dann – dich in Zahlen ausrechnen, ich – habe ja hin und wieder auch schon Wolfram Alpha vorgeführt – wird Kamal verarbeitet ja – symbolisch, – wenn Sie bei Wolfram Alpha sagen, leite mir mal den Sinus ab, dann rechnet er ja nicht. – Zahlen, sondern er weiß die Ableitung von Sinus ist der Cosinus erkennt Regeln – das ist nicht nur mäßig, das ist noch was anderes. Bei – Numerik wird wirklich knallhart mit Zahlen gerechnet. – Funktionen dann wie Sinus und Logarithmus, die zählen dann den anfangen. Der Numerik – ist wird ein viel schlimmer noch dann gleich sehen ist es gar nicht so schlimm, wenn man glauben möchte Sinus Untergrund muss – auszurechnen – erste Möglichkeit – indem man den Sinus eine erste Möglichkeit wäre – und die wird es dann typischerweise nicht eine erste Möglichkeit wäre – Potenzreihen – zu nehmen. – genauso für den Logarithmus, aber das will ich jetzt nicht, wo finde ich muss aber nur Team Sinus vorführen, warum das vielleicht keine gute Möglichkeit – ist eine Potenzreihe. – fange mit Isofix an. Komme gleich zum Sinus die – Potenzreihe für E hoch XE ✂ eins plus Sticks – X Quadrat halbe – + xhoch3 – durch 3 Fakultät, also – 6 plus xu4 durch 4 Fakultät für Garden 24 + x55 – Fakultät – 120 + und so weiter. – kommt da kein Grenzwert eben vor Mann guckt sich eine folge an Zahl 1 und dann die Zahl 1 + X mitgegebenen – X und dann die Zahl 1 + X + X Quadrat halbe und so weiter und so weiter immer weiter das in die Folgenglieder. – diese Folge wird – wir gehen – e hoch. IX das war die Potenzreihe für IOX – kam früher mal vor will ich jetzt nicht vorbeten. Ist ja nicht so dramatisch die Herleitung – zur Erinnerung, – sowas wie – X1000 – tausend und dann ist der Trick, dass ich die Eriks Tausendstel Ninja näheres – der nämlich 1 + – Evo X Tausendstel ist, nur für Alko 6000 zu hoch tausend – dann gib mit binomi weiter die Nominierten auch schon und dann steht dann lustigerweise da diese Potenzreihe, – ich jetzt nicht weiter ausbreiten ist soll nachher andere Algorithmen gehen, ich bin nur wieder Potenzreihe bringen, dass sie sehen, dass es vielleicht keine gute Möglichkeit – der Potenzreihe. – ihrem Ex für dich den Sinus bilden – Sinus von X. – an sich doch ein letztes Mal wie kommen sie an den Sinus, weil sie nicht die aus Sinus von einem – Winkel kommen sie an den Sinus von einem Winkel, wenn sie eh hoch X ausrechnen können ✂ mit der Eulerschen Formel – Trick ist e hoch i PI zu bilden, dann habe ich ja Cosinus plus Sinus, – will nur den Sinus haben – dann ging das ja – dass man – konjugierte abzieht – haben Sie Cosinus plus Sinus und – hier haben Sie Cosinus minus – Sinus – von Winkel – minus Cosinus mal Sinus – imaginos nach zweimaliger Sinus, der Code ist weg die Teilen durch 2 e – kriegen sie die Sinus raus – da kann man jetzt die Potenzreihe einsetzen, das ist der Trick. Also, diese – Potenzreihe setzen sie an – den beiden Stellen ein. Ei – imaginär – werden scheiße. – sie kriegen nach einige Rechnung raus, das kam ja schon vor – -4 – ^ 3 – 6 in drei Fakultät plus 4 hoch 5 durch 120 – + geht es dann immer weiter, – ungeraden Potenzen – kommt man auf die Potenzreihe für den Sinus. – Prinzip – man nicht so ausrechnen gibt auch diverse – an denen man ist das herrlich so ausreichend, – sie sich von ihrem tan Winkel im Bogenmaß haben wollen. – Sie die Winkel - dritte Potenz von Winkel durch 65 die Potenz von den Winkel durch 120 und so weiter und – auch immer die 20. Potenz durch 20 Fakultät irgendwann müsse, natürlich auch hören, wir sind ja nicht in der Lage hier – mit unendlicher – weiterzuführen. Eigentlich – wäre der Grenzwert gefragt, – es bis ins Unendliche läuft, – kann man durch praktisch nicht ausrechnen. – wäre eine Art jemanden Sinus ausrechnen könnte, – jeden Fall nicht so ausrechnen, – wann wird diese Formel umformen fällt Ihnen hier sofort was ein wie das effizienter ginge – Formel. ✂ Klammern einmal vier aus wie x 1 – - 4 Quadrat Sechstel – 4 – hoch 420 – minus Plus und so weiter – jetzt müsst ihn auch sagen, dass der trägt noch mal geht nicht ganz so gut, aber geht schon bald, – da ✂ man viel Quadrat aus, also hier haben Sie dann das ist Viehmarkt – - und jetzt kann man sie viel Quadrat aus soll, ich hab x plus B Quadrat x – 16 – B Quadrat 120 – minus – Plus und – weiter, wir können ja einmal gucken – Vieh haben wir drin. – hoch 3 mal minus ein Sechstel haben wir drin, das ist der – und Chima – Chi Quadrat in Free hoch 3 – 4 hoch 3 mal t Quadrat sind 4 520, – den haben wir auch drin. – das sieht nicht mehr ganz so schlimm aus und macht man das natürlich weiter und so weiter, – ist das Horner Schema, das kann man bei den – vor, – die Ware Anwendung für das Horner-Schema – zur Nullstellenbestimmung – und Polynome – auszurechnen – Klammern – man aus dass mich nicht die Potenzen drinnen hat. Das nervt. Ja und dann wird man an dieser Stelle sogar noch das Vieh Quadrat vor Erbrechen ist viel Quadrat kommt immer wieder vor, das rechnet man einmal vorher aus – setzt das Zwischenergebnis – ein – kommt, der noch mäßig – an, dass das Ergebnis genau genug sein musst. Du das muss effizient bestimmt – werden schnell bestimmt werden, – Stromverbrauch soll falls auch noch klein sein. Die Rechenwerke, die man benutzt sollen simpel werden, dass man nicht so viel auf seinem Chip braucht, – Geschichten kommen vor. – wäre eine alte Mini Sinus ausrechnen kann mit der Formel, wenn sie es weiter treiben, können Sie tatsächlich die Sinus ausrechnen, – ist eine – Art. – man – wird zu vermeiden, – es effizient sein soll. Das Problem ist, dass diese – hier – hinten kommen ja noch welche – viele Multiplikation, – die sehr unschön sind, – mal dazu aufwendige Multiplikation. – geht relativ schnell – Multiplikation sind eklig, das kennen sie vom schriftlichen multiplizieren schriftlich multiplizieren ist viel nerviger als schriftliches addieren – dividieren – ist die völlige Katastrophe, aber kommt hier nicht vor – Multiplikationen, – die möchte man – aufwendigen Multiplikation – ob ich das angezeigt mit der Potenzreihe, dass wir dem Gedanken das wäre ein Weg – diesen Gedanken weiter kommen. Okay, was macht man denn jetzt – man versucht diese Multiplikation zu verhindern, hier wird ein Winkel – Quadrat mal was fürchterliches – und hier vorne dieser denke mal was fürchterlich ist es ein ziemlich allgemeine Modifikation, sie – wissen nicht genau, was da multipliziert wird ausbauen, – Sie eine allgemeine Multiplikation gebaut haben. Die kostet so eine allgemeine Multiplikation, – man gerne hätte an Multiplikation ist was anderes, – sind aufwendige Multiplikation und ich habe mal dazu – welchen Zahlen würde man gerne multiplizieren wollen, damit es nicht so schlimm wird. – das versucht man ihn zu basteln. – sie fehlen dürften, mit welcher Zahl würden sie multiplizieren? ✂ den Menschen also mal 1 mal 0 ist natürlich langweilig. Das lassen wir weg, aber mal mal 100 mal 1000 durch 10 und so weiter, dass wir uns für den Menschen – für alle Leute, die – Beziehung gelernt haben, also x 1 und x 10 – und x 100 und so weiter mal Zehnerpotenzen – aber auch durch Zehnerpotenzen – mal ein Zehntel – 100 und – weiter. Das wären schöne – das ist total Banane Makita Vaters, an. Die richtige Stelle muss gar nicht rechnen, – ist das Ziel – diesen Algorithmen gleich – mal 10 – 100 und weiter, sondern was natürlich dann ✂ den binärrechner also die Zweierpotenzen – mal 1 natürlich 280 klar, – nicht mal sehen, sondern mal zwei geht gut die Rutschen das ganze um ein Bit zur Seite oder versetzen das – wenn Sie binärbruch haben sowas. – binär nur 1 und 1 und 1 + 2 + keine – 4 + 8 + einhalb plus ein Viertel kein 8 kein 16 + 1 32760 – mit – dem mit 2 multiplizieren wollen, dann schieben das, einfach als zur Seite genau, als ob sie mir Dezimalzahlen mit 10 multiplizieren. – binärrechner schön mal zwei zu rechnen mal vier zu rechnen mal 8 mal 16 mal 32 und – ein – zur anderen Seite mal ein Zettel – und so weiter, das ist das Ziel von diesen Algorithmus. Mal sehen, sondern mal zwei – Potenzen multiplizieren, – das ist ganz simpel – auch keins – dafür den binärrechner sowieso nicht – Einmaleins ist er ziemlich banal – eins ist eins na toll und – mal eins ist immer nur – ist das Ziel – möchte Modifikationen – haben – schönen Zahlen einhalb ein Viertel und so weiter, die bei uns gleich werden. – als Vorgeplänkel – Ziel ist, wie gesagt Rückblende, – das Ziel war Dinos unterdrückt. Musst mal auszurechnen und – eben mit möglich sind der Multiplikation, – man möchte mit – und 2er Potenzen multiplizieren. – geht los. Mit dem Logarithmus ist ein der Weise einfach zu haben, der natürliche Logarithmus mit dem BKM Verfahren. – bastelt den natürlichen – Logarithmus z.b. – Man kann auch anders verwenden, aber typischerweise erstmal den natürlichen Logarithmus zusammen – mit Multiplikationen – mit solchen – Zweierpotenzen – Verfahren BKM Algorithmus Rechenverfahren – Algorithmus – den natürlichen Begriff, sie schreibt nur – km kommt von den – 994 – ist gar nicht so alt. – jünger, als gerade gestellt habe gerade. Die Schwierigkeit ist erstmal hier dieser – Algorithmus für den natürlichen Logarithmus – ihm maggi.de stellen sich vor. Sie hätten eine Zahl von der sie den Rhythmus wollten – vor die hätten sie gegeben als Produkt 1 + einhalb – x 1 + neues Beispiel jetzt – + 116. – 1 plus 1 – z.b. – was an den Beispiel einmal durch diskutiert – das wäre – Zahl von der sie – natürlichen Logarithmus haben wollen, sie sind die Produkte – ein 16932, – sind Zahl, die man gut multiplizieren kann und mal eins kommt dann ja auch noch vorbei, wie das jetzt hier aus modifiziertem Arzt blah x 13 x 1 32, – sind schöne – fühle ich den natürlichen Logarithmus davon – haben und – passiert, dann ✂ Logarithmus eines Produktes wird die Summe der Logarithmen, also dann natürlich Joghurt muss aus 1 plus einhalb – natürlich Logarithmus aus 1 + 1 16 – + – der natürliche Logarithmus. – 1 + 1 – Kern von diesem Verfahren, also, wenn sie hinkriegen, dass die Zahl aus der der Logarithmus gebildet werden soll, dass die also ein Produkt da steht 1+. – Potenzen von 2 – multipliziert, – wird er Logarithmus natürlich – einfach die Summe der Logarithmen sein – der Trick ist jetzt das sind ja immer wieder dieselben – die hier vorkommen, – sie sich merken was das ist, was ist der Logarithmus aus 1 plus einhalb, was ist der Logarithmus was 1 + 1 Vettel 1 + 1 8L 1 + 11 + 32, – merken sich ein paar Dutzend zahlen, diese Ergebnisse merken sich. – Sie sich – sie so zu setzen sie so essen sie in Silizium rein, diese Zahlen merken Sie sich einmal vor abgerechnet, dann müsst ihr nur noch nachgucken und die Zahlen addieren, – ist der Trick. – die vorab – und – ist Silizium ätzen. – für allemal vorberechnen – in der Tabelle ablegen – dann ich eben nachgucken. Ok einhalb kommt – als Faktor vor, dann brauche ich dir nur Grid muss aus 1. Plus einhalb gucke ich nicht Tabelle nach – + 1 und 32 kommt aus Faktor vor, also brauche ich den Logarithmus was 1 + 1 32 steht. In der Tabelle gucke ich nach und dann addiere – ist billig. – geht das dann auch allgemein funktioniert das mal versucht die Zahl die man hat es nicht nur sondern schafft es auch mir dazu, – zähle ich die Zahl, die man hat in so ein Produkt, – die einzelnen Begriffen sind, – man vorher in der Tabelle reingeschrieben – simpel kann zu werden. – das mal jetzt, was haben wir noch nie gesehen, ich das mal als Algorithmus hinzuschreiben – in einer der üblichen Programmiersprache. – Man verwendet dann für die Algorithmen gerne Eurocode, – wie das heißt. – ist so nicht – frei erfunden Programmiersprache, es gibt so ein paar – mal gleich aussieht, aber Eurocode ist so – sagen. Ich erfinde eine Programmiersprache – dass ich schnell verstehen kann, was du jetzt endlich programmiert werden muss. – gibt den Witz – schreibt bisschen zu Eurocode hin speichert es als Datei und dann nennt man die Datei. PY – verpassen – dann hat man schon einig in Peißen Programm – ich auch mal den von – in den ersten Wochen so das würde man jetzt programmieren – als Rezept, – die Zahl so zerlegt. Wäre mit diesen drei Faktoren zufällig ok, dann suche ich die Tastatur – gridman aus der Tabelle raus. Addiere sie fertig, – ist der Job des in ein Rezept zu verwandeln, sowas kommt, dann in der Informatik dran – Teil der Informatik insbesondere – Algorithmen – Rechenverfahren, wie – ich jetzt beim Rechenverfahren ein Rezept dazu – um den Weihnachts Kuchen zu backen, sondern ein Rezept rum – den Begriff muss zu berechnen. – geben eine Zahl x1o – schreibe ich das mal eingabe. Zahlix und Schluss kommt Ausgabe. – hoffe, der Rest passt dazwischen – gleich. – ist der Rest lustigerweise gar nicht. wird irgendwas ausgegeben. Eine Zahl Epsilon – man direkt in Peißen so Doppelkreuz als Kommentar dahinter dieses y – der natürliche – Logarithmus – den Menschen gibst dann ausgegeben wird ist der natürliche Logarithmus von X – hier noch da kommt noch ein paar Zeilen dazwischen, – ich auch ein bisschen mehr Platz auch. – will jetzt die – durchgeben. – + – / 1 wäre ich auch schon nicht schlecht 1 + 1 / 21 – / – / 816 und so weiter, ich will die Zweierpotenzen – durchgehend das schreit nach einer Schleife – im englischen die Volksbank auf Deutsch für – zwar – dem N. Hier möchte ich jetzt durchnummerieren – wievielte Schleifendurchgang das ist für n = 0 bis – Beispiel 50 – man nehmen, – man hier bei. – hoch 0 – hoch – 1/2 - 222 – - – - 5 bis 255, dass – ich das so weit auseinander – man eine Schleife Wert und alles was da jetzt ein Grill steht – in dieser Schleife Stadt, ein 50 Durchgänge ersten Durchgang ist Zahl n = 0 die Variable n = 0 – zieh 123 an und dann bis 50 – ich gucke hier, weil es nachher eben Durchgang – ich – plus eins durch 2 hoch – kriege ich das rein als Faktor oder – als Faktor – ist jetzt ein bisschen raffinierter wie – man das hinkriegt, ich – mit ner Hilfsvariable – = 1 – deine 1 davor – ist leichter zu verstehen. – starte mit Z = 1 oder muss ich beziehe ich immer dran umsonst, so fehlt mir Schrittmotor Zürich 1 + – hoch minus – dran – an das Ergebnis Mode PC ich dann 1 – 2 hoch minus Kendra so weiter, das ist – Set dieses Set wird zum Schluss – werden – guter Näherung X werden, aber ich muss eben mit starten – DBZ gleich 1. – dann teste ich olabilir nicht hier. H, ich teste mal, was wird jetzt passieren, – habe hier schon so – viel x bisher. – versuche ich den nächsten dran zu modifizieren Z mal, – im üblich Programmiersprachen ist, das Maya ein Sternchen an dieser Stelle im Zoo Doku dürft immer noch einmal schreiben, ich habe bitterlich mal alles – mal – Malzeichen, setz mal den nächsten Faktor 1 + 1 / 2 – wäre ein Versuch ist der nächste Faktor drinnen, oder ist der nächste Faktor nicht drin? – gucke ich nach ob das – die Zahl die da rauskommt, das A – die jetzt – noch kleiner gleich – Ex ist. – multipliziert jetzt muss ich die sehe ich den nächsten dran – gucke ok ist das immer noch kleiner gleich X dann ist der Faktor drin, wenn dieser Faktor drinnen ist, – ich mir dann tatsächlich dieses Jahr. – neues z. – muss ich demnächst mit dem Ganzen wieder multiplizieren, – es mir zum gleich gemalt, also das was in dem A drin ist jetzt bitte in das Z schreiben, – dass man es auch so schreiben, was in den AS bitte – das Z kopieren, aber das wird mir jetzt zu schlimm, ich war gerade mit dem gleich wie sind übliche Programmiersprachen aussieht, – merke ich mir und ich muss merken das jetzt in der Summe noch was dabei ist Epsilon =. – dann brauche ich auch rausgegeben werden soll Epsilon starte ich mit null da Sumire ich jetzt drin y = das was du liebst, dann drinnen war – natürlichen Rhythmus aus – durch 2 hoch. – mit dem wen soll ich bald auch noch was eingerückt markieren so – dieser Faktor wirklich hinten dran kommt, merke ich mir die neue Zahl als – Zwischenergebnis, soviel – habe ich jetzt auch modifiziert – x – muss ich im Ergebnis natürlich noch den – Therme mitnehmen. – dieses Set merkte – ich das Zwischenergebnis, wie – ist das Produkt, was ich – gesammelt habe angefangen mit der 1. = 1. – ich mit Null anfangen und das Produkt die ganze Zeit nur ich fange an mit Z gleich ein, – gucke ich für jeden Faktor der – Faktor mit der Nummer – z.b. Das ist ein Halbbruder der Faktor hier mit der Nummer in gleich vier, das ist das mit einem 16. Ist – dieser Faktor drinnen. – dieser Faktor drinnen ist, – ich mir das entsprechende – einschließlich – dieses Faktors und ich muss dann den Logarithmus unten addieren, während des 1. + 116 als Faktor drinnen ist brauche ich im Ergebnis – Logarithmus dazu. Sy – wird man Ergebnis ich starte mit nur und ich addiere immer den ProGrid muss dazu, – sprechende Faktor – meiner Zahl X drinnen ist, ich den brauchen meine Zahl X – ist im Prinzip, was – dieser Algorithmus sagt – dann könnte man jetzt nehmen und in einer – beliebigen Programmiersprache dann den Rechner füttern. ✂ dieser Zahl könnte man das ja im Geiste durchexerzieren. – fangen hier mit n = 0 an wenn n = 0 ist probiere – ich – x 1 + 1 / 2 Grenadier steht 2 = – dann gucke ich ist 2 kleiner gleich. – hier nee, das ist nicht kleiner gleich wenn wird nicht betreten, wenn n gleich 0 ist wird dieses wenn nicht betreten, – n gleich 1 ist. – ich hier 1 + einhalb stehen – + einhalb und ich gucke ist – + einhalb kleiner gleich – was hinter ja, das ist der Fall dieses wenn wird betreten – ich merke mir jetzt 1 mal 1 + einhalb. – dahin – ich addiere zum Ergebnis, den du gehört muss aus 1 plus einhalb, den ersten addiere ich zum Hörgerät muss das ist wenn in gleich 1 ist, – geht es weiter mit N. = 2, – hätte das doch passend hätte ich vor uns – die dass man die Zwischenergebnisse sehen kann, für das niemand ernsthaft in Peißen hinschreiben, weil – muss ja nachher auf – Ebene im Silizium laufen – sin – = 2 – fehlte ja eins plus ein Viertel vier oben, ja? – rauskriegen du mich jedes Rechnen 1 + – ich habe Set bis dahin eingesammelt, – ich multipliziere mit 1 + 1 Vettel, das ist zuviel des – wird nicht betreten, was a ist größer, als ich das in wird nicht betreten bei – = 3 mit 1. Achte genau so erst wieder bei endlich 116 wird dieses wenn betreten und – Zwischenergebnis dann dem y Nadia – keine schlechte Idee das einmal Papier und Bleistift – zu Nudeln, was da passieren wird in diesem Algorithmus. – steckt jetzt hier die Effizienz – wird – durch 2 hoch innen ausgerechnet. Hier wird er Logarithmus der ausgebildet, warum ist das jetzt plötzlich effizient, ich möchte doch einfach nur noch geradeaus haben. ✂ hier oben wird mit zwei – x – ausmultiplizieren Z plus – mal 1 durch 2 hoch n, das ist noch einfacher. – das ist eine total simple Multiplikation – hier bei dir steht I / II kennen sie schieben, das ja Sie einfach das, an die richtige Stelle, also diese Multiplikation ist – rechnende Multiplikation. – hatte ich ja – Darum geht es – Mensch würde man mal 10 oder durch 10 oder durch 1000 rechnen wollen hier für den Computer haben wir mal 1 Z – dann plus. – Z. Mal 1 durch hoch n, ich schiebe die bin ja, – hinstellen zur Seite, das ist eine total simpel Multiplikation – hat das hat jeden gesagt, die stehen in einer Tabelle, ich hätte diese Logarithmen – du es als durch zwei Wochen nicht mehr von jeder Zahl die Logarithmen, sondern 1 + 1 durchfahren, z.b. – 50 Stück werden, dass er hier ein 50 Logarithmen während des hier paar Dutzend zugeritten schreibt man in Tabelle rein, soviel schon mal gebraucht für die nötige – kommen aus einer Tabelle. – sind ein für allemal vorher berechnet worden, das muss ich der arme kleine – Cent my Controller machen, das hat Mannheimer vorher gemacht auf dem dicken Rechner. – wird es effizient. – könnte man das machen. – du angedeutet, das geht nicht mit jeder Zahl X? – Dieser Algorithmus – Grenzen. – nur für – größer gleich was – kriegen wir auch noch ein kleiner – Excel kann ich einsetzen? ✂ Zahl an jetzt sicher mehr und mehr dem X. Ich ein Faktor nach dem anderen dazu – die sind z. Mal 1 plus irgendwas. Die Zahlart fängt mit 1 an, – können nicht unter 1 – also eins ist das kleinste was geht und – nach obenhin. – natürlich das Produkt von diesen ganzen komischen zahlen, die war der haben also 1 plus 1 / 1 – x 1 – + 1 / – x 1 + 1 durch 4 und so weiter, – ungewöhnlich ist. Ein Grenzwert eines Produktes. Sie modifizieren das auf bis ins Unendliche. – Bezieht sich jetzt auf geht's nur für – ich auf Fakultät – dem Bereich kann man nix einsetzen und wenn man nicht in den Bereich ist, muss ein bisschen vorsichtig sein. – Gesetze, was würde man machen? – hier können wir schätzen. – Begriff muss davon zumindest ihn ja nicht mal eben. – wir mal gerade den natürlichen Logarithmus von der maximalen – Zahl – maximal ist auch ein falscher Ausdruck gesehen, ich habe ausdrücklich kleiner geschrieben nicht kleiner gleich, also der – uhrenschrank gemischtem ansagen. – das was ich einsetzen kann, – sie mal deren Logarithmus ✂ können direkt hier einsetzen Logarithmus aus – Produkt ist – Summe der Logarithmen 1 + 1 + der natürliche Logarithmus aus. – erste Produkt, dass ich mal zusammen stehen? Dann ist es – zu rechnen, ich lass das erste Produkt mal zusammenstehen. Ist aufgefallen, als ich Hause mal gerechnet habe vorab – machen wir weiter, das ist dann der Logarithmus von – + 1 Viertel – plus der Logarithmus aus 1. + 1 – + – + 116 – nicht oben gar nicht hatte und so weiter. Man schreibt das professionell natürlich mit dem Summenzeichen und hier mit dem produktzeichen – aber – sind nicht ganz filetieren. – wäre der – von dieser – m – geht das überhaupt – den drei Pünktchen, – habe hier. – unendlich lange so mehr da oben habe ich ein unendlich langes Produkt, warum geht das überhaupt, – darf ich logarithmengesetze – jetzt plötzlich – etwas unendlich langes anwenden? ✂ hier reinkommt ist die Stetigkeit ist natürlich nur geradeaus. – steht ja einen Grenzwert – erste Faktor – Folgenglied – Faktoren hintereinander II. Folgen geht's III Forum geht und so weiter und so weiter, dass ein Grenzwert diesem ist ein Grenzwert, – setze einen Grenzwert in den Logarithmus ein – der Trick ist habe hier steht – an Limes von irgendwas fürchterlichen einem Produkt – der Witz ist diesen Grenzwert, den will ich jetzt vor der Logarithmus haben – Summe Willich rausziehen und – ist Stetigkeit, wenn Sie einen Grenzwert aus der Funktion raus ziehen dürfen – das was mit Stetigkeit zu tun stetige Funktionen sind mit Grenzwerten kompatibel – wäre das allererste. – sie den Grenzwert davor – dann habe ich ihm nur gerade muss unendliche – stehen und für die kann ich das – mit den üblichen Rechenregeln – jetzt muss ich erstmal ausrechnen. Hier – steht zweimal drei halbe – der Logarithmus 3. – Sie die anderen mal gerade wie geht das jetzt weiter, wie können Sie die – raus kriegen, die weiteren – haben wir zum Schluss ✂ natürliche – Logarithmus hatte, – du einen Verlauf, – habe mit Y = – hier ist die eins, da ist die einst so – ein Stück knapp hinter der eins und möchte den Wert vom – Rhythmus haben. – 1 – plus ein – ist das Ergebnis? – Näherung ✂ die Tangenten gerade an die natürlichen Logarithmus an der Stelle 1 – die Steigung 1, – die Ableitung ist 1 durch X – der gerade gucken wir danach, – gehen ein Achtel von der ICE nach rechts, das heißt wir gehen um ein Achtel nach oben auf der – gerade die sehen der Logarithmus ist ein bisschen dadrunter. Der wird hier ist etwas – ein Achtel nicht viel und danach klappt etwas unter 18 und so geht das weiter 116 – bis ungefähr – 1 bis 116 Entwicklung und muss ungefähr 16 = plus ein Viertel – dann schon deutlich unter einem Viertel, aber – mal Daumen und weiter. – so weiter das wäre die Anwendung der Aach lineare Näherung gewesen, die dahinten kann man – bis genau schätzen, die ersten habe ich zusammengefasst, weil die den Jahren Ehe unter nicht mehr ordentlich passt. – nachgucken. – Ist ja schon ziemlich daneben, – habe ich die ersten da rausgenommen. – kann – man auch zusammenfassen. – Viertel + ein Achtel + 160 + und so weiter bis ins Unendliche – was? ✂ wird einhalb werden – man sich halbwegs plastisch vorstellen ein Viertel – dann ein Achtel und – ein 16 – dann 132 – dann ein 64 – was übrig bleibt, Sie ein Viertel haben, oder ich habe noch einhalb so das ist einhalb – sehen was übrig bleibt, wenn ich ein Viertel nehmen das Innviertel übrig, dann leben sie noch ein Achtel dazu, dann bleibt der Nacht übrig sie mir mal 16 dazu, dann bleibt ein 16 übrig und sie nehmen als Mann 30 dazu, dann bleibt ein 32 übrig. – immer gerade das übrig, was ich zuletzt agiert haben, du bist ein Fan 60 addiert haben – hier hinten ein 460 noch übrig zu geht gegen Null, ein Viertel + ein 8er wecken um. – einhalb – ist ja wie 0,99999, – wenn man so will 0,9999 – x 0,1 11.11. – 100 + 100 und so weiter? – wissen das ist ein Neuntel geht auf ähnliche Art. Simon ist zum Essen noch ausführlicher geometrische Reihe – auf jeden Fall – raus Grenzwert – bis unendlich ein Viertel + 1/8 + 1/16, okay – und dann steht hier – vorne bis hinten – Logarithmus aus 3 – einhalb. – Ungefähr und – Dokus aus 3 ist ungefähr was ✂ ungefähr 1 – er praktisch e Artikel über Trassee 2,73 – er war ungefähr 1. Das heißt es ist ungefähr 1,5 Grad wird es bewusst mit Dezimalzahlen – war das ja ein ungefährer Wert ist es ist nicht genau 1,5 – in – das ist Elend von ähm, – natürliche Logarithmus der – und Hanke von dem was man einsetzen kann, ist ungefähr was bei 1,5 – und dann kann man jetzt was m sein muss also ungefähr e hoch 1,5 – drei Mal die Wurzel aus knapp drei – bei 5 – sie können Zahlen von – eins bis irgendwas – 5 – in den Algorithmus und darüber hinaus wird nicht funktionieren, weil die Produkte einfach nicht weiterkommen. – ihr noch 1 + – + 4 zu weiter davor nehmen? Dann wird es funktionieren, aber das – man typischerweise nicht, also so wie es da steht. Ist – bei 5 Feierabend – bezahlen. Bei 5 Uhr ist Feierabend. – bist jetzt also wir können nicht alle – X einsetzen – Bereich von 1 bis – können wir einsetzen. – Frage ist, was tut man, wenn – Begriffen Gesetze – wenn – nicht in den Bereich ist? – können Sie das umformen. LN von X, sie können Sie – Logarithmus von X umformen – den Logarithmus – diesem Bereich 1 bis – 5 Uhr zu bilden, was kann man den Logarithmus antun? ✂ lieber ein Beispiel – vor, das wäre zu berechnen der natürlichen Logarithmus von – garantiert nicht dem Bereich können wird nicht funktionieren mit dem Algorithmus, – lügen sie sich raus und da bin trotzdem diesen Algorithmus ✂ 64 werden guter Faktor für den Computer für den binärrechner soll ich sagen, – 100 schreiben Sie als 64 x 164 – dann haben wir das ist der Logarithmus aus – Logarithmus – aus 100. – 60. Das ist okay. der geht – Preis, den ich bezahlen muss, ist der Logarithmus aus 64, – können sie mit dem machen den Begriff muss auf 64 ✂ 64 – ist 2 hoch 6 S ist ja bewusst als Zweierpotenz gewählt – jetzt kommen die doch geritten und setze das ist sechsmal den LN von 2 – was ich also machen werde ist ich nehme meine Tabelle auch noch den auf – natürlichen Gebisses feiere, – sage dir nämlich auf der ist er schon drin, – Sie bin ich ja n = 0 ist natürliche Logarithmus aus 1 + 1, den haben wir schon in der Tabelle. – kann man sich dann raus lügen, – der Wert zu hoch ist, wenn der Wert zu klein ist, machst du das natürlich mit 1460 – oder 128 – und so weiter und – den Algorithmus wieder da steht – wird die Zahl im richtigen Bereich. Okay, das ist der – Sache soll ich gerade noch sagen abschließen zudem wnk Algorithmus. – haben wir gerade was gesehen. – Viertel ein Achtel 116 und so weiter. Das nähert sich immer besser an, wie weit ist die gehen? – 28970 – soweit – Zahlen, die dazu kommen, die sind immer genauer – mit einem einzigen bit ein Sechzehntel ist ja die Binärzahl 0,00 – siebeneinhalb – ein Viertel ein Achtel 116 – ist diese Binärzahl, – Sie den Rhythmus Ausfluss ein Sechzehntel haben, naja, ist das nicht ganz 0,001, – so ungefähr je weiter sie nach hinten raus kommen, die haben die Zahl praktisch nur noch ein Bit gesetzt. – das auch gerne bit Algorithmus, – Sie nach – Algorithmus, er – liefert Ihnen, nächste bitte. – ein Bit Algorithmus, es gibt auch noch andere. – mit Bindestrich Algorithmus und das klarzumachen – der ein praktisch immer das nächste Bild liefert. Zumindest schon mal irgendwer 10 11 12 R 7/15 ist man im nächsten Durchgang immer das nächste Bild, weil die Zahlen die herauskommen – nur aus den eingesetzten mit bestehen. – du mir Inka so könnte man den natürlichen Logarithmus – noch einmal – was ist bisher geschehen? – hatte ich kurz den Sinus erwähnt mit der Potenzreihe für den Sinus, – wir uns überlegen, dass die Potenzreihen vielleicht nicht das effizienteste – Ding der Welt sind, – der BKM – Algorithmus für den natürlichen – Logarithmus – einfacher ist als – Kackwurst jemanden für den Sinus Kosinus verwendet jetzt so aus, dass sie dich um Hintergrund ist von den Sinus Kosinus – Ideen hier mit 1 + 116 und so weiter. Diese Ideen verwendet man jetzt auch für Sinus und Cosinus. – wird dann einen Schlenker komplizierter lustigerweise ist vorher erfunden worden mehr cordic Algorithmus ist deutlich – älter. – oder hinter was ist ausführlich heißt – Rotation – digitalcomputer, – alle kennen den nur als cordic. – nicht in dem Sinne der – Maschine, sondern – der etwas ausrechnet. – er stammt – aus dem Jahr 1959, – das ist schon richtig antik – in der Informatik, – kompliziertere algorithmuses lustigerweise älter, als der einfacher Algorithmus und Kordic verwendet man typischerweise für Sinus und – Gedanken dieselben Tricks – auch wieder. – einem an – sich vor – haben einen Winkel den sie als Summe Dreier Winkel schreiben können – dem Wege möchte ich gerne Sinus haben kriegen obendrein noch den Kursen ausgeschenkt, also kriegen den Silos gar nicht allein, die kriegen so obendrein effizient – in Posen es noch geschenkt – unser Winkel so eine Summe von drei Winkeln – vier Winkel sein oder – Winkeln angenommen. Unser Winkel ist die Summe drei Winkeln. – wir über vorgesetzt, – was aussagen – Cosinus von diesem Winkel pluski mal der Sinus von diesem Winkel, – können Sie dazu sagen 40.1. Komplexe Zahlen Weise – macht man dieses Verfahren Cornetto Täschchen mit Vektoren – hat – man noch nicht so richtig offiziell – Mäuschen mit komplexen Zahlen sind auch ein bisschen zu schreiben, – können Sie jetzt darüber sagen, ich hätte gerne den Cosinus von diesem Winkel zum mit Ralf Winkler Tussi mal den Sinus von diesem Winkel, was wissen sie darüber. ✂ der schreibt natürlich nach Euler, das ist e hoch i mal Vieh – soll verlegt sein, vielleicht muss mal wieder basteln, dass man so eine Zerlegung hinkriegt, – der Algorithmus automatisch schon Zerlegung hinkriegt so dahin sind, wie hoch die mal Alpha + Beta + Gamma – das ist was. ✂ Summe Exponenten wird ein Produkt – Theorie – Alpha mal e hoch i better mal e hoch i Gamma und jetzt können wir wieder alle anwenden, das ist also Cosinus – Alpha plus Sinus – von Alpha – von – Sinus von – mal – von Gamma plus die Sinus – von Gamma, das hätte man mit den additionstheorem – zu Fuß hin schreiben können wird aber graue Haare kriegen – komplexen Zahlen oder alternativ mit rotationsmatrizen – das mal auf die Schnelle so großes – Bussi mal Sinus – ich dann also wenn man wickelt seine ich beiße – noch gleich in welche teilwinkel offensichtlicher was – der Winkel Celle ich weiß kann ich – Bussi mal Sinus schreiben als Produkt. – überall Cosinus Kosinus Sinus Kosinus Sinus – passiert, wenn Sie den Cosinus – ausklammern Cosinus Alpha mal Cosinus Beta – mal Cosinus – Gamma – bleibt dann hinten übrig überall den Cosinus ausklammern sie sehen das geht ja gar nicht oder doch, was tun sie? ✂ Alpha steht schon vorne 1+ und da steht die mal der Tangens – der Tangens von – Tangens ist Sinus – Cosinus. – ich großes mal Cosinus ist bleibt – mit Demi davor und bei den anderen Faktoren genauso – mal den Tangens von bitter und 1plusi mal den Tangens von – so gut. Und nun ist die Frage, wann ist das gut zu rechnen? – müssen wir zwischen – verinnerlicht haben. – wäre dieses Produkt gut auszurechnen für den binären Rechner? ✂ dieser Tangens hier der sollte was von wegen 1 – 41 / 16, also ich 32 – dass ich ja habe 1plusi mal – ein Viertel und so weiter und so weiter hier vorne ihren Weg gleich unter den – Teppich, – jetzt weiß man immer diese Winkel wählen muss im Westerwinkel möchte ich meinen original – Winkel zerlegen. – zerlege – in – winkelschraube ich Wahlzettel, – dir der Tangens schön wird, nämlich – 0 soll sein der Arcus Tangens – Alpha 1 soll sein der Arcus Tangens – einhalb – und Alpha2 soll sein – Arcus Tangens. – ein – und so weiter. – Winkel sollen – zu Arcus Tangens aus den negativen Zweierpotenzen – sein – steht hier 1plusi – mal – jetzt aus dem August eines 1plusi – mal 1 mal 1 plus, die mal einhalb und so weiter wunderschön – binärrechner auszuwerten. – ärgerliche ist – ist jetzt für ein einer von denen ausfällt, ich muss ja irgendwie – Winkel drin haben oder nicht drin haben, – ich einen von denen weglasse, möchte ich vorne auch den Kursus weglassen. Das nervt total. – man machen – dabei sehr umständlich, also stellen sich vor der zweite wäre nicht dabei, da müsste diesen FAK durchstreichen den großen vorne streichen, wird es mit dem unter den Teppich kehren nicht klappt, – Trick ist, dass man diese Winkel mit positiven – und Vorzeichen nimmt, ich nehme Alpha 0 – oder rückwärts Alpha1 vorwärts über rückwärts der Kursus behält sein Vorzeichen – der Tank ist ändert sein Vorzeichen, das ist die Komplikation – zu eben beim Logarithmus. – hier geht's nicht drum. Faktor ist dabei oder nicht dabei, sondern ich habe ich plus oder minus, jeweils dabei diese Winkel vorwärts oder rückwärts die Cosinus Hüttmann alle gleich – Funktion – kriege ich dann plus minus hier, weißt du es - Tangens von dem Winkel – auch plusminus.de – Winkel. – mal – sind das für Winkel in welchem Größenordnung bewegen sich diese Winkel natürlich bleiben wir dann auch wieder irgendeiner Tabelle genau dasselbe, welche – Größenordnung bewegen sich diese Winkel und sie sind der maximale Winkel, die man gleich kriegen – jetzt schon mal erledigen der maximalen Enkel Thema gleich kriegen kann ich die Summe aller von denen – Die – obere Schranke sollte – es auch wieder nennen, weit kann ich raus mit an einem Winkel das können Sie auch mal gerade schätzen, wenn Sie das bis jetzt unendlichen machen, – viel wird das sein? War sogar gerade die Winkeleisen schätzen ihn gerade, – wir die Summe dieser Winkel sein Grad. ✂ soll ich gerade noch nachtragen CD gefielen plusminus, diese pinkelt immer gleich, das hatte ich auch angesagt – Diese denke musst mir nur Alpha 0 Alpha1 jeweils – denkt – jetzt eins heißt natürlich nicht ungefähr so ein heißt genau 45° – Ankathete – ist 1. Dann haben sie 45°, – einhalb – war nicht ganz 30 Grad, aber so über den breiten Daumen ungefähr 30° 15° – darauf nur noch mal die – Näherung. – der Arcus Tangens, – hat die Tangentensteigung – überraschungslied – Agent Steigung 1 im Ursprung – den Akkustand jetzt kleines – Verhältnis einsetzen 0,01 – in den Akkustand ist einsetzen kriegen sie – natürlich in Bogenmaß und kann man ein radiant raus. – dich – die ist dann auch wieder als Winkel im Bogenmaß raus. August dann jetzt hat auch die – durch den Ursprung geht jetzt muss natürlich umrechnen von Bogenmaß. – Gradmaß – innerhalb ist – den breiten Daumen einhalb – ein halber radiant, habe Radianten halt mal ungefähr 60 gratis Top30 gartenviertel Radian – 60° durch 4 und weiter. So bin ich 30 Grad 15 Grad und so weiter gekommen, – du die alle aufsummieren 540 – gerade 30° 15° siebeneinhalb grad, – erwarten Sie – Grenze daneben auch für den Algorithmus, der gleich rauskommt – welchem Winkel veranstaltet – der Algorithmus – Unsinn, wenn Sie alle addieren – kriegen sie raus ✂ als ich hier unten wieder den geometrische Reihe, wenn sie da weitermachen 30° dann erst noch mal drauf Heft noch mal drauf und so weiter und weiblich Zeichen bei 30° – 15° drauf – Grad drauf und so weiter. – werden – Grad in der Summe – es ja auch alles nur ungefähr Zahlen waren, das die 30°. Dann – bleiben noch. – Grad – du denn 60 Grad? – nehme ich 15 Grad drauf, – bleiben noch 15° – bis zu den 60°. Dann nehme ich die sieben halbgerade drauf. – Grad drauf – 7,5 Grad sehen, das was übrig bleibt geht gegen Null, – haben Konvergenz gegen 60°. – muss in rauskommen, das heißt zum Schluss bin ich bei irgendwas bei 105 – Grad, das war jetzt eh aber den beiden Daumen, ich hatte mir irgendwo das richtige Resultat aufgeschrieben. – 100 Grad – mehr als 90 Grad, – eigentlich – kriegen – bis – 100 Grad vorwärts und natürlich genauso, dann ging das Minuszeichen – 100° – mit diesem Algorithmus erledigt. – weiß man an dieser Stelle schon – wir den mal irgendwie – zu schreiben. ✂ waren gerade die 45° mit dem Arcus Tangens, wenn sie sich den arcustangens vorstellen, – der geht Steigung 1 durch den Ursprung – Tangens, – ich beschrifte mal die Achse nicht und voller Mensch. – sie eins einsetzen kriegen sie ja nicht mehr – raus, sondern – Grad, sie kriegt nur noch 45 Grad raus und wie finde ich die Akkus dann jetzt an dieser Stelle schon – der – liegt nicht mehr auf der Tangenten – gerade genau für tankenrade wäre würden sie ein radiant ungefähr 60° rauskriegen, aber – liegen nicht mehr da, sondern – arcustangens ich abgebogen von der Tangenten gerade und ist oft weniger – Dichter sie an den Ursprung kommen. Umso besser passt das wird auch wieder Nachrichten. Ich kann nicht wussten auch dass es wieder ein Bit Algorithmus in dem Sinne Arcus Tangens aus ein Viertel ist ungefähr ein Viertel – gerechnet. Ein Achtel ist ein Achtung soweit auch, dass es wieder in dem Sinne ein Bild Algorithmus zum Schluss – man da mit den einzigen Witz. – und der Bereich – minus 100 Grad ungefähr vistus 100 Grad – in dem Bereich geht das? – Cosinus Produkt können wir auch gerade noch – ich verwende diese Winkel hier – 1 Akku songs anhört und so weiter mit positiven oder negativen Vorzeichen, das heißt hier der Tangens den das Vorzeichen ja mit minus – wird es hier hinten werden, aber der Cosinus gerade Funktion – ist eine Gerade Funktion, bei dem ist das Vorzeichen egal, das heißt der Faktor die hier vorne steht ist immer derselbe – Kursus aus dem August an jetzt eins war den Kursus aus dem und so weiter und so weiter denken, was sind dann mal angucken, – Faktor das wird – man das weiter treibt hier dieser Faktor da vorne. – von Arcus – Tangens – 1 – von – von einhalb mal der Cosinus von arcustangens von – Viertel drei – Punkte krieg ich auch nicht noch hin auch das wird ein professionell wieder mit zum Produkt schreiben. – mit der Faktor – kann ich das ausrechne mal reden wir gerade den Kursus von arcustangens einhalb – Sie das mal übersichtlicher und – überlegen wir uns was wieder Faktor da vorne pi mal Daumen werden muss und Impaktor programmiert man dann auch wieder fest, also die – Winkelwerte – hier wird man ins Silizium – rein etzen fest richtig – ausrechnen bis auf – viel Stellen nach dem Komma 15 vielleicht – Silizium Ärztin – Faktor davor, den wird man einmal ausrechnen und es gibt sie die zu – jetzt mal gab bei den Faktor davor – Cosinus von Akkus dann jetzt einhalb – function and roses von Akkus dann getan. Hatte das ausgerechnet – Taschenrechner. ✂ mir mal ein rechtwinkliges – Dreieck. – Tangens – auf das was aus dem Tangens rauskommt, – Tangens Gegenkathete durch Ankathete, wenn – Sie ein rechtwinkliges Dreieck – bei dem die Gegenkathete 1 lang ist und die Ankathete 2 lang ist recht sowas – ist der – von diesem Winkel hier – ist das ja der Tangens von – Winkel ist 1 durch – dann jetzt von Hulk ist dieser Winkel der Winkel ist ja – Bereich für den Arcus Tangens – jetzt suche ich aber den Cosinus von diesem Winkel – der Cosinus ist die – durch Hypotenuse, ich brauche die Länge der Hypotenuse die Länge – ist also – Quadrat plus 1 Quadrat – 5. und das heißt der Cosinus – Ankathete – Hypotenuse 2 durch Wurzel 5 – der nächste – ein Viertel, – kriegen sie aus dem raus ✂ das wird also – und dann – der potenuse Wurzeltiefe ratlos als waldwurzel 17 – muss wird werden – durch Wurzel – was ist ja schon fast 1 Wurzel 17 ist ein Token mehr als Wurzel 16 – wir schon sehr dicht an 13, – heißt – Ist ja jetzt – man das hier schätzen wollen würde auch den 1. März auch gar nicht – arcustangens – ich dasselbe Verfahren – Dreieck hiermit 45° – und Hypotenuse süßwurzel 2 lang und – ist – durch Wurzel 2. – So bis ins Unendliche genommen – wird das dann also ungefähr sein sind es wird mehr und mehr 1. – wird wohl was wert, wie 1 durch Wurzel 2 mal 2 durch Wurzel – x 4 durch 17. Wird schon eklig 4 durch Wurzel 17 – Bei denen war – man die Wurzel hier – oben wegnehmen 2 ist Wurzel 2 mal Wurzel 2. Hier steht dann also das ist irgendwas bei Wurzel 25 – Wurzel 25 – Dezimalzahl – 0,4, – multiplizieren – Sie mit sich selbst da mit 0,4 – 6 – 0,6 – = – in der Größenordnung 0,6 – was kommt dabei raus, also die Zahl wieder vorne vor steht das Produkt von den ganzen – arcustangens, dann – irgendwas bei 0,6 das hast Du man einmal richtig aus auf 15 Stellen nach dem Komma – verbinde – das dann – die nächsten 10 Jahre fest in seinem Chip drin dieses Produkt hier vorne wird irgendwas bei 0,6 werden, baut man fest ein – nur irgendwas hinschreiben und – wie funktioniert – Berechnung von Sinus nicht durch Sinus haben sie gesehen, sie kriegen den Kursus noch geschenkt. – Etwas effizienter als man das mit sport ins reinmachen würde deutlich effizienter – gebe einen Winkel ein – was initialisiert werden sehen wir gleich, was du Anita lisiert werden muss eine for Schleife wieder. – gehe – Shoppingtour durch, den ich dazu – für – n = 0, z.b. – Wieder bis 50 das jetzt im Endeffekt dann nachher – um die 50 51 Bits dann tatsächlich. – gucke mir an, welcher – Winkel – nächste sein soll, – hole den aus der Tabelle House easy – ao guckt einfach nach dem Winkel der Tabelle arcustangens von – durch 2 hoch, in – gucke ich in einer Tabelle nach also diese Akkus danke II – wieder fest auf dem Chip. – daneben aus Tabelle – vorher berechnen – jetzt muss ich gucken, ob dieser Winkel reingehört – positiven oder negativen Vorzeichen, was ist ein bisschen lustig – erste – 45 Grad muss ich fragen Sie die 540 Grad drinnen oder sind die -45° – drin? Der nächste Wegeventil 30° – ich jetzt noch mal die 30° drauf oder muss ich die 30° Unternehmen – und dann kann 15 Grad muss ich die 15 Grad drauf rechnen und 15° Unternehmen, ich muss jeweils das Vorzeichen von dem Winkel haben – das geht dann so, ich gucke mehr an, – winke den ich zum Anfang gehabt habe fängt mit V an, der Winkel, den ich zum Anfang gehabt habe, wenn der größer gleich Null ist. – ich Winkel, den ich da gerade habe ab dann sage ich dir winke. – nicht mehr da original Winkel, sondern fi - den Winkel, den ich da gerade aus der Tabelle geholt habe und das Ergebnis ich heute bisschen Liebe zwidern – dann gleich eins, – = y mal – die – 1 durch 2 hoch – für den Computer den binärrechner nicht für mich, aber für den binär rechnen ist das einfach zu rechnen – der kommaverschiebung hier, – mache ich Wendewinkel dir nicht das Recht. Habe größer ist als nun und ansonsten LC Fels, – ansonsten – ich das Gegenteil. – den Winkel, den ich da aus der Tabelle geholt habe und – ich ihr – negative Vorzeichen – mal 1 - – 1 durch 2 hoch n – weiß schon, das ist die ist – Gift – 11 Uhr noch da drinne. – dann sind wir fertig. – dann kommt die Ausgabe. – Was ich jetzt ausgebe ist – y – Sitzung ist nicht direkt Cosinus mal Sinus, – der – drinnen, also – 0,6 – irgendwas, was wir gerade eben. – haben, die muss man auch noch rausnehmen oder zum Schluss ziehen Sie durch das Null komma irgendwas 6. – habe ich das ja nicht groß uns und Sinus. So sieht kordick aussehen, – das ist eine Nummer ekliger, – ich mit Vorzeichen überlegen muss. Es ist nicht ich den TA Bestandteil drinnen ist oder nicht, sondern ich muss mir überlegen, mit welchem – ist dieser Winkel der beiden 50° drin oder 45° – drin, – plus 540 Grad drin sind, sind dann noch mal oben 33° – dabei oder sind -30° – obendrein noch dabei so weiter. Man tastet sich plus minus hin, – wie ist der Winkel der jetzt noch übrig bleibt, das ist wichtig. – starte mit der Eingabe. Fifi ist der Winkel der noch übrigbleibt. Ich ändere dieses Vieh immer, – ich Akkus Tangens von 1 durch – in gleich null, wenn ich den arcustangens von 1 durch 1 erledigt habe. – von meinem Winkel – auf das Ergebnis dann drauf multipliziert – ich mir mit dem neuen Ergebnis an das neue fi, – um 5 Uhr 40° reduziert – ich jetzt noch größer gleich null habe ich jetzt noch mehr. Wenn ich dann zu wenig habe, – mich ein kleiner Michel dann wieder da drauf und ✂ feuchte mal gerade zurück, das ist wirklich etwas – zu verstehen. – zerlege jetzt den Winkel der gegeben messdienst Winkel zerlege ich ins schöne Winkel nämlich Winkel – schönen Tangens haben – die Winkel selbst sind nicht die Zweierpotenzen, – sondern die Winkel haben – dir und zwei Potenzen, weil hier gleich der Tangens vorkommen möchte. – zweier Potenzen multiplizieren Platte – 2er Potenzen multiplizieren, – ist der Job von dem Algorithmus. – soll den Winkel zerlegen, – gegeben ist den Winkel zerlegen – dieser – winke, die dann in einer Tabelle – machen wir dass wir gucken nach ob der Winkel der gegeben ist? – ist überhaupt positiv ist, wenn der positiv ist. Okay, dann ziehen wir 45° – ab – merken uns den ersten Wochen mit plus, – das Ergebnis – Winkel den wir haben - die 45°, – wenn das Ergebnis dann immer noch positiv ist – wer die 30° ab – uns für den zweiten plus, – Ergebnis negativ gewesen wäre, bei über 30° draufgeben und damit minus rechnen, – man tastet sich schon plusminus ans Ziel – der Winkel der Mann hat ist er positiv – dann ziehen wir 45° – ab – Ergebnis ist negativ. – addiere ich beim nächsten Mal 30° drauf. – mich dann wieder positiv und sie aber was könnte auch passieren, dass ich dann knapp noch unter der Achsel liege. Da muss ich beim nächsten Mal noch die 15° – drauf reagieren. Muss immer hin und her und – den Winkel zum Schluss raus kommt beim 0 zu halten eben – hatten wir das Phänomen – dem Logarithmus, – die eine Variable sich mehr mehr dem X genähert hatte. Ich geh noch mal zurück zum Logarithmus hier. – Variable Z hat sich mehr und mehr dem X genähert, wann multipliziert einen nach dem anderen dran einen nach dem andern dran darf wurde – multipliziert man eine Größe, die sich mehr und mehr dem X nähert – jetzt ist das anders. Es nähert sich eine Größe mehr und mehr den 0. – finde ich – brutal. Die Variable ist eigentlich nicht schön zum programmieren, aber – man dann gerne so, ich stehe brutal die Variable in der die Eingabe Größe steht, diese Variable – und da ziehe ich jetzt Winkel ab und addiere Winkel drauf und sorge dafür, dass es was rauskommt dicht bei Null ist, – positiv ist nur dann ziehe ich im ersten Schritt – 45° – ab. – ist ja nicht viel drin, etwas negativ. – Typischerweise negatives – typischerweise steht dann da drin, es sei denn der Wege war wirklich – groß gewesen, mit dem ich gestartet – steht da was Negatives drin, jetzt gucke ich im nächsten Schritt – eins, – ich da habe in dem Winkel, das ist jetzt mein neuer Winkel FI ist das positiv oder nicht? Nein, es ist negativ, – also wird im nächsten Schritt ein Winkel drauf bei dir, die 30° werden drauf addiert und – merke mir auch immer dann im Ergebnis, was der Faktor – das Ergebnis ist hier weiß da war ja – E-Mail – - immer den Tangens Säge – beides nach den Winkel – der Eingabe – ich nach Ergebnis y fliege ich nach. – Schluss. Wenn alles funktioniert hat ist – Variable fi – null – ich habe dann addiert – passendorfer – immer die Winkel aus der Tabelle addiert – und subtrahiert – los ist nur rausgekommen – ich habe – die Produkte gebildet und diese Produkte bilden ja – Bussi Sinus Euler – 0,6 muss natürlich noch echten das Produkt x 0,6 – Dir das Produkt der Cosinus – Therme die ganze Reihe runter hat ich rausgehe aus dem Algorithmus ist großes Bussi Sinus x – was man dann genauer haben müsste auf 15 Dezimalstellen oder was richtet man einmal vernünftig aus – funktioniert cardig – wird hier mit komplexen Zahlen gerechnet. Ich sage zu y = 1, hier sehen Sie da steht nie drin, da steht nie drin – Schluss kriege ich was mit ihr aus? – hat man normalerweise natürlich nicht. – Rechenwerk das mit komplexen Zahlen arbeitet – nicht auf den billigen – ist hier jetzt eigentlich gemeint – für mit komplexen Zahlen gerechnet wird, – muss ich eigentlich tun? ✂ programmieren, dass du natürlich mit Realteil und Imaginärteil und – so als ob der überhaupt nichts komplexes drinnen war, das mal vielleicht gerade noch mal abschließend als Wiederholung zu den komplexen Zahl. – Zahlen. – passiert da eigentlich, wie – kann ich das den Rechner beibringen – natürlich nicht die Variante mit Länge und Winkel, – ist hier nicht gefragt, sondern die Variante mit. – und Imaginärteil, wenn – sie so eine komplexe Zahl haben, aber + B Miley – andere komplexe Zahl C + D Marie a – b und c und d alles reell. – muss der Rechner wissen – damit umgehen soll UPS dann wird eine komplexe Zahl jetzt oder öfter mit der anderen komplexen sehr einfachen für den Rechner ein Binärsystem komplexen – Zahlen multiplizieren, – gibt welche komplexe Zahl. ✂ + – are my – mal C – WE mal de – das kann man durch zusammenfassen, das ist AC – Bd. – die ausklammern aus den beiden hier aus den beiden Klammern Siggi aus, – haben sie ARD – BC – und das können sie dem Rechner beibringen, wenn der Rechner und – USA + Beamer niemals – eplus.de Marie können Sie berechne das beibringen. Ok, du hast vier Zahlen – aus den vier Zahlen machst du folgende beiden Zahlen – und Imaginärteil Ergebnis – calciumrechner beibringen, wenn das hier zu modifizieren ist, Artus bierma licetus dem Walli, wir haben vier Zahlen – dein Ergebnis folgendes? – DBC – Imaginärteil – man trennt Realteil und Imaginärteil der – muss nichts von imaginären – beauduc ist insofern etwas komplizierter – zu berechnen, aber es ist einfach nur eine – der eins dann noch original Zahl wie sie da war und – sehen sie vertauschen, Imaginärteil und Realteil mit dem EN der noch ein Vorzeichen – verschieben das ganze das ist relativ – zu programmieren, – Sie das im Prinzip – hinkriegen Kordic – Laufen kriegen.