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27D.1 Binomialverteilung; Bedeutung und Berechnung des Erwartungswerts

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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ich – will hin zur Binominalverteilung – befangen ist ?? ganz vorsichtig an – eine Zufallsgröße – Zufallsvariable – die auf eine bestimmte Weise verteilt ist die mit bestimmten – Wahrscheinlichkeiten – bestimmte Werte annimmt – befangen als einfach an Prognose immer wieder Mützen ein – Mann nimmt eine – nicht ideale Münze – mit der Beschaulichkeit klein P – soll sie auf Kopf fallen und mit der Wahrscheinlichkeit – eins minus klein P – soll sie auf Zahl fallen die ideale Münze wäre – ein halbanhaltender – Wahrscheinlichkeit – nicht ideale liegt natürlich dann auch gerne ideal sein darf SPD gleich ein halb ist dann aber die ideale Münze – aber üblicherweise wird sie nicht ideal sein Punkt jetzt werfen wir die das mal zehn mal diese Münze zehnmal werfen – um eine Zufallsgröße – ist dann wie häufig Kopf gefallen ist – maximal zehn mal minimal null Mal – und ich kann mich fragen wie häufig passiert es denn dass ich bei zehn dürfen niemals Kopfarbeit ?? passierte sie sich beziehen dürfen sie immer Kopf habe umgerechnet gerade mal aus wie häufig passiert es dass ich sechsmal Kopf habe – Komma so soll sagen sehr locker geschrieben ?? sehr informell geschrieben von den zehn – Würfel – fallen genau – sechs auf Kopf – also nicht sieben und nicht fünf – genau sechs von zehn Würfen sind auf Kopf – das müssen wir schon ausrechnen können sieht sich als Mann den ganz normales Ereignis – gleich verallgemeinert – auf Zufallsvariablen – sowas größtes Richterin sagen sexuellen – Wiese mit vieren wie mit fünften was ist der Mittelwert – wie stark schwankt das was es ?? Jans Standardabweichung – dann aber plötzlich die Binominalverteilung – was in der Formelsammlung als Bindung ja Verteilung steht ?? als Wahrscheinlichkeit sie werfen diese Münze zehnmal – wie wahrscheinlich es ist das sie sechsmal auf Kopf fällt dabei nicht siebenmal nicht von Frau – und zwei blieb die Reihenfolge also einmal auf Kopf Klammer auf Zahl underscore Klammer auf Zahl der Römer auf Seite sechs ?? auf Kopf und viermal auf Zahlen ✂ ?? – versuche mal ein Baumdiagramm – hoffentlich – kann man denn irgendwas erkennen – und ?? das Baumdiagramm nicht ganz aufzeichnen können die erste Münze Chopper erstens die erste Münze kann auf Kopf fallen oder auf Zahl fallen Punkt der zweite Wurfkopf – oder Zahl – und als Abschluss aber den zehnten Wurf sind zwei vier acht dazu weiterhin an die tausend vier in zwanzig Möglichkeiten – das nervt natürlich bisschen das will ich nicht alles hin zeichnen – und jetzt möchte ich wissen wie wahrscheinlich ist es sechsmal – Kopf zu sehen was würden Sie jetzt unser Baum vollständig aufgezeichnet – werden was würde sie jetzt interessieren an diesem Baum sechsmal Kopf ✂ will sie das mal für den Bau tatsächlich aufzeigen kann es leichter zu abstrahieren minimal folgend ist die Wahrscheinlichkeit – von – drei Würfen – aus nicht bei zehn Würfen sondern nur noch drei Würfe von drei Würfen fallen – genau – zwei auf Kopf – den Baum vollständig auf – gerade ✂ nicht das einer falsch versteht was ich gemeint habe man jetzt dreimal werfen die Münze wie ihr Zimmer werfen die Münze dreimal werfen – ich möchte gerne wissen wie wahrscheinlich es ist das dann von den drei Ergebnissen – genau zwei Kopf sind einfach nur vereinfachen von zehn sechs zu drei und zwei – okay sie schaffen es dann tatsächlich ein Baum hin zu zeichnen – die erste Münze verfallen auf Kopf oder auf Zahl – die zweite Münze kann auf Kopf oder Zahl fallen in beiden Fällen der ersten Münze und die dritte Münze kann auch immer – auf Kopf oder Zahl fallen – jetzt kann ich mir angucken in welchen Fällen mein Ereignis eintritt – von den drei Würfen sind genau zwei auf Kopf die erste auf Kopf die zweite auf Kopf die dritte auf Zahl – das wäre eine Möglichkeit – hinter das Ereignis eintritt – ?? Möglichkeit wäre die erste auf Kopf die zweite Laufzeit die dritte auf Kopf der dritte Wurf soll ich sagen auf Kopf und dann haben wir noch der erste Wurf auf Zahl der zweite auf Kopf der dritte auf Komma – so – drei Pfade durch diesen Baum in denen das Ereignis eintritt und scheinbar natürliches der verschiedenen Pfade Teil Ereignisse die unvereinbar sind ich davor sogleich die wahrscheinlich Seiten von diesen drei Würsten ihr sozusagen die darf ich addieren – ?? niemals gleichzeitig auftreten diese drei Pfade – gesündigt man sich die Einzelwahrscheinlichkeit – wie häufig jeder davon passiert mit der Wahrscheinlichkeit – P wenig Kopf haben mit der Wahrscheinlichkeit als Minis bewilligt Zahl haben wir wieder so weiter P als win XP – wahrscheinlich insgesamt ?? klar das heißt – dieser erste Fahrt passiert – im Anteil – P aller Fälle komme ich dahin davon – im Anteil P aller Fälle komme ich dahin und eins minus B Anteil – komme ich dahin ist es also mit einer wahrscheinlich ?? P mal Pi mal eins minus den Klammer nicht vergessen Beistrich nicht mit ausmultiplizieren – sondern mit einem Spiel multiplizieren – Komma mit dieser dreißig Prozent sind dreißig Prozent der Fälle landet bei diesem Ka dann an dich davon dreißig Prozent der Fälle dreißig Prozent von dreißig Prozent immer wie bei dem K und dann eins minus P gezielt angeschrieben siebzig Prozent der Fälle von diesen dreißig Prozent von den dreißig Prozent der Fälle landet bei den Z als Maske – die Wahrscheinlichkeit – für diesen ganzen Vater und die andern sind natürlich – gemerkt genauso groß P mal eins minus B mal P und hier unten eins win XP mal eben HP – ?? drei genauso groß wenn auch andersrum dann modifiziert aber das Ergebnis ihres ähm – Dampf habe ich diese Wahrscheinlichkeit – hier die Wahrscheinlichkeit – ist also drei mal P Quadrat – mal eins minus P – zwotes eigentlich haben mit zehn Würfen – und es war genau sechs auf Kopf – jetzt mal darüber nach der müsste das hinhauen zehn Würfel sechs auf Kopf ✂ also – P Quadrat – kam ?? zweimal Kopf haben wollte muss einmal den Ast nehmen hier einmal ausnehmen da jeweils BP modifiziert – wenn ich sechsmal insgesamt Kopf haben will muss ich sechsmal so ein Ast neben dem P steht also Bewegung sechs und – ich muss hier mal Zahl haben ich muss viermal einen Ast nehmen an dem Eis – steht ?? am gleichen Tag noch sechsmal als win XP hoch vier soweit so gut aber davon steht nicht einfach – zehn – oder sechs es wird anders – an sich überlegen wie wir diese drei Fälle zustande gekommen sind ich muss auf drei Plätzen – zweimal – K unterbringen – und einmal Z unterbringen – Sauce drei zustande gekommen wie viel Möglichkeiten gibt es auf drei Plätzen zweimal K und einmal Z unterzubringen – jetzt muss ich mich fragen wie Möglichkeiten – gibt es auf zehn Plätzen – sechs Mal K und viermal Zeit unter zu bringen – das – jetzt immerhin nach oben steht noch was unbekanntes – mal aber wir müssen jetzt schon wie hoch sechs – mal eins minus – P hoch vier – und hier vorne – mit seiner vorne beantwortet die Frage wie viele Möglichkeiten – des – Aufziehen Plätzen – zwei K – und – viermal – set unterzubringen – das es Kombinatorik ✂ stellen – sich leicht vor dass sie – eine Urne haben aus der sie – sechsmal – ziehen in der Urne – steht drinnen eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun – zehn – und jetzt sehen sie sechsmal – aus dieser wurde ohne zurücklegen – und dann müssen Sie auf welchen Plätze – Kopf stehen muss sogar das konstruieren – eine Urne – mit zehn Zetteln drin beschriftet als bis zehn – und ich ziehe sechsmal ohne zurücklegen wenn ich den Zettel zwei ziehe weiß ich okay auf Platz zwei – muss Kopf wenn ich dann den Zettel drei Ziele weiß ich auf Platz drei muss Kopf der sich den Zettel acht von mir kommt auf Platz acht Kopf und entzieht den Zettel eins kommt auf Platz eins Kopf und so weiter – es mal sechsmal miteinander und auf die übrigen vier Stellen Sie sich Z so kann ich das konstruieren – sechsmal ziehen aus diesem Beutel – ohne zurücklegen – und was ich dann gezogen habe sagt mir auf welchem Plätzen – Kopf stehen soll von den zehn Plätzen auf die anderen Plätze ständig Zahl wie viele Möglichkeiten gibt es dafür ✂ also der Binomialkoeffizient – deshalb heißt das Ganze dann auch die Binominalverteilung – Steinschlag Überschrift hundert zehn über sechs zehn über sechs sagt Ihnen wie viele Möglichkeiten – gibt es sechs – verschiedene Sachen aus zehn verschiedenen Sachen zu ziehen wenn die Reihenfolge egal ist langsam Lottomedizin – aus der Lottotrommel – neunundvierzig – über sechs sechs verschiedenen Sachen aus der Werbetrommel – die neun für sie verschiedene Sachen enthält die Reihenfolge sinnigerweise – genauso wie die sechs verschiedene Sachen aus den Zähnen die auch alle verschieden sind und zurücklegen deshalb bei der ?? verschieden sind die ziehen – und die Reihenfolge – das ?? zu schreiben die Reihenfolge ist mir egal ob ich erst den Platz eins Besetzung und eine Platz zwei oder umgekehrt – Hauptsache ich weiß wo die Münz mit Coffeewald steht an welcher Stelle der ?? ziehen oder zurücklegen und die Reihenfolge ist die Karte sind wir bei den Binomialkoeffizient – sind über sechs – dahinterliegende – Namen Binominalverteilung – von zehn Würfen sollen genau sechs auf Kopf alle kriegen sie diesen Binomialkoeffizient – für Möglichkeiten gibt es denn sechsmal Kopf unterzubringen – in den zehn Würfen – HBO sechste Wahrscheinlichkeit – für die sechsmal Kopf mal als Minis Bio vier die Wahrscheinlichkeit für diese viermal Zahl – das ist dann das wesentliche Resultat hier ✂ bei diesem einfach nicht das es sich mit Lotto vorzustellen – und wird sich über sächsische Möglichkeiten – gibt es sechs Zahlen Lotto zu ziehen Punkt sie ziehen keine Zahl doppelt und die Reihenfolge der Ziehung ist egal – genau das verwende ich hier ist aber zehn über sechs – Jahrzehnten Nummern in der Trommel zehn Kugeln in der Trommel durchnummeriert eins bis zehn ich ziehe sechs Kugeln daraus und das ?? dann auf welchem Platz ich Kopf setze – sich auf den zweiten Platz auf den vierten Platz und so weiter Kopf auf alle übrigen sechzig Zahl und dann habe ich meinen Weg hier mein Vater durch den Baum konstruiert so viele Pfade durch den Baum gibt – es also – sozusagen einer gespielte zehn Kugeln aus den ich sechs ziehen bekommen hätte Binomialkoeffizient – vor und das ist wesentlich mehr als zehn das Könner verkörpert am Rande ihr haben zehn über sechs – ausrichten würde nochmals Schaden – der Tag war ja folgender – ich überlege erstmalig mit Reihenfolge ziehe ich ziehe sechs – verschiedene Sachen ohne zurücklegen aus zehn verschiedenen Sachen und brachte die Reihenfolge und dann vergesse ich danach die Reihenfolge die Anzahl der Reihenfolgen sechs Fakultät – dadurch Teil kann alles noch durcheinander würfeln in der Reihenfolge – sechs Fakultät ist wie viele Möglichkeiten – es gibt sechs verschiedene Sachen ineinander zu stellen die zarte Amputation – so schön heißt – es über die technischen Möglichkeiten ich habe mit Reihenfolge – zu ziehen sechs Sachen aus zehn verschiedenen Sachen ohne zurücklegen zu ziehen wird es erst habe ich zehn Möglichkeiten – dann sind aber nur noch neun Kugeln in der Trommel dann habe ich noch neun Möglichkeiten – was zu ziehen dann habe ich noch acht hundert sieben oder sechsten – fünf Möglichkeiten was zu ziehen dass es zehn über sechs – ?? teilweise ?? sich raus als wenn sie es jetzt ausführlich – in Schreiben zehn mal neun mal acht mal sieben mal sechs mal fünf durch sechs mal fünf mal vier mal drei mal zwei mal heißt es muss Tiffany auch ganze Zahl werden diese Musik sind viel rauskürzen der gesamte Nenner muss ich ausgezeichnete – die ganze – ganze Zahl ist Anzahl von Möglichkeiten – wie für Mitglieder gibt es sechs Aussehen zu ziehen – und zurücklegen Reihenfolge egal das muss zum Schluss der ganze Saal werden das heißt der Nenner Musik komplett raus kürzen das es was schief gegangen als die sechs gegen die sechste fünf gegen die fünf – Weimarer – G4 – steckt – in der acht Rennen ?? zwei draus die Zweige nicht an die zwei kürzen die drei kann ich mit der neuen hier kürzen und dann bin ich bei zehn mal drei – mal sieben – das sind zwei hundert und zehn ✂ also nicht wundern es muss der ganze Saal werden der Nenner muss sich komplett Weg kürzen das es erlaubt so das das geht aber wir wissen ja fast einzelnen Möglichkeiten des Abos assoziierte sich der Nenner komplett weg kürzt ich immer so wie hier sind sechsundfünfzig zu fünftes was würdest irgendwo irgendwelche Primzahlen – die Männer stecken wenn sich irgendwo – mit einer Primzahl finanzieller stecken kürzen nicht immer so hübsch wie das gerade vielleicht der Fall war zwar noch mal die Binomialkoeffizient – so das verallgemeinern – ?? jetzt – wenn ich also – eine – nicht ideale Münze habe – im kam die Frage – der Münze die mit zehn Prozent neunzig Prozent fällt das wenn sie nur schwer hinkriegen – nimmt sie den Widerstand oder irgendein Bauteil – Anfang der Woche knapp hundert tausend Bauteile und diesen kaputt oder heile wenn sie das wie eine Münze – ihr Bauteil ist Kaputtkopf – ihr Bauteil ist heile – das ist Zahl – dann ist dieses P – wird sich hoffentlich sonst haben sie schlechte Ware eingekauft – als wir brauchen einen Gegenstand – war nicht ?? Gegenstand irgend ein Konzept das wahr oder falsch sein kann bei der Münze zum anfassen vorzustellen Kopf oder Zahl nimmt sie das Wetter von morgen rechnet es oder richtet es nicht nehmen Sie ein Bauteil des Haldols kaputt ein Objekt das zwei Zustände haben kann abstraktes Objekt das es hier gemeint – nicht unbedingt eine Münze somit jetzt verallgemeinern – haben wir also – Entwürfe – die Wahrscheinlichkeit – von – ähm Würfen – fallen genau – K – auf Aufkauflieder – natürlich analog – schreibe ich ihn ✂ süchtige – Sen übergab – den Binomialkoeffizient – in voller Schönheit in über K von N Plätzen insgesamt möchte ich K ein Komma hier mit Kopf füllen und es kommt P hoch K – muss – K mal die Abzweigung – Richtung Kopf nehmen – klein K hier die Anzahl teuer sein wohnt ich muss die übrigen – ähm minus K sind das dann die andere Abzweigung nehmen der Wahrscheinlichkeit einziges Petersen soll jeweils kleine P sein Beistrich dass das kleine Penis ist das groß P – das ist die Binominalverteilung – eine Zufallsgröße – ähnlich wie viele – der Entwürfe fallen auf Kopf maximal in minimal null immer nur ganze Zahlen dass es bei Zufallsgrößen – kann ich sagen – mit welcher Wahrscheinlichkeit – die Zufallsgröße – gleich drei zwanzig ist in über drei zwanzig ?? und drei zwanzig ?? und so weiter und so weiter das ist die Binominalverteilung – Arizona – Verteilung hat – das erste was man sich fragen kann – gibt es ein Erwartungswert – und was ist Erwartungswert natürlich gibt es ein Erwartungswertes – aus dem Bauch heraus klar sie wissen wenn sie – dieses Experiment – hundert tausend mal wiederholen und dann Mittelwerte bilden dass diese Mittelwerte sich immer weiter zusammenziehen – ?? das letzte Erwartungswert – EE und Erwartungswert der Zufallsgröße – habe mal die von – X X – groß X – die Zufallsgröße – oder fuhr was soll es eine Zufallsgröße – sein – groß X – das soll sein – wie viele Würfe denn Kopf ergeben – und das en soll dabei fest sein – als man wählt erst mal dieses ähm – immer zehn Würfe – kann man sich angucken – Zimmer geworfen habe waren's vier auf Kopfpharmazie – ?? auf Kopf ?? kann ich ausrechnen wie wahrscheinlich das war das Sommer Zufallsgröße – sei das was im Hinterkopf ?? zweites N soll fest gewählt sein ?? zu Beginn mal gesagt wenn ihm zehn und ?? Komma saufen Erwartungswert – ich möchte gerne wissen wie viel das im Mittel ist wenn sie denn mal werfen – was passiert denn im Mittel wie oft wird dann Kopf erscheinen – die machen dieses Experiment einmal werfen hundert tausend mal fragen sich im Mittel wie oft es jetzt Kopf erschien – hundert tausend Komma was Muster rauskommen ✂ zu ?? offensichtlich – diese Wahrscheinlichkeit – mal ähm – wählen sie haben das die Münze – dreißig Prozent null Komma drei null Komma sieben fällt jemand ?? Komma drei der Fälle fällt sie auf Kopf in anderen kursierende Fälle will sie auf Zahl – und dass man sie zehnmal – dann erwarten sie dass sie zehn mal null Komma drei zum Schluss an Kopf haben zehn mal null Komma drei drei Mal Kopf des von den zehn Würfen drei Kopf gewesen sind erwarten sie im Mittel das Wissens aus und das Maß nachgerechnet hat offensichtlich dass das rauskommen muss einmal B muss Erwartungswert – sein wenn sie die ideale Münze haben bis ein halb zehnmal ein halb kommt ihr fünf raus und wollen Kopf und Freizeit – das für dich erwarten – die strenge Definition – als auch normal nacharbeiten – also dass das so ist man offensichtlich – besser so schön heißt durchdrücken will um eine Begründung offensichtlich – das ist Erwartungswert – schief gegangen aber können ihn auch ausgerechnet – den Erwartungswert – ich schreibe mal ?? oder nachgerechnet – kann er die Definition – vom Erwartungswert – nehmen und gucken was passiert – sodass gerade noch mal allgemein haben die Funktion das Erwartungswert – seine Einschub – gerade mal siebtes anderes Beispiel – ?? zur Zufallsgröße – nur die Zahl eins zwei drei rauskommen können – äh ist eins – mit der Wahrscheinlichkeit – ich finde jetzt mal was – mit der Wahrscheinlichkeit – sechzig Prozent – ist zwei Männer Wahrscheinlichkeit – von dreißig Prozent – und ist drei Männer Wahrscheinlichkeit von zehn Prozent ?? hundert Prozent – wenn ich hier den Erwartungswert – wissen will in Erwartungswert dieser Zufallsgröße – er sich vor dass es Messwert – sechzig Prozent der Fälle Krise eins raus in dreißig Prozent der Fälle Krise zwei raus in zehn Prozent der Fälle kriegen sie drei raus das es ein Messwert – wenn sie jetzt hundert tausend mal messen und bilden dann den Mittelwert – und eine Million mal messen und ein Millionen ein Milliarde Mal messen wir den Mittelwert das muss ich den Erwartungswert – mehr und mehr näher an die könnte den Erwartungswert – direkt ausrechnen – das maximale lade ✂ System – als vor wir würden – dieses Experiment hundert tausend mal machen – wie billig dann den Mittelwert – die Summe aller Messwerte durch hundert tausend so würde ich den Mittelwert bilden – es kämen ziemlich – genau sechzig tausend mal die eins – in irgendeiner Reihenfolge – Anfang am Ende wie auch immer Arbeit zusammen hundert tausend Mal – kämen ziemlich genau sechzig tausend mal die eins – zu eins plus eins Pluszeichen – sechzig tausend mal sechzig tausend mal die eins – es käme – ziemlich genau dreißig tausend mal die zwei also zweites zweites zwei und so weiter – ich sie mir sicher – meine Messergebnisse – erzählen dreißig tausend mal ziemlich genau kennen die zwei Hundes kämen ziemlich genau zehn tausend mal die drei – ?? und jetziges über sie gerechnet wird sechzig tausend mal eins – plus dreißig tausend mal zwei – plus zehn tausend mal drei steht er im Zähler – ich hatte selber mal sechzig tausend mal die ein steter – rechts ?? tausend – mal die eins – plus – dreißig tausend mal zwei ?? und zehn tausend mal drei geteilt durch hundert tausend – und ?? sehen Sie was das ist sechzig tausend durch hundert tausend ist null Komma sechs – null Komma sechs mal die eins plus dreißig tausend durch hundert tausend bis null Komma drei – mal die zwei – plus zehn tausend ?? hundert tausend Essen Komma eins – mal drei – bis es wieder Erwartungswert funktioniert sie modifizieren – Wahrscheinlichkeit – mal wert Wahrscheinlichkeit mal wird wahrscheinlich bald mal Wert und addieren das so banal ist das also unter dem Erwartungswert stellt man sich vor was passiert wenn man das sehr sehr häufig – durchführt – und den Mittelwert bildet wie sie es in der Physik machen alle Messwerte addieren und durch die Anzahl Teilen arithmetische Mittel versteht man sich darunter vor mit extrem vielen Versuchen also Grenzwert bilden sozusagen – eine Praxis sicherlich kann er sich nämlich auf durchführen in der Praxis – stellt sich vor was passieren würde wenn man es mittig auf durchführt – Grenzwert gebildet von den Mittelwert – und dann sehen Sie – die Anzahl der Fälle den eins vorkommt durch die Gesamtanzahl – die wahrscheinlich später wieder stehen also den Erwartungswert hinsichtlich Winterreifen als Wahrscheinlichkeit – für den Wert eins mal den Wert eins Plus wahrscheinlicher für den Wert zwei mal den Wert zweites wahrscheinlich hat für den weltweit meisten der dreißig gegenüber den Erwartungswert – das will ich jetzt hier auch machen – das ist die allgemeine Idee mit dem Erwartungswert – was erwarte ich im Mittel das mögliche sie auch mal ?? wissen schon was rauskommt – Komma ist raffiniert – das normal nachzureichen tatsächlich das dass es wirklich stimmt hier möchte ich dasselbe machen möchte folgendes tun wie wahrscheinlich – ist es das dieses X gleich null ist mal – Null oder Parken runter sinniges Rezept wie wahrscheinlich ist es das diese Zufallsgröße gleich eins ist mal eins wie wahrscheinlich ist es das sie gleich zwei mal zwei ?? Beistrich – dass ich ?? weiß mal drei auf eine genau das mache ich hier auch jetzt aber für meine Münze – wie wahrscheinlich – ist es das diese Zufallsgröße – gleich null ist – und hier beschreibe ich das von – Endenswürfen – fallen genau null auf Kopf also kein einziger – Mal null plus die Wahrscheinlichkeit – das von Endenswürfen – genau – einer – auf Kopf fällt mal – eins – Zwiebel der Platz – plus – zwei und so weiter zwei und so weiter und so weiter – und am Ende habe ich von – Endenswürfen – fallen genau kennen also alle auf Kopf und so weiter und so weiter mal in – meinen das wird Erwartungswert – sehen das macht es sich also viel Spaß den so hinzuschreiben – ist dieselbe Idee Wahrscheinlichkeit – mal Wert auf summiert – wahrscheinlich ist das ist null Cent mal null wahrscheinlich ist es das es einer ist mal ein Schatz zwei und so weiter und so weiter – ganz viele Pünktchen hier wahrscheinlich ist es das es alle sind mal ähm was wäre der Wartung – der bis jetzt sich ausgerechnet ist aber jetzt kann ich in ausrechnen diese Wahrscheinlichkeit – die kann ich angeben für diese Wahrscheinlichkeit ?? Formel circa die Binominalverteilung – von Entwürfen fallen soundsoviel auf Kopfwahrscheinlichkeit – habe Formen – aus ?? nehmen jetzt einfach die Formel von oben für diesen Ausdruck zwei null auf Kopf ist voll eine auf Kopf ?? weiter – mit Pünktchen – Punkt was ist Erwartungswert – ich mach hier oben weiter was ist Erwartungswert – denn ich suche – jetzt auch die Wahrscheinlichkeit – das null auf Kopf fallen von den ähm wählen null – Missfallen null auf Kopf – und damit alle auf Zahlen – dass wir die Wahrscheinlichkeit – dass nun von den auf Kopf fallen – das modifizierte ich mit null sind sie also gar nicht ausrechnen ?? mit null modifizierte Wert ist die Wahrscheinlichkeit – da stehen mal den Wert der Werte null und wahrscheinlich Kataster noch mal angucken sie sehen das es in über nur die großes N über null ?? hundert übernommen oder in über null groß ist das hier vorne ✂ es ist per Definition – eins – Sie wählen null aus N Elementen das Lied der kein sind nun aus den Elementen – zu wählen ?? man sagt das es dann eins denken Sie an die andere groß Anwendung von die Binomialkoeffizient – Nablus B hoch ähm ist ähm über null mal auch NW hoch null Plus N über eins auch ein minus eins – eins und so weiter – Sie wollen das hier vorne nach eins steht auch ein einmal – auch NB hoch null aus man – definiert ganz dreist in über null ?? bitte eins sein das Evan ist – eins – per Definition ergibt eine anschaulich soviel sind nun Elemente auswählen ?? toll was soll das werden – aber es wird sowieso mit nur modifizierte Services ?? Nuance – und dann geht es weiter einen auswählen – N über eins – ich muss einmal den Fahrt Richtung Kopf nehmen und ich muss ähm minus einmal den Fahrtrichtung – zahlende – mal einstens – wie dieser hier scheint ?? mal eins – über eins er wollte sie immerhin in über eins das es gleich ähm wähle einen aus ähm Kohle zurücklegen und die Reihenfolge ist egal – das ist im Shop demnächst normal in das Meer sehen in über zwei – P ins Quadrat – eins minus für die – zwei – mal zwei ich das so schreibe ich natürlich davon aus das N gleich größer ist als zwei Songs gibt es nicht viel Sinn plus alles mögliche was dazwischen liegt Plus und der letzte ist N über N – wie hoch denn eins kleines P hoch null ich muss immer den Abzweig nehmen Richtung Kopf und nie den Abzweig Richtungszahl – mal – ähm en über ähm sie wählen alle Aussehen auseinander nur eine Möglichkeit das klar schon wieder eins – ?? Klammer zu Unterzeichnung – großes N – das möchte ich es ausrechnen das sieht fürchterlich aus – was man üblicherweise machen wird ist das man das zusammenfasst – was aber nie so großartig betrieben – Verbrechen wie das aussieht ?? man fast das zusammen in ein Symbol eine Summe – K gleich null bis ähm das ist die mathematische Vorstrafe – schon programmiert haben oder einen Vorschlag in der Mathematik – zu mir auf ein großes ?? des griechischen Siegmarsemira – auf – und dieses Car sind die Laufvariable – das Casa laufend von null bis N null eins zwei drei und so weiter bis ähm – sehen Sie was jetzt – passieren muss was ist eigentlich was sicher austausche – das hier ist null null null – null – vier eins eins eins eins zwei – zwei – zwei zwei und so weiter und so weiter – das Andy runden das in Oma fest dieses ähm Haar hier steht eigentlich ein minus elf Books – erschien eilig angesehen – und das ähm und war von dem MSN interessiert mich das zweite ein – das Muster beherrscht durch ich hab eine Formel immer gleich aussieht – und roten Stelle setzt sich aber eine andere Zahl an das männliche mit dem KK gleich null ähm eine einheitliche Formel – aber an der roten Stelle im eine andere Zahl in über soundsoviel – P hochsoundsoviel – eins minus P hoch ähm minus soundsoviel – mal soundsoviel – Wasserreservoir Kakaka – das wäre die hübschere Formel – ohne drei Punkte – zum Ire auf von null bis N N über K und so weiter und so weiter dieses Casa einfach durchlaufen – möchte diese Teil Familien mit null haben der oberste der möchte mit eins haben der nächste der rechnete mit zwei haben und so weiter und so weiter bis in all das auf summiert das ist die professionelle Schreibweise dafür sieht bisschen freundlicher aus – ?? sieht unfreundlich aus ist aber kompakter – man erspart sich die drei Pünktchen und ganz viel Platz ✂ diese Summe möchte ich jetzt ausrechnen das Feld Erwartungswert – einfangen zu müssen ?? hingeschrieben diese Summe möchte ich ausrechnen – das versucht man jetzt mit List und Tücke hinzukriegen – wenn das Kader hinten nicht Stunde – das Komma gerade mal hinschreiben – wenn das Kader nicht stünde das Karstadt davon Erwartungswert – Wahrscheinlichkeit – mal wert – wenn das Kader nicht stünde – nicht das hätte die Summe K Gleichzeichen null bis N – in über K P hoch K eins minus P hoch ähm minus K in das Kader nicht stünde wenn ich einfach – dieses hier auf so mehreres bekomme ich dann raus ✂ nur das ergibt eins natürlich das ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten – hier drin steht wie wahrscheinlich ist es das bei Entwürfen – K – auf Kopf fallen wir zu mir ich auf wahrscheinlich Testlauf auf Kopf an einer zwei drei und so weiter alle durch buchstabiert – die Summe aller wahrscheinlich Guidance hundert Prozent des kommt eins raus zum Ire Detail wahrscheinlich Karten auf ?? gucken sich das in Nummer ein bei dem anderen Beispiel – nur Komma sechs null Komma drei null Komma eins summieren – das quasi auf null Komma sechs null Komma drei null Komma eins gegen eins raus – dass man die Teilwahrscheinlichkeiten – hier für ein zwei frei für die möglichen Werte – also ?? diese Summe hier ist das ein Service Komma das auch wieder mit Binomialkoeffizient – schreiben was sie vorne besteht – als Hausaufgabe eines davon steht es nämlich P plus eins minus P in Klammern hoch denn – mit Binomialkoeffizient – hingeschrieben – A plus B Klammer zu ähm aus buchstabiert – und hier steht eine Schüssel Reifen P minus B plus eins das Einzug in – diese Summe ist eins – und jetzt ist ja ?? Faktor K – da dran da muss ich doch was machen lassen – ?? so schlimm nicht sein wenn ich jedes K drei nehmen noch in die Summe – es kann nicht so viel schlimmer werden – müsse ?? auf einen landlosen Trick kommen wenn sich dieses P hoch K angucken – und das K angucken – ?? Ableitungen denken was könnte man hinkriegen – es komplett sich Ableitung auf ganz krumme Art kommen plötzlich Ableitungen nach ?? wie können Sie da was besser machen ich möchte diese blaue Form gekommen K soll gefälligst der Verschwinden dann ist es ganz einfach ?? mich eins raus – sieht sie eine Chance mit Ableitungen was zu basteln ✂ Leerzeichen – bisschen durchgeknallt als er sich vorstellen sie leiten P hoch K beschreibt es mal so – wie hoch K ableiten – kommt Ka nach vorne – und sie haben die hoch K minus eins der stehendes Ungeschick ?? das Cargo nach vorn neunzig könnte dieses Kabel kommen in dem ich nach P ableitet – steht aber leider nicht mehr K sondern K minus eins aber das egal das können wir heilen beschreiben dann ein Faktor P wieder davor – das ist der wesentliche Tag um das auszurechnen jetzt also P hoch K mal K – die beiden zusammen – kriege ich den ich folgendes rechnet die hoch K leidlich nach P abgesehen – nämlich raus kam mal PUK minus eins – oder modifizieren sie wieder mit P dann ?? PUK vollständig – völlig absurder Trick um Videoramaka – rauszukriegen mithilfe der Ableitung – die Leiden PUK ab und wenn sie fertig sind modifizieren sie mit P die Summe netterweise – arbeitet mit allen zusammen wenn sie die Summe ableiten – haben sie ihn drin abgeleitet – wenn sie die Summe mit dem Multiplizieren – haben sie ihn drin ihr mit vier multipliziert – das das hübsche den Trick verwendet man wie hoch K mal K ist viermal die Ableitung von Deocar – nach Peter östliches überzeugendes ?? mit null auch funktioniert – zwei ?? steht keinesfalls ist es gefährlich mit null machen Sie folgendes Bio Cola bleibt es Konstante – sie leiten konstant achtzig null Rausthema – null Blatt null und hier steht die hoch null mal null ist auch nur das es geht auch für – K gleich null geht nichts schief – den Trick verwende ich möchte gerne ableiten diesen hier die mit dem P möchte ich ableiten – ?? historische schreibe das SP – mal die Ableitung – nach P – von der Summe K gleich null bis N – N über K – P hoch K so weit so gut es ?? sich vor sie sei ich möchte nicht nach dpa bleibt das macht alles kaputt ?? sie mit Produktregel arbeiten – in ganz weißen Seitenscheiben – ?? hier eins minus – P – Tilde hoch ähm minus K – und sage jetzt möchte ich bitte zum Schluss dann einfach P Tilde – durch – P ersetzen – das möchte ich rechnen ?? dieselbe wieder Oxidation – rechnen – rechnen wir die Ableitung aus dann wird P hoch K zu K mal P hoch K minus eins ?? modifizieren wieder mit P ganzes PUK wieder komplett wenn sie fertig sind setzen sie hier P Tilde eine weitere Variable – durch P dann die Taste oben stehen – völlig irre – und das lustige ist das man jetzt das hinten ausrechnen kann ich hab's eben schon angedeutet was raus kommt die Enten können Sie jetzt ausrechnen – dann können Sie die Ableitung ausrechnen – und alles ist gut was passiert hierhin eben schon angedeutet mit binomisch – hinten steht Phänomen – was steht da eigentlich ✂ Leerschritt wieder die Bienenjahr Formel – steht P – plus – eins mit Tilde hoch wenn – das mit binomisch aus buchstabiert diese Summe auch ein mit binomisch aus buchstabiert sich in den ersten Wochen – dann – ähm mal in erster wenn es als meine zweiten – das ist genau dieses hier gar gleich Null einmal P hoch null und so weiter den letzten ?? ähm den Hammer dann kriegen sie ähm über eins – macht ähm mal den ersten Mal den jungen mit zwei soweit das aus buchstabiert mit binomisch steht das da was Komma ?? zweiter ausrechnen – steht also P mal und jetzt berichtet Ableitung – und zum Schluss P Tilde durch P ersetzen – Komma diese Ableitung hier was passiert wenn sie P plus eins minus P Punkt unter Tilde Dichter gemacht habe wenn Sie das Buch entnehmen und ableiten was können Sie daraus ✂ der – Potenzregel ja das entkommen nach vorn und wird um eins verringert – das heißt hier aus der Ableitung kommt raus ähm mal – P plus eins minus P – ein minus eins Marineableitung – aber die ist eins – und jetzt kommt die Ersetzung – sieht es jetzt dieses komische B wieder durch das originale P dass es lustig dann fallen die beiden weg P minus B nach der Sitzung fallen die beiden Decke steht Einzug in minus eins und hier steht jetzt unglaublicher Weise P mal in – ein etwas steiniger Weg ?? sich dran gewöhnt Bassisten absurder Trick den es auch keiner auswendig lernen muss Wasser lustig weil wir dann die Ableitung vorkommt – als – ganz fürchterlicher Taschenspielertrick – konnte die Ableitung vor – um ihr – dieses K aus der Summe rauszukriegen – in der Summe stört mich das K ich kann es sich vor die Summe ziehen sie sich jeweils anders null eins weit und so weiter ähm ich kann das gar nicht vor die Summe ziehen und diesen Ableitungstag – kriege ich das Kader vor – mit dem selben Trick kriegt man die Varianz raus – beschreibt ?? normal auf die Varianz dieser Zufallsgröße – das heißt sie bilden – den Erwartungswert – vom Quadrat – minus das Quadrat vom Erwartungswert – den Erwartungswert als solchen Geräten die Navigation – Erwartungswert vom Quadrat – wie sieht der aus dann haben Sie hier K Quadraten – stehen man wende diesen Tag zweimal an Beistrich damit die Varianz raus – und dann entsprechend die Standardabweichung – als Wurzel aus der Varianz – haben sie alles da für die Binominalverteilung