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27B.5 Varianz, Standardabweichung; drei Münzen


CC-BY-NC-SA 3.0

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dreiideale Münzen werden geworfenund ich zähle diese Münzen auf Kopf fallenPunktdas ist meine ZufallsvariableX soll seinwie viele von diesen drei Münzen fallen auf Kopfje nach Experimentnatürlich verschieden vieleund nun rechnen Sie folgendes aus was ist der Erwartungswertdieser Zufallsgrößedas es Erwin physikalisches Experimentmüssen sie jetzt nicht irgendeine Geschwindigkeitoder einen Temperatur sondernsie werfen drei ideale Münzenegalwas ist Erwartungswertdieser Zufallsgrößeund was ist die Standardabweichungstarkschwankt diese Messungso eine Zufallsgrößehier eine diskreteZufallsgrößeich habe abzählbar viele Möglichkeitenbeschreibt man indem man eine Tabelle macht oder zumindest sich die Tabelle vorstelltwas es die Wahrscheinlichkeitenwas ist der Wert jeweilsdazu um die Werte auflistenund dazu angeben was ist die WahrscheinlichkeitjeweilsMöglichkeitanwas kann hieraus komme es kann passieren das alle drei auf Kopf eines der wird dreiZufallsgrößesoll er seindie Zahl der Münzen die auf Kopf ?? drei kann passieren ?? drei werfedie erstmals auf Kopf an die zweite die dritteein achtel ist die Wahrscheinlichkeitdann kann vorkommen dass keine auf Kopf fälltalle drei müssen auf Zahl fallen sich dann dieselbe Wahrscheinlichkeit bei medialen Münzedann kann vorkommendass eine auf Kopf fällt und die anderen beiden nichtseine Feld auf Kopf und die anderen beiden nicht in ihrem Baumdiagrammdie erste Welt auf Kopf die anderen beiden nicht oder die erste fälltnicht auf Kopf die zweite fällt auf Komma aber die letzteoder die erste fällt nicht auf Kopf die zweite fällt nicht auf Kopf aber die dritte fällt auf Kopf drei Möglichkeitenjeweils mit wahrscheinlich keinen halb malen hat man ein halbdrei achtelundzweimal Kopfmir das heißt eine Münze fällt nicht auf Kopf ist sie sehr wahrscheinlich gar drei achteldas stellt diesediskrete Zufallsgrößegroß X wie sie es genannt habe daeine Tabelle mit allen Werten und den dazugehörigenWahrscheinlichkeitenwas ist der simpelste Szene die Jack für diese Tabelle hierhinausreichendeWahrscheinlichkeitenzusammen und dann musseins rauskommenvon System groß V und habe zu vielsich da reingebasteltoder zu wenig dran gebasteltes muss einer dieser Werte auftauchenin jedem Fall und es taucht nur ein einziger dieser Werte auf also muss die Wahrscheinlichkeitein Zeitdieses sindunvereinbareEreignisse wenn das wenn der Wert zwei rauskommt kommt nicht der Wert eins raus wenn der Wert null rauskommt kommt nicht über drei raus und sind nicht unvereinbaralle zusammengenommenschöpfen die Menge aller Ereignisse aushundert Prozentaus Kommaso mit der Tabelle kann man einfach weiter rechnenfür denErwartungswertschon gemerkt alle der Wartezeit ist Freiheit ?? klaraber rechnen Sie mal offiziell die kommt jetzt Erwartungswert zustandemithilfe dieser Tabelleund dann die Standardabweichungwenn ich den Erwartungswertzu Fuß Rechnernur aus dieser Tabelle man kann komplett vergessen das es jetzt Münzen sindoder was auch immeralles was ich wissen will steckt in dieser Tabelle drinalles was ich brauch von der Zufallsgrößeist in dieser Tabelle enthalten ich muss es noch aus Textilien aus der Tabelleder Erwartungswertder Wert null Komma ?? Wahrscheinlichkeit von einem Achtelder Wert eins kommt mir Wahrscheinlichkeitvondrei achtelder Wert zwei kommen Wahrscheinlichkeitvon drei achtelund der wird drei kommen Wahrscheinlichkeitvon einem Achtelein gewichtetesMittel und die Wahrscheinlichkeitensind die Gewichtean wenn sie dieser Formel nicht trauenzeigt noch mal die man sich das veranschaulichenkanner sich vor sie machen acht Experimentedie bilden sie den Mittelwert bei acht Experimentenachtet ?? machen acht Versuche von dieser Sortewie bilden sie den Mittelwert bei diesen acht Versuchensie werdenim Schnitteinmal null raus kriegensie werden im Schnitt dreimal eins raus kriegensie werden im Schnitt dreimal die zwei raus kriegen bei den achtdurch Führungenund sie werden im Schnitt alle drei rauskriegenPunktdas wäre sozusagen ihrMitteldas was sie erwarten würden Sie machen Experimentedavon gibt einmal die null dreimal die einst einmal die zweidie dreiim Mittel natürlichachtmalso gut willkommen acht Millionen Mal machen wir das schon deutlich besser passen acht Million Stück unten hier stimmt dann drei Millionen Mal die einzige stimmt drei Millionen meine zwei ?? eine Million drei bis acht Millionen ??im Schnittwas haben Sie es ist null mal ein achtel plusdrei maleinmal ein achtel plus drei mal zwei mal ein achtel plus drei Male nach genau was sie oben stehtso könnte man sich das veranschaulichenund zum Schluss weiß man gewichtiges Mittelüber die Werteund die Gewichte sind die Wahrscheinlichkeitdass er ausrichten muss in die Vorfälle starren das ausreichend wie drei halbes ?? diese drei Heilbäder noch viel einfacher haben könnendiese Zufallsgrößehier dieses Xsicher anders ich kann mir das für eine Münze anguckendie erste Münzefällt hier auf Kopf null oder eins fällt die zweite Aufgabeoder eins für die dritte auf Kopfnuss oder eins die drei die Richtigkeit ihrer drei Zufallsgrößenjeweils nur eins sindals bei den erwarteten ein halb habenErwartungswertbei der einer Münze sage eins null kommt aus ist ein halbund dann kriegen Sie hier die Summe der Erwartungswertder Erwartungswerteiner Summe ist netterweiseimmer die Summe der Erwartungswertdreimalauf zu mir dieses ein halb als Erwartungswerthätte man so viel einfacher haben können aber so haben sie noch mal allgemein gesehen wie das gehtaus irgend so eine Tabelle in Erwartungswert abzulesenfür eine diskrete Zufallsgrößewenn ich so eine Tabelleaufstellen kannmit abzählbar vielen oder vielleicht sogar typischerweisenur endlich viele Zahlenso Erwartungswert die Varianzist dasnächste auf dem Weg zur Standardabweichungwarum interessiert mich die Variante soll nur mal sagen das war glaube ich nicht hundertprozentigklarich möchte wissen wie stark eine Zufallsgrößeschwanktdann wäre das dümmste was man probierenkönnte dieses hierich gucke mir an wie weit ist sie wegvon ihren Erwartungswertwie weit geht sie jeweilsnach oben oder nach unten beim jeweiligen VersuchErwartungswertistdas Langzeitmittelsozusagenund ich ziehe den ab dann weiß ich wie weit sie jeweilsam jeweiligen Versuch nach oben unten geht und dann will ich den Erwartungswertdas blöde ist das würde sich zu Null Tagmittelnwir von den Erwartungswert bildendas geht im Mittel so weit nach oben bis nach unten gehtBeistrich in Erwartungswert sie es kämen null rausdie nächst beste Lösung wäre hier Betrag zu nehmenwas ist die Abweichungim Betragdas negative vergessen dann kommt immer was positives rausdas könnte man so machen an einigen Stellen macht man es tatsächlich auch soals Maß für die Schwankungder Betrag ist aber nicht diese Funktionich kann nicht ausmultiplizierenbei dem Betrag ableitenhat auch so seine GrenzenBetrag abzuleitenamMann nimmt's in der Praxis nicht den Betrag sondern man nimmt das Quadratdann habe ich auch positive Zahlenund ich kann sogar ausmultiplizierendas Quadrat mit binomisch das macht alles sehr viel handlicherich hab nicht hundertprozentigdas was man eigentlicherwarten würde als Standardabweichungnachher aber das geht schon sehr in die Richtung dieses Ding nennt sich Varianz??Sigmaquadratund die Standardabweichungsoll schlicht und ergreifend die Wurzel aus diesem Ding seinKomma das mit binomisch außenmodifiziert stellt man fest das ist der Erwartungswertvom Quadrat diese Varianz ist Erwartungswertvom Quadratminus das Quadrat vom Erwartungswertdie eine sehr handliche Formelder Erwartungswertvom Quadratminus das Quadrat vom Erwartungswertkriegt man ihn in dem man jetzt die einfach mitgenommen zur Formeldieses Quadrat auseinander nimmtdas rechnen sie ausmit dieser Tabelle von eben erscheint als Tabelle davon die Wurzel ist die Standardabweichungvielleicht hilft folgendesErwartungswertder Zufallsgrößeins Quadratdas hier war meine Zufallsgrößedie Werte und die Wahrscheinlichkeitender Zufallsgrößestehen sich vor okay was ist die Zufallsgröße ins Quadratmit einer Wahrscheinlichkeitvon einem Achtel kommt null rausmit einer Wahrscheinlichkeitvon drei achtel kommt aus dem Quadrateins raus mit einer Wahrscheinlichkeit von drei achtel kommt aus dem Quadratvier rausmit einer Beschaulichkeit von einem Achtel kommt aus dem Quadratneuen rausvielleichthilft das ein Licht aufgehen zu lassen?? angehen zu lassenso damit wirklich jede Erwartungswertmeiner Zufallsgröße ins Quadrat vorgemerkt Quadrat innen drinerst verlierenund dann das Mittel bildenentsteht hier nur Quadrat eins vertrat zwei Quadrat gewährtdie Werte der kontrolliertenZufallsgrößekann sich vor die Frage wäre was Erwartungswert vom Sinus der Zufallsgrößein der sein achtem eine Sinus von null brachte meine Sinus von eins und so weiter ich finde die Funktion hier auf die Wärterdie Wahrscheinlichkeitensummieren sich immer noch zu eins sind die alten Wahrscheinlichkeitennur dass ich andere Werte habevielleicht jedoch maldie die anschauliche Vorstellung hier ?? siemachen achtVersuche dieser Artim ersten kriegen sie für das Quadrat nur Quadrat aus dem zweiten Kind das Quadrat eins Quadrat und so weiter raus in Krankenzimmer zwei Quadrat raus für das Quadrat der ZufallsgrößeGedankenstrich ?? Quadrat ausentsteht der eins Quadrat mal drei achtel eins Quadrat mal drei achteluntersteht drei Quadrat malein achtelso funktioniert das Erwartungswerteiner Funktionvon meiner Zufallsgrößeistin denselben Wahrscheinlichkeitenaber wenn die Funktion auf die Werte eingewichtetes Mittelder Funktionder Werteso lange Rede kurzer Sinn des Mangels immer geradewirklich alsoErwartungswertvon X Quadrat innen drin wird seinin ein achtel der Fälle kriege ich nur Quadratschon komplett weglassen plus drei Arten der Fälle glich eins Quadratund in drei achtel ?? Beistrich zwei Quadrat und in einem Achtel der für drei Quadratdann bin ich bei soundsovielachtelnämlich dreiplusdrei mal vier zwölfplusneunachtelO Strichund dann haben wir ein zwanzig bis dreißig ?? vierundzwanzigachtelsinddreihiervon steht also dreihier steht dreider Erwartungswertdas hatten wir eben schonsind drei halbedas ins Quadrat sind also neun Viertelden Auffinden bringen zwölf für den minus neun Vierteldann haben wir drei Viertel für die VarianzSigmaquadratdie Varianzund daraus die Wurzelgibt also Wurzel dreihalbezwei vorgemerkt außerhalb der Wurzeleins Komma was aber zu drei eins Komma sieben irgendwas eins Komma sieben irgendwas durch zweials irgendwas bei null Komma acht null Komma neun?? sich das anguckenhier liegt unserErwartungswertunser Mittelwert wie stark schwanken wirvon der anderthalbmal halb rauf ein halb runter dann sind wir bei eins zweiaber hin und wieder scheint es auch bisschen mehr zu sein