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13H.1 Drehungen im R² und im R³ mittels Exponentialfunktion
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Die Drehung im R2 und R3 jetzt noch mal anders – Differentialgleichungen – die Exponentialfunktion. Man – kann netterweise ganz viel von dem kombinieren, was ich bisher im Semester gelaufen ist, wir haben Matrizen, wir haben Vektoren sowieso wegen der Drehungen – dann kommen die Fanta Gleichungen dazu kommt – ich extra einzahlfunktion, dass du es kommt auf Frau schauen für das wird jetzt ankommt die Taylorreihe dazu alles auf einmal durcheinander – gerührt, – fangen im R2 an die Drehung im R2 – mit diesem ganzen Methoden – eleganter als bisher zusammen gestrickt. – den Punkt mit Ortsvektor – ich den mal. – den Winkel FI – den Uhrzeigersinn also mathematisch positiv – habe nur uzs Uhrzeigersinn – um den Ursprung – ich sage der gedrehte. – Soll – Ortsvektor er von 4 haben – die große Frage ist, wie kann man eher von 4 ausrechnen wissen sie inzwischen mit Sinus und Cosinus, – kann man sich das elegante überlegen fahren in ihr tragen das gleich auf den R3 – das ist dann ja nicht mehr so leicht, – kann ich den ausheckt ur5i haben abhängig vom Drehwinkel – noch mal aufgezeichnet, – ich mir vorstelle – Das – war der Punkt sein Ortsvektor dazu, den den ich eher – drehen um einen Winkel FI das – heute Winkel FI sein. – bei dem getreten. – der neue Ortsvektor soll heißen er von – der Trick ist jetzt – Differentialgleichung – draus zu machen. – diese Differentialgleichung relativ einfach zu lösen. – Wir machen eine Differentialgleichung – daraus. – brauchen zwei Sachen, wir brauchen die – als solche – wir brauchen eine Anfangsbedingung. – Differentialgleichungen wird sowas sein, wie – den – R – wenn ich den ableiten 8 im Winkl – mit – dem was rauskommen überlegen wir uns. – dann Anfangsbedingung – von 0. – sinnvollerweise er – nur sein der – Ortsvektor, – vorsichtig mit den Schreibweisen jetzt hier er unten null, das soll der Vektor sein mit dem ich anfange, er unten nur 60 und – R von 0 soll heißen – vector R Null gedreht um den Winkel 0, das meine ich hier erfolgt, – habe ich gleich in die Fassade mit Anfangsbedingung, – ich starte bei dem R0. – Winkel gleich null – und gucke – mir an wie ich es sieht Ableitung hinkriege, was – muss die Ableitung sein, was wird passieren, wenn Sie dieses r5e – ableiten – nach dem Winkel, was kriegen sie für ein Vektor? ✂ So der Geschwindigkeitsvektor. – Ich – will dich Geschwindigkeitsvektor, – weil ich – leider nicht nach der Zeit der Geschwindigkeitsvektor – zeigt – zu dem aktuellen Ortsvektor. – So natürlich, wie füge – ich hier rum auf einem Karussell? – ist die Ableitung des – RFI – dem Winkel. – Und die Länge interessanterweise die Länge ist die Länge des ortsvektors. – habe das mal so länger – gleich – von – er – von – Vieh und die hat ja gut wegen der Drehung immer dieselbe Länge, also ist die Länge – mal sagen, warum die Länge wirklich das einfache von dem Ortsvektor ist. Es ist klar, dass es proportional sein muss. Wenn Sie hier auf der – Strecke sind, haben sie den halben Geschwindigkeitsvektor, – wenn sie – Strecke sind, haben sie den doppelten Geschwindigkeitsvektor. – das – muss proportional sein, diese Geschwindigkeit oder na ja, – Winkel soll ich sagen, sollte proportional sein zum Abstand vom Ursprung, – es ist wirklich das einfacher nicht das Fünffache und – das Siebenfache sondern – das. – die Länge von dieser Ableitung ist das einfache von dem Ortsvektor soll – ich noch im Bogenmaß klarmachen – Wiederholung zu Bogenmaß? – Dann antworten, wie wird natürlich im Bogenmaß gemessen nicht in Grad gemessen. – Sie – um ein Winkel – haben sie einen bestimmten Abstand. – Ich nenne mal gerade – drehen um einen Winkel FI weiter, dann haben Sie hier wieder ab, dann ist dieser Bogen. – fimala Dank, das ist der Witz von Bogenmaß. – Einheitskreis ist dieser Bogen genau den Winkel lang, wenn sie beim Einheitskreis sind und haben Winkel von Pi ist der Bogen, wie lang – sie alles vergrößern und irgendein Faktor gerade – ist nicht meiner – ist dann ist der Bogen Sie – den Winkel mal den Radius lang. – leite nach dem Winkel ab und so weiter ist – bleibt – Radius über so – kommt das zustande, also diese Geschwindigkeitsvektor, – der kann Geschwindigkeitsvektor diese Ableitung – aus Vektors nach dem Winkel, – ist genauso lang wie – Ortsvektor selbst – jetzt weiß ich was hier in den Fonds Erklärung auf der rechten Seite stehen muss, ich – den aktuellen – Ortsvektor – RFI und dreh ihn um 90 Grad – den Uhrzeigersinn, ich – schreibe das mal so er 90 – auf er – Vivi – das hier soll, – privat Notation hier sein für eine Drehung um 90°. – um + 90 Grad – das ist meine Differentialgleichung. – passiert, wenn ich meinen Ortsvektor gedreht – und Winkel FI ableite – nach dem besagten Winkel aus dem Hut Geschwindigkeitsvektor, – die ich dann hier kriege, was passiert? Ich kriege genau diesen vector wieder um 90 Grad gedreht. – ist mein Differentialgleichung. – Anfangsbedingung – die klassifizieren, was für eine Sorte von Differentialgleichung – ist, das ✂ haben wir also eine lineare – wenn Sie – von Vektoren haben und die drehen kriegen wir die Summe der gedrehten raus mit Vielfaches haben, kriegen wir das Vielfache des getreten raus, sie wissen schon die Droge 90°, es hat damit der Matrix darzustellen. Ja, – ist linear und das ist nicht mehr linear, sonst ist rufen dann auch noch homogen. – Hier steht – Inhomogenität ich dabei alles ist ein Vielfaches von dem gesuchten Ortsvektor – Koeffizienten, wenn – man soviel diese Drehung ist, eigentlich konstante Matrix konstante Koeffizienten 1. – Ordnung – Gar nicht, soll ich aber sagen, es ist ein Differentialgleichungssystem. – Das sicherheitshalber, – es ist ja eigentlich ein differentialgleichungssysteme – sind jetzt zwei Differentialgleichung, – die sich hier verbergen, sie – haben Komponenten hier nicht eine einzige Funktion, ich suche eine Funktion X abhängig vom Winkel eine Funktion y abhängig – vom Winkel, insofern – habe ich wenn ich sage defensa Gleichnis ist ein die Mensa System ist in zwei – aber von der Arzt die wir – gut können. – In der homogen konstante Koeffizienten – vielleicht einmal gerade wie wir das bisher gelöst haben. – Erinnerung beginnt das bisher. – haben eine Differentialgleichung – DIY – von X nach X und – da – kommt z.b. Raus, das ist 7 – mal y von X – die Anfangsbedingung. – Ypsilon – von 0 – seines Anfangsbedingung – können Sie die Lösung der Kind schreiben Sie mal gerade hin, was ist die Lösung? – y von X – Ich müsste auf einen Schlag gehen ohne viel nachzudenken. ✂ macht man das Exponentialfunktion, – ich habe noch mal gemein Armani hoch – das in die Differentialgleichung einfinden – dem U7 sein – Anfangsbedingung. Ja, das muss dann also 13 mal Geo 7x haimschlag – hinschreiben. – ist so die einfachste Differentialgleichung – von wir können uns ja auf die Schnelle überzeugen, dass das stimmt. Die – Anfangsbedingung ist am einfachsten, wenn sie nur einsetzen 13 mal e hoch 0 – 13 – x 1 = 13 die Ableitung, wenn Sie das nach X ableiten – als Faktor oder Mac gasfaktor bleibt, die 13. Davor stehen die U7 X ableiten in Ableitung = 7. Die kommt dazu Josi mixpac stehen, – haben sie vario7 X7 – was wir wollen. – schreibe das – auf total komischerweise um die was gleich brauchen, das kann man auch schreiben, wenn man bisschen komisch ist, kommt man da schreiben, weil sie hoch ixmal – 7 – 13. – das sieht jetzt ein bisschen Blödsinn ich Auswahl, was habe ich gewonnen – der Form – hinten in der Form kann man es auf Differentialgleichungssystem – übertragen, das sehen wir gleich – zahlst ist egal, ob dich so umschreiben oder so umschreiben, – hintere Form ist das was wir über Differentialgleichungssystem – gleich brauchen, wenn man nicht alles so hemmungslos miteinander – musizieren kann bezahlen – schon mal in anderen – Form – die Exponentialfunktion sollten auch mal gerade hinschreiben, was ist der Exponentialfunktion – e hoch – das mal e hoch? – ist die definiert die Exponentialfunktion? ✂ ist also 1 + 2 + zu Quadrat halbe + zu hoch 3 durch 3 Fakultät, das ist eigentlich zwei Fakultäten das jetzt auch als ich Anfang und die einzige – hoch null durch Null Fakultät und – so weiter. – Eine – bisschen zu unendliche, – war die Exponentialfunktion. – wären wir gleich auch wieder kriegen in etwas lustig – war fahren nicht bezahlen alles nicht bezahlen, sondern dann mit – Jahren – können wir damit unsere – Differentialgleichungssystem – muss ich sagen sie defensa gartensystem da oben lösen, – was erwarten wir eher. – 4. = ich muss ja warten Sie jetzt findet das 1 zu 1 übertragen, was – erwarten sie als Lösung für unser Team Anzeigesystem – die Drehung um den Winkel Vieh hier. ✂ zum Winkel FI – 13. Die 13. Hat die Rolle von dem R0. – 77 – y90r – die – sieben hat die Rolle von der Drehung des X – ist – die unabhängige Variable. – Das X hat die Rolle von dem Vieh hier sollte stehen e hoch pi mal R – 90° – so komisch, wie das jetzt aussieht. – es gibt dich viel Sinn, wenn Sie den er nur nach vorne schreiben. – Hier steht da. – Mal genauer hinguckt eine Matrix und – so Ortsvektor sollte – von der Matrix ziemlich links von der Matrix stehen. – habe ich das Suchen geschrieben, da lässt es sich leichter übertragen. – wäre die vermute und wenn das alles hinhaut mit Exponentialfunktion – und so weiter, dann sollte das das Ergebnis sein und das ist tatsächlich das Ergebnis, jetzt kann man das ja auch buchstabieren – der Reihe, was das bedeuten soll. – bedeutet das E hoch Fieber er 90. Wenn Sie das halbwegs – ausbuchstabieren sind, die ersten hinten steht wieder +354 – am Ende steht er null, – bedeutet das jetzt aus buchstabiert? ✂ Die eins da wird sinnvollerweise die Einheitsmatrix oder die Identität – Zahnärztin Jahre Abbildung, – das was im Exponenten gestanden hat. Ok, das kriegen wir auch hin, was sie Max Märchengestalt hat. Ist sie mal die Drehung – Herr 90g. – was mich versteht quadriert – und davon die Hälfte Hälfte – die Hälfte nämlich mal nach vorne quadriert – heißt ja wohl das – was da steht, – hintereinander ausführen – 90° drehen mit – dem Winkel modifizieren dann noch mal um 90° drehen noch – mit dem Wege multiplizieren davon die Hälfte, das – muss das heißen – so weiter, sieh an Damen – die einander durch sechs und so weiter. So wird das weitergehen. – kann man sich überlegen, dass das wirklich – was hier steht ist wirklich eine Lösung, – die das nach dem Winkel ableiten, das – hier unten steht, wenn du das nach dem Winkel ableiten fliegt, die eins raus, ich – muss gerade den anderen – hin, die – einzig draus Konstanz, – leiten – nach dem Winkel ab, dann fliegt der Winkel sie als Faktor aus. Der steht er 90°. Sie – leiten den nach – dem Winkel ab. – Einhalb – 4 Rotation was passiert, wenn sie da nach dem Winkel ableiten? ✂ mein halt die quadrata drin stehen und konstante – Faktoren, das heißt aus dem einhalb piquadrat wie – deshalb geht weg und ein FI geht weg und jetzt kriegt man schon eine Ahnung. Ja, das wird funktionieren, wenn ich das hier nach – Winkel ableite, ich schreibe mal den nach IV ganzes Handy wieder dahin und – das hier nach dem Winkel uplite ist der erste Weg, was kriege ich dann 90 + – 4 – x Air 90 x R90 – undsoweiter, es – soll ja sein er 90 x den – wenn Sie das was da steht, Schwarz-Weiß – mit R90 multiplizieren kriegen sehr 90 + 4 x 90 ins Quadrat und so weiter, wenn sie ableiten kriegen sie eher 90 + FI meine 90 ins Quadrat und so weiter genau, das kommt hin kommen sie Schritt-für-Schritt überlegen, das – ist wirklich eine Lösung der Differentialgleichung. – mal wieder weg zu – erzeugen. – werden die Differentialgleichung gelöst natürlich in einer Form hier, die – etwas – ist. – ich habe doch einen der mehr hin, um das noch weiter zu zerlegen – jetzt kommt ja eins durch – Fakultät GmbH – der nächste fimal – er 90 Grad mal Pi mal eher 90°. – Malfy Maria 90°, dann sieht man es etwas besser. – bis ins Unendliche R0 – hassen sie die mal hier zusammen, was können Sie aus denen machen? – Die sind ja monströs aus habe die können sich schon zusammenfassen. ✂ Den vector R Null drehen und 90° mit vier multipliziere 91° wifi multiplizieren, ob ich dahin drin mit Fimo verzieren oder ob ich das am Ende tue ist egal, also mache ich da draus, das ist Einheitsquadrat – das innere Kind nehme ich nach vorne – dann kommt die Drehung um 90° – habe das nur so. – sender um 90° drehen, das ist mit Leergut 180° – dann natürlich und – alle Drehung um 180°, – sind hier drin und 180° – sind da – 180° – hast du das Vorzeichen zu ändern sich schreiben Minus davor hat das ist die Drehung 180 Grad – steht das ist ein – Uhr Quadrat – davor Einheitsmatrix. – passiert mit dem nächsten hier – der dritten Potenz entsprechend ✂ die drei fies nach vorne, also eins durch 3 Fakultät IV ehoch3, – du in sie und 270° oder weshalb sie drehen um 180 Grad und dann drehen sie noch mal um 90°, aber wenn sie um 180° drehen haben – sie nur das Vorzeichen gehen, also - – die – Drehung um 90° bleibt übrig 180 – Grad drehen das Vorzeichen ändern dann noch um 90° drehen - – die Drehung um 90° – immer eins, was – ich gerade 190 – Grad und die Vorzeichen laufendem plus plus minus minus ergibt plus plus minus minus immer so weiter – dass ich das jetzt stringking schreiben mit dem Türchen in DCs. – Das kann man jetzt nicht zusammenfassen – große Klammer auf große Klammer zu er – null steht da ganz am Ende alles – ist Monstrum wird multipliziert als Matrix x R0 oder es lineare Transformation – angewendet auf den null – was mit der Einheitsmatrix steht als Faktor vor der Einheitsmatrix – alles – was mit der Drehung um 90° steht – Faktor vor der Drehung – 90° – Handy, wir haben die Einheitsmatrix da vorne. – Lr01, – kommt jetzt als nächstes hier die vordere Klammer? ✂ jetzt einmal – die anders Matrix, dann haben wir hier minus – einhalb – 4 Quadrat – minus und so weiter, das – natürlich unendlich viele weitere dann ja 90° da vorne steht das Vieh dann haben wir hier im - 1 durch 3 Fakultät 4 hoch 3 und das geht natürlich auch so weiter plus minus – ins Unendliche. – jetzt sollten Sie – hier schon benennen können. Diese beiden Klammern, – wird das sein? ✂ also die Taylorreihe für den Cosinus Entwicklung – um – nur in Bogenmaß immer unten – steht die Tiere für den – so einfach ganz allein, also wir kriegen es ist der Cosinus mal die Einheitsmatrix plus – den Sinus – die Drehung um 90°. – Einheitsmatrix und – sie so 1001 – Getränk um 90°, wenn ich dir als Matrix schreibe, wie sieht die aus? ✂ überlegen sich was wird aus dem – X Standard Basisvektoren – sie den drehen. – Einmal – den hier normal den einmal – gegen ja nun mal den – der Matrix saugen – sie die erste Spalte raus, wenn sie mit 10 multiplizieren – okay, – wenn ich den Dreh um 90° kriege ich den y Standard basisvektor hier muss, also 01 stehen, – passiert mit 01 – dem y Standard basisvektor, wenn ich den drehe nun – mal den Madina Madina kriege ich die zweite Spalte, wenn ich das hier rechne. – Was passiert, mit dem die VIPs am Standard warst weg tun, Sie den drehen kriegen sie - – den X Standard basisvektor hier muss in der zweiten Spalte minus px Standard basisvektor – 10 – das ist die Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn – sind wir am Ziel. – Da steht jetzt die übliche Formel. – eine Matrix der Cosinus mal 1 – 0 - – der Sinus – oben – Sinus mal 1 links unten. – der Cosinus mal 1 rechts – unten – den Ortsvektor – ist die – rotationsmatrix, – wer hätte das gedacht. – ganz andere Wege hergeleitet – Exponentialfunktion – diesem Wege hier, also sie können sofort eine Lösung hinschreiben für dieses Differentialgleichungssystem. – Das Problem ist jetzt diese Lösung auszurechnen, was heißt denn jetzt e hoch pi mal 90 Grad, aber – das geht die sehen ganz locker durch und man kann sich auch schnell überlegen, dass das wirklich die Lösung ist, die eine Lösung ist und – hier kam ableitet und guckt das ist dann hinkommt. Mathematisch – ist die Frage, warum geht das auch mit der unendlich langsam hier mit einer Reihe, aber es geht in dem Fall – kriegen die ganz übliche – Jones Matrix die ganz übliche drehungsmatrix raus. – einer – banalen sozusagen – kann sie direkt ihn schreiben und ist – fertig. – jetzt das Ganze eben R3 – den. – R0 weiterhin – den Winkel FI – rechte Hand Regel von dreidimensionalen, also – der Daumen in Richtung – Achse die Finger zeigen dann in Richtung der Drehung. – die Achse – gerichtete Achse ja, damit ich die recht Hand Regel anwenden kann. – Ursprungsgerade schreibt mal 0 oder o plus – ein Vektor in und – sie weckt un, – soll ein Einheitsvektor – sein. – Länge von Endbetrag ensol – damit ich damit hübsch rechnen kann. – der Ortsvektor des gedreht. Soll wieder – FI heißen. – habe ich wieder in die Franzi Gleichungssystem Hilfe Trixie – eben und das wird auch immer drei – zwar die Ableitung von diesem gedrehten aus Vektor nach dem Winkel. Muss jetzt irgendwas fürchterliches sein – ich habe eine Anfangsbedingung. – 0 geben – natürlich soll er nur sein, dass Vektor die nicht dringend wäre, wenn ich anfange, um 0 Grad zu drehen, – kriege ich das raus, womit – ich angefangen habe. – Ableitung ist jetzt ein bisschen raffinierter. – hoffe, das gelingt mir zu skizzieren. Irgendwie – zeigt – meine Achse – Ursprungs – sein – ja, aber den Ortsvektor die nicht drehen will, – dass ist er null. – will ich sehen. – wird er gelaufen, wenn ich ihn drehe? – kriege ich jetzt – die Franzi gleich umgehen? – leite RFI. – hier ist. – von – leite ich nach dem Pinkel ab. – tue ich das hier ist jetzt nicht der Winkel FI, ich muss ja den Winkel – ich zu Aktion ebenso irgendwie den Winkel nehmen die Zeichen für lieber gar nicht angewinkelt, sonst wird ganz schlimm, – kriegen sie nicht Differentialgleichung – ist – wissen Sie über die Ableitung nach dem Winkel FI. ✂ mir das mal aus dem Bauch raus in die Ableitung. So muss sie ja zeigen irgendwie – so müsste die Ableitung zeigen, – er von Wien nach – auf jeden Fall – dem aktuellen Ortsvektor, – wissen Sie noch senkrecht zu dem aktuellen Ortsvektor, also müssen sie noch das ✂ da kommt wird sich das Kreuzprodukt – dann haben wir einen Vektor, der senkrecht auf – er von FI steht, wir haben einen Vektor. Der senkrecht auf n steht – gerade überlegen, ob die Richtung auch – richtige ist. Also senkrecht ist schon gut, aber senkrecht dass – du noch eine Möglichkeit hoffen. Ihr könnt ihr auch noch in die falsche Richtung zeigen senkrecht zu Weiden – der – Daumen ist das in der – ist dass er – dann sehen Sie Daumen hier Zeigefinger da ja wunderbar. Der Mittelfinger ist in die Route Richtung, – ist ein Vektor in die richtige Richtung, die einzige Frage ist, ob er die richtige Länge hat. – kann man sich wie eben überlegen, ich will es gar nicht so weit aus – hat das ja nicht genau die richtige Länge. Sie sehen ja schon physical. Schalte richtige Einheit Dennis – einheitslos. Nein, er hat die Einheit – wenn man das jetzt so machen würde, es müssen Mieter. – Winkel ist einheitslos in diesem System Bogenmaß. – Bestimmt – die Einheit, das ist schon mal gutes Zeichen. Er könnte jetzt rein theoretisch noch sowas stehen, wie ein Kreuz er mal 42 aber – ich jetzt an der Stelle nicht zu weit aus – Begründung wäre so wie eben die Ken ist aus der Physik – des starren Körpers das kommt da vor – haben wir die Differentialgleichung die – Ableitung nachdem Winklmoosalm – Einheitsvektor – längs der Achse Kreuz – der – aktuelle Ortsvektor. – Und ich kann sofort die Lösung hinschreiben – Lösung, die ich Ihnen schreibe ist der – den Winkel viel gedrehte Vektor ist e – x fürchterliches und eine steht er null. – fürchterlich jetzt schreibe ich jetzt etwas – vielleicht mal gerade beim r2bees, – der funktioniert hatte. – war es die Drehung um 90° und – steht FI mal die Drehung um 90° im Exponenten. Alsoufi mal die – Abbildung, die davor meinem – steht auf der rechten Seite, das muss – den Exponenten rein. – Abbildung, die hier steht sehen ist jetzt ungeschickt zu schreiben, – tue ich denn vector R an, ich – würde das Kreuzprodukt mit in das – ist die Abbildung die da steht. – davon – will ich das Kreuzprodukt mit Ende muss ich gerade nen bisschen flunkern, ich schreib das mal so n – Kreuzprodukt – einem Pünktchen davon mathematisch versalzen, das ist die lineare Abbildung, die da steht. – den Ortsvektor und von links bitte das Kreuzprodukt mit M. Das – musst Du oben rein – Kreuzprodukt – von links mit dem was auch immer gerade dazu motivieren ist. – auch mit dem Artikel schreiben. Ist aber gar nicht hilfreich, dass mir da madig zu schreiben ich das mal so stehen. – können Sie auf jeden vector loslassen, es ist eine lineare Abbildung, – die sich hier in den Klecks doppelte einsetzen ist doppelt raus, wenn die einen Text in Summe einsetzen kriegen, sie soll mal raus – so weiter und – wir jetzt aus ehoch4 – mal n Kreuz, – da stehen soll. – sie aus – Klammer, – wird aus der e-Funktion und am Ende steht mal erneut – sie mal aus ✂ fangen an mit der Identität – eben los. Dann soll er stehen, was im Exponenten steht sie – in – Kreuz – einsetzen, – was dahinter steht. – die Hälfte vom Quadrat von Exponenten eineinhalb – willst du? Denn steht ins Quadrat habe – ich das die Quadrat drin stehen sie das sofort nach vorne viel Quadrat halbe – Kreuz, was – dahinter steht zweimal – anwenden n Kreuz – was dahinter steht – dann geht's weiter mit 4 hoch 3 durch – Fakultät diese – Klammer dreimal – plus. – so weiter, – habe gar nicht mehr genau hin, was das da ist. – Jetzt überlegen. Muss, was das denn jetzt bedeuten soll, – es euch ein bisschen komisch, wenn – das jetzt anwenden – die Einheitsmatrix auf R0 anwenden bekommen Sie was ✂ dass wir da einfach da alleine Smart x-mal R0 IV Bezieher anders Matrix ist wieder 0. – Bloß jetzt sehne ich die Fima – Kreuz einsetzen – angewendet auf R0 ist – was. ✂ sitzen sie ein was Recht steht. Hier steht im Kreuz – er null. – 4 Quadrat halbe jetzt wird es raffinierter. – Kreuz einsetzen – was rechts steht ein Kreuz einsetzen, was Recht steht – null. – Was wird das werden? ✂ Klecks soll durch das ersetzt werden, was rechts davon dran multipliziert – wird, – fange ich hier rechts an hin Kreuz R0 – steht hier in Kreuz R0 – das muss ich jetzt eingesetzt werden. – n Kreuz n – Kreuz n Null – Kreuz – R0 – das muss man auch mit Klammern schreiben, wenn sie mit Klammern schreiben kommt – im Service Service falsches raus, das ist nicht assoziativ, sie kann jetzt hier nicht beliebig Klammern. – ist – in den Klicks da setzte, dass er 01. Dann – bin. Ich 6 Uhr. Da setzte das ein was rechts davon steht, also n Kreuz dann nur so – sieht das aus jetzt an, die was da hinten steht, wie – 3 – 3 Fakultät – Kreuz – Kreuz R0 – das muss da stehen los – ins Unendliche. – sieht das aus, wenn zweidimensionalen – deutlich leichter mit der Drehung um 90°. Die – sind hier mit dem – ein Kreuzprodukt und wird ekliger – dimensional hat niedriger 90° die Telefon 90° zweimal ausführen die Drehung um 90° dreimal ausführen. – macht ihr das Vektorprodukt ja auch das Drehteam – ja sozusagen, was – 90° oder mehrfach hintereinander sie führen das Vektorprodukt mehrfach hintereinander aus. – wie wir eben die Drehung – hintereinander ausgeführt – haben, das ist damit gemeint auch – hier schreibt weiß, dass hier im Kreuz Plex – ist, die lineare Abbildung, die kriegst – nimmt und hier einsetzt und dann im Kreuz – Vektor ausrechnet, – ist die Lösung der Differentialgleichung, die – ist natürlich sehr unverdauliche – jetzt mit – vierfachen fünffachen 42 waren – Produkten. – wir zusammen – würde das ja auch schon hübsch. Das – ist Einheitsmatrix und – sie Drogo 90° geworden ist und nie was anders. Hier wird es jetzt sprechen türkisch, diese ganzen vektorprodukte so schlimm, wie sie aussehen werden – einfach werden. – gucken uns das zweite an. – II Vektorprodukt – Nebenrechnung – könnte dieses – Kreuzprodukt Rechenregeln Rechnung – die hat, nochmals Kreuzprodukt wiederholt nicht nur Differentialgleichung – Nein, es kommt auf das Kreuzprodukt vor. – möchte rechnen in ein Einheitsvektor – Kreuz – möchte ich irgendwie verarzten – man von der Seite wenn ich platt von der Seite drauf. Gucke – viel leichter. – soll in sein – soll – sein PC in die Ebene legen zu stellen sich so, dass es sowieso – von hier gucken hat drauf gucken, – ist er null. – Wie zeigt n Kreuz R0 – Situation ✂ also genau in die Wand rein so. – jetzt will ich im Kreuz in Kreuz der Null bilden, in welche Richtung zeigt, der jetzt ✂ Hand – Daumen in Richtung der Zeigefinger zeigt in die Tafel rein und der Mittelfinger Zeichen so – platt – in dieser Ebene, hier – liegt in – Kreuz. – und – dafür möchte ich jetzt ein – Ausdruck – Sie eine Chance, – können Sie den zusammensetzen, – aus welchem Vektoren können Sie den hier jetzt? ✂ brauche ich das Negative von er nur – ein Vielfaches von negativen von der Null, damit ich in die richtige Richtung komme und ich brauche noch ein Vielfaches von N, der – mich nicht auf die Höhe komme mit den beiden zusammen. Muss es funktionieren. – vr0 mit negativen Vorzeichen und – n&t – Witz ist nun ist es wirklich die billigsten Linearkombination, – die man sich vorstellen kann - – 0 – es nach hinten wegen des negativen Vorzeichen und hier vorne steht – Vielfaches von Vektoren nämlich das Skalarprodukt in Malia nur Wir müssen es die Richtung schon mal grob stimmt, wir müssen das die Einheiten Stimmen anders los. Einheitslos Meter einer – ist los Meter 1 als los mit den – Einheiten stehen. Sieht auch gut aus, was man jetzt tun könnte, um das nachzuweisen, – bisher kein Beweis sondern nur so ein Handy was – man tun kann um das nachzuweisen sie setzen für den R0 – einen Vektor längs von man – ein Vielfaches von N – einmal einen Vektor senkrecht irgendwie – eine bliebe Richtung senkrecht zu n einrechnen einmal durch und stellen fest stimmt dann stimmt auch für die Sommerweizen Dinare Ausdruck ist wie fühlt sich weiter für – ihr das Ergebnis ist. Sie können n Kreuz n Kreuz ersetzen durch das Skalarprodukt einmal – in - – 0. – jetzt immer gleich ein da – und da und so – weiter. ✂ ich da weitermachen kriege ich also das = – + – mal – Kreuz r 0 – den – drei hatten wir jetzt auseinander genommen viel Quadrat halbe Klammer auf was hier steht – Skalarprodukt – mit R0. – in – R0 – jetzt der nächste – wie hoch 3 durch 3 Fakultät 9 – 3 Pünktchen, nimm dir die nächste mal auseinander, was wird jetzt passieren. ✂ der hintere der hierfür den setzen Sie ein Kreuz in Kreuz er ein mit unserer Umformung und dann bleibt hier stehen – das ist der erste und – beiden werden – zu. – im vereinfachten hin Kreuz Klammer auf Klammer zu – er 0 Mal im – R0 – steht da – vor, dass du bleib stehen and Kreuz in Kreuz und der hintere den – er setzt sich mit – Nebenrechnung. – jetzt gucken sie scharf in was haben die teilweise schon getan. Jetzt gucken sie schaffen und 10 n Kreuz ein Vielfaches von N. – Kreuz ein Vielfaches von N. Das könnte sein lassen – Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren wird 0 denken sie weglassen. – es steht da nur noch 3 durch 3 Fakultät in Kreuz - – R0 viel einfacher. – Und dass wir liefern jetzt sinngemäß zusammenzufassen. – kann jetzt ja gucken, – ist alles von uns umgibt, wir haben Vielfache von erneut. Da sehen sie ja nur, da sind sie R0 dahinten. Nee Sie sie nicht an, nur das ist ein Kreuz erneut. Auf jeden Fall haben wir Vielfache von R0 – irgendwas – plus, – haben – von – Kreuz erneuern – Kreuz – nun – wir haben Vielfache von innen. – Fluss – sie mal gerade zusammen, so ein paar Ausdrücke stehen da ja schon fahren, den kann sich überlegen, wie es dann weitergeht deswegen – bei mir haben, wie würde es weitergehen, dass es nicht so streng jetzt – man schon mit Summenzeichen arbeiten – und so weiter schauen – Sie mal die ersten auszugehen, die Sie hier sehen und – sich wie es weitergehen müsste. ✂ Koeffizientenvergleich den sie schon kennen. – den Stefan sagen Gleichungen und von der partialbruch zerlegen ziehleuchte genauso R0 – na das einfache – von R0 – haben wir hier – - – R0 x Quadrat halbe also - fi Quadrat halbe – mal R0 dann ist die erledigt IV überhaupt mal anstreichen, der ist jetzt erledigt. Der – ist jetzt erledigt - wie Quadrat halbe. – noch weitere habe ich in Kreuztal – 0 x 4 mm Kreuz. R0 mal Fidan – ist erledigt, habe – ich ein Vielfaches von N. – Karabulut – gibt es halt mal in ein Vielfaches von in den Tag ist der unten ein viel Quadrat halbe in Maria 0 Mal – in also viel Quadrat halbe. – Null – den Patienten – haben wir noch den Assistent – Kreuz - 10 – x 4 hoch 3 durch 3 Fakultät 10, – da gehört er hin - – 4 hoch 3 – Fakultät dann habe ich dir irgendwie hoch 3 durch drei Fakultäten Kreuz Herr 0 - -3 – vergrößern – und das muss jetzt natürlich irgendwie weitergehen. – dem ersten ansieht – hoch 0 / 0 Fakultät - fi Quadrat durch 2 Fakultät, das muss dann Wofi hoch 4 / 4 Fakultät sein - – + und so weiter müsste man sich sauber überlegen. Die Zeit möchte ich mir schenken bis – man sich selber überlegen, aber offensichtlich muss es so weitergehen. Hier sehen Sie wie - 4 hoch 3 durch 3 Fakultät, dann – muss der nächste wohl sein, – man sich überlegen kann, wo ich jetzt aber nicht die Zeit investieren will 45 / 5 Fakultät mit plus minus Plus und so weiter, wie beim letzten ist es vielleicht – etwas versteckter. – müsste das jetzt weitergehen? Sie sehen jetzt haben ein bisschen wenig gerechnet, wie müsste das hier unten weitergehen. ✂ müsste jetzt hier einen Schritt weiter rechnen 4 hoch 4 / 4 Fakultät noch mal ein N Kreuz davor stellen, rechnen rechnen rechnen – dann sehen Sie hier kommt - – hoch 4 durch 4 Fakultät – R Null. – Und so weiter plusminus und – so weiter so sieht das aus. – Ist aber ein paar alte Bekannte – nicht so bekannte. – sie in den alten Bekannten ✂ jeden Fall können Sie unten in mal R0 ausklammer, das mache ich wirklich mal. Das sieht ja ganz hässlich aus hier schreiben war also n Skalarprodukt – 0 – und schmeißen – den daraus dann sieht sich länger so schlimm aus. – erkennen sie noch sechs Vereinfachung? ✂ erkennen – Sie den Cosinus wieder? – Sie den Sinus wieder – hier muss man ein bisschen schärfer hin gucken – Quadrat halbe aber dein cosinus und haben Vorzeichen 4 hoch 4 durch vier Fakultäten auch – im großen Lust mit anderen Vorzeichen, – eins muss ich loswerden, ich muss das Vorzeichen ändern. Hier steht 1 minus Cosinus – hat man eine übersichtliche Farbe, – man es schon mal rein geometrisch hatten vor ein paar Wochen. – zwar finden wir das ist der Cosinus von PI hat – im Winkel um den gedreht werden soll mal den – Ortsvektor der gedreht werden soll. – den Sinus – von dem Winkel und den Gerät werden soll mal – Kreuzprodukt – der Vektor der gedreht werden. Soll – minus Cosinus 1 – minus Cosinus von – dem Winkel um den gedreht werden soll mal das Skalarprodukt Achse. – Skalarprodukt – der Vektoren gedreht – werden soll – Vektor längste Achse – das ist die allgemeine Drehung im dreidimensionalen die – stand – andere Reihenfolge, aber – genauso schon vor ein paar Wochen da rein – hergeleitet. – mathematisch interessante – ist diese elegante Weg dahin zu kommen, – kriege ich mit der Exponentialfunktion, – ich schreibe ja gar nichts großartiges hin mit Vektorprodukt und so weiter. – schreibe Andi faiza Gleichungssystem – hin, da kommt so ganz harmlos das Vektorprodukt auf der rechten Seite vor löse – diese Differentialgleichungssystem – durch eine Excel Funktion – bin eigentlich fertig. – hier ist ja schon die Lösung, das hier ist im Endeffekt. Die drehungsmatrix wenn Sie das hier – haben sie die drehungsmatrix, – ich dann nur noch Tourist, dass ich das aus buchstabiere, was bedeutet dieses komische Symbole hoch – dieses Monster hier, die Lösung kann ich sofort hin schreiben mit Hilfe der Exponentialfunktion – der Rest ist daneben – Gebastel mit – und Sinus und Cosinus dafür die Potenzreihen – reinholen und wir haben das übliche Resultat für die allgemeine Drehung – dreidimensionalen.